遼寧省沈陽市第一七〇中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-遼寧省沈陽市第一七〇中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是第一象限角，那么是（）A.第一象限角 B.其次象限角C.第一或其次象限角 D.第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】依據(jù)象限角寫出的取值范圍，探討即可知在第一或第三象限角【詳解】依題意得，則，當(dāng)時，是第一象限角當(dāng)時，是第三象限角【點睛】本題主要考查象限角，屬于基礎(chǔ)題．2.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故選A3.已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由已知條件求出扇形的半徑為，再結(jié)合弧長公式求解即可.【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，由弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2，可得，由弧長公式可得：這個圓心角所對的弧長是，故選：B.【點睛】本題考查了扇形的弧長公式，重點考查了運算實力，屬基礎(chǔ)題.4.若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形態(tài)肯定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】C【解析】【分析】依據(jù)2cosBsinA＝sinC，由兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解.【詳解】∵在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，∴2cosBsinA＝sinC＝sin（A+B），∴2cosBsinA＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝0，∴sin（A﹣B）＝0，，∴A﹣B＝0，即A＝B，∴△ABC為等腰三角形，故選：C．【點睛】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.5.假如，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別作出角的正弦線、余弦線和正切線，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線、余弦線、正切線，很簡單地視察出，即.故選C.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)線的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的正弦線、余弦線和正切線，合理作出圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知向量，，其中，，，則在方向上的投影為()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由向量的模的公式，化簡得，，求得，，再結(jié)合向量的投影的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，其中，，，可得……(1)……(2)聯(lián)立(1)(2)解得，，所以在方向上的投影為.故選：C.【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算，以及向量的投影的計算，其中解答中熟記向量的投影的概念，以及嫻熟應(yīng)用向量的數(shù)量積的運算公式，精確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)在區(qū)間（，）內(nèi)的圖象是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函數(shù)y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=分段畫出函數(shù)圖象如D圖示，故選D．8.對一切，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得的取值范圍，依據(jù)恒成立問題的求解策略，將原不等式轉(zhuǎn)化為，再解一元二次不等式求得的取值范圍.【詳解】解：對一切，恒成立，轉(zhuǎn)化為：的最大值，又知，的最大值為；所以，解得或.故選B.【點睛】本小題主要考查恒成立問題的求解策略，考查三角函數(shù)求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于其次象限，且則下列結(jié)論正確的是（）．A. B.的虛部為C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.【答案】AB【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的模長運算及在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于其次象限求出，再驗算每個選項得解.【詳解】解：，且，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于其次象限選項A:選項B:的虛部是選項C:的共軛復(fù)數(shù)為選項D:故選：AB．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及共軛復(fù)數(shù)，考查運算求解實力.求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧:復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實部、虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即的形式，再依據(jù)題意求解．10.設(shè)向量，，則下列敘述錯誤的是()A.若時，則與的夾角為鈍角B.的最小值為C.與共線的單位向量只有一個為D.若，則或【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)與的夾角為鈍角，得出且與不共線，求出的取值范圍，可推斷A選項的正誤；依據(jù)平面對量的模長公式結(jié)合二次函數(shù)的基本可推斷出B選項的正誤；依據(jù)與共線的單位向量為可推斷C選項的正誤；利用平面對量的模長公式可推斷出D選項的正誤.【詳解】對于A選項，若與的夾角為鈍角，則且與不共線，則，解得且，A選項中的命題正確；對于B選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，B選項中的命題正確；對于C選項，，與共線的單位向量為，即與共線的單位向量為或，C選項中的命題錯誤；對于D選項，，即，解得，D選項中的命題錯誤.故選：CD.【點睛】本題考查向量有關(guān)命題真假的推斷，涉及向量的夾角、模長以及單位向量等相關(guān)學(xué)問，考查推理實力，屬于中等題.11.在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是鈍角三角形C.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍 D.若，則外接圓半徑為【答案】ACD【解析】分析】由已知可設(shè)，求得，利用正弦定理可得A正確；利用余弦定理可得，三角形中的最大角為銳角，可得B錯誤；利用余弦定理可得，利用二倍角的余弦公式可得：，即可推斷C正確，利用正弦定理即可推斷D正確；問題得解.