七年級數(shù)學(xué)下冊 8.3 實際問題與二元一次方程組（二）（解析版）

七年級下冊數(shù)學(xué)《第八章二元一次方程組》8.3實際問題與二元一次方程組（二）知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：◆1、列方程組解決實際問題是把“未知”化為“已知”的過程，其關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題中的等量關(guān)系，列出方程組.◆2、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審：審題，找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)：設(shè)元，找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）找：找等量關(guān)系，挖掘題目中的所有條件，找出兩個等量關(guān)系．（4）列：根據(jù)等量關(guān)系，列出方程組．（5）解：解方程組，求出未知數(shù)的值．（6）答：檢驗所求解是否符合實際意義，然后作答．知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二實際問題中的基本數(shù)量關(guān)系：◆◆球賽積分問題：①勝場數(shù)+平場數(shù)+負(fù)場數(shù)=總場數(shù)；②勝場積分+平場積分+負(fù)場積分=總積分.◆◆銀行利率問題：①利息=本金×利率×?xí)r間；②本息和=本金＋利息題型一球賽積分問題題型一球賽積分問題【例題1】（2022春?大荔縣期末）2022年2月6日女足亞洲杯決賽，在逆境中鏗鏘玫瑰沒有放棄，逆轉(zhuǎn)奪冠!某學(xué)校掀起一股足球熱，舉行了班級聯(lián)賽，某班開局11場保持不敗，積23分，按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，則該班獲勝的場數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】設(shè)該班獲勝的場數(shù)為x場，平場為y場，由題意：某班開局11場保持不敗，積23分，勝一場得3分，平一場得1分，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)該班獲勝的場數(shù)為x場，平場為y場，由題意得：x+y=113x+y=23解得：x=6y=5即該班獲勝的場數(shù)為6場，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉球賽積分問題等量關(guān)系式：勝局場數(shù)+平局場數(shù)+負(fù)局場數(shù)=總場數(shù)．勝局積分+平局積分+負(fù)局積分=總積分．【變式1-1】（2022秋?市中區(qū)校級期末）一張競賽試卷有25道題，做對一道題得4分，做錯一道題倒扣1分，小明做了全部試題得到70分，則他做對的題有（）A．16道 B．17道 C．18道 D．19道【分析】設(shè)小明做對的題為x道，做錯的題為y道，由題意：做對一道題得4分，做錯一道題倒扣1分，小明做了全部試題得到70分，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)小明做對的題為x道，做錯的題為y道，根據(jù)題意得：x+y=254x?y=70解得：x=19y=6即他做對的題為19道，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分某隊前16場比賽中負(fù)6場得26分，則該隊勝場．【分析】設(shè)該隊勝了x場，平了y場，根據(jù)該隊前16場比賽中負(fù)6場得26分，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該隊勝了x場，平了y場，依題意，得：x+y+6=163x+y=26解得：x=8y=2故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022?新城區(qū)校級二模）為有效落實雙減工作，切實做到減負(fù)提質(zhì)，很多學(xué)校高度重視學(xué)生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，某隊在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分，求該隊獲勝的場數(shù)．【分析】設(shè)該隊獲勝x場，平y(tǒng)場，利用總積分＝3×獲勝場次數(shù)+1×平的場次數(shù)，結(jié)合“該隊在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該隊獲勝x場，平y(tǒng)場，依題意得：x+y=113x+y=25解得：x=7y=4答：該隊獲勝7場．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2022秋?安鄉(xiāng)縣期末）在一次有12個隊參加的足球循環(huán)賽（每兩隊之間必須比賽一場）中，規(guī)定勝一場記3分，平一場記1分，負(fù)一場記0分．某隊在這次循環(huán)賽中所勝場數(shù)比所負(fù)場多兩場，結(jié)果積18分，問該隊?wèi)?zhàn)平幾場？【分析】本題是12個隊進(jìn)行單循環(huán)賽，每個隊都要與除了它自己之外的11個隊賽一場，所以一個隊的比賽總場數(shù)為11．本題中有兩個等量關(guān)系：勝的場數(shù)+平的場數(shù)+負(fù)的場數(shù)＝11；勝的積分+平的積分＝18．【解答】解：設(shè)該隊勝x場，平y(tǒng)場．則x+y+(x?2)=11解得x=5y=3答：該隊?wèi)?zhàn)平3場．【點(diǎn)評】本題中隱含一個等量關(guān)系：12個隊進(jìn)行單循環(huán)賽，每個隊都要與除了它自己之外的11個隊賽一場，所以一個隊的比賽總場數(shù)為11．需要知道這個知識點(diǎn)．【變式1-5】（2021春?德宏州期末）在一次數(shù)學(xué)知識競賽中，共有20道題，規(guī)定：答錯或不答一道題扣分相同，當(dāng)答題結(jié)束時，A同學(xué)答對14道題，得分為58分；B同學(xué)答對11道題，得分為37分．請問答對一道題得幾分，答錯或不答一道題扣幾分．【分析】設(shè)答對一道題得x分，答錯或不答一道題扣y分，根據(jù)“A同學(xué)答對14道題，得分為58分；B同學(xué)答對11道題，得分為37分”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出答對一道題的得分及答錯或不答一道題扣的分值．【解答】解：設(shè)答對一道題得x分，答錯或不答一道題扣y分，依題意得：14x?(20?14)y=5811x?(20?11)y=37解得：x=5y=2答：答對一道題得5分，答錯或不答一道題扣2分．題型二題型二增長率（下降率）或百分比問題【例題2】（2022秋?城陽區(qū)期末）某農(nóng)場去年計劃生產(chǎn)小麥和玉米共15噸，實際生產(chǎn)了17噸，其中小麥超產(chǎn)15%，玉米超產(chǎn)10%．該農(nóng)場去年實際生產(chǎn)小麥、玉米各（）噸，A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23【分析】設(shè)該農(nóng)場去年計劃生產(chǎn)小麥x噸，玉米y噸，由題意：去年計劃生產(chǎn)小麥和玉米共15噸，實際生產(chǎn)了17噸，其中小麥超產(chǎn)15%，玉米超產(chǎn)10%．