2019-2020學年北京市高二學業(yè)水平考試數(shù)學試題（解析）

2019-2020學年北京市高二學業(yè)水平考試數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，那么集合等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的并集運算求解即可.【詳解】故選：D2．函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式，即可得出其定義域.【詳解】要使得有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域是故選：C3．如果指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象經(jīng)過點，那么的值是（）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】將點代入函數(shù)解析式，即可得出的值.【詳解】由題意可知，解得或（舍）故選：B4．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由三角函數(shù)圖象平移的規(guī)律即可得解.【詳解】若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式是.故選：A.5．在平行四邊形中，等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由向量加法的平行四邊形法則即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，故選：A.6．在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義計算．【詳解】由已知，所以．故選：C．7．已知向量，，且，那么實數(shù)的值是（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由向量平行的坐標表示計算．【詳解】由題意，解得．故選：A．8．已知直線，，且，那么實數(shù)的值是（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由直線垂直斜率乘積為解方程可得答案．【詳解】因為直線，，且，所以，．故選：A【點睛】方法點晴：斜率存在的兩直線：垂直的充要條件是斜率乘積為，平行的充要條件是斜率相等且縱截距不等．9．如圖，正方體的棱，，，所在的直線中，與直線成異面直線的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】C【分析】由異面直線的概念，逐項判斷即可得解.【詳解】由題意，直線、、均與直線相交，由異面直線的概念可得直線與直線成異面直線.故選：C.10．計算的結(jié)果是（）A．6 B．7 C．8 D．10【答案】A【分析】由指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】故選：A11．在慶祝中華人民共和國成立周年之際，某學校為了解《我和我的祖國》?《我愛你，中國》?《今天是你的生日》等經(jīng)典愛國歌曲的普及程度，在學生中開展問卷調(diào)查.該校共有高中學生人，其中高一年級學生人，高二年級學生人，高三年級學生人.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從高中學生中抽取一個容量為的樣本，那么應(yīng)抽取高一年級學生的人數(shù)為（）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】D【分析】直接根據(jù)分層抽樣的概念可得結(jié)果.【詳解】由分層抽樣方法可得：應(yīng)抽取高一年級學生的人數(shù)為，故選：D.12．計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】故選：D13．某同學打算編織一條毛線圍巾送給媽媽，決定從媽媽喜歡的白色?黃色和紫色中隨機選擇兩種顏色的毛線編織，那么這條圍巾是由白色?紫色兩種顏色的毛線編織的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過列舉法求出所有基本情況數(shù)及滿足要求的基本情況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】由題意，該同學選擇的兩種顏色的基本情況有：（白，黃），（白，紫），（黃，紫），共3種情況；其中滿足要求的基本情況有1種；故所求概率.故選：B.14．計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由余弦的差角公式，運算即可得解.【詳解】由題意，.故選：B.15．經(jīng)過點，且斜率為2的直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由直線的點斜式方程可得結(jié)果.【詳解】由于直線經(jīng)過點，且斜率為2，故其直線方程為，化簡得，故選：B.16．已知向量，滿足，，與夾角為，那么等于（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義計算．【詳解】．故選：C．17．如圖，在三棱柱中，底面，，，那么三棱錐的體積是（）A． B． C．