2020-2021學年新教材高中數(shù)學常考題型一課一練（含解析）新人教A版必修第一冊

?？碱}型專練

題型1集合的概念及運算問題

1.（2019?河北衡水中學調(diào)考）已知集合4={x|log2A<1},比{x|0〈Kc},若4U江氏則c的取值

范圍是（）。

A.（0,1]B.[0,+oo）

C.（0,2]D.[2,+8）

答案：D

解析：

A={x\log2Kl）={A-|0<x<2}?因為4U代氏所以AQ氏所以c》2,所以cC⑵+°°）,故選D。

【解題關鍵】本題考查集合之間的關系，由4U生8得到8是解題的關鍵。

2.（2019?安徽合肥二模）已知4=[1,+8）,廬{xeR|gaSxS2a—l},若4n作。，則實數(shù)a

的取值范圍是（）。

A.[1,+8）B.[1,1]

C.[1，+°°）D.（l,+8）

答案：A

（2d—1之1,

解析：因為4n房0,所以I）解得心1,故選A。

12a-1>-a,

【思路分析】依據(jù)妤。得出關于a的不等式組,進而得出實數(shù)a的取值范圍。

3.（2019?湖北武昌一模）設46是兩個非空集合,定義集合止后{x|xW/l，且超6}。若/={x

GN|0W廬5},爐{x|V-7處10〈0},則4-爐（）。

A.{0,1}B.{1,2}

C.{0,1,2}D.{0,1,2,5）

答案：D

解析:因為在{xCN|0WxW5}={0,1,2,3,4,5},生但f-7戶10<0}=5|2<京5},“后{了5€4且超所以

A-B={Q,1,2,51c故選D。

【解題關鍵】正確理解集合於6的定義是求解本題的關鍵。

4.（2019?江西九江七校聯(lián)考）設/是自然數(shù)集的一個非空子集，對于4G4如果如莊4且

4那么4是4的一個“酷元”，給定穿{xGN|片lg（36-V）},設，膽S,集合"中有兩個元素，

且這兩個元素都是"的“酷元”，那么這樣的集合"有（）。

A.3個B.4個C.5個D.6個

答案：C

解析:由36-*〉o可解得-6〈水6。又xdN,故x可取0,1,2,3,4,5,故我{0,1,2,3,4,5}。由題意可知:集合

必不能含有0,1,且不能同時含有2,4。故集合"可以是{2,3},{2,5},{3,5},{3故},{4,5可

題型2常用邏輯用語問題

5.（2019濟南模擬）已知a€R,設集合5={0,a},Z{xWZ|V<2},則“-1”是7'的（）。

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案：A

解析：7HxeZ|&2}={-l,0,l},當折1時，兵{0,1},所以5E7；所以“a=l"="隹7'；由隹7；得兵{0,1}

或{0,T},所以"/T=/"a=l”，所以“41”是“5ET'的充分不必要條件。

6.（2019?廣東深圳調(diào)考）命題“對任意xCR,都有f-2廣4<0”的否定為（）。

A.對任意xGR,都有f-2戶420

B.對任意A-ER,都有2A+4>0

C.存在xGR,使得X-2A+4>0

D.存在xGR,使得?-2T1-4<0

答案：C

解析：原命題的否定為:存在XGR,使得*-2戶4>0。故選C。

7.（2019?廣東七校聯(lián)考）'勺x>0,2'（『a）>l”這個命題的否定是（）。

A.Vx>0,2、（『a）>lB.Vx>0,2'（六a）<l

C.V啟0,2"（方a）WlD.VA<0,2'（『a）>l

答案：B

解析：存在量詞命題的否定,是將原命題中的存在量詞改為全稱量詞，并否定結(jié)論,故選B。

8.（2017?浙江學考）設實數(shù)a,6滿足|a|>|引，則“十。>0”是“a+2>0”的（）。

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：C

解析：因為|a|>|",引力0,所以a>0且a〉±&所以卅6>0。所以“4萬0”是“a+Z）〉0”的充分條件。因為

a|>|A|,a+A>0,所以a>0且a>±b,所以a~b〉0。所以“a-?0”是“a+b>0”的必要條件。故“a-6〉0”是“廣6>0”

的充要條件。

9.（2019嚀夏六盤山高級中學期中）對VxGR,若［切表示不超過x的最大整數(shù),則“-1<『八1"

是“［不=［力”的（）。

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：B

解析：取尸0.5,尸1.2,-1C升水1,但不滿足“［x］=3",故u-l<x-y<l"不能推出"㈤=3".反之，若

“卜］=3"，貝卜1〈尸內(nèi)，故a-l<ry<r是“㈤=3”的必要不充分條件。故選及

10.（2019合肥高三二檢）命題：o：Va>0,關于x的方程f+a廣1=0有實數(shù)解，則p為（）。

A.3a<0,關于x的方程x+ax+l=0有實數(shù)解

B.3a<0,關于x的方程f+a戶1=0沒有實數(shù)解

C.3a20,關于x的方程A^l=0沒有實數(shù)解

D.3a20,關于x的方程f+aA+l=0有實數(shù)解

答案：C

解析：根據(jù)全稱量詞命題的否定可知，p為ma20,關于x的方程y+ax+l=0沒有實數(shù)解，選C。

11.（武漢大學自主招生）某珠寶店失竊，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘審，四人的口供如下：