列出二元一次方程組，解方程組，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該農(nóng)場去年計劃生產(chǎn)小麥x噸，玉米y噸，則該農(nóng)場去年實際生產(chǎn)小麥（1+15%）x噸，玉米（1+10%）y噸，依題意得：x+y=15(1+15%)x+(1+10%)y=17解得：x=10y=5∴（1+15%）x＝（1+15%）×10＝11.5，（1+10%）y＝（1+10%）×5＝5.5．即該農(nóng)場去年實際生產(chǎn)小麥11.5噸，玉米5.5噸，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉增長率（下降率）或百分比問題等量關(guān)系式：（1）增長率問題：原有量×（1+增長率）=增長后的量．（2）下降率問題：原有量×（1－下降率）=下降后的量．【變式2-1】（2022春?廣平縣校級月考）某商場2020年的總利潤為100萬元，2021年的總收入比2020年增加10%，總支出比2020年減少5%，2021年的總利潤為140萬元，則2020年的總收入和總支出分別是（）A．300萬元，210萬元 B．300萬元，200萬元 C．400萬元，300萬元 D．410萬元，310萬元【分析】設(shè)2020年的總收入和總支出分別為x，y萬元，根據(jù)題意列方程求解即可．【解答】解：設(shè)2020年的總收入和總支出分別為x，y萬元，由題意可得：x?y=100(1+10%)x?(1?5%)y=140解得x=300y=200故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題中的等量關(guān)系，正確列出方程組．【變式2-2】某商場新購進(jìn)一種服裝，每套售價1000元，若將褲子降價10%，上衣漲價5%，調(diào)價后這套服裝的單價比原來提高了2%，則調(diào)價前上衣的單價是（）A．200元 B．480元 C．600元 D．800元【分析】設(shè)調(diào)價前上衣的單價是x元，褲子的單價是y元，根據(jù)“調(diào)價前每套售價1000元，若將褲子降價10%，上衣漲價5%，調(diào)價后這套服裝的單價比原來提高了2%”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)調(diào)價前上衣的單價是x元，褲子的單價是y元，依題意，得：x+y=1000(1+5%)x+(1?10%)y=1000×(1+2%)解得：x=800y=200即調(diào)價前上衣的單價是800元，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2021秋?豐順縣校級期末）青島市某實驗中學(xué)在對口援助邊遠(yuǎn)山區(qū)活動中，原計劃贈書3000冊，由于學(xué)生積極響應(yīng)，實際贈書3780冊，其中初中部比原計劃多贈了20%，高中部比原計劃多贈了30%，則該校初中部原計劃贈書冊，高中部原計劃贈書冊．【分析】設(shè)原計劃初中部贈書x冊，高中部贈書y冊，根據(jù)原計劃贈書3000冊和初中部多捐贈的書+高中部多捐贈的書＝3780﹣3000可得方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)原計劃初中部贈書x冊，高中部贈書y冊，依題意有：20%x+30%y=3780?3000x+y=3000解得：x=1200y=1800故答案為：1200；1800．【點(diǎn)評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，為了少出差錯，減少運(yùn)算量，最好根據(jù)增加的書數(shù)來列等量關(guān)系．【變式2-4】（2022秋?渠縣校級期末）隨著國家“億萬青少年學(xué)生陽光體育運(yùn)動”活動的啟動，某區(qū)各所中小學(xué)也開創(chuàng)了體育運(yùn)動的一個新局面．你看某校七年級（1）、（2）兩個班共有100人，在兩個多月的長跑活動之后，學(xué)校對這兩個班的體能進(jìn)行了測試，大家驚喜的發(fā)現(xiàn)（1）班的合格率為96%，（2）班的合格率為90%，而兩個班的總合格率為93%，求七年級（1）、（2）兩班的人數(shù)各是多少？【分析】設(shè)（1）班有x人，（2）班有y人，根據(jù)題目中所述的兩個等量關(guān)系可得出方程組，解出即可得出答案．【解答】解：設(shè)（1）班有x人，（2）班有y人，依題意得：x+y=10096%x+90%y=100×93%解得：x=50y=50答：（1）、（2）班各有50個人．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解決此類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，將等量關(guān)系找到，然后用方程解決．【變式2-5】（2022?澄邁縣模擬）有兩塊試驗田，原來可產(chǎn)花生470千克，改用良種后共產(chǎn)花生532千克，已知第一塊田的產(chǎn)量比原來增加16%，第二塊田的產(chǎn)量比原來增加10%，問這兩塊試驗田改用良種后，各增產(chǎn)花生多少千克？【分析】根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是“原來兩塊試驗田可產(chǎn)花生470千克”和“改用良種后兩塊田共產(chǎn)花生532千克，第一塊田的產(chǎn)量比原來增加16%，第二塊田的產(chǎn)量比原來增加10%后的產(chǎn)量”，列方程組求解即可．【解答】解：設(shè)第一，二塊田原產(chǎn)量分別為x千克，y千克．得x+y=47016%x+10%y=532?470解得x=250y=220所以16%x＝40，10%y＝22．答：第一塊田增產(chǎn)40千克，第二塊田增產(chǎn)22千克．【點(diǎn)評】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2個等量關(guān)系，準(zhǔn)確地找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵．題型三幾何圖形問題題型三幾何圖形問題【例題3】（2022秋?章丘區(qū)校級期末）如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長方形紙片拼成一個寬是60厘米的大長方形，則每個小長方形的周長是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米【分析】設(shè)小長方形地磚的長為x厘米，寬為y厘米，由大長方形的寬為60厘米，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小長方形地磚的長為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：x+y=603x=2x+3y解得：x=45y=15則每個小長方形的周長＝2（x+y）＝120（厘米），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉利用二元一次方程組解決幾何圖形問題，必須要掌握幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式及對應(yīng)關(guān)系，要善于從圖形中獲取解題所需的信息,從而得到等量關(guān)系式建立方程進(jìn)而求解．【變式3-1】（2022秋?