七年級數(shù)學下冊 8.3 實際問題與二元一次方程組（二）（解析版）

七年級下冊數(shù)學《第八章二元一次方程組》8.3實際問題與二元一次方程組（二）知識點一知識點一列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：◆1、列方程組解決實際問題是把“未知”化為“已知”的過程，其關鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題中的等量關系，列出方程組.◆2、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審：審題，找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．（2）設：設元，找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）找：找等量關系，挖掘題目中的所有條件，找出兩個等量關系．（4）列：根據(jù)等量關系，列出方程組．（5）解：解方程組，求出未知數(shù)的值．（6）答：檢驗所求解是否符合實際意義，然后作答．知識點二知識點二實際問題中的基本數(shù)量關系：◆◆球賽積分問題：①勝場數(shù)+平場數(shù)+負場數(shù)=總場數(shù)；②勝場積分+平場積分+負場積分=總積分.◆◆銀行利率問題：①利息=本金×利率×時間；②本息和=本金＋利息題型一球賽積分問題題型一球賽積分問題【例題1】（2022春?大荔縣期末）2022年2月6日女足亞洲杯決賽，在逆境中鏗鏘玫瑰沒有放棄，逆轉奪冠!某學校掀起一股足球熱，舉行了班級聯(lián)賽，某班開局11場保持不敗，積23分，按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，則該班獲勝的場數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】設該班獲勝的場數(shù)為x場，平場為y場，由題意：某班開局11場保持不敗，積23分，勝一場得3分，平一場得1分，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設該班獲勝的場數(shù)為x場，平場為y場，由題意得：x+y=113x+y=23解得：x=6y=5即該班獲勝的場數(shù)為6場，故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．解題技巧提煉球賽積分問題等量關系式：勝局場數(shù)+平局場數(shù)+負局場數(shù)=總場數(shù)．勝局積分+平局積分+負局積分=總積分．【變式1-1】（2022秋?市中區(qū)校級期末）一張競賽試卷有25道題，做對一道題得4分，做錯一道題倒扣1分，小明做了全部試題得到70分，則他做對的題有（）A．16道 B．17道 C．18道 D．19道【分析】設小明做對的題為x道，做錯的題為y道，由題意：做對一道題得4分，做錯一道題倒扣1分，小明做了全部試題得到70分，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設小明做對的題為x道，做錯的題為y道，根據(jù)題意得：x+y=254x?y=70解得：x=19y=6即他做對的題為19道，故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式1-2】足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分某隊前16場比賽中負6場得26分，則該隊勝場．【分析】設該隊勝了x場，平了y場，根據(jù)該隊前16場比賽中負6場得26分，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設該隊勝了x場，平了y場，依題意，得：x+y+6=163x+y=26解得：x=8y=2故答案為：8．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式1-3】（2022?新城區(qū)校級二模）為有效落實雙減工作，切實做到減負提質，很多學校高度重視學生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分，求該隊獲勝的場數(shù)．【分析】設該隊獲勝x場，平y(tǒng)場，利用總積分＝3×獲勝場次數(shù)+1×平的場次數(shù)，結合“該隊在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設該隊獲勝x場，平y(tǒng)場，依題意得：x+y=113x+y=25解得：x=7y=4答：該隊獲勝7場．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式1-4】（2022秋?安鄉(xiāng)縣期末）在一次有12個隊參加的足球循環(huán)賽（每兩隊之間必須比賽一場）中，規(guī)定勝一場記3分，平一場記1分，負一場記0分．某隊在這次循環(huán)賽中所勝場數(shù)比所負場多兩場，結果積18分，問該隊戰(zhàn)平幾場？【分析】本題是12個隊進行單循環(huán)賽，每個隊都要與除了它自己之外的11個隊賽一場，所以一個隊的比賽總場數(shù)為11．本題中有兩個等量關系：勝的場數(shù)+平的場數(shù)+負的場數(shù)＝11；勝的積分+平的積分＝18．【解答】解：設該隊勝x場，平y(tǒng)場．則x+y+(x?2)=11解得x=5y=3答：該隊戰(zhàn)平3場．【點評】本題中隱含一個等量關系：12個隊進行單循環(huán)賽，每個隊都要與除了它自己之外的11個隊賽一場，所以一個隊的比賽總場數(shù)為11．需要知道這個知識點．【變式1-5】（2021春?德宏州期末）在一次數(shù)學知識競賽中，共有20道題，規(guī)定：答錯或不答一道題扣分相同，當答題結束時，A同學答對14道題，得分為58分；B同學答對11道題，得分為37分．請問答對一道題得幾分，答錯或不答一道題扣幾分．【分析】設答對一道題得x分，答錯或不答一道題扣y分，根據(jù)“A同學答對14道題，得分為58分；B同學答對11道題，得分為37分”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出答對一道題的得分及答錯或不答一道題扣的分值．【解答】解：設答對一道題得x分，答錯或不答一道題扣y分，依題意得：14x?(20?14)y=5811x?(20?11)y=37解得：x=5y=2答：答對一道題得5分，答錯或不答一道題扣2分．題型二題型二增長率（下降率）或百分比問題【例題2】（2022秋?城陽區(qū)期末）某農場去年計劃生產小麥和玉米共15噸，實際生產了17噸，其中小麥超產15%，玉米超產10%．