新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第20講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（含解析）

第20講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（精講）題型目錄一覽①正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)②余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)③正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、知識點梳理一、知識點梳理一、用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(下表中SKIPIF1<0)(1)在正弦函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象中，五個關(guān)鍵點是：SKIPIF1<0．(2)在余弦函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象中，五個關(guān)鍵點是：SKIPIF1<0．函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖象定義域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0周期性SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0遞減區(qū)間SKIPIF1<0SKIPIF1<0無對稱中心SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0對稱軸方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0無二、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．對稱與周期(1)正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是SKIPIF1<0；(2)正(余)弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是SKIPIF1<0；(3)正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離SKIPIF1<0；2．函數(shù)具有奇、偶性的充要條件(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)；(2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(3)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(4)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)【典例1】方程SKIPIF1<0的根中，在SKIPIF1<0內(nèi)的有（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】A【分析】方程SKIPIF1<0的解等價于兩個函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖像交點的橫坐標(biāo)，所以分別畫出兩函數(shù)圖像，由圖即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)|SKIPIF1<0的兩個根為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)|SKIPIF1<0只有一個根SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用二倍角余弦公式得SKIPIF1<0，令其為0，解出SKIPIF1<0值，再根據(jù)SKIPIF1<0的范圍，即可得到零點.【詳解】令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,則函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點個數(shù)為3個.故選：B.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0的交點的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】畫出SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的圖象，由此確定正確答案.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0的圖象(如圖所示)，可得兩圖象的交點共有4個.故選：D2．“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既是充分條件，也是必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】先判斷充分性，再判斷非必要性，即得解.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分條件；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0不一定成立，如SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的不必要條件.故選：A【點睛】方法點睛：充分條件必要條件的判定，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.3．函數(shù)SKIPIF1<0最大值為（

）A．2 B．5 C．8 D．7【答案】A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)直接求解.【詳解】SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0最大值為2.故選:A.4．函數(shù)SKIPIF1<0的零點是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】令SKIPIF1<0，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的零點是SKIPIF1<0.故選：B.5．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．在區(qū)間SKIPIF1<0上是單調(diào)遞減的 B．是周期為SKIPIF1<0的周期函數(shù)C．在區(qū)間SKIPIF1<0上是單調(diào)遞增的 D．對稱中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】A【分析】先當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是偶函數(shù)，由此可判斷命題的真假.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上是單調(diào)遞減的，故A正確；SKIPIF1<0是偶函數(shù)，無周期性，故B錯誤；SKIPIF1<0是偶函數(shù)，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故C錯誤；SKIPIF1<0是偶函數(shù)，無對稱中心，故D錯誤；故選：A二、多選題6．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0的交點個數(shù)可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】ABCD【分析】根據(jù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0對應(yīng)的SKIPIF1<0的范圍，去掉絕對值化簡函數(shù)解析式，再由解析式畫出函數(shù)的圖象，對SKIPIF1<0分類討論即可判斷．【詳解】解：由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖所示：由其圖象知，當(dāng)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象，與直線SKIPIF1<0有且僅有兩個不同的交點．當(dāng)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象，與直線SKIPIF1<0有且僅有三個不同的交點．當(dāng)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象，與直線SKIPIF1<0有且僅有一個不同的交點．當(dāng)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象，與直線SKIPIF1<0無交點．故選：ABCD．三、填空題7．觀察正弦函數(shù)的圖像，可得不等SKIPIF1<0的解集為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】畫出SKIPIF1<0的圖像，根據(jù)圖像確定正確答案.【詳解】畫出SKIPIF1<0的圖像如下圖所示，由圖可知，不等SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<08．函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域是______.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用整體代換和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.9．如果方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】SKIPIF1<0【分析】結(jié)合三角函數(shù)圖像判斷即可；【詳解】

結(jié)合三角函數(shù)圖像可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0有兩個交點，故答案為：SKIPIF1<0題型二余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)【典例1】函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）的交點最多有（

