高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案53第八章解析幾何第五講橢圓含解析新人教版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第五講橢圓A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2020·北京師大附中模擬)△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－4,0)，B(4,0)，它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是(D)A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)〖〖解析〗〗∵|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，所以定點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即2a＝10，c＝4，∴b2＝9，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．選D.2．(2021·廣東六校聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為4eq\r(3)，則C的方程為(A)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1〖〖解析〗〗由題意及橢圓的定義知4a＝4eq\r(3)，則a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，選A.3．(2021·新高考八省聯(lián)考)橢圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的焦點(diǎn)為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，則m＝(C)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2〖〖解析〗〗在橢圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)中，a＝eq\r(m2＋1)，b＝m，c＝eq\r(a2－b2)＝1，如下圖所示：因?yàn)闄E圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的上頂點(diǎn)為點(diǎn)A，焦點(diǎn)為F1、F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a，∵∠F1AF2＝eq\f(π,3)，∴△F1AF2為等邊三角形，則|AF1|＝|F1F2|，即eq\r(m2＋1)＝a＝2c＝2，因此，m＝eq\r(3).故選C．4．(2021·青島月考)已知A1，A2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，若直線PA1，PA2的斜率的乘積為－eq\f(4,9)，則橢圓C的離心率為(D)A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(\r(5),3)〖〖解析〗〗設(shè)P(x0，y0)，則eq\f(y0,x0＋a)×eq\f(y0,x0－a)＝－eq\f(4,9)，化簡(jiǎn)得eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),\f(4a2,9))＝1，則eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9)，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)，故選D.5．(2021·河北省衡水中學(xué)模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和直線l：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1，若過C的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線與l平行，則橢圓C的離心率為(A)A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,5)〖〖解析〗〗直線l的斜率為－eq\f(3,4)，過C的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線與l平行，所以eq\f(b,c)＝eq\f(3,4)，又b2＋c2＝a2?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c))2＋c2＝a2?eq\f(25,16)c2＝a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，故選A.6．(2021·江西景德鎮(zhèn)一中月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上下頂點(diǎn)分別為A，B，右頂點(diǎn)為C，右焦點(diǎn)為F，延長(zhǎng)BF與AC交于點(diǎn)P，若O，F(xiàn)，P，A四點(diǎn)共圓，則該橢圓的離心率為(C)A．eq\f(\r(2)－1,2) B．eq\f(\r(3)－1,2)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)－\r(2),2)〖〖解析〗〗如圖，A(0，b)，B(0，－b)，C(a,0)，F(xiàn)(c,0)，因?yàn)镺，F(xiàn)，P，A四點(diǎn)共圓，∠AOC＝eq\f(π,2)，所以∠APF＝eq\f(π,2)，所以AC⊥BF，即kAC·kBF＝－1，eq\f(b－0,0－a)·eq\f(0－－b,c－0)＝－1，整理可得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)，因?yàn)?<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).故選：C．7．(2021·南昌二模)已知橢圓C：eq\f(y2,9)＋x2＝1，過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為(B)A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0〖〖解析〗〗設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(y\o\al(2,1),9)＋xeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(y\o\al(2,2),9)＋xeq\o\al(2,2)＝1，兩式相減得eq\f(y1－y2y1＋y2,9)＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又y1＋y2＝1，x1＋x2＝1，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－9，∴直線AB的方程為y－eq\f(1,2)＝－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即9x＋y－5＝0，故選B.8．(2021·廣東廣州、深圳調(diào)研)已知F是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，則橢圓E的離心率為(A)A．eq\f(\r(7),4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),2)〖〖解析〗〗設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F′，連接PF′，QF′，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形PFQF′為平行四邊形，則|QF|＝|PF′|，且由∠PFQ＝120°，可得∠FPF′＝60°，所以|PF|＋|PF′|＝4|PF′|＝2a，則|PF′|＝eq\f(1,2)a，|PF|＝eq\f(3,2)a，由余弦定理可得(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF||PF′|cos60°＝(|PF|＋|PF′|)2－3|PF||PF′|，即4c2＝4a2－eq\f(9,4)a2＝eq\f(7,4)a2，∴橢圓的離心率e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(7,16))＝eq\f(\r(7),4)，故選A.9．