該農場去年實際生產小麥、玉米各（）噸，A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23【分析】設該農場去年計劃生產小麥x噸，玉米y噸，由題意：去年計劃生產小麥和玉米共15噸，實際生產了17噸，其中小麥超產15%，玉米超產10%．列出二元一次方程組，解方程組，即可得出結論．【解答】解：設該農場去年計劃生產小麥x噸，玉米y噸，則該農場去年實際生產小麥（1+15%）x噸，玉米（1+10%）y噸，依題意得：x+y=15(1+15%)x+(1+10%)y=17解得：x=10y=5∴（1+15%）x＝（1+15%）×10＝11.5，（1+10%）y＝（1+10%）×5＝5.5．即該農場去年實際生產小麥11.5噸，玉米5.5噸，故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．解題技巧提煉增長率（下降率）或百分比問題等量關系式：（1）增長率問題：原有量×（1+增長率）=增長后的量．（2）下降率問題：原有量×（1－下降率）=下降后的量．【變式2-1】（2022春?廣平縣校級月考）某商場2020年的總利潤為100萬元，2021年的總收入比2020年增加10%，總支出比2020年減少5%，2021年的總利潤為140萬元，則2020年的總收入和總支出分別是（）A．300萬元，210萬元 B．300萬元，200萬元 C．400萬元，300萬元 D．410萬元，310萬元【分析】設2020年的總收入和總支出分別為x，y萬元，根據(jù)題意列方程求解即可．【解答】解：設2020年的總收入和總支出分別為x，y萬元，由題意可得：x?y=100(1+10%)x?(1?5%)y=140解得x=300y=200故選：B．【點評】此題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是理解題意，找到題中的等量關系，正確列出方程組．【變式2-2】某商場新購進一種服裝，每套售價1000元，若將褲子降價10%，上衣漲價5%，調價后這套服裝的單價比原來提高了2%，則調價前上衣的單價是（）A．200元 B．480元 C．600元 D．800元【分析】設調價前上衣的單價是x元，褲子的單價是y元，根據(jù)“調價前每套售價1000元，若將褲子降價10%，上衣漲價5%，調價后這套服裝的單價比原來提高了2%”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設調價前上衣的單價是x元，褲子的單價是y元，依題意，得：x+y=1000(1+5%)x+(1?10%)y=1000×(1+2%)解得：x=800y=200即調價前上衣的單價是800元，故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式2-3】（2021秋?豐順縣校級期末）青島市某實驗中學在對口援助邊遠山區(qū)活動中，原計劃贈書3000冊，由于學生積極響應，實際贈書3780冊，其中初中部比原計劃多贈了20%，高中部比原計劃多贈了30%，則該校初中部原計劃贈書冊，高中部原計劃贈書冊．【分析】設原計劃初中部贈書x冊，高中部贈書y冊，根據(jù)原計劃贈書3000冊和初中部多捐贈的書+高中部多捐贈的書＝3780﹣3000可得方程組，解方程組即可．【解答】解：設原計劃初中部贈書x冊，高中部贈書y冊，依題意有：20%x+30%y=3780?3000x+y=3000解得：x=1200y=1800故答案為：1200；1800．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用，為了少出差錯，減少運算量，最好根據(jù)增加的書數(shù)來列等量關系．【變式2-4】（2022秋?渠縣校級期末）隨著國家“億萬青少年學生陽光體育運動”活動的啟動，某區(qū)各所中小學也開創(chuàng)了體育運動的一個新局面．你看某校七年級（1）、（2）兩個班共有100人，在兩個多月的長跑活動之后，學校對這兩個班的體能進行了測試，大家驚喜的發(fā)現(xiàn)（1）班的合格率為96%，（2）班的合格率為90%，而兩個班的總合格率為93%，求七年級（1）、（2）兩班的人數(shù)各是多少？【分析】設（1）班有x人，（2）班有y人，根據(jù)題目中所述的兩個等量關系可得出方程組，解出即可得出答案．【解答】解：設（1）班有x人，（2）班有y人，依題意得：x+y=10096%x+90%y=100×93%解得：x=50y=50答：（1）、（2）班各有50個人．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，解決此類題目的關鍵是仔細審題，將等量關系找到，然后用方程解決．【變式2-5】（2022?澄邁縣模擬）有兩塊試驗田，原來可產花生470千克，改用良種后共產花生532千克，已知第一塊田的產量比原來增加16%，第二塊田的產量比原來增加10%，問這兩塊試驗田改用良種后，各增產花生多少千克？【分析】根據(jù)題意可知，本題中的相等關系是“原來兩塊試驗田可產花生470千克”和“改用良種后兩塊田共產花生532千克，第一塊田的產量比原來增加16%，第二塊田的產量比原來增加10%后的產量”，列方程組求解即可．【解答】解：設第一，二塊田原產量分別為x千克，y千克．得x+y=47016%x+10%y=532?470解得x=250y=220所以16%x＝40，10%y＝22．答：第一塊田增產40千克，第二塊田增產22千克．【點評】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．利用二元一次方程組求解的應用題一般情況下題中要給出2個等量關系，準確地找到等量關系并用方程組表示出來是解題的關鍵．題型三幾何圖形問題題型三幾何圖形問題【例題3】（2022秋?章丘區(qū)校級期末）如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長方形紙片拼成一個寬是60厘米的大長方形，則每個小長方形的周長是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米【分析】設小長方形地磚的長為x厘米，寬為y厘米，由大長方形的寬為60厘米，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設小長方形地磚的長為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：x+y=603x=2x+3y解得：x=45y=15則每個小長方形的周長＝2（x+y）＝120（厘米），故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．解題技巧提煉利用二元一次方程組解決幾何圖形問題，必須要掌握幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式及對應關系，要善于從圖形中獲取解題所需的信息,從而得到等量關系式建立方程進而求解．