4-1-1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

第頁第4章4.14一、選擇題1．已知A(－4，－5)、B(6，－1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116[答案]B[解析]圓心為AB的中點(diǎn)(1，－3)，半徑為eq\f(|AB|,2)＝eq\f(1,2)eq\r((6＋4)2＋(－1＋5)2)＝eq\r(29)，故選B.2．與圓C：(x－1)2＋y2＝36同圓心，且面積等于圓C面積的一半的圓的方程為()A．(x－1)2＋y2＝18 B．(x－1)2＋y2＝9C．(x－1)2＋y2＝6 D．(x－1)2＋y2＝3[答案]A[解析]已知圓半徑R＝6，設(shè)所求圓的半徑為r.則eq\f(πr2,πR2)＝eq\f(1,2)，∴r2＝18，又圓心坐標(biāo)為(1,0)，故選A.3．點(diǎn)P(5a＋1,12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的內(nèi)部，則A．|a|<1 B．a(chǎn)<eq\f(1,13)C．|a|<eq\f(1,5) D．|a|<eq\f(1,13)[答案]D[解析]由題意得(5a)2＋(12a)2<1即a2<eq\f(1,169)∴|a|<eq\f(1,13)，故選D.4．(09·重慶文)圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1[答案]A[解析]設(shè)圓心C(0，y)，由條件知eq\r((1－0)2＋(2－y)2)＝1，解之得y＝2，∴圓方程為x2＋(y－2)2＝1.[點(diǎn)評]觀察數(shù)字特征可見，圓心在y軸上，過點(diǎn)(1,2)且半徑為1，∴圓心與點(diǎn)(1,2)縱坐標(biāo)相同，即圓心(0,2)，故選A.5．點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)，\f(1－t2,1＋t2)))與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．在圓內(nèi) B．在圓外C．在圓上 D．與t的值有關(guān)[答案]C[解析]∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))2＝1，∴P在圓x2＋y2＝1上．6．過點(diǎn)C(－1,1)和D(1,3)，圓心在x軸上的圓的方程為()A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10[答案]D[解析]由圓心在x軸上知b＝0，排除A、B，將C(－1,1)的坐標(biāo)代入C、D檢驗(yàn)知，選D.7．方程|x|－1＝eq\r(2y－y2)表示的曲線為()A．兩個(gè)半圓 B．一個(gè)圓C．半個(gè)圓 D．兩個(gè)圓[答案]A[解析]兩邊平方整理得：(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，由|x|－1≥0得x≥1或x≤－1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1(x≥1)或(x＋1)2＋(y－1)2＝1(x≤－1)，∴為兩個(gè)“半圓”，選A.8．已知M(x，y)是圓x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，則eq\f(y,x＋2)的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))D．(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)[答案]A[解析]eq\f(y,x＋2)表示圓上點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(－2,0)所在直線的斜率．設(shè)過點(diǎn)(－2,0)與單位圓相切的直線方程y＝k(x＋2)與x2＋y2＝1聯(lián)立，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，所以k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).9．已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1[答案]B[解析]∵圓C1的圓心為(－1,1)，半徑為1(－1,1)關(guān)于x－y－1＝0對稱點(diǎn)為(2，－2)則圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1.10．若圓C與圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1關(guān)于原點(diǎn)對稱，則圓C的方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)＝1D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1[答案]A[解析]方法1：因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(－x，－y)，所以圓C為(－x＋2)2＋(－y－1)2＝1，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.方法2：已知圓的圓心是(－2,1)，半徑是1，所以圓C的圓心是(2，－1)，半徑是1.所以圓C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.二、填空題11．以直線2x＋y－4＝0與兩坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)為圓心，過另一個(gè)交點(diǎn)的圓的方程為__________．[答案]x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20[解析]令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，∴直線與兩軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,4)和B(2,0)，以A為圓心過B的圓方程為x2＋(y－4)2＝20，以B為圓心過A的圓方程為(x－2)2＋y2＝20.12．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的方程是______．[答案](x－2)2＋(y＋3)2＝5[解析]圓心C在AB的中垂線y＝－3上，又在直線2x－y－7＝0上，∴C(2，－3)，半徑r＝|AC|＝eq\r(5)，∴圓方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5.13．過點(diǎn)(－1,2)且與圓x2＋y2＝5相切的直線方程為__________________．[答案]x－2y＋5＝0[解析]顯然點(diǎn)(－1,2)在圓上，設(shè)切線方程為y－2＝k(x＋1)，即：kx－y＋k＋2＝0，圓心(0,0)到切線距離為eq\f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝eq\r(5)，∴k＝eq\f(1,2).14．在x軸上的截距為－1和9，且半徑為13的圓的方程是________．[答案](x－4)2＋(y±12)2＝169[解析]由已知得圓心橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)為±12，圓方程為(x－4)2＋(y±12)2＝169.三、解答題15．圓過點(diǎn)A(1，－2)，B(－1,4)，求(1)周長最小的圓的方程；(2)圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程．[解析](1)當(dāng)AB為直徑時(shí)，過A、B的圓的半徑最小，從而周長最?。碅B中點(diǎn)(0,1)為圓心，半徑r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(10).則圓的方程為：x2＋(y－1)2＝10.(2)解法1：AB的斜率為k＝－3，則AB的垂直平分線的方程是y－1＝eq\f(1,3)x.即x－3y＋3＝0由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋3＝0，,2x－y－4＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))即圓心坐標(biāo)是C(3,2)．r＝|AC|＝eq\r((3－1)2＋(2＋2)2)＝2eq\r(5).∴圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.解法2：待定系數(shù)法設(shè)圓的方程為：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((1－a)2＋(－2－b)2＝r2，,(－1－a)2＋(4－b)2＝r2，,2a－b－4＝0.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝20.))∴圓的方程為：(x－3)2＋(y－2)2＝20.[點(diǎn)評]∵圓心在直線2x－y－4＝0上，故可設(shè)圓心坐標(biāo)為C(x0,2x0－4)，∵A，B在圓上，∴|CA|＝|CB|可求x0，即可求得圓的方程，自己再用此思路解答一下．*16.設(shè)P(0,0)、Q(5,0)、R(0，－12)，求△PQR的內(nèi)切圓的方程和外接圓方程．[解析]由題意知△PQR是直角三角形．又|QR|＝eq\r(52＋122)＝13，內(nèi)切圓的半徑是r1＝eq\f(5＋12－13,2)＝2，其圓心為C1(2，－2)．∴內(nèi)切圓方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝4，外接圓半徑r2＝eq\f(13,2)，圓心為C2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－6)).∴外接圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋(y＋6)2＝eq\f(169,4).17．已知圓的半徑為eq\r(10)，圓心在直線y＝2x上，圓截直線x－y＝0所得的弦長為4eq\r(2)，求圓的方程．[解析]設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝10，∵圓心在直線y＝2x上，∴b＝2a 根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形，由勾股定理，可得弦心距d＝eq\r