高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案67第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第七講離散型隨機(jī)變量的分布列期望與方差含解析新人教版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第七講離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差A(yù)組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，任意抽取2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球號(hào)碼之和為X，則X的所有可能取值個(gè)數(shù)為(C)A．25 B．10C．7 D．6〖〖解析〗〗X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.2．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)x的取值范圍是〖1,2)時(shí)，F(xiàn)(x)＝(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)〖〖解析〗〗∵a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，∴a＝eq\f(1,2).∵x∈〖1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．(2021·江西贛州模擬)一袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)為1,2,3,4,5，在袋中同時(shí)取出3球，以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為(C)A．Ξ123Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)B．ξ1234Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(2,5)C．ξ123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)D.ξ123Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)〖〖解析〗〗隨機(jī)變量ξ的可能取值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).故選C．4．(2021·孝感模擬)已知袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，其中取出1個(gè)白球計(jì)1分，取出1個(gè)紅球計(jì)2分，記X為取出3個(gè)球的總分值，則E(X)＝(B)A．eq\f(18,5) B．eq\f(21,5)C．4 D．eq\f(24,5)〖〖解析〗〗由題意知，X的所有可能取值為3,4,5，且P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以E(X)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,5)＋5×eq\f(3,10)＝eq\f(21,5).5．(2020·廣東深圳二模)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為a，方差為b，則2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均數(shù)和方差分別為(D)A．2a,2b B．2a,4bC．2a＋3,2b D．2a＋3,4b6．(2020·柯城區(qū)模擬)已知某7個(gè)數(shù)的期望為6，方差為4，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)6，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的期望為記為E(X)，方差記為D(X)，則(B)A．E(X)＝6，D(X)>4 B．E(X)＝6，D(X)<4C．E(X)<6，D(X)>4 D．E(X)<6，D(X)<4〖〖解析〗〗E(X)＝eq\f(1,8)(7×6＋6)＝6，D(X)＝eq\f(1,8)〖7×4＋(6－6)2〗＝eq\f(7,2)<4.故選B.7．(2021·山東濰坊模擬)已知甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車(chē)床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，X表示甲車(chē)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙車(chē)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)考察一段時(shí)間，X，Y的分布列分別是X0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2據(jù)此判定(A)A．甲比乙質(zhì)量好 B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無(wú)法判定〖〖解析〗〗E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙質(zhì)量好．8．(2021·貴州遵義聯(lián)考)2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3＋1＋2”模式即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門(mén)，然后在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門(mén)，一名同學(xué)隨機(jī)選擇3門(mén)功課，則該同學(xué)選到歷史、地理兩門(mén)功課的概率為(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,2)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,4)，故選A.二、多選題9．(2021·福建福州質(zhì)檢)一盒中有8個(gè)乒乓球，其中6個(gè)未使用過(guò)，2個(gè)已使用過(guò)．現(xiàn)從盒子中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后再裝回盒中．記盒中已使用過(guò)的球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是(ACD)A．X的所有可能取值是3,4,5B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率為eq\f(3,28)D．X的數(shù)學(xué)期望是eq\f(17,4)〖〖解析〗〗記未使用過(guò)的乒乓球?yàn)锳，已使用過(guò)的為B，任取3個(gè)球的所有可能是：1A2B,2A1B,3A；A使用后成為B，故X的所有可能取值是3,4,5；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)，∴X最有可能的取值是4，E(X)＝3×eq\f(3,28)＋4×eq\f(30,56)＋5×eq\f(20,56)＝eq\f(17,4).