【變式3-1】（2022秋?北碚區(qū)校級期末）如圖，利用兩個外形一致的長方形木塊測量一張桌子的高度，首先按圖①方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②方式放置，測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（）A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm【分析】設桌子的高度為xcm，長方形木塊的長比寬長ycm，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設桌子的高度為xcm，長方形木塊的長比寬長ycm，根據(jù)題意得：x+y=90x?y=80解得：x=85y=5∴桌子的高度是85cm．故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式3-2】（2022秋?臺江區(qū)校級期末）如圖，長方形ABCD中放置9個形狀、大小都相同的小長方形，相關數(shù)據(jù)圖中所示，則圖中陰影部分的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．22【分析】設小長方形的長為x，寬為y，觀察圖形，根據(jù)長方形長與寬之間的關系，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再利用陰影部分的面積＝大長方形的面積﹣9×小長方形的面積，即可求出結論．【解答】解：設小長方形的長為x，寬為y，依題意，得：x+4y=9x?y=4解得：x=5y=1∴S陰影＝9×（4+3y）﹣9×xy＝18．故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式3-3】（2022?蘇州模擬）小東在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個一樣大小的長方形，恰好可以拼成一個大的長方形如圖1所示．小林看見了說：“我也來試一試．”結果小林七拼八湊，拼成了如圖2那樣的正方形，中間還留下了一個恰好是邊長為3cm的小正方形，求小長方形的面積．【分析】設小長方形的寬為xcm，長為ycm，根據(jù)圖1中大長方形的長、圖2中大正方形的邊長的不同表示方法得出方程組，解方程組求出小長方形的寬和長即可解決問題．【解答】解：設小長方形的寬為xcm，長為ycm，則圖1中大長方形的長可以表示為5xcm或3ycm，圖2中大正方形的邊長可以表示為（2x+y）cm或（2y+3）cm，那么可得出方程組為：5x=3y2x+y=2y+3解得：x=9y=15則小長方形的面積為：9×15＝135（cm2），答：小長方形的面積為135cm2．【點評】本題主要考查二元一次方程組的應用，觀察圖形得出等量關系，列出方程組是解題的關鍵．【變式3-4】（2021春?濱江區(qū)校級期末）在長為10m，寬為8m的矩形空地上，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個全等的小矩形花圃，其示意圖如圖所示．則花圃的面積為（）A．16 B．8 C．32 D．24【分析】設每個小矩形花圃的長為xm，寬為ym，觀察圖形，根據(jù)矩形空地的長和寬，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出每個矩形小花圃的長和寬，再將其代入3xy中即可求出花圃的面積．【解答】解：設每個小矩形花圃的長為xm，寬為ym，依題意得：2x+y=10x+2y=8解得：x=4y=2∴3xy＝3×4×2＝24．故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及生活中的平移現(xiàn)象，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式3-5】（2022春?東港區(qū)校級期中）用如圖（1）中的長方形和正方形紙板作側面和底面，做成如圖（2）所示的豎式和橫式兩種無蓋紙盒．現(xiàn)倉庫里有80張正方形紙板和160張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存紙板用完？【分析】設豎式紙盒做x個，橫式紙盒做y個，根據(jù)現(xiàn)倉庫里有80張正方形紙板和160張長方形紙板，列二元一次方程組，求解即可．【解答】解：設豎式紙盒做x個，橫式紙盒做y個，根據(jù)題意，得4x+3y=160x+2y=80解得x=16y=32答：豎式紙盒做16個，橫式紙盒做32個，恰好將庫存紙板用完．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，根據(jù)題意建立等量關系是解題的關鍵．題型四年齡問題題型四年齡問題【例題4】（2022春?濱州期末）甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的2倍，則乙現(xiàn)在的年齡是（）A．10歲 B．15歲 C．20歲 D．30歲【分析】設甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙年齡為y歲，根據(jù)甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的2倍，列出方程組解答即可．【解答】解：甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙年齡為y歲，根據(jù)題意得：x?y=15x?5=2(y?5)解得：x=35y=20答：乙現(xiàn)在的年齡是20歲．故選：C．【點評】此題考查了二元一次方程的應用，找出題中的等量關系是解本題的關鍵．解題技巧提煉二元一次方程組解決年齡問題的基本關系是抓住兩個人年齡的增長數(shù)相等。年齡問題的特點是：時間發(fā)生變化，年齡在增長，但是年齡差始終不變．年齡問題往往是“和差”、“差倍”等問題的綜合應用，解題時，我們一定要抓住年齡差不變這個解題關鍵.【變式4-1】今年哥哥的年齡是妹妹的2倍，2年前哥哥的年齡是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年齡．設哥哥今年x歲，妹妹今年y歲，得到的方程組（）A．x+2=3(y+2)，x=2y. B．x?2=3(y?2)，C．x+2=2(y+2)，x=3y． D．【分析】設今年哥哥x歲，妹妹y歲，根據(jù)今年哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍，可得x＝2y，再根據(jù)2年前哥哥的年齡是妹妹年齡的3倍可得x﹣2＝3（y﹣2），進而可得答案．