北碚區(qū)校級期末）如圖，利用兩個外形一致的長方形木塊測量一張桌子的高度，首先按圖①方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②方式放置，測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（）A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm【分析】設(shè)桌子的高度為xcm，長方形木塊的長比寬長ycm，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)桌子的高度為xcm，長方形木塊的長比寬長ycm，根據(jù)題意得：x+y=90x?y=80解得：x=85y=5∴桌子的高度是85cm．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022秋?臺江區(qū)校級期末）如圖，長方形ABCD中放置9個形狀、大小都相同的小長方形，相關(guān)數(shù)據(jù)圖中所示，則圖中陰影部分的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．22【分析】設(shè)小長方形的長為x，寬為y，觀察圖形，根據(jù)長方形長與寬之間的關(guān)系，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再利用陰影部分的面積＝大長方形的面積﹣9×小長方形的面積，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小長方形的長為x，寬為y，依題意，得：x+4y=9x?y=4解得：x=5y=1∴S陰影＝9×（4+3y）﹣9×xy＝18．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022?蘇州模擬）小東在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個一樣大小的長方形，恰好可以拼成一個大的長方形如圖1所示．小林看見了說：“我也來試一試．”結(jié)果小林七拼八湊，拼成了如圖2那樣的正方形，中間還留下了一個恰好是邊長為3cm的小正方形，求小長方形的面積．【分析】設(shè)小長方形的寬為xcm，長為ycm，根據(jù)圖1中大長方形的長、圖2中大正方形的邊長的不同表示方法得出方程組，解方程組求出小長方形的寬和長即可解決問題．【解答】解：設(shè)小長方形的寬為xcm，長為ycm，則圖1中大長方形的長可以表示為5xcm或3ycm，圖2中大正方形的邊長可以表示為（2x+y）cm或（2y+3）cm，那么可得出方程組為：5x=3y2x+y=2y+3解得：x=9y=15則小長方形的面積為：9×15＝135（cm2），答：小長方形的面積為135cm2．【點(diǎn)評】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，觀察圖形得出等量關(guān)系，列出方程組是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2021春?濱江區(qū)校級期末）在長為10m，寬為8m的矩形空地上，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個全等的小矩形花圃，其示意圖如圖所示．則花圃的面積為（）A．16 B．8 C．32 D．24【分析】設(shè)每個小矩形花圃的長為xm，寬為ym，觀察圖形，根據(jù)矩形空地的長和寬，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出每個矩形小花圃的長和寬，再將其代入3xy中即可求出花圃的面積．【解答】解：設(shè)每個小矩形花圃的長為xm，寬為ym，依題意得：2x+y=10x+2y=8解得：x=4y=2∴3xy＝3×4×2＝24．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及生活中的平移現(xiàn)象，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】（2022春?東港區(qū)校級期中）用如圖（1）中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖（2）所示的豎式和橫式兩種無蓋紙盒．現(xiàn)倉庫里有80張正方形紙板和160張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存紙板用完？【分析】設(shè)豎式紙盒做x個，橫式紙盒做y個，根據(jù)現(xiàn)倉庫里有80張正方形紙板和160張長方形紙板，列二元一次方程組，求解即可．【解答】解：設(shè)豎式紙盒做x個，橫式紙盒做y個，根據(jù)題意，得4x+3y=160x+2y=80解得x=16y=32答：豎式紙盒做16個，橫式紙盒做32個，恰好將庫存紙板用完．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型四年齡問題題型四年齡問題【例題4】（2022春?濱州期末）甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的2倍，則乙現(xiàn)在的年齡是（）A．10歲 B．15歲 C．20歲 D．30歲【分析】設(shè)甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙年齡為y歲，根據(jù)甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的2倍，列出方程組解答即可．【解答】解：甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙年齡為y歲，根據(jù)題意得：x?y=15x?5=2(y?5)解得：x=35y=20答：乙現(xiàn)在的年齡是20歲．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找出題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉二元一次方程組解決年齡問題的基本關(guān)系是抓住兩個人年齡的增長數(shù)相等。年齡問題的特點(diǎn)是：時間發(fā)生變化，年齡在增長，但是年齡差始終不變．年齡問題往往是“和差”、“差倍”等問題的綜合應(yīng)用，解題時，我們一定要抓住年齡差不變這個解題關(guān)鍵.【變式4-1】今年哥哥的年齡是妹妹的2倍，2年前哥哥的年齡是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年齡．設(shè)哥哥今年x歲，妹妹今年y歲，得到的方程組（）A．x+2=3(y+2)，x=2y. B．x?2=3(y?2)，C．x+2=2(y+2)，x=3y． D．【分析】設(shè)今年哥哥x歲，妹妹y歲，根據(jù)今年哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍，可得x＝2y，再根據(jù)2年前哥哥的年齡是妹妹年齡的3倍可得x﹣2＝3（y﹣2），進(jìn)而可得答案．【解答】解：設(shè)今年哥哥x歲，妹妹y歲，由題意得：x=2yx?2=3(y?2)故選：B．【變式4-2】（2022春?封丘縣月考）根據(jù)小頭爸爸與大頭兒子的對話，求出大頭兒子現(xiàn)在的年齡．小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．【分析】設(shè)大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲，爸爸的年齡是y歲，由題意：小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲，爸爸的年齡是y歲，由題意得：y=x+23y+5=2(x+5)+8解得：x=10y=33答：大頭兒子現(xiàn)在的年齡為10歲．