(2021·廣東汕頭模擬)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(1,2)，直線y＝kx與該橢圓交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B向x軸作垂線，若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則k等于(A)A．±eq\f(3,2) B．±eq\f(2,3)C．±eq\f(1,2) D．±2〖〖解析〗〗聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))?(b2＋a2k2)x2＝a2b2，則x＝±eq\f(ab,\r(b2＋a2k2))，由題意知eq\f(ab,\r(b2＋a2k2))＝c，①∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2c，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)c，代入①可得eq\f(12c4,3c2＋4c2k2)＝c2?k＝±eq\f(3,2).故選A.二、多選題10．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(AD)A．|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(2)B．離心率e＝eq\f(\r(6),2)C．△PF1F2面積的最大值為eq\r(2)D．以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－eq\r(2)＝0相切〖〖解析〗〗由橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1可知，a＝eq\r(2)，b＝1，c＝1，所以左、右焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，根據(jù)橢圓的定義|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，故A正確；離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故B錯(cuò)誤；所以△PF1F2面積的最大值為eq\f(1,2)×2c×b＝bc＝1，故C錯(cuò)誤；由原點(diǎn)(0,0)到直線x＋y－eq\r(2)＝0的距離d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1＝c，所以以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－eq\r(2)＝0相切，故D正確；故選：AD.11．(2021·山東濟(jì)寧期末)已知P是橢圓C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓D：(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,5)上的動(dòng)點(diǎn)，則(BC)A．C的焦距為eq\r(5) B．C的離心率為eq\f(\r(30),6)C．圓D在C的內(nèi)部 D．|PQ|的最小值為eq\f(2\r(5),5)〖〖解析〗〗依題意可得c＝eq\r(6－1)＝eq\r(5)，則C的焦距為2eq\r(5)，e＝eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(30),6).設(shè)P(x，y)(－eq\r(6)≤x≤eq\r(6))，則PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－eq\f(x2,6)＝eq\f(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(6,5)))2＋eq\f(4,5)≥eq\f(4,5)>eq\f(1,5)，所以圓D在C的內(nèi)部，且PQ的最小值為eq\r(\f(4,5))－eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5)，故選BC．12．如圖，橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，且橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)分別為a1和a2，半焦距分別為c1和c2，離心率分別為e1，e2，則下列結(jié)論正確的是(ABD)A．a(chǎn)1＋c1>2(a2＋c2) B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2C．a(chǎn)1c2>a2c1 D．e1＝eq\f(e2＋1,2)〖〖解析〗〗由橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，可得a2＋c2＝c1；因?yàn)閍1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，則a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正確；因?yàn)閍1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正確；因?yàn)閍1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝aeq\o\al(2,2)＋a2c2，則有a1c2－a2c1＝2a2c2－aeq\o\al(2,2)－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)閑1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(a2＋c2,2a2)＝eq\f(e2＋1,2)，所以D正確；故選ABD.三、填空題13．(2021·重慶一中、湖北鄂州期中)已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>3)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且滿足∠F1PF2＝120°，則|PF1|·|PF2|的值為36.〖〖解析〗〗由題意知4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4(a2－c2)＝4b2＝36.14．(2021·武漢質(zhì)檢)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，若—個(gè)橢圓通過A，B兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)C，另一個(gè)焦點(diǎn)在AB上，則這個(gè)橢圓的離心率為eq\r(6)－eq\r(3).〖〖解析〗〗設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為F，如圖所示，∵|AB|＝|AC|＝1，∴△ABC為等腰直角三角形．∴1＋1＋eq\r(2)＝4a，則a＝eq\f(2＋\r(2),4).∴|AF|＝2a－1＝eq\f(\r(2),2)，∴1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝4c2，∴c＝eq\f(\r(6),4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3).四、解答題15．(2021·江蘇質(zhì)檢)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，焦距為2eq\r(3).(1)求C的方程；(2)若斜率為－eq\f(1,2)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P，Q均在第一象限)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列．