若干數(shù)學(xué)觀點(diǎn)中的數(shù)學(xué)文化

關(guān)于若干數(shù)學(xué)觀點(diǎn)中的數(shù)學(xué)文化12

一、我們身邊的對(duì)稱

人體雪花鼠標(biāo)第2頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月3數(shù)學(xué)公式中的對(duì)稱海倫公式其中

正弦定理對(duì)稱多項(xiàng)式第3頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月4對(duì)稱照鏡子夫妻

比賽循環(huán)賽足球

非對(duì)稱照哈哈鏡父子比賽淘汰制非對(duì)稱戰(zhàn)爭(zhēng)其它的一些例子第4頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月5阿拉伯建筑物的外墻

美國(guó)哈佛大學(xué)曾發(fā)表一份研究報(bào)告稱，伊斯蘭世界對(duì)數(shù)學(xué)有過(guò)重要貢獻(xiàn)。研究人員認(rèn)為，中世紀(jì)伊斯蘭世界的外墻磚設(shè)計(jì)圖案說(shuō)明它們的設(shè)計(jì)者掌握了西方世界500年后才掌握的數(shù)學(xué)概念。

第5頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月6文學(xué)中的對(duì)仗

上聯(lián)對(duì)下聯(lián)：明月-->清泉自然景物明--》清（形容詞）；月--》泉（名詞）明月松間照清泉石上流第6頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月7碳富勒烯第7頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月8作為多面體的足球

亞正多面體中的一種——足球多面體，它的側(cè)面由正五邊形和正六邊形組成。第8頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月9碳富勒烯介紹：

碳富勒烯，即籠狀的碳原子團(tuán)簇，是一類新的有機(jī)化學(xué)物種。由于它具有特殊的分子構(gòu)型以及量子尺寸效應(yīng)，因而表現(xiàn)出了異常高的化學(xué)活性、催化活性，以及奇特的導(dǎo)電性，在化工、光電材料等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。第9頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月101985，一位來(lái)自英國(guó)的天文學(xué)家克魯托（H.W.Kroto），和兩位美國(guó)物理學(xué)家斯莫利（R.E.Smalley），柯爾（R.F.Curl）走進(jìn)美國(guó)賴斯大學(xué)化學(xué)實(shí)驗(yàn)室，希望能探討宇宙中長(zhǎng)鏈碳分子的形成和光譜。在他們短短幾個(gè)星期的合作過(guò)程中意外地發(fā)現(xiàn)（9月4日）：在強(qiáng)烈的激光脈沖輻照下產(chǎn)生的碳團(tuán)簇中，C60具有超常的穩(wěn)定性。他們并不知道化學(xué)的理論游戲C60，所以這樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果讓他們一籌莫展。后來(lái)受著名建筑學(xué)家B·富勒最牢固的薄殼拱形結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，他們最終才為其設(shè)想了一種與上述理論結(jié)果不謀而合的球形結(jié)構(gòu)，并將C60命名為富勒烯。當(dāng)他們滿懷喜悅向數(shù)學(xué)家們請(qǐng)教時(shí)，得到的回答卻是“……孩子們，你們所發(fā)現(xiàn)的，就是一個(gè)足球??！”。一經(jīng)別人點(diǎn)破，他們也詫異地發(fā)現(xiàn)他們所醉心的最完美、最對(duì)稱的分子結(jié)構(gòu)竟然是一個(gè)簡(jiǎn)單得讓人哭笑不得的常識(shí)。一個(gè)現(xiàn)代足球正是由20塊白色的六邊形球皮和12塊黑色的五邊形球皮縫成的。在足球上你恰好可以數(shù)出60個(gè)頂點(diǎn)。他們的努力是制造了一個(gè)全碳分子的、世界上最小的、最精致的“足球”！由此，這三位科學(xué)家因其天才式的開創(chuàng)性工作共享了1996年度諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。

富勒烯的發(fā)現(xiàn)第10頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月11克魯托(H.W.Kroto,1939-)1996年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)得主斯莫利(R.E.Smalley,1943-2005)第11頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月12

柯爾（RobertF.CurlJr.）的自傳

我1933年8月23日出生在美國(guó)德州的Alice.我的父親是一個(gè)衛(wèi)理公會(huì)的牧師,母親是家庭主婦.我有一個(gè)姐姐,她叫瑪麗.在過(guò)去,衛(wèi)理公會(huì)的牧師游動(dòng)頻繁,因此我的孩提時(shí)代的大部分時(shí)間在德州南部的一個(gè)又一個(gè)的小鎮(zhèn)中度過(guò):Alice,Brady,SanAntonio,Kingsville,DelRio,Brownsville,McAllen,Austin,然后又回到SanAntonio.在此期間教會(huì)管理層漸漸認(rèn)識(shí)到我父親具有組織群眾活動(dòng)及解決沖突方面的管理才能.所以從我九歲起我父親就不再當(dāng)教會(huì)牧師,而成了一名地區(qū)教會(huì)活動(dòng)的主管.這就將我解脫了,使我有時(shí)間擔(dān)當(dāng)“兒童傳道士”并成為人們關(guān)注的中心……1996年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)得主第12頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月13RichardBuckminsterFuller(1895-1983)