【變式4-3】（2021?無錫模擬）一天，小民去問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星了，125歲了，哈哈！”請你寫出小民爺爺?shù)降资嵌嗌贇q？【分析】設(shè)小民爺爺是x歲，小民是y歲，根據(jù)爺爺及小民年齡之間的關(guān)系，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小民爺爺是x歲，小民是y歲，依題意得：x?y=y+40x+(x?y)=125解得：x=70y=15答：小民爺爺是70歲．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2022秋?漢壽縣期末）小明問數(shù)學(xué)老師的年齡，數(shù)學(xué)老師微笑著說：“我像你這么大的時候，你剛好3歲；你到我這么大時，我就42歲了，”那么數(shù)學(xué)老師今年的年齡是多少歲？【分析】設(shè)小明和老師今年的年齡分別為x歲、y歲，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：老師今年的年齡?學(xué)生今年的年齡＝學(xué)生今年的年齡﹣3；老師42歲?老師今年的年齡＝老師今年的年齡?學(xué)生今年的年齡，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，即可解答．【解答】解：設(shè)小明和老師今年的年齡分別為x歲、y歲，由題意得：y?x=x?342?y=y?x解得：x=16y=29答：數(shù)學(xué)老師今年的年齡是29歲，【點(diǎn)評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．【變式4-5】（2022?南陵縣自主招生）已知甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲，乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，求甲、乙現(xiàn)在的年齡的差．【分析】甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙現(xiàn)在的年齡是y歲，由題意：甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲，乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，列出二元一次方程組，即可解決問題．【解答】解：甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙現(xiàn)在的年齡是y歲，由題意可得：x?y=y?10x?y=25?x即x?2y=?102x?y=25由此可得，3（x﹣y）＝15，∴x﹣y＝5，即甲、乙現(xiàn)在的年齡的差為5歲．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型五分段計費(fèi)問題題型五分段計費(fèi)問題【例題5】為了加強(qiáng)公民節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)約用水的目的，規(guī)定：每戶居民每月用水不超過15m3時，按基本價格收費(fèi)；超過15m3時，不超過的部分仍按基本價格收費(fèi)，超過的部分要加價收費(fèi)，該市某戶居民今年4、5月份的用水量和水費(fèi)如表所示：月份用水量/m3水費(fèi)/元4165052070（1）求該市居民用水的兩種收費(fèi)價格；（2）【分析】（1）分兩種情況：當(dāng)x＜6時；當(dāng)x＞6時；求得用戶用水為x立方米時的水費(fèi)；先判斷這個月一定超過15立方米，再根據(jù)等量關(guān)系：15立方米的水費(fèi)+超過15立方米的水費(fèi)=80元，列出方程求解即可.【解答】解：（1）設(shè)基本水費(fèi)價格為：x元/m3，超過的部分水費(fèi)價格為：y元/m3，15x+y=答：基本水費(fèi)價格為：3元/m3，超過的部分水費(fèi)價格為：5元/m3；（2）∵3×15=45＜80（元），∴這個月一定超過15立方米，則15×3+5（a﹣15）=80，解得：a=22．答：這個月該用戶用水22立方米．【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系．解題技巧提煉列二元一次方程組解分段計費(fèi)問題，常見的等量關(guān)系有：總收費(fèi)=標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)收費(fèi)＋標(biāo)準(zhǔn)外收費(fèi)，解題的關(guān)鍵是弄清某次收費(fèi)包含哪幾段費(fèi)用.【變式5-1】某城市規(guī)定：出租車起步價允許行駛的最遠(yuǎn)路程為3千米，超過3千米的部分按每千米另行收費(fèi)，甲說：“我乘這種出租車走了11千米，付了20元”；乙說：“我乘這種出租車走了23千米，付了38元”．請你算一算這種出租車的起步價是多少元？以及超過3千米后，每千米的車費(fèi)是多少元？【分析】首先根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，找出其中的相等關(guān)系：①出租車走了11千米，付了20元；②出租車走了23千米，付了38元，列出方程組，解出得到答案.【解答】解：設(shè)出租車的起步價是x元，超過3千米后，每千米的車費(fèi)是y元，由題意得：x解得：x=答：出租車的起步價是8元，超過3千米后，每千米的車費(fèi)是1.5元．【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系．【變式5-2】先閱讀下列一段文字，然后解答問題．某運(yùn)輸部分規(guī)定：辦理托運(yùn)，當(dāng)物品的重量不超過16kg時，需付基礎(chǔ)費(fèi)30元和保險費(fèi)a元；為限制過重物品的托運(yùn)，當(dāng)物品的重量超過16kg時，除了付以上基礎(chǔ)費(fèi)和保險費(fèi)外，超過部分每千克還需付b元超重費(fèi)．設(shè)某件物品的重量為x（kg）．當(dāng)x≤16時，支付費(fèi)用為元（用含a的代數(shù)式表示）；當(dāng)x＞16時，支付費(fèi)用為元（用含x和a，b的代數(shù)式表示）；（2）甲、乙兩人各托運(yùn)一次物品，物品的重量和支付費(fèi)用如表所示：物品的重量（kg）支付費(fèi)用（元）18382553試根據(jù)以上提供的信息確定a，b的值．【分析】（1）當(dāng)x≤16時，只需付基礎(chǔ)費(fèi)30元+保險費(fèi)a元，所以支付費(fèi)用為（a+30）元；當(dāng)x＞16時，需付費(fèi)用為基礎(chǔ)費(fèi)30元+保險費(fèi)a元+超重費(fèi)，即[a+30+（x﹣16）b]元．（2）結(jié)合表格，根據(jù)當(dāng)x＞16時，需付費(fèi)用為基礎(chǔ)費(fèi)30元+保險費(fèi)a元+超重費(fèi)，列方程組求解．【解答】解：（1）當(dāng)x≤16時，支付的費(fèi)用為：a+30；當(dāng)x＞16時，支付的費(fèi)用為：a+30+（x﹣16）b．