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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.3.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則4.若平面向量,滿足,則的最大值為()A. B. C. D.5.已知,是函數(shù)圖像上不同的兩點(diǎn),若曲線在點(diǎn),處的切線重合,則實(shí)數(shù)的最小值是()A. B. C. D.16.等差數(shù)列中,已知,且,則數(shù)列的前項(xiàng)和中最小的是()A.或 B. C. D.7.國(guó)務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費(fèi)使用效益的意見》中提出,要優(yōu)先落實(shí)教育投入.某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了年至年國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù),并將其繪制成下表,由下表可知下列敘述錯(cuò)誤的是()A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國(guó)在財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出持續(xù)增長(zhǎng)B.年以來,國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出占比例持續(xù)年保持在以上C.從年至年,中國(guó)的總值最少增加萬億D.從年到年,國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出增長(zhǎng)最多的年份是年8.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.9.已知,則的取值范圍是()A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]10.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.11.設(shè),隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí),()A.減小,減小 B.減小,增大C.增大,減小 D.增大,增大12.五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶,每個(gè)單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為________.14.某班星期一共八節(jié)課(上午、下午各四節(jié),其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動(dòng)),排課要求為:語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)各排一節(jié),從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰(上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法有__________種.15.設(shè),則除以的余數(shù)是______.16.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),則?_____,△ABC的面積為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為.(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點(diǎn)到距離的取值范圍.18.(12分)在,角、、所對(duì)的邊分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,邊上的中線,求的面積.19.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對(duì)所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.20.(12分)已知,點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),直線交于另一點(diǎn)為等腰直角三角形,且.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),總使得為銳角,求直線斜率的取值范圍.21.(12分)為了整頓道路交通秩序,某地考慮將對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度,在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查,當(dāng)不處罰時(shí),有80人會(huì)闖紅燈,處罰時(shí),得到如表數(shù)據(jù):處罰金額(單位:元)5101520會(huì)闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí),行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少?(2)將選取的200人中會(huì)闖紅燈的市民分為兩類:類市民在罰金不超過10元時(shí)就會(huì)改正行為;類是其他市民.現(xiàn)對(duì)類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷,則前兩位均為類市民的概率是多少?22.(10分)已知函數(shù)(,)滿足下列3個(gè)條件中的2個(gè)條件:①函數(shù)的周期為;②是函數(shù)的對(duì)稱軸;③且在區(qū)間上單調(diào).(Ⅰ)請(qǐng)指出這二個(gè)條件,并求出函數(shù)的解析式;(Ⅱ)若,求函數(shù)的值域.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
化簡(jiǎn)得到,得到答案.【詳解】,故,對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)和對(duì)應(yīng)象限,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、A【解析】
用排除法,通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè),由于,排除B選項(xiàng);由于,所以,排除C選項(xiàng);由于當(dāng)時(shí),,排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.3、D【解析】試題分析:,,故選D.考點(diǎn):點(diǎn)線面的位置關(guān)系.4、C【解析】
可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá),利用向量數(shù)量積的性質(zhì),化簡(jiǎn)為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得:,,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵點(diǎn).本題屬中檔題.5、B【解析】
先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出在兩點(diǎn)處的切線方程,再利用兩直線斜率相等且縱截距相等,列出關(guān)系樹,從而得出,令函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn),當(dāng)或時(shí),,不符合題意,故.則在處的切線方程為;在處的切線方程為.由兩切線重合可知,整理得.不妨設(shè)則,由可得則當(dāng)時(shí),的最大值為.則在上單調(diào)遞減,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了推理論證能力,考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點(diǎn)是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算.6、C【解析】
設(shè)公差為,則由題意可得,解得,可得.令
,可得
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此可得數(shù)列前項(xiàng)和中最小的.【詳解】解:等差數(shù)列中,已知,且,設(shè)公差為,
則,解得
,.