甲：作案的是丙；

乙：丁是作案者；

丙:如果我作案，那么丁是主犯；

丁:作案的不是我。

如果四人口供中只有一個是假的，那么以下判斷正確的是（）。

A.說假話的是甲，作案的是乙

B.說假話的是丁，作案的是丙和丁

C.說假話的是乙，作案的是丙

D.說假話的是丙，作案的是丙

答案：B

解析：先看選項A,若A是正確的，則由于甲說的是假話,故作案的不是丙；乙說的是真話,故丁是作案者,但

丁說的是真話,故作案的不是丁，產(chǎn)生矛盾，故選項A不正確。

再看選項B,甲、乙、丙說的都是真話,故丙、丁作案，且丁是主犯，當然丁講的是假話，故選項B正確。

同理可知選項C,D均不正確。

12.(復旦大學自主招生)運動會上，甲、乙、丙三名同學各獲得一枚獎牌，其中1人得金牌、1

人得銀牌、1人得銅牌。王老師曾猜測“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得銅牌”，結(jié)果王老

師只猜對了一人，那么甲、乙、丙分別獲得、、牌。

答案：銅金銀

解析：先假設王老師猜對的是“甲得金牌”，則由于“乙不得金牌”是錯的，故乙也得金牌，產(chǎn)生矛盾。再

假設“乙不得金牌”是對的，則由于“甲得金牌”是錯誤的，故甲也不得金牌，只有丙得金牌，而由于“丙不

得銅牌”是錯誤的，故丙得銅牌，產(chǎn)生矛盾。故猜對的是“丙不得銅牌”，此時甲、乙、丙分別得銅、金、銀

牌。

13.(2019?河北大名期末)命題“可以被5整除的整數(shù)末位是0”的否定是

答案：存在可以被5整除的整數(shù)末位不是0

解析：命題省略了全稱量詞“任何一個”，命題的否定為:存在可以被5整除的整數(shù)末位不是0。

題型3—元二次函數(shù)、方程與不等式問題

14.(2019?陜西西安八校聯(lián)考)若a〈沃0,則下列不等式不能成立的是()。

A.-^>1B.1>!

a-baab

C.|a|>|Z)|I).a>t)

答案：A

解析：取’-2,反7,則氏〉;不成立。

15.(2019?吉林通化期末)不等式組｛女”；：：：13的解集是()。

A.(2,3)B.(1,1)U(2,3)

C.(-8,|)u(3,+8)D.(-8,1)u(2,+8)

答案：B

解析：,”-4m3<0,.,.1<底3。

XV2?-7x+6>0,工*2)(2『3)〉0,

水方或x>2,

...原不等式組的解集為(1[)U(2,3)。

16.(2019?山東臨沂期末)已知不等式X-2A-3<0的解集為A,不等式尸6〈0的解集為B,

不等式V+a產(chǎn)伙0的解集為4n氏則等于()。

A.-3B.1C.-lD.3

答案：A

解析:由題意得，走田｛x|-3〈水2｝,廬｛x[T<x<2｝,由根與系數(shù)的關系可得，a=-l,b=-2,

則m■房-3。

17.(2019?江西上饒模擬)當x>0時,若不等式x+ax+l^Q恒成立,則a的最小值為()。

A.-2B.-3C.-1D.4

答案：A

解析：當4=aJ4W0,即-2WaW2時,不等式Z+SA+1>0對任意x>0恒成立，當4=4-4>0時,有A0）=l>0,

a2—4>0

Q/'解得02,所以使不等式0a產(chǎn)120對任意x>0恒成立的實數(shù)a的最

{-2<0n#

小值是-2。

18.（2019?山東濰坊期末）若正數(shù)為6滿足工+白1,上+言的最小值為（）。

aba—bb—1

A.1B.6C,9D.16

答案：B

解析：??,正數(shù)a"滿足工+：=1,

ao

；.a>l,且核1,步=1變形為警4,

/.ab=a+b,:.ab-a-g。、

(a-l)(/rl)=l,.,.a-l=ri7,

?六+S+9g)》2拈?9("1)=6,

當且僅當占=931），即年l±g時取"=”，由于a>l,故取4

???占言的最小值為6。故選瓦

19.（2019?江西南昌模擬）已知正數(shù)滿足*+2尸孑0,則x+2y的最小值為（）.