故答案為：a+30，a+30+（x﹣16）b；（2）①由題意得a+30+(18?16)b=38a+30+(25?16)b=53解得：a=26【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組，準(zhǔn)確地找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022秋?宣州區(qū)期末）為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，鼓勵居民節(jié)約用電，各省市先后出臺了“階梯價格”制度，如表中是某市的電價標(biāo)準(zhǔn)（每月）階梯電量x（單位：度）電費(fèi)價格（單位：元/度）一檔0＜x≤180a二檔180＜x≤400b三檔x＞4000.95（1）已知陳女士家三月份用電256度，繳納電費(fèi)154.56元，四月份用電318度，繳納電費(fèi)195.48元請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出表格中的a，b的值．（2）5月份開始用電增多，陳女士繳納電費(fèi)280元，求陳女士家5月份的用電量．【分析】（1）根據(jù)各檔的電費(fèi)價格和所用的電數(shù)以及所繳納電費(fèi)，列出方程組，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意先判斷出陳女士所用的電所在的檔，再設(shè)陳女士家五月份用電量為m度，根據(jù)價格表列出等式，求出m的值即可．【解答】解：（1）由題意得：180a+(256?180)b=154.56180a+(318?180)b=195.48解得：a=0.58b=0.66答：a的值是0.58，b的值是0.66；（2）∵180×0.58+（400﹣180）×0.66＝249.6＜280，∴5月份陳女士家用電量超過400度．設(shè)陳女士家五月份用電量為m度，根據(jù)題意得：249.6+（m﹣400）×0.95＝280，解得：m＝432答：陳女士家5月份的用電量為432度．【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次方程的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系．【變式5-4】（2021春?肥城市期末）某地為了鼓勵居民節(jié)約用水，決定實行兩級收費(fèi)制，即每月用水量不超過15噸（含15噸）時，每噸按政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價收費(fèi)；每月超過15噸時，超過部分每噸按市場調(diào)節(jié)價收費(fèi)．小明家1月份用水23噸，交水費(fèi)88.5元，2月份用水19噸，交水費(fèi)70.5元．（1）求每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價和市場調(diào)節(jié)價分別是多少？（2）小明家3月份用水25噸，他家應(yīng)交水費(fèi)多少元？【分析】（1）設(shè)每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價是x元，市場調(diào)節(jié)價是y元，根據(jù)“小明家1月份用水23噸，交水費(fèi)88.5元，2月份用水19噸，交水費(fèi)70.5元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價和市場調(diào)節(jié)價；（2）利用小明家3月份應(yīng)交水費(fèi)＝15×3.5+超過15噸的部分×4.5，即可求出小明家3月份應(yīng)交水費(fèi)的金額．【解答】解：（1）設(shè)每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價是x元，市場調(diào)節(jié)價是y元，依題意得：15x+(23?15)y=88.515x+(19?15)y=70.5解得：x=3.5y=4.5答：每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價是3.5元，市場調(diào)節(jié)價是4.5元．（2）15×3.5+（25﹣15）×4.5＝15×3.5+10×4.5＝52.5+45＝97.5（元）．答：小明家3月份用水25噸，他家應(yīng)交水費(fèi)97.5元．【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系．題型六分配問題題型六分配問題【例題6】（2022春?利津縣期末）某廠第二車間的人數(shù)比第一車間的人數(shù)的45少30人．如果從第一車間調(diào)10人到第二車間，那么第二車間的人數(shù)就是第一車間的34．問這兩個車間原來各有多少人？設(shè)第一車間原來有x人，第二車間原來有A．y=45x?30y=3C．y=45x?30y=【分析】根據(jù)題意可知，第二車間的人數(shù)＝第一車間的人數(shù)×45?【解答】解：設(shè)第一車間的人數(shù)是x人，第二車間的人數(shù)是y人．依題意有：y=4故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出方程組．解題技巧提煉分配問題即分配前后總量不變，分配后兩量之間有新的倍比關(guān)系．解這類題要注意分析分配后兩量之間的關(guān)系，從而找到等量關(guān)系．【變式6-1】某抗洪救災(zāi)小組A地段28人，B地段有15人，現(xiàn)又調(diào)來29人分配在A、B兩個地段，要求使A地段的人數(shù)是B地段人數(shù)的2倍，則調(diào)往A地段和B地段的人數(shù)分別為．【分析】設(shè)調(diào)往A地段x人，B地段y人，根據(jù)總共調(diào)來29人；A地段的人數(shù)是B地段人數(shù)的2倍，可得出方程組，解出即可．【解答】解：設(shè)調(diào)往A地段x人，B地段y人，由題意得，x+y=2928+x=2(15+y)解得x=20y=9所以調(diào)往A、B地段分別是20人，9人．故答案為：20，9．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，找到等量關(guān)系，難度一般．【變式6-2】某校師生共100人到兩個車間參加勞動，到第一車間的人數(shù)比到第二車間的人數(shù)兩倍少8人，到兩個車間的人數(shù)分別．【分析】根據(jù)題意可知此題存在兩個等量關(guān)系，即第一車間的人數(shù)+第二車間的人數(shù)＝100人，第一車間的人數(shù)＝第二車間的人數(shù)兩倍﹣8，根據(jù)這兩個等量關(guān)系可列出方程組．【解答】解：設(shè)到第一車間的人數(shù)為x人，到第二車間的人數(shù)為y人，則可列方程組為x+y=100x=2y?8解得x=64答：到第一、第二車間的人數(shù)分別為64人和36人．故填64，36．【點(diǎn)評】解題關(guān)鍵是弄清題意，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組．特別是第一車間的人數(shù)＝第二車間的人數(shù)兩倍﹣8這個等量關(guān)系式．