故選ACD.10．(2021·決勝高考名校交流卷)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，E(ξ)，D(ξ)分別為隨機(jī)變量ξ的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是(ABC)A．P(0<ξ<3.5)＝eq\f(5,6) B．E(3ξ＋1)＝7C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6〖〖解析〗〗由分布列的性質(zhì)可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝eq\f(a,2)＋eq\f(a,3)＋eq\f(a,6)＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,6)，A選項(xiàng)正確；E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＝2，所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，B選項(xiàng)正確；D(ξ)＝eq\f(1,2)×(1－2)2＋eq\f(1,3)×(2－2)2＋eq\f(1,6)×(5－2)2＝2，所以D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)不正確．故選ABC．三、填空題11．(2021·吉林質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為ξ012Peq\f(p,3)eq\f(p,3)1－eq\f(2,3)p則ξ的數(shù)學(xué)期望的最小值是eq\f(1,2).〖〖解析〗〗E(ξ)＝0×eq\f(p,3)＋1×eq\f(p,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2p,3)))＝2－p，又∵1>eq\f(p,3)≥0,1≥1－eq\f(2,3)p≥0，∴0≤p≤eq\f(3,2).∴當(dāng)p＝eq\f(3,2)時(shí)，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).12．(2021·南寧二模改編)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則P(|X－3|＝1)＝eq\f(5,12).〖〖解析〗〗∵eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，∴m＝eq\f(1,4)，∴P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).13．(2021·泉州模擬)在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，寫(xiě)出這兩次取出白球數(shù)η的分布列為.〖〖解析〗〗Η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)14.袋中裝有3個(gè)紅球2個(gè)白球，從中隨機(jī)取球，每次一個(gè)，直到取得紅球?yàn)橹?，則取球次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為eq\f(3,2).〖〖解析〗〗由題意得ξ的所有可能值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,10)，∴E(ξ)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).四、解答題15．(2019·湖北模擬)隨著網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷(xiāo)和電子商務(wù)的興起，人們的購(gòu)物方式更具多樣化．某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購(gòu)物者進(jìn)行采訪，5名男性購(gòu)物者中有3名傾向于網(wǎng)購(gòu)，2名傾向于實(shí)體店購(gòu)物，5名女性購(gòu)物者中有2名傾向于網(wǎng)購(gòu)，3名傾向于實(shí)體店購(gòu)物．(1)若從這10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名傾向于實(shí)體店購(gòu)物的概率；(2)若從這10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于網(wǎng)購(gòu)的男性購(gòu)物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．〖〖解析〗〗(1)設(shè)“隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名傾向于實(shí)體店購(gòu)物”為事件A，則eq\x\to(A)表示“隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，都傾向于網(wǎng)購(gòu)”，則P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(C\o\al(1,3)×C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)×C\o\al(1,5))＝eq\f(19,25).(2)X所有可能的取值為0,1,2,3，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，則P(X＝0)＝eq\f(7,24)，P(X＝1)＝eq\f(21,40)，P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(X＝3)＝eq\f(1,120).所以X的分布列為X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)E(X)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).16．(2020·重慶巴蜀中學(xué)月考)為慶祝新中國(guó)成立七十周年，巴蜀中學(xué)將舉行“歌唱祖國(guó)，喜迎國(guó)慶”歌詠比賽活動(dòng)，《歌唱祖國(guó)》《精忠報(bào)國(guó)》《我和我的祖國(guó)》等一系列歌曲深受同學(xué)們的青睞，高二某班就是否選擇《精忠報(bào)國(guó)》作為本班參賽歌曲進(jìn)行投票表決，投票情況如下表.小組12345678贊成人數(shù)45665643總?cè)藬?shù)77887766(1)若從第1組和第8組的同學(xué)中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，求所選取的4人中至少有2人贊成《精忠報(bào)國(guó)》作為本班參賽曲目的概率；(2)若從第五組和第七組的同學(xué)中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查，選取的4人中不贊成《精忠報(bào)國(guó)》作為本班參賽曲目的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．