A.8B.4C.2I）.0

答案：A

解析：由H2尸燈=0,得;+卜，又x>0,力0。；.戶2廠（戶2尸）X（：+j）咚+1+424+4=8。當且僅當?號時，等

號成立。

20.（2019?四川資陽一診）已知A力0,則會+/與汛的大小關系是。

答案.±+A>l+l

2

解析：/*++立法塔=（四.（圻孫生導。

??％+力0,（行。）220,

.（a+b）（a-b）2^^

??一而一亍0。

?,*修引。

21.（2019?江蘇丹陽模擬）已知實數(shù)滿足-4忘尸_}<-1,-1<4『><5,則9尸3曠的取值范

圍是。

答案：[-6,9]

解析：設9『3尸a（尸力+6（4尸”二（K4Z?）x（K6）y,

力：：￥=9,解得{：=；,

（a+b=3,3=2,

/.9廠3片(廠y)+2(4廠y),

???-2W2(4rDW10,

又一4W『y^T,.,?-6W9『3y^9。

22.(2019?江蘇常州模擬)若關于x的不等式ax>b的解集為(-8,)則關于*的不等式

ax^bx-^a>Q的解集為。

答案：(-1,1)

解析：由已知ax>b的解集為(…，1),可知a〈0,且衿將不等式a^bx-^a>0兩邊同除以a,得/+%"(),

即解得T<K1,故不等式a^bx-^aX)的解集為(-12)。

23.(2019?山東臨沂期末)北京、張家口2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布

會,某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估。該商品原來每

件售價為25元,年銷售8萬件。

(1)據(jù)市場調(diào)查,若價格每提高1元,銷售量將相應減少2000件,要使銷售的總收入不低于原

收入,該商品每件定價最多為多少元？

答案：設每件定價為t元，依題意得(8-^x02)025X8,

整理得『-65f+1000^0,解得25WtW40。

所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價最多為40元。

(2)為了抓住申奧契機,擴大該商品的影響力，提高年銷售量。公司決定立即對該商品進行全

面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元。公司擬投入家f-600)萬元作為技改費用，

投入50萬元作為固定宣傳費用,投入,萬元作為浮動宣傳費用。試問:當該商品改革后的銷售

量a至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求

出此時商品的每件定價。

答案：依題意得當力25時，不等式ax.25X8+50+*p-600)+9有解，

等價于當，>25時，注有解。

由于產(chǎn)+與2J產(chǎn)?鏟10,當且僅當呼帝即尸30時等號成立，

所以a>10.2.

故當該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之

和，此時該商品的每件定價為30元。

題型4函數(shù)的概念及其表示問題

24.(2018?廣東深圳一模)函數(shù).尸耳逵的定義域為()。

Inx

A.(-2,1)B.[-2,1]

C.(0,1)D.(0,1]

答案：C

(—x2—x+2>0,

解析：由題意得上>0,解得0<水1,故選Co

llnx*0,

【思路分析】根據(jù)二次根式、分式、對數(shù)式有意義的條件得到關于x的不等式組，解出即可。

25.(2018?安徽銅陵一模)若函數(shù)f(x)圖像上任意一點P(x,y)皆滿足則f(x)的解析

式可以是()。

f{x)=x^--

A.XB.f(x)=e*T

C.f(x)=x+：D.f(x)=tanx

答案：C

解析：A.當x=l時，f(x)=lT=0,0。/不成立,B.當x=~\時，f(x)=：T6(-1,0),Q—1)三(T廠不成立,D.

當年早時，f(x)=L『》得)不成立,對于C,/(%)=/+if+8>x,符合題意,故選C?

【思路分析】利用特殊值檢驗法排除錯誤選項。

【方法總結(jié)】對于任意性結(jié)論,要說明其是錯誤的,只需舉出一個反例即可。

26.(2018?山西名校聯(lián)考)設函數(shù)f(x)=lg(-x),則函數(shù)/的定義域為()。

A.(-9,+8)B.(-9,1)

C.[-9,+8)I).[-9,1)

答案：B

解析：/'[f(x)]=/[lg(l-x)]=lg[lTg(l-x)],則{；>0=-9〈冢1。故選B。

27.(2018?合肥模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足fOHhZHx),若當OWxWl

時,f(x)=x(l-x),則當-1WW0時,/(*)=o

答案：-齊(了+1)

解析：當TWxWO時,0WA+1W1,因為/(x)=1fG+D=|(A+l)(1-『1)=-1才(戶1)。

28.(2018?廣東七校聯(lián)考)已知f(2*)=戶3,若f(a)=5,則a=。

答案：4

解析：設3=21,則f(a)=f(2')=戶3=5。所以x=2,所以a=2z=4?

