廣東省六校（清中、河中、北中、惠中、陽中、茂中）2023-2024學(xué)年高三12月摸底考試數(shù)學(xué)試題含答案解析

2024屆高三級(jí)12月“六校”（清中、河中、北中、惠中、陽中、茂中）聯(lián)合摸底考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。3．本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）A．B．C．D．3．如圖，在中，．若，則（）A．B．C．D．4．若函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的最小值為（）A．B．C．D．5．楊輝是我國(guó)南宋末年一位杰出的數(shù)學(xué)家，在他著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項(xiàng)式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”，它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個(gè)數(shù)值是它上面的兩個(gè)數(shù)值之和，該三角形數(shù)陣開頭幾行如圖所示某行中只有一項(xiàng)最大，且為252，該行是（）A．第12行B．第11行C．第10行D．第9行6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“”是“是等比數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．已知正數(shù)a，b，c滿足，下列說法正確的是（）A．B．C．D．8．過雙曲線的右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為H，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，又直線與雙曲線無公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列命題中是真命題的有（）A．將A，B，C三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30B．一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同C．若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲D．一組數(shù)據(jù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位數(shù)為510．如圖，在正方體中，M，N，P，Q分別是線段的中點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論正確的為（）A．平面APCB．平面C．A，P，M三點(diǎn)共線D．平面平面ABCD11．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，是的?dǎo)函數(shù)，且，則（）A．B．C．D．12．已知圓，直線l過點(diǎn)，若將圓C向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到圓，則下列說法正確的有A．若直線l與圓C相切，則直線l的方程為B．若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為2，則直線l的方程為或C．若過點(diǎn)的直線'與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則當(dāng)面積最大時(shí)，直線的斜率為1或D．若Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QR，QS分別切圓于R，S兩點(diǎn)，則直線RS恒過定點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為__________．14．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為__________．15．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意恒成立，則m的取值范圍為__________．16．如圖所示，在三棱錐中，與都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，二面角的大小為，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為__________．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。17．（本小題滿分10分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）證明：；（2）若，求的面積．18．（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐中，底面ABCD是矩形，．（1）求證：平面平面PCD；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．20．（本小題滿分12分）食品安全問題越來越受到人們的重視，某超市在某種蔬菜進(jìn)貨前，要求食品安檢部門對(duì)每箱蔬菜進(jìn)行三輪各項(xiàng)指標(biāo)的綜合檢測(cè)，只有三輪檢測(cè)都合格，蔬菜才能在該超市銷售．已知每箱這種蔬菜第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，第三輪檢測(cè)合格的概率為，每輪檢測(cè)只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測(cè)是否合格相互之間沒有影響．（1）求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率；（2）如果這種蔬菜能在該超市銷售，則每箱可獲利400元，如果不能在該超市銷售，則每箱虧損200元，現(xiàn)有4箱這種蔬菜，求這4箱蔬菜總收益的分布列．21．（本小題滿分12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)G在橢圓上（異于），且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，證明直線MN經(jīng)過定點(diǎn)Q，并求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．