〖〖解析〗〗(1)P1＝1－eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(27,35).(2)各小組人員情況：小組12345678贊成人數(shù)45665643不贊成人數(shù)32222123總?cè)藬?shù)77887766X的可能取值為0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,4),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(2,2)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(32,105)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(2,35)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,315)，隨機(jī)變量X的分布列為X01234Peq\f(4,21)eq\f(4,9)eq\f(32,105)eq\f(2,35)eq\f(1,315)E(X)＝0＋eq\f(4,9)＋2×eq\f(32,105)＋3×eq\f(2,35)＋4×eq\f(1,315)＝eq\f(26,21).B組能力提升1．(2021·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”聯(lián)考)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,4，m，n出現(xiàn)的頻率分別為0.1,0.1,0.4,0.4，且樣本平均值為2.5，則m＋n＝(A)A．5 B．6C．7 D．8〖〖解析〗〗由題意知0.1×1＋0.1×4＋0.4m＋0.4n＝2.5，可得m＋n＝5.2．(2021·西安質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率為(B)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)〖〖解析〗〗由題意知a，b，c∈〖0,1〗，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故對(duì)于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).3．(2021·廣西柳州模擬)下圖為四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，則對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的是(D)〖〖解析〗〗由圖可知D中數(shù)據(jù)最離散，故選D.4．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X－10123P0.20.10.10.3m則|X－1|的分布列為.〖〖解析〗〗∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，|X－1|的取值為0,1,2，P(|X－1|＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.4，P(|X－1|＝2)＝P(X＝－1)＋P(X＝3)＝0.5，∴|X－1|的分布列為|X－1|012P0.10.40.55.(2020·湖北隨州調(diào)研)某大學(xué)為了調(diào)查該校學(xué)生性別與身高的關(guān)系，對(duì)該校1000名學(xué)生按照101的比例進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到身高頻數(shù)分布表如下：男生身高頻數(shù)分布表男生身高(單位：厘米)〖160，165)〖165，170)〖170，175)〖175，180)〖180，185)〖185，190〗頻數(shù)710191842女生身高頻數(shù)分布表女生身高(單位：厘米)〖150，155)〖155，160)〖160，165)〖165，170)〖170，175)〖175，180〗頻數(shù)31015633(1)估計(jì)這1000名學(xué)生中女生的人數(shù)；(2)估計(jì)這1000名學(xué)生中身高在〖170,190〗的概率；(3)在樣本中，從身高在〖170,180〗的女生中任取3名女生進(jìn)行調(diào)查，設(shè)X表示所選3名學(xué)生中身高在〖170,175)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．〖〖解析〗〗(1)樣本中男生為60名，女生為40名，估計(jì)這1000名學(xué)生中女生的人數(shù)大約是1000×eq\f(40,40＋60)＝400(名)．(2)由題表知樣本中身高在〖170,190〗的人數(shù)為19＋18＋4＋2＋3＋3＝49，樣本容量是100.∴樣本中身高在〖170,190〗的頻率為eq\f(49,100)，∴估計(jì)這1000名學(xué)生中身高在〖170,190〗的概率為0.49.(3)依題意，X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，∴X的分布列為X0123Peq\f(1,20)eq\f(9,20)eq\f(9,20)eq\f(1,20)∴E(X)＝0×eq\f(1,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(1,20)＝eq\f(3,2).第七講離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差A(yù)組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，任意抽取2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球號(hào)碼之和為X，則X的所有可能取值個(gè)數(shù)為(C)A．25 B．10C．7 D．6〖〖解析〗〗X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.2．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)x的取值范圍是〖1,2)時(shí)，F(xiàn)(x)＝(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)〖〖解析〗〗∵a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，∴a＝eq\f(1,2).∵x∈〖1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．(2021·江西贛州模擬)一袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)為1,2,3,4,5，在袋中同時(shí)取出3球，以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為(C)A．Ξ123Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)B．