29.(2018?福建廈門一模)已知函數(shù)/■(x)=F；二2砌"+3。,，<1,的值域為則實數(shù)&的取

3\x>1

值范圍是。

答案：隹)

解析：當xMl時，f(x)=2z2l。因為函數(shù)f(x)=[￡；2a)；+3a,x<l,的值域為&所以當X1

時，(l-2a)盧3a必須取遍(…，i)內(nèi)的所有實數(shù)，則解得0Wa4。

【解題關鍵】對于分段函數(shù)，取各段值域的并集即得整個分段函數(shù)的值域。確定出水1時，f(x)必須取遍(-

8,1)內(nèi)所有實數(shù)是解題的關鍵。

題型5函數(shù)的基本性質(zhì)問題

30.(2018?江西南城一中、高安中學等9校3月聯(lián)考)已知R上的奇函數(shù)f(x)滿足:當x〉0

時，f(x)=v+『i,則/iy(T)]=()?

A.-lB.1C.2D.-2

答案：A

解析：/'[/,(-i)]=/[-/'(i)]=/-(-i)=-/'(l)=-l,故選A。

31.(2018?河南許昌二模)已知函數(shù)〃X)=2吁|：產(chǎn)+2的最大值為也最小值為m,則mm等于

2|x|+l

()。

A.0B.2C.4D.8

答案：C

解析：f(x)=2.(2：+D+*3=2+^_,設g(x)=Y-,則g(-x)=-g(x)(xeR),所以g(x)為奇函數(shù)，所以

2x+12x+12x+1

g(x)由x+g(x)Min=0。因為始/(彳)m=2+式刀)川，〃-F(X),in=2+g(X)min,所以拙■〃尸2+g(>)皿+2+/入)min=4,故選Co

【方法指導】化簡得f(*)=2+Y-,設gC0=Y-，分析出式X)為奇函數(shù)，問題迎刃而解。

2*+12x+1

32.(2018?山東濟寧3月模擬)若函數(shù)<2'(a>°且a#l)在R上單調(diào)

遞減,則實數(shù)a的取值范圍是。

答案：91)

解析：因為函數(shù)f(*)=[,(a-1)V^2a，X<2,(a>0且a片1)在R上單調(diào)遞減，則

UOga^,%N/

[a-l<0,

ovav1,=竽《1,即實數(shù)a的取值范圍是看l)o

,loga2W(a—1)x2-2a

【解后反思】分段函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減時,每段函數(shù)都要遞減,同時要注意分界點處函數(shù)值的處理

33.(2019?吉林長春質(zhì)檢)已知定義在R上的偶函數(shù)fU)在[0,+8)上單調(diào)遞增，且/0)=0,

則不等式AX-2)》0的解集是。

答案：(…,1]U[3,+8)

解析：由已知可得I尸2|則尸2E或尸2WT,解得或啟1,所以所求解集是(-8,1]u[3,+~)。

題型6二次函數(shù)和暴函數(shù)問題

34.(2019,西安月考)函數(shù)尸V的圖像是()。

圖1

答案：C

解析：顯然-f(x)=f(-x),說明函數(shù)是奇函數(shù)。同時當0〈水1時,N〈x;當x>l時,y>x。知只有C選項符合。

35.(2019?廣東汕頭一模)命題“af-2a廣3>0恒成立”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是

()。

A.a<0或a23B.aWO或a23

C.a<0或a>3D.0<a<3

答案：A

解析：若2a戶3>0恒成立，則才0或匕>，八可得0Wa〈3,故當命題“ay-2a廣3>0恒成立”

是假命題時，尿0或@23。

36.(2019?廣東珠海一模)若只。曲22-1,則函數(shù)尸的最小值為()。

A.-4B.-3C.-1D.0

答案：A

解析：xlog522T=log52*21og51=2'2",令t=2x,則有y=^-21-3=(1)>0,當i=l,即A=0時,取得

最小值-4。故選Ao

37.(2019,皖南4月模擬)已知函數(shù)/'(x)=V+2產(chǎn)1,如果使f(x)<女x對任意實數(shù)(1,加都

成立的勿的最大值是5,則實數(shù)k=o

答案：y

解析：設g(x)=F(x)-止#+(2-4)才+1,由題意知g(x)W0對任意實數(shù)(1,加都成立的〃/的最大值是5,

所以尸5是方程g(x)=0的一個根,即g(5)=0,可以解得公羊(經(jīng)檢驗滿足題意)o

【思路分析】構造函數(shù)g(x)=f(x)-/uQA=5是方程g(x)=0的一個根=g(5)=0=解出心檢驗=下結(jié)論。

38.(2019?安徽合肥質(zhì)檢)關于x的不等式a?-|Kl|+3a》0的解集為(-8,+8),則實數(shù)a

的取值范圍是。

答案：段,+8)

解析：因為不等式aV-1/11+3a^0的解集為(-8,+8),所以-T廿11+3a川在R上恒成立,將參數(shù)a分

離得黑?，當x*T時，咨二——2^-----=------；~~析7,因為1戶1"』一半答》

"+3戶+3&+】)2-2伏+1)+…+i至一喘1卜+1…+11

I"擊子沁所以號=；2時0當A=-1時，器=0,所以&嘯，+8)。

1lx+l||x+ll

【方法總結(jié)】求解恒成立問題中的參數(shù)問題時,常用思路是分離參數(shù),這種思路是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最