【變式6-3】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）某車間有2個小組，甲組是乙組人數(shù)的2倍，若從甲組調(diào)8人到乙組，那么甲組人數(shù)比乙組人數(shù)的一半還多6人，則原來乙組的人數(shù)為（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】設(shè)原來乙組有x人，甲組有y人，由題意：甲組是乙組人數(shù)的2倍，若從甲組調(diào)8人到乙組，那么甲組人數(shù)比乙組人數(shù)的一半還多6人，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)原來乙組有x人，甲組有y人，依題意，得：y=2xy?8=解得：x=12y=24即原來乙組有12人，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式6-4】某廠第二車間的人數(shù)比第一車間的人數(shù)的45少30人．如果從第一車間調(diào)10人到第二車間，那么第二車間就是第一車間的3【分析】根據(jù)題意可知，第二車間的人數(shù)＝第一車間的人數(shù)×45?【解答】解：設(shè)第一車間的人數(shù)是x人，第二車間的人數(shù)是y人．依題意有：y=4解得x=250y=170答：第一車間有250人，第二車間有170人．【點(diǎn)評】注意要根據(jù)題意給出的等量關(guān)系第二車間的人數(shù)＝第一車間的人數(shù)×45?【變式6-5】定安縣服裝廠第二車間的人數(shù)比第一車間的人數(shù)的2倍少10人．如果從第二車間調(diào)5人到第一車間后，兩個車間的人數(shù)一樣多．問這兩個車間各有多少人？【分析】設(shè)第一車間原來有x個工人，第二車間原來有y個工人．根據(jù)“第二車間工人人數(shù)比第一車間工人人數(shù)的2倍少10人，若從第二車間抽調(diào)5人到第一車間，那么兩個車間的人數(shù)一樣多”列出方程組并解答．【解答】解：設(shè)第一車間原來有x個工人，第二車間原來有y個工人．依題意得：y=2x?10y?5=x+5解得：x=20y=30答：第一車間20人，第二車間30人．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2個等量關(guān)系，準(zhǔn)確地找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵．題型七銀行利率問題題型七銀行利率問題【例題7】（2021秋?郫都區(qū)校級月考）某人善于理財，她以兩種方式共儲蓄1000元．一種儲蓄的年利率為3%，另一種儲蓄的年利率為4%，一年后本息和為1035元（不考慮利息稅），則兩種儲蓄的存款分別為（）A．400元，600元 B．500元，500元 C．300元，700元 D．800元，200元【分析】設(shè)年利率為3%的儲蓄存了x元，年利率為4%的儲蓄存了y元，根據(jù)“兩種儲蓄共存了1000元，且一年后本息和為1035元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可求出兩種儲蓄的存款金額．【解答】解：設(shè)年利率為3%的儲蓄存了x元，年利率為4%的儲蓄存了y元，依題意得：x+y=1000(1+3%)x+(1+4%)y=1035解得：x=500y=500故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉銀行儲蓄問題：

①利息=本金×利率×期數(shù)；

②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期數(shù)=本金×（1+利率×期數(shù)）；

③實得利息=利息-利息稅；④利息稅=利息×利息稅率；

⑤年利率=月利率×12．【變式7-1】小張以兩種形式共儲蓄了5000元，假設(shè)第一種的年利率為3.7%，第二種的年利率為2.25%，一年后得到利息156元，那么小張以第一種形式儲蓄的錢數(shù)是（）A．2000元 B．2500元 C．3000元 D．3500元【分析】可以設(shè)第一種儲蓄的錢數(shù)為x元，第二種為y元，根據(jù)本金×利率＝利息及兩種儲蓄共5000元，可以列出兩個方程，求方程組的解即可．【解答】解：設(shè)第一種儲蓄的錢數(shù)為x元，第二種為y元，根據(jù)題意得：x+y=50003.7%x+2.25%y=156解得：x=3000y=2000即第一種儲蓄的錢數(shù)為3000元，第二種儲蓄為2000元．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．【變式7-2】某公司向銀行申請了甲、乙兩種貸款，共計68萬元，還貸期間每年需付出8.42萬元利息．已知甲種貸款每年的利率為12%，乙種貸款每年的利率為13%，則該公司乙種貸款的數(shù)額萬元．【分析】設(shè)該公司甲種貸款的數(shù)額為x萬元，乙種貸款的數(shù)額為y萬元，根據(jù)兩種貸款共68萬元且每年需付出8.42萬元利息，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該公司甲種貸款的數(shù)額為x萬元，乙種貸款的數(shù)額為y萬元，依題意，得：x+y=6812%x+13%y=8.42解得：x=42y=26故答案為：26．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2021春?荊州期末）某公司向銀行申請了甲、乙兩種貸款，共計68萬元，每年需付出3.2萬元利息．已知甲種貸款每年的利率為4.5%，乙種貸款每年的利率為5%，則該公司申請的甲種貸款的數(shù)額為萬元．【分析】設(shè)該公司申請的甲種貸款的數(shù)額為x萬元，申請的乙種貸款的數(shù)額為y萬元，根據(jù)該公司申請的甲、乙兩種貸款共68萬元且每年需付出3.2萬元利息，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該公司申請的甲種貸款的數(shù)額為x萬元，申請的乙種貸款的數(shù)額為y萬元，依題意得：x+y=684.5%x+5%y=3.2解得：x=40y=28故答案為：40．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式7-4】李紅去年在中國農(nóng)業(yè)銀行以甲、乙兩種存款形式總共儲蓄了8000元人民幣．其中甲種儲蓄的年利率為10%，乙種儲蓄的年利率為12%，一年后共得利息860元整．問李紅的甲、乙兩種儲蓄各是多少元？【分析】設(shè)甲種儲蓄存儲x元，乙種儲蓄存儲y元，根據(jù)兩種存儲一共存款8000元，結(jié)合利息＝本金×年利率，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)甲種儲蓄存儲x元，乙種儲蓄存儲y元，根據(jù)題意得：x+y=800010%x+12%y=860解得：x=5000y=3000答：甲種儲蓄存儲5000元，乙種儲蓄存儲3000元．【變式7-5】某人以兩種形式一共儲蓄了8000元人民幣，其中甲種儲蓄的年利率為10%，乙種儲蓄的年利率為12%，一年后共得利息860元整，問甲、乙兩種儲蓄存儲各多少元？【分析】設(shè)甲種儲蓄存儲x元，乙種儲蓄存儲y元，根據(jù)兩種存儲一共存款8000元結(jié)合利息＝本金×年利率即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)甲種儲蓄存儲x元，乙種儲蓄存儲y元，根據(jù)題意得：x+y=800010%x+12%y=860解得：x=5000y=3000答：甲種儲蓄存儲5000元，乙種儲蓄存儲3000元．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系利息＝本金×年利率結(jié)合兩種存儲一共存款8000元列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型八圖表信息問題題型八圖表信息問題【例題8】（2021秋?平遠(yuǎn)縣期末）梅州金柚，聲名遠(yuǎn)播，今年又是一個豐收年．