建筑學(xué)家富勒富勒(R.B.Fuller)，美國(guó)建筑學(xué)家。1967年蒙特利爾世界博覽會(huì)的美國(guó)館由他設(shè)計(jì)。富勒的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)思想被稱之為綜合主義。綜合主義是表示將結(jié)構(gòu)單位組合起來(lái)，以承受更大的結(jié)構(gòu)力量；結(jié)構(gòu)單位組合后承受的力量比結(jié)構(gòu)單位分立所能承受的力量大。這原理被富勒用于建筑設(shè)計(jì)，蒙特利爾世界博覽會(huì)的美國(guó)館即是這一綜合主義的代表作品。

第13頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月14

那么，什么是“對(duì)稱”的共性？

什么是“對(duì)稱”的本質(zhì)？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述“對(duì)稱”？

“對(duì)稱即群”第14頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月15

二、平面圖形的對(duì)稱

問(wèn)：正三角形與正方形誰(shuí)“更”對(duì)稱一些？第15頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月161.在運(yùn)動(dòng)中看“對(duì)稱”

可以把“平面圖形的對(duì)稱”——軸對(duì)稱、n次中心對(duì)稱、平移對(duì)稱中用到的運(yùn)動(dòng)分為三類：

反射

旋轉(zhuǎn)

平移第16頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月17

2從不變性看“對(duì)稱”

這些運(yùn)動(dòng)都是變換；這些變換共同的特點(diǎn)是，都保持平面上任意兩點(diǎn)間的距離不變。所以，把反射、旋轉(zhuǎn)、平移，以及它們的相繼實(shí)施，統(tǒng)稱為“保距變換”。

（有意避開“滑動(dòng)反射”，含于“相繼實(shí)施”中）第17頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月18

變中有不變

注意，在上述“保距變換”的定義下,“不動(dòng)”也是一種“保距變換”,它可以看成旋轉(zhuǎn)0o的“保距變換”,也可以看成平移a=0的“保距變換”.這樣，任何平面圖形都會(huì)在某種“保距變換”下不變,因?yàn)樗辽僭凇安粍?dòng)”下不變.如果一種平面圖形（例如一般三角形）只在“不動(dòng)”這種“保距變換”下才不變,那么我們就認(rèn)為該平面圖形的對(duì)稱性最差,或者干脆說(shuō)它“不對(duì)稱”.

第18頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月19由這一觀點(diǎn)自然的延伸,就可以想到描述平面圖形對(duì)稱性強(qiáng)弱的一種量化的方法.這就是把所有使某平面圖形K不變的“保距變換”放在一起,構(gòu)成一個(gè)集合,記為S(K)

并稱其為K的對(duì)稱集.第19頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月203.

抽象觀點(diǎn)與具體例子的對(duì)照第20頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月21正三角形與正方形誰(shuí)更對(duì)稱一些？答：正方形比正三角形更對(duì)稱一些。

第21頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月22

4.

小結(jié)

從“對(duì)稱”的現(xiàn)象，到發(fā)現(xiàn)“變中有不變”的本質(zhì)，再提出“保距變換”；把保持圖形K不變的“保距變換”放到一起，構(gòu)成一個(gè)集合，稱之為“K

的對(duì)稱集”，用它來(lái)描述K的對(duì)稱性；最后，我們把其中元素的個(gè)數(shù)，作為衡量平面圖形的對(duì)稱性強(qiáng)弱的一個(gè)量化指標(biāo)。然后，再對(duì)照例子，驗(yàn)證我們的理論。

“從實(shí)踐中來(lái)，又到實(shí)踐中去”反觀前面關(guān)于“對(duì)稱”的例子。第22頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月23

我們身邊的對(duì)稱

人體雪花鼠標(biāo)第23頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月24數(shù)學(xué)公式中的對(duì)稱海倫公式其中

正弦定理對(duì)稱多項(xiàng)式第24頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月25對(duì)稱照鏡子夫妻

比賽循環(huán)賽足球

非對(duì)稱照哈哈鏡父子比賽淘汰制非對(duì)稱戰(zhàn)爭(zhēng)其它的一些例子第25頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月26文學(xué)中的對(duì)仗

