2024年云南曲靖高二學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年云南春季學(xué)期學(xué)業(yè)水平檢測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（

）A．等邊三角形的邊長(zhǎng)與其面積B．勻速直線行駛的電車的位移與行駛時(shí)間C．雜交水稻植株的高度與土壤濕潤(rùn)度D．汽車在陸地上的剎車制動(dòng)時(shí)間與洞庭湖湖面上的空氣阻力2．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則（

）A． B． C． D．13．已知集合，若有且僅有3個(gè)不同元素，則的值可以為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．240 B．120 C．64 D．845．若方程在區(qū)間上有5個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的極值點(diǎn)為（

）A．0 B．1 C． D．7．云南昆明有很多聞名的旅游景點(diǎn)，某公司的兩名同事計(jì)劃今年國(guó)慶節(jié)期間前往昆明去感受西雙版納大地的風(fēng)光與文化，都準(zhǔn)備從官渡古鎮(zhèn)、滇池、翠湖公園、云南民族村4個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩．若在兩人中至少有一人選擇翠湖公園景點(diǎn)的條件下，兩人選擇的景點(diǎn)不同的概率為（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為在軸上的射影，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知均為正數(shù)，則使得“”成立的充分條件可以為（

）A． B．C． D．10．設(shè)方程的兩根在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，則（