）A．SKIPIF1<0個 B．SKIPIF1<0個 C．SKIPIF1<0個 D．SKIPIF1<0個【答案】D【分析】作出函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，可得出結(jié)論.【詳解】作出函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）的交點最多有SKIPIF1<0個.故選：D.【典例2】不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】結(jié)合余弦函數(shù)圖象分析運算，即可得結(jié)果.【詳解】∵SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，結(jié)合余弦函數(shù)圖象解得SKIPIF1<0.故選：D.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．函數(shù)y＝|cosx|的一個單調(diào)增區(qū)間是（）A．SKIPIF1<0 B．[0，π]C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先畫出SKIPIF1<0的圖像，根據(jù)圖像判斷各選項，從而得到答案.【詳解】將y＝SKIPIF1<0的圖像位于x軸下方的圖像關(guān)于x軸對稱翻折到x軸上方，x軸上方(或x軸上)的圖像不變，即得y＝|cosx|的圖像根據(jù)各選項判斷只有D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查通過函數(shù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性的知識點，屬于基礎(chǔ)題型.2．函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0有意義，須SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的定義域，熟練掌握三角函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3．已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，值域為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義域，求出值域，也即求得SKIPIF1<0的值，進(jìn)而求得SKIPIF1<0的值.【詳解】由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.對于定義域范圍不同的三角函數(shù)，其值域可借助圖像來求解出來.4．函數(shù)SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．6 D．1【答案】B【分析】先由余弦的二倍角公式對函數(shù)化簡，統(tǒng)一成余弦，然后配方利用余弦函數(shù)的有界性可求得其最大值.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．故選：B．【點睛】此題考查了余弦的二倍角公式，配方法，屬于基礎(chǔ)題.5．若函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖像是A． B．C． D．【答案】D【分析】先去絕對值，化為分段函數(shù)，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出答案．【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為減函數(shù)，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為增函數(shù)，并且函數(shù)值都大于等于0，只有SKIPIF1<0符合，故答案為SKIPIF1<0【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖象，以及余弦函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是化為分段函數(shù)，去絕對值，屬于基礎(chǔ)題．6．在SKIPIF1<0內(nèi)，使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范圍為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】A【分析】畫出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的圖像，根據(jù)圖像求出使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】畫出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的圖像如下圖所示，由圖可知，使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選A.【點睛】本小題主要考查SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖像與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題7．下列不等式中成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根據(jù)正弦SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增可判斷A,根據(jù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減可判斷B,根據(jù)誘導(dǎo)公式以及正余弦的單調(diào)性可判斷C,D.【詳解】對A,因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0,故A正確；對B，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0,故B錯誤；對于C,SKIPIF1<0，故C正確；對于D，SKIPIF1<0，故D錯誤；故選：AC三、填空題8．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】由余弦函數(shù)的值域有SKIPIF1<0，即可求m的范圍.【詳解】由余弦函數(shù)的性質(zhì)知：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<09．方程SKIPIF1<0的解集為___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】本題可根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故方程SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.10．在SKIPIF1<0內(nèi)不等式SKIPIF1<0的解集為__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，根據(jù)余弦曲線可得，∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型三正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)【典例1】設(shè)直線l的斜率為k，且SKIPIF1<0，直線l的傾斜角SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系得到SKIPIF1<0，結(jié)合正切函數(shù)的圖象及SKIPIF1<0，數(shù)形結(jié)合得到直線l的傾斜角SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，畫出SKIPIF1<0的圖象如下：所以SKIPIF1<0故選：D【典例2】函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為（

）．A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用正切函數(shù)圖像可以得到結(jié)果.【詳解】由題意可得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：C．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．方程SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】把方程化為SKIPIF1<0，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解方程的解，得到答案.【詳解】由題意，方程SKIPIF1<0，可化為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即方程的解集為SKIPIF1<0.故選：C.2．“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】充分性：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0符合“SKIPIF1<0”，但是SKIPIF1<0不存在，即“SKIPIF1<0”不能推出“SKIPIF1<0”，故充分性不滿足；必要性：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0符合SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0不滿足“SKIPIF1<0”，即“SKIPIF1<0”不能推出“SKIPIF1<0”，故充分性不滿足；所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的既不充分也不必要條件.故選：D．3．在（0，SKIPIF1<0）內(nèi)，使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0） B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】畫出SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0的圖象，由圖象可得不等式的解集.【詳解】畫出SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0的圖象，由圖象可得SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0上解集為SKIPIF1<0，故選B.【點睛】本題考查利用正切函數(shù)的圖象解不等式，關(guān)鍵是掌握正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.4．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．既非充分也非必要條件 D．充要條件【答案】C【分析】利用特值法，結(jié)合充分必要條件的定義即可【詳解】由于SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，但推不出SKIPIF1<0，故必要性不滿足；由于SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，但正切值不存在，所以充分性不滿足；所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既非充分也非必要條件故選：C5．若直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象無公共點，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，從而轉(zhuǎn)化為解不等式SKIPIF1<0，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象無公共點，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0所以不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，故選：B．6．對于四個函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列說法錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0不是奇函數(shù)，最小正周期是SKIPIF1<0，沒有對稱中心B．SKIPIF1<0是偶函數(shù)，最小正周期是SKIPIF1<0，有無數(shù)多條對稱軸C．SKIPIF1<0不是奇函數(shù)，沒有周期，只有一條對稱軸D．SKIPIF1<0是偶函數(shù)，最小正周期是SKIPIF1<0，沒有對稱中心【答案】D【分析】利用圖象逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，如下圖所示：由圖可知，函數(shù)SKIPIF1<0不是奇函數(shù)，最小正周期是SKIPIF1<0，沒有對稱中心，A對；對于B選項，如下圖所示：由圖可知，SKIPIF1<0是偶函數(shù)，