〖〖解析〗〗(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2c＝2\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝\r(3)，))又b2＝a2－c2＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)證明：設(shè)直線l的方程為y＝－eq\f(1,2)x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，則Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，故y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x1＋m))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋m))＝eq\f(1,4)x1x2－eq\f(1,2)m(x1＋x2)＋m2＝eq\f(m2－1,2)，kOPkOQ＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(\f(m2－1,2),2m2－1)＝eq\f(1,4)＝keq\o\al(2,PQ)，即直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列．16．(2021·安徽六校教育研究會(huì)聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4eq\r(2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)(1,0)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．〖〖解析〗〗(1)由題意易得，a＝2eq\r(2)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1))得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，所以由Δ>0，得m2<8k2＋4①由根與系數(shù)關(guān)系得x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2)，則y1＋y2＝eq\f(2m,1＋2k2)，所以線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,1＋2k2)，\f(m,1＋2k2))).又線段MN的垂直平分線l′的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)，由點(diǎn)P在直線l′上，得eq\f(m,1＋2k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,1＋2k2)－1))，所以m＝－eq\f(1＋2k2,k)②由①②得，k2>eq\f(1,2)，即k>eq\f(\r(2),2)或k<－eq\f(\r(2),2)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).B組能力提升1．(2021·安徽六校聯(lián)考)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，以F2為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點(diǎn)P，若直線PF1恰好與圓F2相切于點(diǎn)P，則橢圓的離心率為(A)A．eq\r(3)－1 B．eq\f(\r(3)＋1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(5)－1,2)〖〖解析〗〗由題意得：PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a－c，由勾股定理得：(2a－c)2＋c2＝4c2?e2＋2e－2＝0，解得：e＝eq\r(3)－1，故選A.2．(2021·廣東深圳統(tǒng)測(cè)，10)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1上，動(dòng)點(diǎn)N在以M為圓心，半徑長(zhǎng)為|MF1|的圓上，則|NF2|的最大值為(B)A．2 B．4C．8 D．16〖〖解析〗〗由橢圓的方程可得焦點(diǎn)在y軸上，a2＝4，所以a＝2，由題意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|，當(dāng)N，M，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值為4.故選B.3．(2021·江蘇南京金陵中學(xué)調(diào)研)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線l：4x－3y＝0與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝6，點(diǎn)P到直線l的距離不小于eq\f(6,5)，則橢圓離心率的取值范圍是(C)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))〖〖解析〗〗設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得|AF′|＝|BF|，|BF′|＝|AF|，所以|AF′|＋|AF|＝|BF|＋|AF|＝6＝2a，解得a＝3.因?yàn)辄c(diǎn)P到直線l的距離不小于eq\f(6,5)，所以eq\f(3b,\r(42＋－32))≥eq\f(6,5)，解得b≥2.又b＜a，所以2≤b＜3，故eq\f(2,3)≤eq\f(b,a)＜1.所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3))).4．(2020·甘肅診斷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，且經(jīng)過點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2))).(1)求橢圓C的方程；(2)與x軸不垂直的直線l經(jīng)過N(0，eq\r(2))，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，求直線l斜率的取值范圍．〖〖解析〗〗(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,a2)＋\f(1,4b2)＝1,a2＝b2＋c2，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)))解得a＝2，b＝1，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋eq\r(2)，代入橢圓方程eq\f(x2,4)＋y2＝1整理可得(1＋4k2)x2＋8eq\r(2)kx＋4＝0，Δ＝(8eq\r(2)k)2－16(1＋4k2)>0，解得k>eq\f(1,2)或k<－eq\f(1,2)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，又x1＋x2＝－eq\f(8\r(2)k,1＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4,1＋4k2)，∴y1y2＝k2x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2，∵坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))<0，∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2＝(1＋k2)eq\f(4,1＋4k2)＋eq\r(2)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8\r(2)k,1＋4k2)))＋2<0，解得k<－eq\f(\r(6),2)或k>eq\f(\r(6),2).故直線l斜率的取值范圍為(－∞，－eq\f(\r(6),2))∪(eq\f(\r(6),2)，＋∞)．5．