）A．的實(shí)部為0 B．關(guān)于軸對(duì)稱C． D．11．設(shè)數(shù)列an滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．若一個(gè)半徑為的球和一個(gè)上，下底面邊長(zhǎng)分別為和的正四棱臺(tái)的體積相同，則正四棱臺(tái)的高為．13．已知某果園中獼猴桃單果的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，若從該果園中隨機(jī)挑選4個(gè)獼猴桃，則恰有2個(gè)單果的質(zhì)量均不低于的概率為.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為在橢圓上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值與最小值之和為．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．近些年來，促進(jìn)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場(chǎng)得到很大發(fā)展，銷量及滲透率遠(yuǎn)超預(yù)期，新能源幾乎成了各個(gè)汽車領(lǐng)域的熱點(diǎn)．某車企通過市場(chǎng)調(diào)研并進(jìn)行粗略模擬，得到研發(fā)投入（億元）與經(jīng)濟(jì)收益（億元）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：研發(fā)投入億元12345經(jīng)濟(jì)收益億元2.546.5910.5(1)求相關(guān)系數(shù)；（保留3位小數(shù)）(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)研發(fā)投入10億元時(shí)的經(jīng)濟(jì)收益．參考數(shù)據(jù)：．附：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程的斜率，截距．16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離相等，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．(1)求的方程；(2)不過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，若的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定點(diǎn)．17．記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記的前項(xiàng)和為，證明：.18．已知函數(shù)．(1)若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．19．由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).對(duì)于凸多面體，有著名的歐拉公式：，其中為頂點(diǎn)數(shù)，為棱數(shù)，為面數(shù).我們可以通過歐拉公式計(jì)算立體圖形的頂點(diǎn)?棱?面之間的一些數(shù)量關(guān)系.例如，每個(gè)面都是四邊形的凸六面體，我們可以確定它的頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù).一方面，每個(gè)面有4條邊，六個(gè)面相加共24條邊；另一方面，每條棱出現(xiàn)在兩個(gè)相鄰的面中，因此每條棱恰好被計(jì)算了兩次，即共有12條棱；再根據(jù)歐拉公式，，可以得到頂點(diǎn)數(shù).(1)已知足球是凸三十二面體，每個(gè)面均為正五邊形或者正六邊形，每個(gè)頂點(diǎn)與三條棱相鄰，試確定足球的棱數(shù)；(2)證明：個(gè)頂點(diǎn)的凸多面體，至多有條棱；(3)已知正多面體的各個(gè)表面均為全等的正多邊形，且與每個(gè)頂點(diǎn)相鄰的棱數(shù)均相同.試?yán)脷W拉公式，討論正多面體棱數(shù)的所有可能值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】根據(jù)變量間的相關(guān)關(guān)系的定義求解．【詳解】解：A．等邊三角形的邊長(zhǎng)與其面積的關(guān)系為，兩個(gè)變量是函數(shù)關(guān)系，不符合題意；B．勻速直線行駛的電車的位移與行駛時(shí)間的關(guān)系為，兩個(gè)變量是函數(shù)關(guān)系，不符合題意；C．雜交水稻植株的高度與土壤濕潤(rùn)度具有相關(guān)關(guān)系，符合題意；D．汽車在陸地上的剎車制動(dòng)時(shí)間與洞庭湖湖面上的空氣阻力不具有相關(guān)關(guān)系，不符合題意．故選：C．2．C【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及定義法求向量數(shù)量積．【詳解】解：中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，則，故選：C．3．A【分析】先求出集合，然后結(jié)合集合的交集運(yùn)算即可求解．【詳解】因?yàn)榧?，若有且僅有3個(gè)不同元素，則這3個(gè)元素為3，2，1，故，即．故可取1，故選：A．4．A【分析】給出通項(xiàng)公式，令，即可求解．【詳解】解：二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式為：，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：，故選：A5．D【分析】令，把方程的根轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖象的交點(diǎn)問題，確定出的范圍，求解即可．【詳解】解：，，令，要使在有5個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：，故選：D．6．A【分析】求得，利用，解得即可判斷．【詳解】解：，由，即，解得：．由，得，由，得，函數(shù)在處取得極大值，故選：A．7．D【分析】根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法，借助古典概型求出條件概率.【詳解】令事件：兩人中至少有一人選擇翠湖公園景點(diǎn)，事件：兩人選擇的景點(diǎn)不同，則事件含有的基本事件數(shù)，事件含有的基本事件為，所以兩人選擇的景點(diǎn)不同的概率.故選：D8．B【分析】設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)取得最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出答案.【詳解】設(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以此時(shí)最大，此時(shí)，所以的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是最大（最?。┲迭c(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.9．AD【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷AD；取特值可判斷B；可化為，結(jié)合的單調(diào)性可判斷C.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，根據(jù)不等式的性質(zhì)，所以可得，故A正確；對(duì)于B，取，此時(shí)滿足，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，可化為，也即，因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可得，即，因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以，故D正確；故選：AD10．ACD【分析】解方程得，根據(jù)復(fù)數(shù)減法運(yùn)算及復(fù)數(shù)概念判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算判斷C，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義和乘法運(yùn)算求解判斷D．【詳解】由實(shí)系數(shù)一元二次方程求根公式知：方程的兩根為，對(duì)于A，，所以的實(shí)部為0，故A正確；對(duì)于B，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，關(guān)于軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，即，故C正確；對(duì)于D,，故D正確．故選：ACD．11．ABD【分析】根據(jù)題意，逐項(xiàng)計(jì)算求得，可判定A正確；根據(jù)題意，求得的表達(dá)式，可判定B正確；求得的值，猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法，得到，，可得判定C錯(cuò)誤；結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，可判定D正確.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an滿足，且當(dāng)時(shí)，，對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得為奇數(shù)，可得且，則，即，所以，即，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以B正確；對(duì)于C中，由，，猜想，當(dāng)時(shí)，成立，假設(shè)，由，則，即時(shí)，也成立，所以，故不存在，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由成立，假設(shè)，則由，知，所以，即時(shí)，也成立，所以D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：與新定義有關(guān)的問題的求解策略：1、通過給出一個(gè)新的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.3、若新定義與數(shù)列有關(guān)，可得利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解，多通過構(gòu)造的分法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題求解，求解過程靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)的數(shù)列知識(shí)，也可以利用數(shù)學(xué)歸納法，進(jìn)行證明.4、若新定義與集合的運(yùn)算有關(guān)，要熟記集合的性質(zhì)以及集合的運(yùn)算法則，必要時(shí)可利用集合的韋恩圖，更加直觀的求解.12．##【分析】利用球和正四棱臺(tái)的體積公式直接建立等式計(jì)算即可．【詳解】解：球的體積為①，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則正四棱臺(tái)的體積為②，由，解得：．故答案為：．13．##0.375【分析】服從正態(tài)分布可得，由二項(xiàng)分布公式可求恰有2個(gè)單果的質(zhì)量均不低于的概率.【詳解】由題可知，若從該果園中隨機(jī)挑選4個(gè)獼猴桃，則恰有2個(gè)單果的質(zhì)量均不低于的概率為.故答案為：.14．##【分析】設(shè)，得出，整理，令，利用單調(diào)性求值域，即可求解．【詳解】解：設(shè)，，，，，，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，則的最大值與最小值之和為，故答案為：．15．(1)(2)，研發(fā)投入10（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益為21.2（億元）．【分析】（1）由所給數(shù)據(jù)求出，y，從而求出，再根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，即可判斷；（2）求出、，即可得到回歸直線方程，再令，即可得到預(yù)測(cè)值；【詳解】（1）由于，，又．．所以具有較高的線性相關(guān)程度．（2），將代入可得關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程，得，預(yù)測(cè)研發(fā)投入10（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益為21.2（億元）．16．(1)(2)【分析】（1）由拋物線的定義即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，,，,，利用韋達(dá)定理及可得，，，進(jìn)一步求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出直線的方程即可求解．【詳解】（1）由題可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸，開口朝右的拋物線，，曲線的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，,，,，直線與拋物線聯(lián)立：，消去化簡(jiǎn)得，則，即，，，又，即，又，，即，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，直線的方程為，令，則，故點(diǎn)為定點(diǎn)，坐標(biāo)為．17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得出是等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，需要驗(yàn)證當(dāng)時(shí)；（2）求出，表示出，適當(dāng)利用放縮法證明，事半功倍.【詳解】（1）因?yàn)?，為正?xiàng)數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，則，即，所以，則，故，，又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，成立，；（2），，，當(dāng)時(shí)，，即成立，當(dāng)，，則，故，，，故成立.18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，令最小值為0求得的值；（2）問題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】（1）函數(shù)，令得當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；所以函數(shù)在時(shí)取最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù);當(dāng)??時(shí)，函數(shù)?

?;根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)最大值為0時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，易知，所以；（2）證明：不妨設(shè)要證明：，只需要證，易知由（1）可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；所以只要證明，即證，設(shè)函數(shù)而，并且在區(qū)間上即在單調(diào)遞增，所以從而所以所以19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）設(shè)此足球有個(gè)正五邊形，分別得頂點(diǎn)與棱數(shù)，再利用歐拉公式解得的值.（2）當(dāng)凸多面體每個(gè)面均為三角形時(shí)，棱數(shù)最多，此時(shí)棱數(shù)與面數(shù)有關(guān)系.（3）設(shè)正多面體每個(gè)頂點(diǎn)有條棱，每個(gè)面都是正邊形，根據(jù)歐拉公式列出表達(dá)式，再由得不等式，分類取值即可.【詳解】（1）設(shè)足球有個(gè)正五邊形，則有