值,其依據(jù)是:a>f(x)oa》f(x)w,aWf(x)oaWf(x),““(應用時注意f(x)的最大(小)值是否存在)。

題型7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)問題

39.(2019?河南南陽、信陽等六市一模)已知a,bG(0,1)U(1,+~),當%>0時，1<*/,則

()。

A.0<伙水1B.CKa〈伙1

C.KZKaD.l<a<b

答案：C

解析：因為當x〉0時，10所以。>1。因為當x〉0時,以兆所以當x>0時,(">1。所以以，所以a〉兒所

以1〈伙a,故選C。

232

40.(2019?山東德州一模)已知小(朋,只|)5,廣(丁,則()。

A.水灰。B.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

答案：D

解析：因為片(I)、為減函數(shù),所以伙c。又因為尸5在(0,+8)上為增函數(shù)，所以a>c,所以伙Ka,故選D。

41.(2019糊南月考)如圖2,四邊形勿應'是面積為8的平行四邊形與加交于點

￡某指數(shù)函數(shù)產(chǎn)a'(a〉0,且aWl)的圖像經(jīng)過點E,區(qū)則，(兀

圖2

A.V2B.V3

C.2D.3

答案：A

解析:設￡(t,a'),易知點3的坐標為(2t,2a')。因為8點在函數(shù)產(chǎn)a,的圖像上,所以2a所以a'=2(a'=0

舍去)。所以平行四邊形僅1W的面積=%，k>a'￡/=4￡。又平行四邊形如比1的面積為8,所以Z=2,所以a=V5。

故選Ao

42.(2019?河南平頂山一模)已知F(x)是定義在(0,+8)上的函數(shù)。對任意兩個不相等的正

數(shù)打也都有吟拎3>o,記土笫2,左等，c=曙,則()。

A.水灰。B.

C.c〈水bD.c^b^a

答案：B

解析：已知f(X)是定義在(0,+8)上的函數(shù),對任意兩個不相等的正數(shù)M,如都有這△巫3>0,故M-范

工1一42

與小人8)-*](黑)同號,則XL%與1/亞)一乙外工2)(即國_皿)同號所以函數(shù)儂是(0,+8)上的增函數(shù)。

X\X2\町“2/x

2222

因為1<3°-<2,0<0.3<1,logs5>2,所以0.3<3°<log25,所以伏水c。故選B.

43.(2019四川宜賓第一次診斷)已知函數(shù)f(力=尸4+言,xR(0,4),當爐a時,f(x)取得最小

值b,則函數(shù)g(x)=a*''的圖像為()。

圖3

答案：A

解析：因為xe(0,4),所以戶1>0,所以f(x)=<r-4+U7=A+l+3-522/士?(x+1)-5=1,當且僅當不=2時

x+1x+1

2X+I,x>-1,

取等號,此時函數(shù)Hx)有最小值io所以折2,爐1,所以g(x)=2E=1此函數(shù)的圖像可以看成

,X<-1/

2Xx>0

/I。-'c的圖像向左平移1個單位得到，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像可知A正確。故選A。

{（2），X<0

【思路分析】先根據(jù)基本不等式求出a"的值,再結(jié)合函數(shù)圖像的平移變換及指數(shù)函數(shù)的圖像可得正確選項。

題型8對數(shù)與對數(shù)函數(shù)問題

44.（2019?河南新鄉(xiāng)二模）設產(chǎn)6°\為logo.05,c=log04,則a",c的大小關系是（）。

A.水伙。B.c<Ka

C.c<a<bD.欣c〈a

答案：B

0l

解析：因為a=6>l,6=logo.,0.5e（0,1）,c=logs0.4<0,所以a>b>c.故選B?

45.（2019?湖南衡陽八中一模）F（x）叔］:"JR）則”（到=（晨

A.-2B.-3C.9D.-9

答案：C

解析：因為/（力=6）（“，°”所以/（*1竭=-2,所以“（劭”（-2）=（9"=9。故選（：。

（log3x（x>0）,

46.（2019河南焦作一模）若函數(shù)尸a"（a>0,且a￥l）的值域為{y\0g",則函數(shù)尸log”Ix|

的圖像大致是（）o

圖4

答案：A

解析：函數(shù)尸a*Q>0,且aWl）的值域為bdOVKl},則0<水1,由此可知片logjxl的圖像大致是A。

47.（2019?江西“紅色七校”二模）已知函數(shù)/'（x）=ln與，若/?島）+f（蒜）+…

+《需）=503（界》,則才+爐的最小值為（）。

A.6B.8C.91）.12

答案：B

解析：因為ra）+Ae-x）=ln^+ln^^-=lne2=2,WU,503（a+吩=《薪）+/?島）+…+《需）="

