2023年上海中考數(shù)學(xué)真題(5年)與一二模題(1年)分類匯編幾何壓軸題含詳解

專題07幾何壓軸題

1.(2022?上海)如圖，在中，P是線段8c中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交鏟于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)CE.

(1)如果AE=CE.

i.求證：口458為菱形；

ii.若A8=5,CE=3,求線段皮)的長(zhǎng)；

(2)分別以/IE,BE為半徑,點(diǎn)A,8為圓心作圓，兩圓交于點(diǎn)E,F,點(diǎn)尸恰好在射

線CE上，如果CE=0AE,求空的值.

BC

B

2.(2021?上海)如圖，在四邊形中，AD//BC,ZABC=90°,AD=CD,。是對(duì)

角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)80并延長(zhǎng)交邊CD或邊4)于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)點(diǎn)￡：在8上，

①求證：ADAC^AOBC;

②若BE_LCD,求42的值；

BC

(2)若DE=2,OE=3,求C￡)的長(zhǎng).

3.(2020?上海)如圖，A4BC中，AB=AC,是A4BC的外接圓，80的延長(zhǎng)線交邊AC

于點(diǎn)D.

(1)求證：ZBAC=2ZABD；

(2)當(dāng)ABC。是等腰三角形時(shí)，求/BCD的大小;

(3)當(dāng)AD=2,8=3時(shí)，求邊BC的長(zhǎng).

4.(2019?上海)如圖I,AD,分別是AABC的內(nèi)角NB4C、NABC的平分線，過點(diǎn)力

作AE_LA。，交班)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

圖1圖2

(1)求證：ZE=-ZC:

2

(2)如圖2,如果AE=A5,且3￡>:DE=2:3,求8SZABC的值；

(3)如果NABC是銳角，且AA8c與AADE相似，求NA8c的度數(shù)，并直接寫出迎過的

SfMiC

值.

5.(2018?上海)已知OO的直徑AB=2,弦AC與弦比)交于點(diǎn)E.且ODLAC,垂足為

（1）如圖1,如果AC=8￡>,求弦AC的長(zhǎng)；

（2）如圖2,如果E為弦即的中點(diǎn)，求Z43。的余切值；

（3）聯(lián)結(jié)SC、CD、DA,如果BC是0O的內(nèi)接正〃邊形的一邊，CD是的內(nèi)接正

（〃+4）邊形的一邊，求AAC￡>的面積.

6.（2022?靜安區(qū)二模）如圖①，已知梯形中，AD//BC,ZA=90°,AB=y/3,AD=6,

BC=7,點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)3P,作ZBPF=ZADC,設(shè)射線P尸交線段BC于E,

交射線AC于廠.

（1）求NAZX7的度數(shù)；

（2）如果射線PF經(jīng)過點(diǎn)C（即點(diǎn)￡、尸與點(diǎn)C重合，如圖②所示），求AP的長(zhǎng)；

（3）設(shè)AP=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.

圖②

7.（2022?閔行區(qū)二模）如圖，梯形ABC￡＞中，AD//BC,AB=26,BC=42,cosB=—,

13

AQ=QC.點(diǎn)M在射線CB上，以點(diǎn)C為圓心，CM為半徑的OC交射線CD于點(diǎn)N,聯(lián)

結(jié)MN,交射線C4于點(diǎn)G.

（1）求線段4）的長(zhǎng)；

（2）設(shè)線段CM=x,—=y,當(dāng)點(diǎn)N在線段8上時(shí)，試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，

并寫出x的取值范圍；

（3）聯(lián)結(jié)DM,當(dāng)NNMC=2NDMN時(shí),求線段CM的長(zhǎng).

8.(2022?黃浦區(qū)二模)已知：在梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=6,

BC:AD=\:3,。是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OEJ_O8,交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)BC=EC時(shí)，求證：AB=OE；

(2)設(shè)BC=a,用含。的代數(shù)式表示線段BE的長(zhǎng)，并寫出。的取值范圍；

(3)聯(lián)結(jié)OD、DE,當(dāng)AZX比是以DE為直角邊的直角三角形時(shí)，求BC的長(zhǎng).

9.(2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模)如圖，己知在RtAABC中，ZC=90°,P是邊上一點(diǎn)，

ZAPC=45°,PDLAB,垂足為點(diǎn)。，AB=4后,BP=4.

(1)求線段的長(zhǎng)；

(2)如果NC的平分線CQ交線段PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,求NCQ尸的正切值；

(3)過點(diǎn)。作RtAABC的直角邊的平行線，交直線/IP于點(diǎn)E,作射線CE,交直線PD于

點(diǎn)八求需的值.