【解答】解：設今年哥哥x歲，妹妹y歲，由題意得：x=2yx?2=3(y?2)故選：B．【變式4-2】（2022春?封丘縣月考）根據(jù)小頭爸爸與大頭兒子的對話，求出大頭兒子現(xiàn)在的年齡．小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．【分析】設大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲，爸爸的年齡是y歲，由題意：小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲，爸爸的年齡是y歲，由題意得：y=x+23y+5=2(x+5)+8解得：x=10y=33答：大頭兒子現(xiàn)在的年齡為10歲．【變式4-3】（2021?無錫模擬）一天，小民去問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經是老壽星了，125歲了，哈哈！”請你寫出小民爺爺?shù)降资嵌嗌贇q？【分析】設小民爺爺是x歲，小民是y歲，根據(jù)爺爺及小民年齡之間的關系，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設小民爺爺是x歲，小民是y歲，依題意得：x?y=y+40x+(x?y)=125解得：x=70y=15答：小民爺爺是70歲．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式4-4】（2022秋?漢壽縣期末）小明問數(shù)學老師的年齡，數(shù)學老師微笑著說：“我像你這么大的時候，你剛好3歲；你到我這么大時，我就42歲了，”那么數(shù)學老師今年的年齡是多少歲？【分析】設小明和老師今年的年齡分別為x歲、y歲，根據(jù)題意可得等量關系：老師今年的年齡?學生今年的年齡＝學生今年的年齡﹣3；老師42歲?老師今年的年齡＝老師今年的年齡?學生今年的年齡，根據(jù)等量關系列出方程，即可解答．【解答】解：設小明和老師今年的年齡分別為x歲、y歲，由題意得：y?x=x?342?y=y?x解得：x=16y=29答：數(shù)學老師今年的年齡是29歲，【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．【變式4-5】（2022?南陵縣自主招生）已知甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲，乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，求甲、乙現(xiàn)在的年齡的差．【分析】甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙現(xiàn)在的年齡是y歲，由題意：甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲，乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，列出二元一次方程組，即可解決問題．【解答】解：甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙現(xiàn)在的年齡是y歲，由題意可得：x?y=y?10x?y=25?x即x?2y=?102x?y=25由此可得，3（x﹣y）＝15，∴x﹣y＝5，即甲、乙現(xiàn)在的年齡的差為5歲．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．題型五分段計費問題題型五分段計費問題【例題5】為了加強公民節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調控手段達到節(jié)約用水的目的，規(guī)定：每戶居民每月用水不超過15m3時，按基本價格收費；超過15m3時，不超過的部分仍按基本價格收費，超過的部分要加價收費，該市某戶居民今年4、5月份的用水量和水費如表所示：月份用水量/m3水費/元4165052070（1）求該市居民用水的兩種收費價格；（2）【分析】（1）分兩種情況：當x＜6時；當x＞6時；求得用戶用水為x立方米時的水費；先判斷這個月一定超過15立方米，再根據(jù)等量關系：15立方米的水費+超過15立方米的水費=80元，列出方程求解即可.【解答】解：（1）設基本水費價格為：x元/m3，超過的部分水費價格為：y元/m3，15x+y=答：基本水費價格為：3元/m3，超過的部分水費價格為：5元/m3；（2）∵3×15=45＜80（元），∴這個月一定超過15立方米，則15×3+5（a﹣15）=80，解得：a=22．答：這個月該用戶用水22立方米．【點評】此題考查了二元一次方程組的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，找到所求的量的等量關系．解題技巧提煉列二元一次方程組解分段計費問題，常見的等量關系有：總收費=標準內收費＋標準外收費，解題的關鍵是弄清某次收費包含哪幾段費用.【變式5-1】某城市規(guī)定：出租車起步價允許行駛的最遠路程為3千米，超過3千米的部分按每千米另行收費，甲說：“我乘這種出租車走了11千米，付了20元”；乙說：“我乘這種出租車走了23千米，付了38元”．請你算一算這種出租車的起步價是多少元？以及超過3千米后，每千米的車費是多少元？【分析】首先根據(jù)題意設出未知數(shù)，找出其中的相等關系：①出租車走了11千米，付了20元；②出租車走了23千米，付了38元，列出方程組，解出得到答案.【解答】解：設出租車的起步價是x元，超過3千米后，每千米的車費是y元，由題意得：x解得：x=答：出租車的起步價是8元，超過3千米后，每千米的車費是1.5元．【點評】此題考查了二元一次方程組的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，找到所求的量的等量關系．【變式5-2】先閱讀下列一段文字，然后解答問題．某運輸部分規(guī)定：辦理托運，當物品的重量不超過16kg時，需付基礎費30元和保險費a元；為限制過重物品的托運，當物品的重量超過16kg時，除了付以上基礎費和保險費外，超過部分每千克還需付b元超重費．設某件物品的重量為x（kg）．當x≤16時，支付費用為元（用含a的代數(shù)式表示）；當x＞16時，支付費用為元（用含x和a，b的代數(shù)式表示）；（2）甲、乙兩人各托運一次物品，物品的重量和支付費用如表所示：物品的重量（kg）支付費用（元）18382553試根據(jù)以上提供的信息確定a，b的值．【分析】（1）當x≤16時，只需付基礎費30元+保險費a元，所以支付費用為（a+30）元；當x＞16時，需付費用為基礎費30元+保險費a元+超重費，即[a+30+（x﹣16）b]元．（2）結合表格，根據(jù)當x＞16時，需付費用為基礎費30元+保險費a元+超重費，列方程組求解．