4 D．8【答案】A【分析】椎體的體積公式，因此要找到三棱錐的高和底面，由題知為高，底面為直角三角形，代入公式計算即可.【詳解】底面為三棱錐的高為底面故選：A.18．已知中，，，，那么等于（）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【分析】由正弦定理運算即可得解.【詳解】由正弦定理可得，所以.故選：B.19．函數(shù)的零點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理確定零點個數(shù)．【詳解】由已知函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，又，，∴函數(shù)在上有一個零點，也是定義域內(nèi)唯一個零點，故選：B．20．已知兩條直線，和平面，那么下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】A【分析】根據(jù)線面、線線間的位置關(guān)系判斷各選項．【詳解】若，，由線面垂直的性質(zhì)定理得，A正確；若，，可能相交，可能平行，也可能異面，B錯；若，，則或，C錯；若，，則或，D錯．故選：A．21．如圖，給出了偶函數(shù)的部分圖象，那么等于（）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】由圖可得的值，結(jié)合奇偶性可得結(jié)果.【詳解】由圖象可得，由于為偶函數(shù)，所以，故選：D.22．圓的圓心到直線的距離是（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由點到直線的距離公式計算．【詳解】已知圓圓心是，所求距離為．故選：B．23．已知直線經(jīng)過，兩點，那么直線的傾斜角的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】首先根據(jù)直線上的兩點計算斜率，再根據(jù)，求傾斜角.【詳解】根據(jù)斜率公式可知，即，，.故選：C24．圓與圓的公共點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)圓心距和半徑和，以及半徑差比較大小，判斷兩圓的位置關(guān)系，求得兩圓公共點的個數(shù).【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，圓心距，，兩圓相交，兩圓的公共點的個數(shù)是2個.故選：C【點睛】方法點睛：判斷兩圓的位置關(guān)系如下：設(shè)兩圓的圓心分別為，，半徑為和，，當時，兩圓相外離，沒有交點，當時，兩圓相外切，有一個交點，當時，兩圓相交，有兩個交點，當時，兩圓相內(nèi)切，有一個交點，當，此時兩圓內(nèi)含，沒有交點.25．已知函數(shù)如果，那么實數(shù)的值是（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】對進行分類討論，即可得出的值.【詳解】當時，，不滿足條件當時，，故選：C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)已知函數(shù)值求自變量，關(guān)鍵是對進行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.26．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸，則對稱軸與已知區(qū)間的關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】的對稱軸是，由題意，故選：A．27．年以前，北京市先后組織實施了多個階段的大氣污染防治行動，針對燃煤?工業(yè)?揚塵排放和機動車排放等采取了數(shù)百項治理措施.2008年北京市首次探索區(qū)域聯(lián)防聯(lián)控，取得了良好效果.2013年北京市制定實施以防治細顆粒物為重點的《2013-2017年清潔空氣行動計劃》，治理成效顯著.上圖是2000年至2018年可吸入顆粒物?細顆粒物?二氧化氮?二氧化硫等主要污染物年日均值的折線圖.根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論中正確的是（）A．2013年到2018年，空氣中可吸入顆粒物的年日均值逐年下降B．2013年到2018年，空氣中細顆粒物的年日均值逐年下降C．2000年到2018年，空氣中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米D．2000年到2018年，空氣中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年【答案】B【分析】觀察折線圖，確定數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，判斷各選項．【詳解】2014年空氣中可吸入顆粒物年日均值比2013年多，A錯；2013年到2018年，空氣中細顆粒物的年日均值逐年下降，B正確；2007年（含2007年）之前空氣中二氧化氮的年日均值都高于40微克/立方米，C錯；2000年到2018年，空氣中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年，D錯．故選：B．二、解答題28．