上聯(lián)對(duì)下聯(lián)：明月-->清泉自然景物明--》清（形容詞）；月--》泉（名詞）明月松間照清泉石上流第26頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月27作為多面體的足球亞正多面體中的一種——足球多面體，它的側(cè)面由正五邊形和正六邊形組成。第27頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月28[思

]：請(qǐng)你用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，“變中有不變”的語(yǔ)言，敘述氯化鈉和金剛石分子結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性。第28頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月29

三、子集的對(duì)稱把討論“平面圖形的對(duì)稱”

中形成的數(shù)學(xué)思想提煉出來(lái)，用“子集的對(duì)稱”的語(yǔ)言來(lái)統(tǒng)一地描述任一客觀事物的“對(duì)稱”。第29頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月30任一客觀事物都可以看作某一個(gè)集合M的子集

MN第30頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月311.集合上的可逆變換

設(shè)M是一個(gè)集合，則M到自身的一個(gè)映射稱為“M上的一個(gè)變換”；M到自身的一個(gè)可逆映射稱為“M上的一個(gè)可逆變換”。

第31頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月322.子集的對(duì)稱MN考慮M上的有特點(diǎn)的可逆變換第32頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月33

變中有不變，“變”,是指集合M上有特點(diǎn)的一些可逆變換,每個(gè)可逆變換都“改變”了集合M中的元素和子集.這里的“不變”,是指對(duì)于M的一個(gè)具體的子集N,有些在整體上保持N不變,即稱這樣的為“N的對(duì)稱變換”.把所有這樣的“對(duì)稱變換”放到一起,構(gòu)成一個(gè)集合,記為稱為“N的對(duì)稱集”，用來(lái)描述N的對(duì)稱性。與對(duì)照，基本精神是一致的。第33頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月34

3.小結(jié)

這里用大量篇幅，從特殊到一般，把“對(duì)稱”的本質(zhì)抽象出來(lái)，定義了數(shù)學(xué)意義上的對(duì)稱；又從一般到特殊，用抽象觀點(diǎn)來(lái)返觀客觀實(shí)際中“對(duì)稱”的例子，看到抽象觀點(diǎn)與感性認(rèn)識(shí)是吻合的。所以說(shuō)，抽象來(lái)源于直觀，高于直觀，而且能反映直觀，指導(dǎo)直觀，并通過(guò)直觀來(lái)檢驗(yàn)。這是一種數(shù)學(xué)方式的理性思維。這一點(diǎn)在哲學(xué)上的敘述為：理論來(lái)源于實(shí)踐，高于實(shí)踐，而且能反映實(shí)踐，指導(dǎo)實(shí)踐，并通過(guò)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)。第34頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月35

四、對(duì)稱變換群

上面把“對(duì)稱”這一概念，用集合及變換的語(yǔ)言嚴(yán)格敘述出來(lái)了，并由此給出了“子集N的對(duì)稱變換”和“子集N的對(duì)稱集”的概念，并用它們來(lái)描述N的對(duì)稱性。第35頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月36

子集的對(duì)稱集，不是一個(gè)普通的集合，而是一個(gè)具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合。它的結(jié)構(gòu)表現(xiàn)在：中有運(yùn)算，即S(N)中任意兩個(gè)元素的相繼作用，記為；運(yùn)算還有規(guī)律，這些規(guī)律如下：

第36頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月37①S(N)中任意兩個(gè)元素,相繼作用的結(jié)果仍保持N整體不變，故仍在S(N)中,稱之為S(N)中的運(yùn)算滿足封閉律(一般說(shuō)“運(yùn)算”,就隱含封閉,為強(qiáng)調(diào),單列一條)；②S(N)中任意三個(gè)元素，，的運(yùn)算，是先做的運(yùn)算還是先做的運(yùn)算，效果是一樣的，即（）=(),稱之為S(N)中的運(yùn)算滿足結(jié)合律；第37頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月38③S(N)中總有一個(gè)特殊的元素即恒等變換，它如同數(shù)的乘法中的1，與任何元素作運(yùn)算都保持該元素不變，稱之為S(N)中的運(yùn)算滿足幺元律；④對(duì)S(N)中任一元素，S(N)中一定有一個(gè)元素，使與相繼作用的效果，恰相當(dāng)于③中的恒等變換，即不動(dòng)，稱為的逆元，這稱為S(N)中的運(yùn)算滿足逆元律。N的對(duì)稱集S(N)

叫作“N的對(duì)稱變換群”。“對(duì)稱即群”第38頁(yè),共45頁(yè)，星期六，2024年，5月39五、群的定義定義設(shè)G是一個(gè)帶有運(yùn)算“”的非空集合，且其中的運(yùn)算滿足以下四個(gè)條件，則稱{G；}是一個(gè)群②結(jié)合律

有①封閉律有③幺元律存在使，有，稱為幺元；④逆元律

，存在，使稱b為a的逆元。

群