【解答】解：（1）當x≤16時，支付的費用為：a+30；當x＞16時，支付的費用為：a+30+（x﹣16）b．故答案為：a+30，a+30+（x﹣16）b；（2）①由題意得a+30+(18?16)b=38a+30+(25?16)b=53解得：a=26【點評】本題考查了二元一次方程組，準確地找到等量關系并用方程組表示出來是解題的關鍵．【變式5-3】（2022秋?宣州區(qū)期末）為響應國家節(jié)能減排的號召，鼓勵居民節(jié)約用電，各省市先后出臺了“階梯價格”制度，如表中是某市的電價標準（每月）階梯電量x（單位：度）電費價格（單位：元/度）一檔0＜x≤180a二檔180＜x≤400b三檔x＞4000.95（1）已知陳女士家三月份用電256度，繳納電費154.56元，四月份用電318度，繳納電費195.48元請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出表格中的a，b的值．（2）5月份開始用電增多，陳女士繳納電費280元，求陳女士家5月份的用電量．【分析】（1）根據(jù)各檔的電費價格和所用的電數(shù)以及所繳納電費，列出方程組，進行求解即可；（2）根據(jù)題意先判斷出陳女士所用的電所在的檔，再設陳女士家五月份用電量為m度，根據(jù)價格表列出等式，求出m的值即可．【解答】解：（1）由題意得：180a+(256?180)b=154.56180a+(318?180)b=195.48解得：a=0.58b=0.66答：a的值是0.58，b的值是0.66；（2）∵180×0.58+（400﹣180）×0.66＝249.6＜280，∴5月份陳女士家用電量超過400度．設陳女士家五月份用電量為m度，根據(jù)題意得：249.6+（m﹣400）×0.95＝280，解得：m＝432答：陳女士家5月份的用電量為432度．【點評】此題考查了二元一次方程組的應用和一元一次方程的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，找到所求的量的等量關系．【變式5-4】（2021春?肥城市期末）某地為了鼓勵居民節(jié)約用水，決定實行兩級收費制，即每月用水量不超過15噸（含15噸）時，每噸按政府補貼優(yōu)惠價收費；每月超過15噸時，超過部分每噸按市場調節(jié)價收費．小明家1月份用水23噸，交水費88.5元，2月份用水19噸，交水費70.5元．（1）求每噸水的政府補貼優(yōu)惠價和市場調節(jié)價分別是多少？（2）小明家3月份用水25噸，他家應交水費多少元？【分析】（1）設每噸水的政府補貼優(yōu)惠價是x元，市場調節(jié)價是y元，根據(jù)“小明家1月份用水23噸，交水費88.5元，2月份用水19噸，交水費70.5元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出每噸水的政府補貼優(yōu)惠價和市場調節(jié)價；（2）利用小明家3月份應交水費＝15×3.5+超過15噸的部分×4.5，即可求出小明家3月份應交水費的金額．【解答】解：（1）設每噸水的政府補貼優(yōu)惠價是x元，市場調節(jié)價是y元，依題意得：15x+(23?15)y=88.515x+(19?15)y=70.5解得：x=3.5y=4.5答：每噸水的政府補貼優(yōu)惠價是3.5元，市場調節(jié)價是4.5元．（2）15×3.5+（25﹣15）×4.5＝15×3.5+10×4.5＝52.5+45＝97.5（元）．答：小明家3月份用水25噸，他家應交水費97.5元．【點評】此題考查了二元一次方程組的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，找到所求的量的等量關系．題型六分配問題題型六分配問題【例題6】（2022春?利津縣期末）某廠第二車間的人數(shù)比第一車間的人數(shù)的45少30人．如果從第一車間調10人到第二車間，那么第二車間的人數(shù)就是第一車間的34．問這兩個車間原來各有多少人？設第一車間原來有x人，第二車間原來有A．y=45x?30y=3C．y=45x?30y=【分析】根據(jù)題意可知，第二車間的人數(shù)＝第一車間的人數(shù)×45?【解答】解：設第一車間的人數(shù)是x人，第二車間的人數(shù)是y人．依題意有：y=4故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是讀懂題意，找出等量關系，列出方程組．解題技巧提煉分配問題即分配前后總量不變，分配后兩量之間有新的倍比關系．解這類題要注意分析分配后兩量之間的關系，從而找到等量關系．【變式6-1】某抗洪救災小組A地段28人，B地段有15人，現(xiàn)又調來29人分配在A、B兩個地段，要求使A地段的人數(shù)是B地段人數(shù)的2倍，則調往A地段和B地段的人數(shù)分別為．【分析】設調往A地段x人，B地段y人，根據(jù)總共調來29人；A地段的人數(shù)是B地段人數(shù)的2倍，可得出方程組，解出即可．【解答】解：設調往A地段x人，B地段y人，由題意得，x+y=2928+x=2(15+y)解得x=20y=9所以調往A、B地段分別是20人，9人．故答案為：20，9．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，找到等量關系，難度一般．【變式6-2】某校師生共100人到兩個車間參加勞動，到第一車間的人數(shù)比到第二車間的人數(shù)兩倍少8人，到兩個車間的人數(shù)分別．【分析】根據(jù)題意可知此題存在兩個等量關系，即第一車間的人數(shù)+第二車間的人數(shù)＝100人，第一車間的人數(shù)＝第二車間的人數(shù)兩倍﹣8，根據(jù)這兩個等量關系可列出方程組．【解答】解：設到第一車間的人數(shù)為x人，到第二車間的人數(shù)為y人，則可列方程組為x+y=100x=2y?8解得x=64答：到第一、第二車間的人數(shù)分別為64人和36人．故填64，36．【點評】解題關鍵是弄清題意，找出合適的等量關系，列出方程組．特別是第一車間的人數(shù)＝第二車間的人數(shù)兩倍﹣8這個等量關系式．【變式6-3】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）某車間有2個小組，甲組是乙組人數(shù)的2倍，若從甲組調8人到乙組，那么甲組人數(shù)比乙組人數(shù)的一半還多6人，則原來乙組的人數(shù)為（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】設原來乙組有x人，甲組有y人，由題意：甲組是乙組人數(shù)的2倍，若從甲組調8人到乙組，那么甲組人數(shù)比乙組人數(shù)的一半還多6人，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設原來乙組有x人，甲組有y人，依題意，得：y=2xy?8=解得：x=12y=24即原來乙組有12人，故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式6-4】某廠第二車間的人數(shù)比第一車間的人數(shù)的45少30人．