《虛）+《需M嘉）+《磊）+…+《磊）+《點）］泰（2X2012）=2012,所以>左4,所以一+心

誓尋=8,當且僅當爐岸2時取等號。所以46的最小值為8。

【方法指導】觀察等式《嬴）+（熊）+…+《磊）=503（a+6）,得該等式左邊對稱項自變量值的和為e,結(jié)

合f（x）+f（e-jd=11ne（e~x^=1ne;=2即可解決問題。

題型9函數(shù)的圖像及其應用問題

48.（2019?山西太原二模）函數(shù)/、（x）=41l的圖像大致為（）。

圖5

答案：D

解析：函數(shù)f(x)與等的定義域為(-8,i)u(l,+8),且圖像關于產(chǎn)1對稱，排除B,C。取特殊值，當產(chǎn)T

時，f(x)=21n*0,故選D。

49.(2019,河南平頂山二模)已知函數(shù)片a+sinbx(b>0且6#1)在［0,2n］上的圖像如圖6

所示，那么函數(shù)尸1。朋(『a)的圖像可能是()。

D

圖7

答案：C

解析：由題中圖像可得a>l,且最小正周期嚀<n,所以b>2,則產(chǎn)log”(六a)是增函數(shù),排除A和B;當產(chǎn)2

時,產(chǎn)lo&(2-a)〈0,排除D,故選C.

50.(2019?河南百校聯(lián)盟4月模擬)已知函數(shù)+三好巴)則方程

(/(%-l)+l,0<x<2,

5［尸f(x)］=l在12,2］上的根的個數(shù)為()。

A.3B.4C.5D.6

答案：D

解析：整理方程得f(x)=獷［。在同一直線坐標系中分別作出函數(shù)y=f{x),片x-2的圖像,如圖

所示,觀察可知，兩個函數(shù)的圖像在12,2］上有6個交點,故方程5［k/'(x)］=l在［-2,2］上有6個根。

(|log%LO<x<3,

51.(2019?內(nèi)蒙古包頭一模)已知函數(shù)/'(x)=；7Q；o。、。若存在實數(shù)滿足

f(a)=/(/?)=Ac)-fiem7cai,其中d>c>b>a>Q,則的取值范圍是()。

A.(21,25)B.(21,24)

C.(20,24)D.(20,25)

答案：B

解析：畫出F(x)的圖像，如圖所示。由圖像知0<水1,1〈伙3,則f(a)=|log3a|=-log3a,=Ilog3Z?|=log3^,

因為F(a)=f(0),所以Tog3a=log3。,所以ab=lQ又由圖像知,3<c<4,(Z>6,點(c,f(c))和點(dF(加)均在二次

22

函數(shù)片#卷戶8的圖像上,故有等二5,所以d=10-cf所以abcd=c(10-c)=-c+10c=-(c-5)+25,因為3<t?<4,

所以21<-(C-5)2+25<24,即21<a加水24。故選B。

A

bl

52.(2019?安徽黃山一模)如圖8所示的圖像可能是下列哪個函數(shù)的圖像()。

圖8

A.片2"一？一1

C.y=(x-2x)ex

D

答案：C

解析：A中，因為產(chǎn)2'-yT=2*-(*+i),當x趨向于-8時,2"的值趨向于0,y+1的值趨向于+8,所以當x趨

向于-8時，函數(shù)y=2-/-l的值趨向于-8,所以A中的函數(shù)不符合;B中，當0<K”時，函數(shù)啟萼>0,圖像

在x軸上方，與己知圖像不符,所以B中的函數(shù)不符合;D中，Y的定義域是(0,1)U(1,+8),所以D中函數(shù)

Inx

不符合。故選C。

題型10函數(shù)與方程問題

53.(2019軻南新鄉(xiāng)三模)若函數(shù)/'(x)=log2(_￥+a)與g(x)=f-31)尸4(a+5)存在相同的零點,

則a的值為()。

A.4或1B.4或-2

C.5或-2D.6或弓

答案：c

解析：g(x)=xJ(>l)『4(m"5)=(戶4)令g(x)=O,得產(chǎn)-4或x=a+5,則A-4)=1og2(-4+a)=0或

Aa+5)=log2(2^-5)=0,解得a=5或a=-2。

54.(2019?贛中南五校聯(lián)考)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=3*-x2有零點的區(qū)間是(兀

A.[0,1]B.[1,2]

C.[_2,_1]D.[_1,0]