某經(jīng)銷商為了打開銷路，對1000個金柚進(jìn)行打包優(yōu)惠出售．打包方式及售價如圖．假設(shè)用這兩種打包方式恰好裝完全部柚子．當(dāng)銷售總收入為7280元時．（1）若這批金柚全部售完，請問紙盒裝共包裝了多少箱，編織袋裝共包裝了多少袋？（2）若該經(jīng)銷商留下b（b＞0）箱紙盒裝送人，其余紙盒裝全部售出，求b的值．【分析】（1）紙盒裝共包裝了x箱，編織袋裝共包裝y袋，列出方程組計算可得答案；（2）設(shè)紙盒裝共包裝了m箱，編織袋裝共包裝m袋，根據(jù)銷售總收入為7280元列方程求解即可．【解答】（1）設(shè)紙盒裝共包裝了x箱，編織袋裝共包裝y袋，由題意，得8x+18y=100064x+126y=7280解得：x=35y=40答：紙盒裝共包裝了35箱，編織袋裝共包裝了40袋．（2）設(shè)紙盒裝共包裝了m箱，編織袋裝共包裝n袋，由8m+18n＝1000，可得m=1000?18n由題意得，64×(125?9解得：n＝40?329∵m，n，b都是整數(shù)，且m≥0，n＞0，b＞0，∴b＝9，m＝107，n＝8，∴b的值為9．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組及二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解題目所述的意思，轉(zhuǎn)化為方程思想求解，難度一般．解題技巧提煉解決圖表信息問題，關(guān)鍵是讀懂題意，從圖表中獲取有用的信息，然后對這些信息進(jìn)行加工處理，并聯(lián)系相關(guān)的數(shù)學(xué)知識找出相等關(guān)系，從而實現(xiàn)信息的轉(zhuǎn)換，順利地解決問題．【變式8-1】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級月考）根據(jù)小亮與小麗的一段對話，求筆和筆記本的單價．【分析】設(shè)筆的單價為x元，筆記本的單價為y元，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合小麗兩次購買筆和筆記本的數(shù)量及總價，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)筆的單價為x元，筆記本的單價為y元，依題意得：4x+5y=468x+4y=44解得：x=1.5y=8答：筆的單價為1.5元，筆記本的單價為8元．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022春?濰坊期中）在“五一”期間，小明、小亮等同學(xué)隨家長一同到某景區(qū)游玩，如圖是購買門票時，小明與他爸爸的對話，試根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：（1）他們共去了幾個成人，幾個學(xué)生？（2）小明想要換哪種方式購票？該購票方式是否更合算？請通過計算說明．【分析】（1）設(shè)去了x個成人，去了y個學(xué)生，根據(jù)爸爸說的話，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）計算團(tuán)體票所需費(fèi)用，和400元比較即可求解．【解答】解：（1）設(shè)去了x個成人，去了y個學(xué)生，依題意得：x+y=1440x+0.5×40y=400解得：x=6y=8答：他們共去了6個成人，8個學(xué)生．（2）小明想要換團(tuán)體票購票方式購票，該購票方式更合算，理由如下：若按團(tuán)體票購票：16×40×0.6＝384（元），∵384＜400，∴按團(tuán)體票購票更省錢．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022秋?嶗山區(qū)校級期末）某校準(zhǔn)備組織學(xué)生到濰坊進(jìn)行社會實踐活動，為便于管理，所有人員必須乘坐同一列高鐵，高鐵單程票價格如下表所示，二等座學(xué)生票可打7.5折．若所有人員都買一等座單程火車票，共需花費(fèi)5395元；若所有人員都買二等座單程火車票，在學(xué)生享受購票折扣后，總票款為2730元．青島北﹣濰坊票價一等座二等座83（元）52（元）（1）參加社會實踐活動的老師與學(xué)生各有多少人？（2）若二等座火車票只能買到30張，則如何購票最省錢？此時總票款是多少元？【分析】（1）設(shè)參加社會實踐活動的老師有x人，學(xué)生有y人，由題意：二等座學(xué)生票可打7.5折．若所有人員都買一等座單程火車票，共需花費(fèi)5395元；若所有人員都買二等座單程火車票，在學(xué)生享受購票折扣后，總票款為2730元．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）由二等座學(xué)生票可打7.5折，且學(xué)生為50人，即可得出最省錢的購票方案．【解答】解：（1）設(shè)參加社會實踐活動的老師有x人，學(xué)生有y人，由題意得：(x+y)×83=539552x+52×0.75y=2730解得：x=15y=50答：參加社會實踐活動的老師有15人，學(xué)生有50人；（2）若二等座火車票只能買到30張，且30張二等座火車票都為學(xué)生票，則需要購買（15+50﹣30）張一等座火車票最省錢，此時總票款為：30×52×0.75+35×83＝4075（元），答：30張二等座火車票都為學(xué)生票，再購買35張一等座火車票最省錢，此時總票款為4075元．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式8-4】（2022秋?中原區(qū)校級期中）請用二元一次方程組解決問題：某校八年級（1）班和（2）班的學(xué)生一塊到航天科普教育基地進(jìn)行社會大課堂活動，兩班學(xué)生共104人，其中（1）班學(xué)生比（2）班學(xué)生少，教育基地門票價格如下：購票張數(shù)1～50張51～100張100張以上每張票的價格12元10元8元原計劃兩班都以班為單位購票，則一共應(yīng)付1136元，請回答下列問題：（1）八年級（1）班有多少學(xué)生？（2）你作為組織者如何購票最省錢？比原計劃省多少錢？【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和兩個班人數(shù)之間的關(guān)系可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以得到八年級（1）班的人數(shù)；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和（1）中的結(jié)果，可知兩個班一起購買最省錢，從而可以求得可以省多少錢．【解答】解：（1）設(shè)八年級（1）班有x人，則八年級（2）班有y人，∵x＜y，∴x+y=10412x+10y=1136∴x=48y=56答：八年級（1）有48人；（2）兩個班一起購票最省錢，1136﹣8×104＝1136﹣832＝304（元），即可以節(jié)省304元．【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組，利用方程的知識解答．【變式8-5】（2022春?南湖區(qū)校級期中）某市甲、乙兩個有名的學(xué)校樂團(tuán)，決定向某服裝廠購買同樣的演出服．如表是服裝廠給出的演出服裝的價格表：購買服裝的套數(shù)1～39套（含39套）40～79套（含79套）80套及以上每套服裝的價格100元80元60元經(jīng)調(diào)查：兩個樂團(tuán)共75人（甲樂團(tuán)人數(shù)不少于40人），如果分別各自購買演出服，兩個樂團(tuán)共需花費(fèi)6600元．