(2021·湖南省六校聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，四點(diǎn)P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，P3(0，－eq\r(3))，P4(1,1)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)直線l：y＝kx＋m(m>0)與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與x軸和y軸分別交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△MON面積取最小值時(shí)，求此時(shí)直線l的方程．〖〖解析〗〗(1)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，必過P1，P2.必不過P4，代入點(diǎn)P3得，b2＝3，代入點(diǎn)P1得，a2＝4.∴橢圓C的方程為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1,y＝kx＋m))，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k2＋3))x2＋8kmx＋4m2－12＝0.直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，可知Δ＝64k2m2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k2＋3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4m2－12))＝0，整理得m2＝4k2＋3.由條件可得k≠0，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,k)，0))，N(0，m)，∴S△MON＝eq\f(1,2)|OM|·|ON|＝eq\f(1,2)|m|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,k)))＝eq\f(m2,2|k|)，∵m2＝4k2＋3，∴S△MON＝eq\f(4k2＋3,2|k|)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4|k|＋\f(3,|k|))).∵|k|>0，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4|k|＋\f(3,|k|)))≥2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)4|k|＝eq\f(3,|k|)，即|k|＝eq\f(\r(3),2)，k＝±eq\f(\r(3),2)時(shí)等號(hào)成立，S△MON的最小值為2eq\r(3)，∵m2＝4k2＋3，∴m2＝6，又m>0，解得m＝eq\r(6).故此時(shí)直線l的方程為y＝eq\f(\r(3),2)x＋eq\r(6)或y＝－eq\f(\r(3),2)x＋eq\r(6).第五講橢圓A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2020·北京師大附中模擬)△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－4,0)，B(4,0)，它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是(D)A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)〖〖解析〗〗∵|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，所以定點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即2a＝10，c＝4，∴b2＝9，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．選D.2．(2021·廣東六校聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為4eq\r(3)，則C的方程為(A)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1〖〖解析〗〗由題意及橢圓的定義知4a＝4eq\r(3)，則a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，選A.3．(2021·新高考八省聯(lián)考)橢圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的焦點(diǎn)為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，則m＝(C)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2〖〖解析〗〗在橢圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)中，a＝eq\r(m2＋1)，b＝m，c＝eq\r(a2－b2)＝1，如下圖所示：因?yàn)闄E圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的上頂點(diǎn)為點(diǎn)A，焦點(diǎn)為F1、F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a，∵∠F1AF2＝eq\f(π,3)，∴△F1AF2為等邊三角形，則|AF1|＝|F1F2|，即eq\r(m2＋1)＝a＝2c＝2，因此，m＝eq\r(3).故選C．4．(2021·青島月考)已知A1，A2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，若直線PA1，PA2的斜率的乘積為－eq\f(4,9)，則橢圓C的離心率為(D)A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(\r(5),3)〖〖解析〗〗設(shè)P(x0，y0)，則eq\f(y0,x0＋a)×eq\f(y0,x0－a)＝－eq\f(4,9)，化簡(jiǎn)得eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),\f(4a2,9))＝1，則eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9)，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)，故選D.5．(2021·河北省衡水中學(xué)模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和直線l：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1，若過C的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線與l平行，則橢圓C的離心率為(A)A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,5)〖〖解析〗〗直線l的斜率為－eq\f(3,4)，過C的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線與l平行，所以eq\f(b,c)＝eq\f(3,4)，又b2＋c2＝a2?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c))2＋c2＝a2?eq\f(25,16)c2＝a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，故選A.6．(2021·江西景德鎮(zhèn)一中月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上下頂點(diǎn)分別為A，B，右頂點(diǎn)為C，右焦點(diǎn)為F，延長(zhǎng)BF與AC交于點(diǎn)P，若O，F(xiàn)，P，A四點(diǎn)共圓，則該橢圓的離心率為(C)A．eq\f(\r(2)－1,2) B．