答案：D

解析:因為f(0)=l,f(l)=2,所以/-(0)/1(1)>0?因為f⑵=5,f(l)=2,所以f(2)f(D>0。因為

f(-2)=i-4<o,A-D4-KO,所以A0)-K-1X0,易知[T,0]符合條件,故選I)。

55.(2019?湖北八校3月聯(lián)考)已知函數(shù)『(%)=1f°，則函數(shù)g(x)=f(l-x)-l的零點

[|lgx|,x>0,

個數(shù)為()。

A.1B.2C.3D.4

答案：C

l|lg(l-%)1-14-x>0[lg(l-x)|-l,x<1,

易知當x/l時，函數(shù)g(x)有1個零點，當時，函數(shù)有兩個零點，所以函數(shù)g(x)的零點共有3個，故選C。

(kx+3,x>0,

56.(2019?福建寧德一模)已知函數(shù)rU)=ziV若方程恰有三個實數(shù)

(G)"<0‘MX)]-2=0

根，則實數(shù)4的取值范圍是()o

A.[0,+?>)B.[1,3]

C(T，T以[-1,一1

答案：C

解析：因為/[f(x)]-2=0,所以/[f(x)]=2,f(x)=-l，或/"(x)=-*(%W0)。⑴當A=0時，作出f(*)的函數(shù)圖

像如圖①所示：由圖像可知f(x)=-l無解,所以公0不符合題意；(2)當k>0時，作出/Xx)的函數(shù)圖像如圖②

所示：由圖像可知r(x)=-l無解且f(x)=T無解,即/(Ax)]-2=0無解,不符合題意；(3)當人0時，作出f(x)

的函數(shù)圖像如圖③所示：

③

由圖像可知f(x)=T有1個實根,因為/tA^)1-2=0有3個實根,所以久加-皆2個實根,所以l<-i?3,解

得T<A'近

綜上,”的取值范圍是(-L-土故選C。

【思路分析】由f(/Xx))=2得出f(x)的值，進而討論★的符號，結(jié)合圖像求解。

|X-1|

57.(2019?湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)函數(shù)fU)=Q)+2coSnx(-4WZ6)的所有零點之和

為。

答案：10

解析：原問題可轉(zhuǎn)化為求尸G)”「與產(chǎn)-2cos“x的圖像在［-4,6］內(nèi)的交點的橫坐標的和,因為上述兩個

函數(shù)圖像均關于直線戶1對稱,所以直線產(chǎn)I兩側(cè)的交點關于直線產(chǎn)1對稱,那么兩對應交點的橫坐標的和

為2,分別畫出函數(shù)在［-4,6］上的圖像(圖略)，可知在直線下1兩側(cè)分別有5個交點，所以所求和為5X2=10。

58.(2019?豫南九校2月聯(lián)考)設函數(shù)f(x)=1S+f_3冶,若方程|f(x)［2+^"(x)|+l=o有12

個不同的實數(shù)根,則實數(shù)t的取值范圍為O

答案：(-1,-2)

解析：設產(chǎn)"(x)I,作出其圖像,可知只需關于y的二次方程V+t產(chǎn)1=0在區(qū)間(0,2)上有兩個不等的實數(shù)

根即可滿足題意。

易知只需產(chǎn)W〉。,且242計1>0,0<-1<2,解得te(-1,-2)?

【思路分析】設片II,畫圖像將條件轉(zhuǎn)化為At^l=0在區(qū)間(0,2)上有兩個不等的實數(shù)根,進而求解。

題型11函數(shù)模型及其應用

59.(2019?福建質(zhì)檢)當生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為

原來的一半,這個時間稱為“半衰期”。當死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一

時,用一般的放射性探測器就測不到了。若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一般的放射性探測器探

測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是()。

A.8B.9C.10D.11

答案：C

解析：設死亡生物體內(nèi)原有的碳14含量為1,則經(jīng)過HceN*)個“半衰期”后的含量為(3：由G)"〈嬴得

心10。所以,若探測不到碳14含量,則至少經(jīng)過了10個“半衰期”。故選C。

60.(2019?湖南衡陽、長郡中學等十三校聯(lián)考)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投

入。若該公司2010年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎上,每年投入的研發(fā)資金比上一

年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過400萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：1g1.12

、0.05,1g1.3=^0.11,1g2*0.30)()o

A.2018年B.2019年

C.2020年D.2021年

答案：C

解析：設從2010年起，過了年該公司全年投入的研發(fā)資金超過400萬元，則130X（l+12%）"=400,

則心2呼*%①8,由題意知取/7=10,則/2010=2020。故選C。

糖112

61.（2019?湖北武漢高三11月調(diào)研測試）某汽車銷售公司在48兩地銷售同一種品牌的車,

在A地的銷售利潤（單位:萬元）為M=4.1尸0.在6地的銷售利潤（單位:萬元）為％=2x,其

中x為銷售量（單位:輛），若該公司在兩地共銷售16輛這種品牌的車,則能獲得的最大利潤是

（）。

A.10.5萬元B.11萬元

C.43萬元I）.43.025萬元

答案：C

解析：依題意，設在A地銷售x輛汽車，則在夕地銷售（16-x）輛汽車。所以總利潤

j=4.U-0.1A2（16-X）=-0.1/+2.lx+32=-0.1（丫一為1/乂^^因為A-G[0,⑹且xWN,所以當年10

或11時,總利潤加=43萬元，選C。

62.（2018?安徽宿州質(zhì)檢）某產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x（臺）之間的函數(shù)關系是尸3