請回答以下問題：（1）甲、乙兩個樂團(tuán)各有多少名學(xué)生？（2）現(xiàn)從甲樂團(tuán)抽調(diào)a人，從乙樂團(tuán)抽調(diào)b人（要求從每個樂團(tuán)抽調(diào)的人數(shù)不少于5人），去兒童福利院獻(xiàn)愛心演出，并在演出后每位樂團(tuán)成員向兒童們進(jìn)行“心連心活動”；甲樂團(tuán)每位成員負(fù)責(zé)3位小朋友，乙樂團(tuán)每位成員負(fù)責(zé)5位小朋友．這樣恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心連心活動”的溫暖．請寫出所有的抽調(diào)方案，并說明理由．【分析】（1）設(shè)甲、乙個樂團(tuán)各有x名、y名學(xué)生準(zhǔn)備參加演出．根據(jù)題意，顯然各自購買時，甲樂團(tuán)每套服裝是100元，乙樂團(tuán)每套服裝是80元．根據(jù)等量關(guān)系：①共75人；②分別單獨(dú)購買服裝，一共應(yīng)付6600元，列方程組求解即可；（2）利用甲樂團(tuán)每位成員負(fù)責(zé)3位小朋友，乙樂團(tuán)每位成員負(fù)責(zé)5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心連心活動”的溫暖，列出方程探討答案即可．【解答】解：（1）設(shè)甲樂團(tuán)有x名；乙樂團(tuán)有y名，根據(jù)題意，得x+y=75100x+80y=6600解得x=30y=45答：甲樂團(tuán)有30名；乙樂團(tuán)有45名；（2）由題意，得3a+5b＝65，變形得b＝13?35∵每位樂團(tuán)的人數(shù)不少于5人且人數(shù)為正整數(shù)，∴a=5b=10或a=10∴共有兩種方案：①從甲樂團(tuán)抽調(diào)5人，從乙樂團(tuán)抽調(diào)10人；②從甲樂團(tuán)抽調(diào)10人，從乙樂團(tuán)抽調(diào)7人．【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組與二元一次方程解實際應(yīng)用題，讀懂題意，準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵．題型九解決方案決策問題題型九解決方案決策問題【例題9】（2021春?越秀區(qū)校級期中）為了豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校決定購進(jìn)5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的價格是羽毛球的16倍少2元，用50元可以買一副羽毛球拍和10只羽毛球：（1）一副羽毛球拍和一只羽毛球的價格各是多少？（2）甲乙兩商店舉行促銷活動，甲商店給出的優(yōu)惠是：所有商品打八折；乙商店的優(yōu)惠是：買一副羽毛球拍送4只羽毛球．求當(dāng)m＝30時，學(xué)校購買這批羽毛球拍和羽毛球最少需要多少元？【分析】（1）設(shè)一副羽毛球拍的價格是x元，一只羽毛球的價格是y元，根據(jù)“一副羽毛球拍的價格是一只羽毛球的價格的116倍少2元，用50元可以買一副羽毛球拍和10只羽毛球”，列出方程組，解方程組即可；（2）當(dāng)m＝30時，分別求得在兩商店的消費(fèi)額以及在兩商店混合買的消費(fèi)額，然后比較大小，從而得到答案．【解答】解：（1）設(shè)一副羽毛球拍的價格是x元，一只羽毛球的價格是y元，由題意得：x=16y?2x+10y=50解答：x=30y=2答：一副羽毛球拍的價格是30元，一只羽毛球的價格是2元；（2）當(dāng)m＝30時，甲商店消費(fèi)額為：0.8×（5×30+2×30）＝168（元），乙商店消費(fèi)額為：5×30+2×（30﹣5×4）＝170（元），從甲商店買羽毛球，從乙商店買羽毛球拍，消費(fèi)額為：（30﹣5×4）×2×0.8+5×30＝166（元），∵166＜168＜170，∴當(dāng)m＝30時，學(xué)校購買這批羽毛球拍和羽毛球最少需要166元．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉解決方案決首先要列舉出所有可能的方案，再按照題中的要求分別求出各種方案的具體結(jié)果，從中選擇最優(yōu)方案．【變式9-1】（2022秋?咸陽校級期末）元旦當(dāng)天，學(xué)校準(zhǔn)備給老師購買一批圍巾和襪子作為節(jié)日禮物，已知一條圍巾比一僅襪子的標(biāo)價多22元，買一條圍巾的錢可以買6雙襪子還剩2元，甲商場給出的節(jié)日優(yōu)惠為：每購買5條圍巾，送2雙襪子；乙商場給出的節(jié)日優(yōu)惠為：購買圍巾超過10條，則襪子打五折．（1）用二元一次方程組的知識求圍巾和襪子的單價；（2）學(xué)校個商場購買更合算？【分析】（1）設(shè)圍巾的單價為x元，襪子的單價為y元，由題意：一條圍巾比一雙襪子的標(biāo)價多22元，買一條圍巾的錢可以買6雙襪子還剩2元，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）分別求出學(xué)校在甲、乙商場購買圍巾50條，襪子25雙的費(fèi)用，再比較即可．【解答】解：（1）設(shè)圍巾的單價為x元，襪子的單價為y元，由題意得：x=y+22x=6y+2解得：x=26y=4答：圍巾的單價為26元，襪子的單價為4元；（2）去甲商場購買50條圍巾，送20雙襪子，費(fèi)用為：50×26+（25﹣20）×4＝1310（元）；去乙商場購買50條圍巾，襪子25雙，費(fèi)用為：50×26+25×4×0.5＝1350（元），∵1310＜1350，∴學(xué)校應(yīng)該到甲商場購買更合算．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022秋?城陽區(qū)期末）為保障師生健康安全，學(xué)校計劃從商場購進(jìn)一批免洗手消毒液和醫(yī)用口罩．兩商場的標(biāo)價相同，如果按照商場標(biāo)價購買，購買60瓶免洗手消毒液和20包醫(yī)用口罩，共需花費(fèi)2100元，如果購買45瓶免洗手消毒液和40包醫(yī)用口罩，共需花費(fèi)1950元．（1）求商場每瓶免洗手消毒液和每包醫(yī)用口罩的標(biāo)價分別是多少元？（2）甲乙商場開展促銷活動：甲商場，所有購買商品均打八折；乙商場，商品按照標(biāo)價銷售，每購買20瓶免洗手消毒液送10包醫(yī)用口罩．某校計劃購進(jìn)免洗手消毒液80瓶，50包醫(yī)用口罩，到哪家商場購買更合算？請說明理由．【分析】（1）設(shè)商場每瓶免洗手消毒液的標(biāo)價為x元，每包醫(yī)用口罩的標(biāo)價為y元，由題意：購買60瓶免洗手消毒液和20包醫(yī)用口罩，共需花費(fèi)2100元，如果購買45瓶免洗手消毒液和40包醫(yī)用口罩，共需花費(fèi)1950元．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）分別求出到甲商場購買的花費(fèi)和到乙商場購買的花費(fèi)，再比較即可．【解答】解：（1）設(shè)商場每瓶免洗手消毒液的標(biāo)價為x元，每包醫(yī)用口罩的標(biāo)價為y元，由題意得：60x+20y=210045x+40y=1950解得：x=30y=15答：商場每瓶免洗手消毒液的標(biāo)價為30元，每包醫(yī)用口罩的標(biāo)價為15元；（2）到甲商場購買更合算，理由如下：到甲商場購買的花費(fèi)為：（30×80+15×50）×0.8＝2520（元），到乙商場購買的花費(fèi)為：30×80+1