2024屆高三級(jí)12月“六?！保ㄇ逯?、河中、北中、惠中、陽中、茂中）聯(lián)合摸底考試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．題號(hào)12345678答案CDBACCDA二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．題號(hào)9101112答案BDABACBCD1．C由題意可知，所以．故選C．2．D，即的虛部為．故選D．3．B，所以，則．故選B．4．A，而的值域?yàn)?，，解得，又的最小值為．故選A．5．C因?yàn)槟承兄兄挥幸豁?xiàng)最大，且為252，所以行數(shù)n為偶數(shù)，因?yàn)?，所以，故選C．6．C當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，則，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是等比數(shù)列；若數(shù)列是等比數(shù)列，，所以是充要條件．故選C．7．D，，故A錯(cuò)誤；，，故BC錯(cuò)誤，D正確．故選D．8．A如圖，可知中，，又因?yàn)?，由正弦定理可知，即，所以，得．又因?yàn)橹本€與雙曲線無公共點(diǎn)，則，即，所以，所以．綜上得，故選A．9．BD對(duì)于A，根據(jù)分層抽樣原則可知，樣本容量為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)定義可知，該組數(shù)據(jù)平均數(shù)為，眾數(shù)為3，中位數(shù)為3，B正確；對(duì)于C，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則其方差，∴乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，∴將該組數(shù)按照從小到大的順序排列，第9個(gè)數(shù)為5，∴該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為5，D正確．故選BD．10．AB平面APC即為平面，即，而平面，因此有平面，故A正確；由平面平面，又平面，故平面，故B正確；平面APC即為平面，A，P，共線，所以A，P，M三點(diǎn)不共線，故C不正確；平面MNQ與平面ABCD是相交的．故D不正確．故選AB．11．AC令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，而的大小不確定．故選AC．12．BCD對(duì)于A，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，其方程為，符合題意．當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，則，解得，所以直線l的方程為，即．綜上，直線l的方程為或，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意知直線l的斜率存在且不為0，故設(shè)直線l的方程為，即．設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，即，解得，則，解得或．所以直線l的方程為或，所以B正確；對(duì)于C，可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離．因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）．由，得，解得或，所以C正確；對(duì)于D，由題意知圓的方程為，圓心．設(shè)，則以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則圓D的方程為，整理得，圓與圓D的公共弦所在直線即為直線RS，將兩式相減，可得直線RS的方程為，即．令解得即直線RS恒過定點(diǎn)，所以D正確．故選BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．因?yàn)椋?，即，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以xy的最大值是．14．由拋物線方程可知焦點(diǎn)，又，所以線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，所以，所以點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為．15．因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，所以，又因?yàn)?，所以，即?duì)任意恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增，由得，即，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即對(duì)任意恒成立，若，則0恒成立；若，則，解得，綜上，所以m的取值范圍為．16．如圖，取線段BC的中點(diǎn)D，連接AD，SD，由題意得，是二面角的平面角，．由題意得平面ADS，分別取AD，SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)E，F(xiàn)，在平面ADS內(nèi)，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作直線垂直于AD，SD，兩條直線的交點(diǎn)即球心O，連接OA，則球O半徑．由題意知．連接OD，在中，，球O的表面積為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．（1）證明：因?yàn)?，及?分所以，4分由得．5分（2）解：由（1）及知，又，由余弦定理可得，即，6分解得或，因?yàn)?，所以?分當(dāng)時(shí)，，9分當(dāng)時(shí)，．10分18．解：（1）由，得．1分，所以，故得，3分故是公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，4分則，由，得，5分故，于是．6分（2）依題意，，7分故8分9分11分．12分19．（1）證明：如圖，分別取AB，DC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，PE，PF，因?yàn)?，所以?分又，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即?分又平面PCD，所以平面PCD，而平面PAB，所以平面平面PCD．6分（2）解：如圖，建立空間坐標(biāo)系，則，7分設(shè)，由得9分即，設(shè)平面PBC的法向量為，因?yàn)椋?0分所以，令，可得，11分于是．12分20．解：（1）記分別為事件“第一、二、三輪檢測(cè)合格”，A為事件“每箱這種蔬菜不能在該超市銷售”．由題設(shè)知，3分所以．4分（2）設(shè)這4箱蔬菜的總收益為隨機(jī)變量X，則X的所有可能取值為1600，1000，400，，，5分且，，，，，10分故X的分布列為X16001000400P12分21．解：（1）由題意得．設(shè)，則，所以，2分又，即，則，可得．3分又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則．4分由解得，5分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6分（2）設(shè)點(diǎn)．由題意可知切線PM，PN的斜率存在，則切線PM的方程為，即，7分切線PN的方程為，即，8分即有，則兩切線PM，PN相交于點(diǎn)，10分則點(diǎn)滿足方程，11分即直線MN的方程為，經(jīng)過定點(diǎn)．12分22．（1）解：由題意，，定義域?yàn)?，可得?分令，則，所以單調(diào)遞減，又由，所以存在，使，3分即，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)