000+20A-0.lx（0<X240,,若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本時（銷售收入

不小于總成本）的最低產(chǎn)量是（）。

A.100臺B.120臺C.150臺D.180臺

答案：C

解析：設利潤為f（x）（萬元），則f（x）=25『（3000+20尸0.1V）=O.l/+5x-3000》0,解得x>150。則生產(chǎn)者

不虧本時的最低產(chǎn)量為150臺。

題型12三角函數(shù)的概念、誘導公式的應用

63.（2019?河南林州第一中學高二期末）已知sin管+a片那么cos。=（）。

A.-|B.-1C.iD.|

答案：D

解析：sin償+a）=sin（]+a卜cosa,.".cos

64.（2019?山東荷澤高三期中）已知a是銳角，且cos（a+J）q則sin（J-a）=。

答案：i

解析：sin（A力si唱-（?+9卜cos（a+與胃。

65.（2019?江西高安中學高二期末）已知左曬空竺+2±?JeZ）,則A的值構成的集合是

sinacosa

（）?

A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}

C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}

答案：C

解析：k為偶數(shù)時,i+上絲=2;4為奇數(shù)時,本-史經(jīng)-滔=-2,則A的值構成的集合為｛2,-2｝。

sinacosasinacosa

66.有兩個函數(shù)Ax)=asin(fcx+,g(x)=bcos(2/cx-=)(A>0),它們的周期之和為與，且

噌啕，《滬-乃昭)+1，求無獷的值。

答案：解：由題意知,浮，所以公2,

所以f(x)=asin(2x+g),g(x)=Acos(4x-三)。

9=bcoshn*),

由已知,得,

§=-Videos(n-§+1,

匕。=彳5+1,(b=2Q

所以k=2,號,b=~0

題型13三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

67.將函數(shù)片sin(廣0)的圖像“向左平移已個單位長度后得到圖像若/的一個對稱中心

為管,0),則。的一個可能取值是()。

答案：D

解析：圖像?對應的函數(shù)為尸sin(x+、+a),則"■0=4兀，〃￡Z,即0=4冗瑞，攵WZ。令A=l,得°塔,

故選Do

68.己知函數(shù)f(x)4sin(3戶0)(A>0,G>0,|何<與的圖像在y軸上的截距為1,在相鄰兩

最值點照/舊(照>0)處fU分別取得最大值2和最小值-2。若函數(shù)g(x)="(x)+b的最大值

和最小值分別為6和2,則|a\^b的值為()。

A.5B.6C.7D.8

答案：A

解析：由題意知，月=2,H+|)-所鵬即等3,?，?公音,U)=2sin管％+0)。又:函數(shù)f(x)的圖

像過點(0,1),，2sin(P=loV0I<^,/.。三。

；?f(x)=2sin(gx+.),g(x)=af(x)+加2asin(gx+9)+4

a：1<.|川+左5。

69.在函數(shù)①尸cos12x|,②片|cosx|,③尸cos(2%+￡),@y=tan(2x-中，最小正周期為五

的所有函數(shù)為().

A.①②③B.①③④

C.②④D.①③

答案：A

解析:①產(chǎn)cos|2x|=cos2x,最小正周期為n;②由圖像知y=\cosxI的最小正周期為n;③尸cos(2x+￡)的

最小正周期六g=n;④尸tangx-：)的最小正周期寫.故選A。

70.(2019?江西師大附中高一期末)已知函數(shù)f(x)=-2sin(2淤0)(|川<"),若信初)是f(x)

的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則0的取值范圍是()。

A卜得得一卷可B.即湍可

C?信用D.［F,-即e，ir)

答案：C

解析：因為&祠是f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，所以(?)是片2sin(2戶。)的一個單調(diào)遞減區(qū)間。令2k

喈W2AZ2★迷,舊，解得"弊后"+臀kJ且kn+:汽,|”W打書,MZ.又因

為I⑸〈”，解得3W0W：,故選C。

71.(2019湖南長郡中學高一檢測)已知f(x)=sin(°產(chǎn)")(°>0),/00=/g)且f(x)在區(qū)間

管弓)上有最小值無最大值,則3=。

答案：?

解析：因為/(工)=/g),所以直線汽是函數(shù)f(x)=sin(wx+")(3>0)圖像的一條對稱軸。又因為f(x)

在區(qū)間(2,J上有最小值無最大值,所以.3+卻L解得3當

72.已知函數(shù)f(x)=V2asin(x—：)+a+6。

(1)當，1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

答案：當a=l時，f(x)=V5sin(x-*)+1+及

?尸sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為［2kii+