【詳解】因為所以可設(shè)：（其中），解得：所以，所以A正確；由上可知：邊最大，所以三角形中角最大，又，所以角為銳角，所以B錯誤；由上可知：邊最小，所以三角形中角最小，又，所以,所以由三角形中角最大且角為銳角可得：，所以，所以C正確；由正弦定理得：，又所以，解得：，所以D正確；故選ACD【點睛】本題主要考查了正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，還考查了二倍角的余弦公式及計算實力，考查方程思想及轉(zhuǎn)化實力，屬于中檔題．12.已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的值不行能是()A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】先化簡的解析式，作出的圖象，簡單得出的取值范圍，則可得答案.【詳解】.作出函數(shù)的圖象如圖所示,在一個周期內(nèi)考慮問題，易得或滿意題意，所以的值可能為區(qū)間內(nèi)的隨意實數(shù).所以A,B可能，C,D不行能.故選CD.【點睛】本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).解題的一般思路是先把解析式化成的形式，再結(jié)合圖象探討性質(zhì).第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分.共20分.13.求值：_________．【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角差的正弦公式進行化簡求值.【詳解】依題意原式.故答案為：【點睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，已知，，.若點C，D滿意，，則的值為_______________.【答案】【解析】【分析】以為基底向量表示，再由數(shù)量積的運算律、定義計算即可．【詳解】∵，∴D為OB的中點，從而，∴∵，，，∴∴.故答案為：．【點睛】本題考查平面對量的數(shù)量積，須要依據(jù)題意確定基底向量，再依據(jù)平面對量基本定理表示所求的向量數(shù)量積，進而依據(jù)數(shù)量積公式求解．屬于中檔題.15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.的面積，若，則角的值為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)面積公式得到和余弦定理得到，結(jié)合得到，化簡得到答案.【詳解】因為，又，所以所以，由余弦定理得所以由結(jié)合正弦定理，得所以，即，所以，因為，所以得，或（舍去），所以.故答案：【點睛】本題考查了面積公式，正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生對于三角公式的綜合應(yīng)用實力.16.函數(shù)的最大值為_________，全部零點之和為_________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)得，可得；（2）令，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為與的交點求解，作出兩個函數(shù)的圖象，依據(jù)圖象可求解.【詳解】（1），，又，，；（2）令，則即可轉(zhuǎn)化為，作出與，由圖知：交點關(guān)于直線對稱，設(shè)函數(shù)的零點為，，，則有，.故答案為：(1).(2).【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)零點問題的求解，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知（1）化簡（2）若是其次象限角,且,求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）依據(jù)誘導(dǎo)公式對進行化簡即可．（2）先由求得，再依據(jù)（1）的結(jié)論及同角三角函數(shù)關(guān)系式求解．試題解析：（1）．（2），，∵是其次象限角，∴，．18.求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡即可；（2）先切化弦，再利用兩角差的正弦公式化簡即可.【詳解】解：（1）原式；（2）原式【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，涉及了二倍角的正弦公式以及兩角差的正弦公式，屬于?？碱}.19.已知向量，.（1）求的值；（2）求向量與夾角余弦值.【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)平面對量的坐標(biāo)運算求模長即可；（2）依據(jù)平面對量的坐標(biāo)運算求夾角的余弦值．【詳解】（1）向量（1，1），（﹣3，4），則（4，﹣3），∴||5；（2）由（1）向量與夾角的余弦值為cos，．【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算與模長和夾角的計算問題，是基礎(chǔ)題．20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若角，，求的值.【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）利用降冪公式結(jié)合協(xié)助角公式進行三角恒等變換得到，由解得單調(diào)增區(qū)間；（2）依據(jù)，可得，由結(jié)合兩角和正弦公式即可得解.【詳解】（1）令解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）因為，所以故，又，即.【點睛】此題考查三角函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及三角恒等變換，求三角函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間，利用和差公式解決給值求值的問題，屬于中檔題.21.西北某省會城市安排新修一座城市運動公園，設(shè)計平面如圖所示：其為五邊形，其中三角形區(qū)域為球類活動場所；四邊形為文藝活動場所，，為運動小道（不考慮寬度），，千米.（1）求小道的長度；（2）求球類活動場所的面積最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接BD，在△BCD中由余弦定理得BD的值，在Rt△BDE中，求解BE即可；（2）設(shè)∠ABE＝α，在△ABE中，由正弦定理求解AB，AE，表示S△ABE，然后求解最大值．【詳解】如解圖所示，連接，（1）在三角形中，千米，，由余弦定理得：，所以∵，，∴∵，∴在中，（千米）∴小道的長度為千米；（2）如圖所示，設(shè)，∵，∴在三角形中，由正弦定理可得：，∴，，∴，，，∵，∴，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為.∴球類活動場所的面積最大值為平方千米.【點睛】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計算實力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．22.已知向量，函數(shù)，且圖象上一個最高點為與最近的一個最低點的坐標(biāo)為.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；(Ⅱ)設(shè)為常數(shù)，推斷方程在區(qū)間上的解的個數(shù)；（Ⅲ）在銳角中，若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】試題分析：（1）先依據(jù)向量數(shù)量積得，再依據(jù)配角公式得.（2）依據(jù)自變量范圍畫出函數(shù)圖像，依據(jù)正弦函數(shù)圖像確定交點個數(shù)（3）先依據(jù)條件求出銳角B，再依據(jù)銳角三角形確定角A范圍為，最終依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定的取值范圍.試題解析：