如果從第一車間調10人到第二車間，那么第二車間就是第一車間的3【分析】根據(jù)題意可知，第二車間的人數(shù)＝第一車間的人數(shù)×45?【解答】解：設第一車間的人數(shù)是x人，第二車間的人數(shù)是y人．依題意有：y=4解得x=250y=170答：第一車間有250人，第二車間有170人．【點評】注意要根據(jù)題意給出的等量關系第二車間的人數(shù)＝第一車間的人數(shù)×45?【變式6-5】定安縣服裝廠第二車間的人數(shù)比第一車間的人數(shù)的2倍少10人．如果從第二車間調5人到第一車間后，兩個車間的人數(shù)一樣多．問這兩個車間各有多少人？【分析】設第一車間原來有x個工人，第二車間原來有y個工人．根據(jù)“第二車間工人人數(shù)比第一車間工人人數(shù)的2倍少10人，若從第二車間抽調5人到第一車間，那么兩個車間的人數(shù)一樣多”列出方程組并解答．【解答】解：設第一車間原來有x個工人，第二車間原來有y個工人．依題意得：y=2x?10y?5=x+5解得：x=20y=30答：第一車間20人，第二車間30人．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用．利用二元一次方程組求解的應用題一般情況下題中要給出2個等量關系，準確地找到等量關系并用方程組表示出來是解題的關鍵．題型七銀行利率問題題型七銀行利率問題【例題7】（2021秋?郫都區(qū)校級月考）某人善于理財，她以兩種方式共儲蓄1000元．一種儲蓄的年利率為3%，另一種儲蓄的年利率為4%，一年后本息和為1035元（不考慮利息稅），則兩種儲蓄的存款分別為（）A．400元，600元 B．500元，500元 C．300元，700元 D．800元，200元【分析】設年利率為3%的儲蓄存了x元，年利率為4%的儲蓄存了y元，根據(jù)“兩種儲蓄共存了1000元，且一年后本息和為1035元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可求出兩種儲蓄的存款金額．【解答】解：設年利率為3%的儲蓄存了x元，年利率為4%的儲蓄存了y元，依題意得：x+y=1000(1+3%)x+(1+4%)y=1035解得：x=500y=500故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．解題技巧提煉銀行儲蓄問題：

①利息=本金×利率×期數(shù)；

②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期數(shù)=本金×（1+利率×期數(shù)）；

③實得利息=利息-利息稅；④利息稅=利息×利息稅率；

⑤年利率=月利率×12．【變式7-1】小張以兩種形式共儲蓄了5000元，假設第一種的年利率為3.7%，第二種的年利率為2.25%，一年后得到利息156元，那么小張以第一種形式儲蓄的錢數(shù)是（）A．2000元 B．2500元 C．3000元 D．3500元【分析】可以設第一種儲蓄的錢數(shù)為x元，第二種為y元，根據(jù)本金×利率＝利息及兩種儲蓄共5000元，可以列出兩個方程，求方程組的解即可．【解答】解：設第一種儲蓄的錢數(shù)為x元，第二種為y元，根據(jù)題意得：x+y=50003.7%x+2.25%y=156解得：x=3000y=2000即第一種儲蓄的錢數(shù)為3000元，第二種儲蓄為2000元．故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．【變式7-2】某公司向銀行申請了甲、乙兩種貸款，共計68萬元，還貸期間每年需付出8.42萬元利息．已知甲種貸款每年的利率為12%，乙種貸款每年的利率為13%，則該公司乙種貸款的數(shù)額萬元．【分析】設該公司甲種貸款的數(shù)額為x萬元，乙種貸款的數(shù)額為y萬元，根據(jù)兩種貸款共68萬元且每年需付出8.42萬元利息，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設該公司甲種貸款的數(shù)額為x萬元，乙種貸款的數(shù)額為y萬元，依題意，得：x+y=6812%x+13%y=8.42解得：x=42y=26故答案為：26．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式7-3】（2021春?荊州期末）某公司向銀行申請了甲、乙兩種貸款，共計68萬元，每年需付出3.2萬元利息．已知甲種貸款每年的利率為4.5%，乙種貸款每年的利率為5%，則該公司申請的甲種貸款的數(shù)額為萬元．【分析】設該公司申請的甲種貸款的數(shù)額為x萬元，申請的乙種貸款的數(shù)額為y萬元，根據(jù)該公司申請的甲、乙兩種貸款共68萬元且每年需付出3.2萬元利息，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設該公司申請的甲種貸款的數(shù)額為x萬元，申請的乙種貸款的數(shù)額為y萬元，依題意得：x+y=684.5%x+5%y=3.2解得：x=40y=28故答案為：40．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式7-4】李紅去年在中國農業(yè)銀行以甲、乙兩種存款形式總共儲蓄了8000元人民幣．其中甲種儲蓄的年利率為10%，乙種儲蓄的年利率為12%，一年后共得利息860元整．問李紅的甲、乙兩種儲蓄各是多少元？【分析】設甲種儲蓄存儲x元，乙種儲蓄存儲y元，根據(jù)兩種存儲一共存款8000元，結合利息＝本金×年利率，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設甲種儲蓄存儲x元，乙種儲蓄存儲y元，根據(jù)題意得：x+y=800010%x+12%y=860解得：x=5000y=3000答：甲種儲蓄存儲5000元，乙種儲蓄存儲3000元．【變式7-5】某人以兩種形式一共儲蓄了8000元人民幣，其中甲種儲蓄的年利率為10%，乙種儲蓄的年利率為12%，一年后共得利息860元整，問甲、乙兩種儲蓄存儲各多少元？