令
,可得,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故數(shù)列前項(xiàng)和中最小的是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.7、C【解析】
觀察圖表,判斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確.【詳解】由表易知、、項(xiàng)均正確,年中國(guó)為萬億元,年中國(guó)為萬億元,則從年至年,中國(guó)的總值大約增加萬億,故C項(xiàng)錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表,正確認(rèn)識(shí)圖表是解題基礎(chǔ).8、D【解析】
集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.9、D【解析】
設(shè),可得,構(gòu)造()22,結(jié)合,可得,根據(jù)向量減法的模長(zhǎng)不等式可得解.【詳解】設(shè),則,,∴()2?2||22=4,所以可得:,配方可得,所以,又則[0,2].故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10、C【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由得:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.11、C【解析】
,,判斷其在內(nèi)的單調(diào)性即可.【詳解】解:根據(jù)題意在內(nèi)遞增,,是以為對(duì)稱軸,開口向下的拋物線,所以在上單調(diào)遞減,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的期望與方差,屬于中檔題.12、D【解析】
三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率,利用互為對(duì)立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個(gè)單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個(gè)單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時(shí),可以先求其對(duì)立事件,即甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率,本題有一定難度.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
直接計(jì)算得到答案,根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,故,當(dāng)時(shí),,故,解得.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性,意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.14、1344【解析】
分四種情況討論即可【詳解】解:數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時(shí)有:數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時(shí)有:數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時(shí)有:數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時(shí)有:所以共有1344種故答案為:1344【點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用,注意分類討論,做到不重不漏;基礎(chǔ)題.15、1【解析】
利用二項(xiàng)式定理得到,將89寫成1+88,然后再利用二項(xiàng)式定理展開即可.【詳解】,因展開式中后面10項(xiàng)均有88這個(gè)因式,所以除以的余數(shù)為1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用,涉及余數(shù)的問題,解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式,并將它展開分析,本題是一道基礎(chǔ)題.16、【解析】
①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解;②結(jié)合①求出,根據(jù)面積公式即可得解.【詳解】①2(sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°),②,,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應(yīng)用,涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,三角恒等變換,根據(jù)三角形面積公式求解三角形面積,綜合性強(qiáng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),.(2)【解析】
(1)根據(jù)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),即可求得的的普通方程,曲線的極坐標(biāo)方程為,利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:,即可求得答案;(2)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,即可求得答案.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù)的普通方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:的直角坐標(biāo)方程為.(2)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為圓心到的距離為,點(diǎn)到的距離的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式和點(diǎn)到直線距離公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)(2)答案不唯一,見解析【解析】
(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分別由三角形面積公式可得答案.【詳解】解:(1)在中,因?yàn)?,又已知,所以,因?yàn)?,所以,于?所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,當(dāng)時(shí),的面積,當(dāng)時(shí),的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面積公式和分類討論思想,屬于中檔題.19、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】
(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),,當(dāng)時(shí),f′(x)<2,當(dāng)時(shí),f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因?yàn)閤≥2,故,(?。┊?dāng)a≥1時(shí),1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對(duì)所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當(dāng)1<a<1時(shí),2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當(dāng)時(shí),g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當(dāng)a≤1時(shí),1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對(duì)所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時(shí),,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因?yàn)?,所以,故.法二?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時(shí),令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),不等式成立,即,則n=k+1時(shí),,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對(duì)任何n∈N*都成立.故.考點(diǎn):1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3、數(shù)列的通項(xiàng)公式;4、數(shù)列的前項(xiàng)和;5、不等式的證明.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由題意可知:由,求得點(diǎn)坐標(biāo),即可求得橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)直線,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,由,由為銳角,則,由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式,即可求得直線斜率的取值范圍.【詳解】解:(Ⅰ)根據(jù)題意是等腰直角三角形,,設(shè)由得則代入橢圓方程得橢圓的方程為(Ⅱ)根據(jù)題意,直線的斜率存在,可設(shè)方程為設(shè)由得由直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)則即得又為銳角則即②由①②得或故直線斜率可取值范圍是【點(diǎn)睛
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