eq\f(\r(3)－1,2)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)－\r(2),2)〖〖解析〗〗如圖，A(0，b)，B(0，－b)，C(a,0)，F(xiàn)(c,0)，因?yàn)镺，F(xiàn)，P，A四點(diǎn)共圓，∠AOC＝eq\f(π,2)，所以∠APF＝eq\f(π,2)，所以AC⊥BF，即kAC·kBF＝－1，eq\f(b－0,0－a)·eq\f(0－－b,c－0)＝－1，整理可得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)，因?yàn)?<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).故選：C．7．(2021·南昌二模)已知橢圓C：eq\f(y2,9)＋x2＝1，過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為(B)A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0〖〖解析〗〗設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(y\o\al(2,1),9)＋xeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(y\o\al(2,2),9)＋xeq\o\al(2,2)＝1，兩式相減得eq\f(y1－y2y1＋y2,9)＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又y1＋y2＝1，x1＋x2＝1，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－9，∴直線AB的方程為y－eq\f(1,2)＝－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即9x＋y－5＝0，故選B.8．(2021·廣東廣州、深圳調(diào)研)已知F是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，則橢圓E的離心率為(A)A．eq\f(\r(7),4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),2)〖〖解析〗〗設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F′，連接PF′，QF′，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形PFQF′為平行四邊形，則|QF|＝|PF′|，且由∠PFQ＝120°，可得∠FPF′＝60°，所以|PF|＋|PF′|＝4|PF′|＝2a，則|PF′|＝eq\f(1,2)a，|PF|＝eq\f(3,2)a，由余弦定理可得(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF||PF′|cos60°＝(|PF|＋|PF′|)2－3|PF||PF′|，即4c2＝4a2－eq\f(9,4)a2＝eq\f(7,4)a2，∴橢圓的離心率e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(7,16))＝eq\f(\r(7),4)，故選A.9．(2021·廣東汕頭模擬)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(1,2)，直線y＝kx與該橢圓交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B向x軸作垂線，若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則k等于(A)A．±eq\f(3,2) B．±eq\f(2,3)C．±eq\f(1,2) D．±2〖〖解析〗〗聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))?(b2＋a2k2)x2＝a2b2，則x＝±eq\f(ab,\r(b2＋a2k2))，由題意知eq\f(ab,\r(b2＋a2k2))＝c，①∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2c，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)c，代入①可得eq\f(12c4,3c2＋4c2k2)＝c2?k＝±eq\f(3,2).故選A.二、多選題10．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(AD)A．|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(2)B．離心率e＝eq\f(\r(6),2)C．△PF1F2面積的最大值為eq\r(2)D．以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－eq\r(2)＝0相切〖〖解析〗〗由橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1可知，a＝eq\r(2)，b＝1，c＝1，所以左、右焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，根據(jù)橢圓的定義|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，故A正確；離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故B錯(cuò)誤；所以△PF1F2面積的最大值為eq\f(1,2)×2c×b＝bc＝1，故C錯(cuò)誤；由原點(diǎn)(0,0)到直線x＋y－eq\r(2)＝0的距離d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1＝c，所以以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－eq\r(2)＝0相切，故D正確；故選：AD.11．(2021·山東濟(jì)寧期末)已知P是橢圓C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓D：(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,5)上的動(dòng)點(diǎn)，則(BC)A．C的焦距為eq\r(5) B．C的離心率為eq\f(\r(30),6)C．圓D在C的內(nèi)部 D．|PQ|的最小值為eq\f(2\r(5),5)〖〖解析〗〗依題意可得c＝eq\r(6－1)＝eq\r(5)，則C的焦距為2eq\r(5)，e＝eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(30),6).設(shè)P(x，y)(－eq\r(6)≤x≤eq\r(6))，則PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－eq\f(x2,6)＝eq\f(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(6,5)))2＋eq\f(4,5)≥eq\f(4,5)>eq\f(1,5)，所以圓D在C的內(nèi)部，且PQ的最小值為eq\r(\f(4,5))－eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5)，故選BC．12．如圖，橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，且橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)分別為a1和a2，半焦距分別為c1和c2，離心率分別為e1，e2，則下列結(jié)論正確的是(ABD)A．a(chǎn)1＋c1>2(a2＋c2) B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2C．a(chǎn)1c2>a2c1 D．