【分析】設甲種儲蓄存儲x元，乙種儲蓄存儲y元，根據(jù)兩種存儲一共存款8000元結合利息＝本金×年利率即可得出關于x、y的二元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：設甲種儲蓄存儲x元，乙種儲蓄存儲y元，根據(jù)題意得：x+y=800010%x+12%y=860解得：x=5000y=3000答：甲種儲蓄存儲5000元，乙種儲蓄存儲3000元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，根據(jù)數(shù)量關系利息＝本金×年利率結合兩種存儲一共存款8000元列出關于x、y的二元一次方程組是解題的關鍵．題型八圖表信息問題題型八圖表信息問題【例題8】（2021秋?平遠縣期末）梅州金柚，聲名遠播，今年又是一個豐收年．某經銷商為了打開銷路，對1000個金柚進行打包優(yōu)惠出售．打包方式及售價如圖．假設用這兩種打包方式恰好裝完全部柚子．當銷售總收入為7280元時．（1）若這批金柚全部售完，請問紙盒裝共包裝了多少箱，編織袋裝共包裝了多少袋？（2）若該經銷商留下b（b＞0）箱紙盒裝送人，其余紙盒裝全部售出，求b的值．【分析】（1）紙盒裝共包裝了x箱，編織袋裝共包裝y袋，列出方程組計算可得答案；（2）設紙盒裝共包裝了m箱，編織袋裝共包裝m袋，根據(jù)銷售總收入為7280元列方程求解即可．【解答】（1）設紙盒裝共包裝了x箱，編織袋裝共包裝y袋，由題意，得8x+18y=100064x+126y=7280解得：x=35y=40答：紙盒裝共包裝了35箱，編織袋裝共包裝了40袋．（2）設紙盒裝共包裝了m箱，編織袋裝共包裝n袋，由8m+18n＝1000，可得m=1000?18n由題意得，64×(125?9解得：n＝40?329∵m，n，b都是整數(shù)，且m≥0，n＞0，b＞0，∴b＝9，m＝107，n＝8，∴b的值為9．【點評】本題考查了二元一次方程組及二元一次方程的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，理解題目所述的意思，轉化為方程思想求解，難度一般．解題技巧提煉解決圖表信息問題，關鍵是讀懂題意，從圖表中獲取有用的信息，然后對這些信息進行加工處理，并聯(lián)系相關的數(shù)學知識找出相等關系，從而實現(xiàn)信息的轉換，順利地解決問題．【變式8-1】（2022秋?南關區(qū)校級月考）根據(jù)小亮與小麗的一段對話，求筆和筆記本的單價．【分析】設筆的單價為x元，筆記本的單價為y元，利用總價＝單價×數(shù)量，結合小麗兩次購買筆和筆記本的數(shù)量及總價，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設筆的單價為x元，筆記本的單價為y元，依題意得：4x+5y=468x+4y=44解得：x=1.5y=8答：筆的單價為1.5元，筆記本的單價為8元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式8-2】（2022春?濰坊期中）在“五一”期間，小明、小亮等同學隨家長一同到某景區(qū)游玩，如圖是購買門票時，小明與他爸爸的對話，試根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：（1）他們共去了幾個成人，幾個學生？（2）小明想要換哪種方式購票？該購票方式是否更合算？請通過計算說明．【分析】（1）設去了x個成人，去了y個學生，根據(jù)爸爸說的話，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）計算團體票所需費用，和400元比較即可求解．【解答】解：（1）設去了x個成人，去了y個學生，依題意得：x+y=1440x+0.5×40y=400解得：x=6y=8答：他們共去了6個成人，8個學生．（2）小明想要換團體票購票方式購票，該購票方式更合算，理由如下：若按團體票購票：16×40×0.6＝384（元），∵384＜400，∴按團體票購票更省錢．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式8-3】（2022秋?嶗山區(qū)校級期末）某校準備組織學生到濰坊進行社會實踐活動，為便于管理，所有人員必須乘坐同一列高鐵，高鐵單程票價格如下表所示，二等座學生票可打7.5折．若所有人員都買一等座單程火車票，共需花費5395元；若所有人員都買二等座單程火車票，在學生享受購票折扣后，總票款為2730元．青島北﹣濰坊票價一等座二等座83（元）52（元）（1）參加社會實踐活動的老師與學生各有多少人？（2）若二等座火車票只能買到30張，則如何購票最省錢？此時總票款是多少元？【分析】（1）設參加社會實踐活動的老師有x人，學生有y人，由題意：二等座學生票可打7.5折．若所有人員都買一等座單程火車票，共需花費5395元；若所有人員都買二等座單程火車票，在學生享受購票折扣后，總票款為2730元．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）由二等座學生票可打7.5折，且學生為50人，即可得出最省錢的購票方案．【解答】解：（1）設參加社會實踐活動的老師有x人，學生有y人，由題意得：(x+y)×83=539552x+52×0.75y=2730解得：x=15y=50答：參加社會實踐活動的老師有15人，學生有50人；（2）若二等座火車票只能買到30張，且30張二等座火車票都為學生票，則需要購買（15+50﹣30）張一等座火車票最省錢，此時總票款為：30×52×0.75+35×83＝4075（元），答：30張二等座火車票都為學生票，再購買35張一等座火車票最省錢，此時總票款為4075元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式8-4】（2022秋?中原區(qū)校級期中）請用二元一次方程組解決問題：某校八年級（1）班和（2）班的學生一塊到航天科普教育基地進行社會大課堂活動，兩班學生共104人，其中（1）班學生比（2）班學生少，教育基地門票價格如下：購票張數(shù)1～50張51～100張100張以上每張票的價格12元10元8元原計劃兩班都以班為單位購票，則一共應付1136元，請回答下列問題：（1）八年級（1）班有多少學生？（2）你作為組織者如何購票最省錢？比原計劃省多少錢？【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和兩個班人數(shù)之間的關系可以列出相應的方程組，從而可以得到八年級（1）班的人數(shù)；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和（1）中的結果，可知兩個班一起購買最省錢，從而可以求得可以省多少錢．【解答】解：（1）設八年級（1）班有x人，則八年級（2）班有y人，∵x＜y，∴x+y=10412x+10y=1136∴x=48y=56答：八年級（1）有48人；（2）兩個班一起購票最省錢，1136﹣8×104＝1136﹣832＝304（元），即可以節(jié)省304元．【點評】本題考查二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組，利用方程的知識解答．