某同學解答一道三角函數(shù)題：“已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.”該同學解答過程如下：解答：（1）因為，所以.所以.所以函數(shù)的最小正周期是.（2）因為，所以.所以當時，函數(shù)的最大值是1.所以當時，函數(shù)的最大值是2.寫出該同學在解答過程中用到了下表中的哪些數(shù)學知識.(寫出5個即可)任意角的概念任意角的正弦?余弦?正切的定義弧度制的概念，的正弦?余弦?正切的誘導(dǎo)公式弧度與角度的互化函數(shù)，，的圖象三角函數(shù)的周期性正弦函數(shù)?余弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式正切函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)兩角差的余弦公式函數(shù)的實際意義兩角差的正弦?正切公式兩角和的正弦?余弦?正切公式二倍角的正弦?余弦?正切公式參數(shù)，，對函數(shù)圖象變化的影響【答案】答案見解析【分析】結(jié)合該同學的解答過程，逐步分析即可得解.【詳解】由題意，該同學在解答過程中用到的數(shù)學知識有：任意角的正弦?余弦?正切的定義；兩角和的正弦?余弦?正切公式；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)?余弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)；參數(shù)，，對函數(shù)圖象變化的影響.29．已知圓的圓心坐標為，且與軸相切，直線與圓交于，兩點，求.某同學的解答過程如下：解答：因為圓的圓心坐標為，且與軸相切，所以圓的半徑是2.所以圓的方程是.因為直線與圓交于，兩點，聯(lián)立方程組解得或不妨設(shè)，，所以（1）指出上述解答過程中的錯誤之處；（2）寫出正確的解答過程.【答案】（1）或不對；（2）答案見解析.【分析】寫出圓的方程，與直線方程聯(lián)立解方程組可得正確結(jié)論，題中解方程組出現(xiàn)錯誤．【詳解】（1）或不對.（2）因為圓的圓心坐標為，且與軸相切，所以圓的半徑是2.所以圓的方程是.因為直線與圓交于，兩點，聯(lián)立方程組解得或不妨設(shè)，，所以.【點睛】方法點睛：求直線與圓相交弦長有兩種方法：（1）代數(shù)法：求出直線與圓的兩個交點坐標，由兩點間距離公式計算；（2）幾何法：求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理（勾股定理）計算弦長．30．2019年1月11日下午，探月工程傳來捷報，嫦娥四號任務(wù)取得圓滿成功，在人類歷史上首次實現(xiàn)了航天器在月球背面軟著陸和巡視勘察，首次實現(xiàn)了月球背面與地球的測控通信，在月球背面留下了人類探月的第一行足跡，開啟了人類探索宇宙奧秘的新篇章.某同學為祖國的航天事業(yè)取得的成就感到無比自豪，同時對航天知識產(chǎn)生了濃厚的興趣.通過查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動阻力和地球引力等造成的影響時，單級火箭的最大速度(單位：千米/秒)滿足，其中(單位：千米/秒)表示它的發(fā)動機的噴射速度，(單位：噸)表示它裝載的燃料質(zhì)量，(單位：噸)表示它自身的質(zhì)量(不包括燃料質(zhì)量).（1）某單級火箭自身的質(zhì)量為50噸，發(fā)動機的噴射速度為3千米/秒.當它裝載100噸燃料時，求該單級火箭的最大速度；(精確到0.1)（2）根據(jù)現(xiàn)在的科學技術(shù)水平，通常單級火箭裝載的燃料質(zhì)量與它自身質(zhì)量的比值不超過9.如果某單級火箭的發(fā)動機的噴射速度為2千米/秒，判斷該單級火箭的最大速度能否超過7.9千米/秒，請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：無理數(shù)，)【答案】（1）3.3千米/秒；（2）該單級火箭的最大速度不能超過7.9千米/秒，理由見解析.【分析】（1）理解題意，直接代值，求；（2）由條件可知，，代入后可得，再利用放縮法，說明.【詳解】（1）依題意，，，，所以.所以該單級火箭的最大速度約為3.3千米/秒.（2）依題意，，，所以.所以.因為，所以.所以.所以該單級火箭的最大速度不能超過7.9千米/秒.三、填空題31．閱讀下面題目及其證明過程，并回答問題.如圖，在三棱錐中，底面，，，分別是棱，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：.解答：（1）證明：在中，因為，分別是，的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）證明：在三棱錐中，因為底面，平面，所以______.因為，且，所以______.因為平面，所以______.由（1）知，所以.問題1：在（1）的證明過程中，證明的思路是先證______，再證______.問題2：在（2）的證明過程中，設(shè)置了三個空格.請從下面給出的四個選項中，為每一個空格選擇一個正確的選項，以補全證明過程.①；②；③平面；④.【答案】問題1：直線與直線平行；直線與平面平行；問題2：；平面；.【分析】（1）利用線面平行的判斷定理，補全過程；（2）利用線線，線面的垂直關(guān)系補全條件.【詳解】（1）根據(jù)證明過程可知，利用的是