e1＝eq\f(e2＋1,2)〖〖解析〗〗由橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，可得a2＋c2＝c1；因?yàn)閍1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，則a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正確；因?yàn)閍1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正確；因?yàn)閍1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝aeq\o\al(2,2)＋a2c2，則有a1c2－a2c1＝2a2c2－aeq\o\al(2,2)－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)閑1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(a2＋c2,2a2)＝eq\f(e2＋1,2)，所以D正確；故選ABD.三、填空題13．(2021·重慶一中、湖北鄂州期中)已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>3)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且滿足∠F1PF2＝120°，則|PF1|·|PF2|的值為36.〖〖解析〗〗由題意知4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4(a2－c2)＝4b2＝36.14．(2021·武漢質(zhì)檢)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，若—個(gè)橢圓通過A，B兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)C，另一個(gè)焦點(diǎn)在AB上，則這個(gè)橢圓的離心率為eq\r(6)－eq\r(3).〖〖解析〗〗設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為F，如圖所示，∵|AB|＝|AC|＝1，∴△ABC為等腰直角三角形．∴1＋1＋eq\r(2)＝4a，則a＝eq\f(2＋\r(2),4).∴|AF|＝2a－1＝eq\f(\r(2),2)，∴1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝4c2，∴c＝eq\f(\r(6),4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3).四、解答題15．(2021·江蘇質(zhì)檢)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，焦距為2eq\r(3).(1)求C的方程；(2)若斜率為－eq\f(1,2)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P，Q均在第一象限)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列．〖〖解析〗〗(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2c＝2\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝\r(3)，))又b2＝a2－c2＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)證明：設(shè)直線l的方程為y＝－eq\f(1,2)x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，則Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，故y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x1＋m))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋m))＝eq\f(1,4)x1x2－eq\f(1,2)m(x1＋x2)＋m2＝eq\f(m2－1,2)，kOPkOQ＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(\f(m2－1,2),2m2－1)＝eq\f(1,4)＝keq\o\al(2,PQ)，即直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列．16．(2021·安徽六校教育研究會(huì)聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4eq\r(2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)(1,0)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．〖〖解析〗〗(1)由題意易得，a＝2eq\r(2)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1))得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，所以由Δ>0，得m2<8k2＋4①由根與系數(shù)關(guān)系得x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2)，則y1＋y2＝eq\f(2m,1＋2k2)，所以線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,1＋2k2)，\f(m,1＋2k2))).又線段MN的垂直平分線l′的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)，由點(diǎn)P在直線l′上，得eq\f(m,1＋2k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,1＋2k2)－1))，所以m＝－eq\f(1＋2k2,k)②由①②得，k2>eq\f(1,2)，即k>eq\f(\r(2),2)或k<－eq\f(\r(2),2)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).B組能力提升1．(2021·安徽六校聯(lián)考)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，以F2為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點(diǎn)P，若直線PF1恰好與圓F2相切于點(diǎn)P，則橢圓的離心率為(A)A．eq\r(3)－1 B．eq\f(\r(3)＋1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(5)－1,2)〖〖解析〗〗由題意得：PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a－c，由勾股定理得：(2a－c)2＋c2＝4c2?e2＋2e－2＝0，解得：e＝eq\r(3)－1，故選A.2．(2021·廣東深圳統(tǒng)測(cè)，10)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1上，動(dòng)點(diǎn)N在以M為圓心，半徑長(zhǎng)為|MF1|的圓上，則|NF2|的最大值為(B)A．2 B．4C．8 D．16〖〖解析〗〗由橢圓的方程可得焦點(diǎn)在y軸上，a2＝4，所以a＝2，由題意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|，當(dāng)N，M，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值為4.故選B.3．(2021·江蘇南京金陵中學(xué)調(diào)研)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線l：4x－3y＝0與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝6，點(diǎn)P到直線l的距離不小于eq\f(6,5)，則橢圓離心率的取值范圍是(C)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))〖〖解析〗〗設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得|AF′|＝|BF|，|BF′|＝|AF|，所以|AF′|＋|AF|＝|BF|＋|AF|＝6＝2a，解得a＝3.因?yàn)辄c(diǎn)P到直線l的距離不小于eq\f(6,5)，所以eq\f(3b,\r(42＋－32))≥eq\f(6,5)，解得b≥2.又b