【變式8-5】（2022春?南湖區(qū)校級期中）某市甲、乙兩個有名的學校樂團，決定向某服裝廠購買同樣的演出服．如表是服裝廠給出的演出服裝的價格表：購買服裝的套數(shù)1～39套（含39套）40～79套（含79套）80套及以上每套服裝的價格100元80元60元經調查：兩個樂團共75人（甲樂團人數(shù)不少于40人），如果分別各自購買演出服，兩個樂團共需花費6600元．請回答以下問題：（1）甲、乙兩個樂團各有多少名學生？（2）現(xiàn)從甲樂團抽調a人，從乙樂團抽調b人（要求從每個樂團抽調的人數(shù)不少于5人），去兒童福利院獻愛心演出，并在演出后每位樂團成員向兒童們進行“心連心活動”；甲樂團每位成員負責3位小朋友，乙樂團每位成員負責5位小朋友．這樣恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心連心活動”的溫暖．請寫出所有的抽調方案，并說明理由．【分析】（1）設甲、乙個樂團各有x名、y名學生準備參加演出．根據(jù)題意，顯然各自購買時，甲樂團每套服裝是100元，乙樂團每套服裝是80元．根據(jù)等量關系：①共75人；②分別單獨購買服裝，一共應付6600元，列方程組求解即可；（2）利用甲樂團每位成員負責3位小朋友，乙樂團每位成員負責5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心連心活動”的溫暖，列出方程探討答案即可．【解答】解：（1）設甲樂團有x名；乙樂團有y名，根據(jù)題意，得x+y=75100x+80y=6600解得x=30y=45答：甲樂團有30名；乙樂團有45名；（2）由題意，得3a+5b＝65，變形得b＝13?35∵每位樂團的人數(shù)不少于5人且人數(shù)為正整數(shù)，∴a=5b=10或a=10∴共有兩種方案：①從甲樂團抽調5人，從乙樂團抽調10人；②從甲樂團抽調10人，從乙樂團抽調7人．【點評】本題考查二元一次方程組與二元一次方程解實際應用題，讀懂題意，準確找到等量關系列方程是解決問題的關鍵．題型九解決方案決策問題題型九解決方案決策問題【例題9】（2021春?越秀區(qū)校級期中）為了豐富學生的課外活動，學校決定購進5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的價格是羽毛球的16倍少2元，用50元可以買一副羽毛球拍和10只羽毛球：（1）一副羽毛球拍和一只羽毛球的價格各是多少？（2）甲乙兩商店舉行促銷活動，甲商店給出的優(yōu)惠是：所有商品打八折；乙商店的優(yōu)惠是：買一副羽毛球拍送4只羽毛球．求當m＝30時，學校購買這批羽毛球拍和羽毛球最少需要多少元？【分析】（1）設一副羽毛球拍的價格是x元，一只羽毛球的價格是y元，根據(jù)“一副羽毛球拍的價格是一只羽毛球的價格的116倍少2元，用50元可以買一副羽毛球拍和10只羽毛球”，列出方程組，解方程組即可；（2）當m＝30時，分別求得在兩商店的消費額以及在兩商店混合買的消費額，然后比較大小，從而得到答案．【解答】解：（1）設一副羽毛球拍的價格是x元，一只羽毛球的價格是y元，由題意得：x=16y?2x+10y=50解答：x=30y=2答：一副羽毛球拍的價格是30元，一只羽毛球的價格是2元；（2）當m＝30時，甲商店消費額為：0.8×（5×30+2×30）＝168（元），乙商店消費額為：5×30+2×（30﹣5×4）＝170（元），從甲商店買羽毛球，從乙商店買羽毛球拍，消費額為：（30﹣5×4）×2×0.8+5×30＝166（元），∵166＜168＜170，∴當m＝30時，學校購買這批羽毛球拍和羽毛球最少需要166元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．解題技巧提煉解決方案決首先要列舉出所有可能的方案，再按照題中的要求分別求出各種方案的具體結果，從中選擇最優(yōu)方案．【變式9-1】（2022秋?咸陽校級期末）元旦當天，學校準備給老師購買一批圍巾和襪子作為節(jié)日禮物，已知一條圍巾比一僅襪子的標價多22元，買一條圍巾的錢可以買6雙襪子還剩2元，甲商場給出的節(jié)日優(yōu)惠為：每購買5條圍巾，送2雙襪子；乙商場給出的節(jié)日優(yōu)惠為：購買圍巾超過10條，則襪子打五折．（1）用二元一次方程組的知識求圍巾和襪子的單價；（2）學校個商場購買更合算？【分析】（1）設圍巾的單價為x元，襪子的單價為y元，由題意：一條圍巾比一雙襪子的標價多22元，買一條圍巾的錢可以買6雙襪子還剩2元，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）分別求出學校在甲、乙商場購買圍巾50條，襪子25雙的費用，再比較即可．【解答】解：（1）設圍巾的單價為x元，襪子的單價為y元，由題意得：x=y+22x=6y+2解得：x=26y=4答：圍巾的單價為26元，襪子的單價為4元；（2）去甲商場購買50條圍巾，送20雙襪子，費用為：50×26+（25﹣20）×4＝1310（元）；去乙商場購買50條圍巾，襪子25雙，費用為：50×26+25×4×0.5＝1350（元），∵1310＜1350，∴學校應該到甲商場購買更合算．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式9-2】（2022秋?城陽區(qū)期末）為保障師生健康安全，學校計劃從商場購進一批免洗手消毒液和醫(yī)用口罩．兩商場的標價相同，如果按照商場標價購買，購買60瓶免洗手消毒液和20包醫(yī)用口罩，共需花費2100元，如果購買45瓶免洗手消毒液和40包醫(yī)用口罩，共需花費1950元．（1）求商場每瓶免洗手消毒液和每包醫(yī)用口罩的標價分別是多少元？（2）甲乙商場開展促銷活動：甲商場，所有購買商品均打八折；乙商場，商品按照標價銷售，每購買20瓶免洗手消毒液送10包醫(yī)用口罩．某校計劃購進免洗手消毒液80瓶，50包醫(yī)用口罩，到哪家商場購買更合算？請說明理由．【分析】（1）設商場每瓶免洗手消毒液的標價為x元，每包醫(yī)用口罩的標價為y元，由題意：購買60瓶免洗手消毒液和20包醫(yī)用口罩，共需花費2100元，如果購買45瓶免洗手消毒液和40包醫(yī)用口罩，共需花費1950元．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）分別求出到甲商場購買的花費和到乙商場購買的花費，再比較即可．【解答】解：（1）設商場每瓶免洗手消毒液的標價為x元，每包醫(yī)用口罩的標價為y元，由題意得：60x+20y=210045x+40y=1950解得：x=30y=15答：商場每瓶免洗手消毒液的標價為30元，每包醫(yī)用口罩的標價為15元；（2）到甲商場購買更合算，理由如下：到甲商場購買的花費為：（30×80+15×50）×0.8＝2520（元），到乙商場購買的花費為：30×80+1