ξ1234Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(2,5)C．ξ123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)D.ξ123Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)〖〖解析〗〗隨機(jī)變量ξ的可能取值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).故選C．4．(2021·孝感模擬)已知袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，其中取出1個(gè)白球計(jì)1分，取出1個(gè)紅球計(jì)2分，記X為取出3個(gè)球的總分值，則E(X)＝(B)A．eq\f(18,5) B．eq\f(21,5)C．4 D．eq\f(24,5)〖〖解析〗〗由題意知，X的所有可能取值為3,4,5，且P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以E(X)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,5)＋5×eq\f(3,10)＝eq\f(21,5).5．(2020·廣東深圳二模)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為a，方差為b，則2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均數(shù)和方差分別為(D)A．2a,2b B．2a,4bC．2a＋3,2b D．2a＋3,4b6．(2020·柯城區(qū)模擬)已知某7個(gè)數(shù)的期望為6，方差為4，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)6，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的期望為記為E(X)，方差記為D(X)，則(B)A．E(X)＝6，D(X)>4 B．E(X)＝6，D(X)<4C．E(X)<6，D(X)>4 D．E(X)<6，D(X)<4〖〖解析〗〗E(X)＝eq\f(1,8)(7×6＋6)＝6，D(X)＝eq\f(1,8)〖7×4＋(6－6)2〗＝eq\f(7,2)<4.故選B.7．(2021·山東濰坊模擬)已知甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車(chē)床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，X表示甲車(chē)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙車(chē)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)考察一段時(shí)間，X，Y的分布列分別是X0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2據(jù)此判定(A)A．甲比乙質(zhì)量好 B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無(wú)法判定〖〖解析〗〗E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙質(zhì)量好．8．(2021·貴州遵義聯(lián)考)2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3＋1＋2”模式即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門(mén)，然后在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門(mén)，一名同學(xué)隨機(jī)選擇3門(mén)功課，則該同學(xué)選到歷史、地理兩門(mén)功課的概率為(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,2)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,4)，故選A.二、多選題9．(2021·福建福州質(zhì)檢)一盒中有8個(gè)乒乓球，其中6個(gè)未使用過(guò)，2個(gè)已使用過(guò)．現(xiàn)從盒子中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后再裝回盒中．記盒中已使用過(guò)的球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是(ACD)A．X的所有可能取值是3,4,5B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率為eq\f(3,28)D．X的數(shù)學(xué)期望是eq\f(17,4)〖〖解析〗〗記未使用過(guò)的乒乓球?yàn)锳，已使用過(guò)的為B，任取3個(gè)球的所有可能是：1A2B,2A1B,3A；A使用后成為B，故X的所有可能取值是3,4,5；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)，∴X最有可能的取值是4，E(X)＝3×eq\f(3,28)＋4×eq\f(30,56)＋5×eq\f(20,56)＝eq\f(17,4).故選ACD.10．(2021·決勝高考名校交流卷)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，E(ξ)，D(ξ)分別為隨機(jī)變量ξ的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是(ABC)A．P(0<ξ<3.5)＝eq\f(5,6) B．E(3ξ＋1)＝7C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6〖〖解析〗〗由分布列的性質(zhì)可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝eq\f(a,2)＋eq\f(a,3)＋eq\f(a,6)＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,6)，A選項(xiàng)正確；E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＝2，所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，B選項(xiàng)正確；D(ξ)＝eq\f(1,2)×(1－2)2＋eq\f(1,3)×(2－2)2＋eq\f(1,6)×(5－2)2＝2，所以D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)不正確．故選ABC．三、填空題11．(2021·吉林質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為ξ012Peq\f(p,3)eq\f(p,3)1－eq\f(2,3)p則ξ的數(shù)學(xué)期望的最小值是eq\f(1,2).〖〖解析〗〗E(ξ)＝0×eq\f(p,3)＋1×eq\f(p,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2p,3)))＝2－p，又∵1>eq\f(p,3)≥0,1≥1－eq\f(2,3)p≥0，∴0≤p≤eq\f(3,2).∴當(dāng)p＝eq\f(3,2)時(shí)，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).12．(2021·南寧二模改編)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則P(|X－3|＝1)＝eq\f(5,12).〖〖解析〗〗∵eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，∴m＝eq\f(1,4)，∴P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).13．(2021·泉州模擬)在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，寫(xiě)出這兩次取出白球數(shù)η的分布列為.〖〖解析〗〗Η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)14.袋中裝有3個(gè)紅球2個(gè)白球，從中隨機(jī)取球，每次一個(gè)，直到取得紅球?yàn)橹梗瑒t取球次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為eq\f(3,2).〖〖解析〗〗由題意得ξ的所有可能值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,10)，∴E(ξ)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).四、解答題15．(2019·湖北模擬)隨著網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷(xiāo)和電子商務(wù)的興起，人們的購(gòu)物方式更具多樣化．某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購(gòu)物者進(jìn)行采訪，5名男性購(gòu)物者中有3名傾向于網(wǎng)購(gòu)，2名傾向于實(shí)體店購(gòu)物，5名女性購(gòu)物者中有2名傾向于網(wǎng)購(gòu)，3名傾向于實(shí)體店購(gòu)物．(1)若從這10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名傾向于實(shí)體店購(gòu)物的概率；(2)若從這10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于網(wǎng)購(gòu)的男性購(gòu)物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．〖〖解析〗〗(1)設(shè)“隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名傾向于實(shí)體店購(gòu)物”為事件A，則eq\x\to(A)表示“隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，都傾向于網(wǎng)購(gòu)”，則P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(C\o\al(1,3)×C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)×C\o\al(1,5))＝eq\f(19,25).(2)X所有可能的取值為0,1,2,3，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，則P(X＝0)＝eq\f(7,24)，P(X＝1)＝eq\f(21,40)，P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(X＝3)＝eq\f(1,120).所以X的分布列為X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)E(X)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).16．(2020·重慶巴蜀中學(xué)月考)為慶祝新中國(guó)成立七十周年，巴蜀中學(xué)將舉行“歌唱祖國(guó)，喜迎國(guó)慶”歌詠比賽活動(dòng)，《歌唱祖國(guó)》《精忠報(bào)國(guó)》《我和我的祖國(guó)》等一系列歌曲深受同學(xué)們的青睞，高二某班就是否選擇《精忠報(bào)國(guó)》作為本班參賽歌曲進(jìn)行投票表決，投票情況如下表.小組12345678贊成人數(shù)45665643總?cè)藬?shù)77887766(1)若從第1組和第8組的同學(xué)中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，求所選取的4人中至少有2人贊成《精忠報(bào)國(guó)》作為本班參賽曲目的概率；(2)若從第五組和第七組的同學(xué)中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查，選取的4人中不贊成《精忠報(bào)國(guó)》作為本班參賽曲目的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．〖〖解析〗〗(1)P1＝1－eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(27,35).(2)各小組人員情況：小組12345678贊成人數(shù)45665643不贊成人數(shù)32222123總?cè)藬?shù)77887766X的可能取值為0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,4),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(2,2)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(32,105)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(2,35)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,315)，隨機(jī)變量X的分布列為X01234Peq\f(4,21)eq\f(4,9)eq\f(32,105)eq\f(2,35)eq\f(1,315)E(X)＝0＋eq\f(4,9)＋2×eq\f(32,105)＋3×eq\f(2,35)＋4×eq\f(1,315)＝eq\f(26,21).B組能力提升1．(2021·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”聯(lián)考)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,4，m，n出現(xiàn)的頻率分別為0.1,0.1,0.4,0.4，且樣本平均值為2.5，則m＋n＝(A)A．5 B．6C．7 D．8〖〖解析〗〗由題意知0.1×1＋0.1×4＋0.4m＋0.4n＝2.5，可得m＋n＝5.2．(2021·西安質(zhì)檢)已知