備用圖

3

10.（2022?金山區(qū)二模）如圖，已知：RtAABC中，ZACB=90°,A8=10,sinABAC=-,

O是邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，為半徑的圓O與邊AC的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)Q,與邊

43的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)E,過點(diǎn)O作的平行線與圓O相交于點(diǎn)P,與BC相交于點(diǎn)Q,

OP的延長(zhǎng)線交45于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)尸Q.

(1)求證：DP=EP；

(2)設(shè)OA=x,AbQ的面積為y,求y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(3)如果公叮。是以尸。為腰的等腰三角形，求AO的長(zhǎng).

II.(2022?寶山區(qū)二模)如圖，已知為圓。的直徑，C是弧上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8C,過

點(diǎn)O作O￡>_L8C,垂足為點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)4)交于點(diǎn)F.

(2)如果AQAO=A02,求NABC的正弦值；

(3)聯(lián)結(jié)叱，如果A4O尸為直角三角形，求垓的值.

12.（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，鉆為半圓O的直徑，點(diǎn)C在線段鉆的延長(zhǎng)線上，BC=OB,

點(diǎn)。是在半圓。上的點(diǎn)（不與A,8兩點(diǎn)重合），CEL8且CE=CD,聯(lián)結(jié)DE.

RF1

（1）如圖1,線段CD與半圓O交于點(diǎn)尸，如果。尸=5尸，求證：——=-；

CF2

（2）如圖2,線段CD與半圓O交于點(diǎn)尸，如果點(diǎn)。平分AF,求tan/DEA;

（3）聯(lián)結(jié)OE交CD于點(diǎn)G,當(dāng)ADOG和AEGC相似時(shí)，求4400.

13.（2022?崇明區(qū)二模）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,NC4B=30。，AB=1O.點(diǎn)E是

線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在8c的延長(zhǎng)線上，且CG=AE,聯(lián)結(jié)EG,以線段EG為對(duì)角線

作正方形EDGF,邊ED交AC邊于點(diǎn)M,線段￡G交AC邊于點(diǎn)N,邊EF交BC邊于點(diǎn)P.

（1）求證：NG=2EN；

（2）設(shè)隹=x,AA￡N的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的定義域;

（3）聯(lián)結(jié)NP,當(dāng)AEPN是直角三角形時(shí)，求他的值.

（備用圖）

14.（2022?楊浦區(qū)二模）已知在扇形AOB中，點(diǎn)C、。是48上的兩點(diǎn)，且

CD=2AC,NA08=130°Q=10.

DC

D

ooo

圖I圖2備用圖

（1）如圖1,當(dāng)O￡）_L04時(shí)，求弦C￡>的長(zhǎng)；

AT

（2）如圖2,聯(lián)結(jié)AT）,交半徑OC于點(diǎn)E,當(dāng)。D〃AC時(shí)，求——的值；

ED

（3）當(dāng)四邊形BOCZ）是梯形時(shí)，試判斷線段AC能否成為內(nèi)接正多邊形的邊？如果能,

請(qǐng)求出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由.

15.（2022?松江區(qū)二模）已知AAfiC中，AB=AC,AD,BE是AABC的兩條高，直線BE

與直線4）交于點(diǎn)Q.

（1）如圖，當(dāng)NfiAC為銳角時(shí)，

①求證：DB2=DQDA；

②如果箜=3,求NC的正切值；

QD

（2）如果BQ=3,EQ=2,求AABC的面積.

16.（2022?嘉定區(qū)二模）在梯形ABC￡>中，已知ZX7/MB,ZZMB=90°,DC=3,DA=6,

45=9,點(diǎn)E在射線AB上，過點(diǎn)E作M//A。，交射線QC于點(diǎn)F,設(shè)AE=x.

（1）當(dāng)x=l時(shí)，直線EF與AC交于點(diǎn)G,如圖1,求GE的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)x>3時(shí)，直線EF與射線C8交于點(diǎn)H.

①當(dāng)3Vx<9時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M（與點(diǎn)A、。不重合）在邊4）上運(yùn)動(dòng)，&AM=BE,聯(lián)結(jié)

交AC于點(diǎn)N如圖2,隨著動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，試問CH:MV的值有沒有變化，如果有變化，

請(qǐng)說明你的理由；如果沒有變化，請(qǐng)你求出8:柄的值；

②聯(lián)結(jié)A”,如果N"4E=NC4Q,求x的值.

備用圖

17.（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，已知A4BC,點(diǎn)E在邊AC上，S.ZBAC=ZCBE,過點(diǎn)A

作BC的平行線，與射線3E交于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)8.

（1）求證：AB2=BEBD；

(2)如果AB=4,cosZABC=-.

4

①當(dāng)BE=BC,求CE■的長(zhǎng);

②當(dāng)A8=DC時(shí)，求N84C的正弦值.

18.（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在AABC中，AC=6,BC=9,NBAC=2NB,4）平分NBAC

交BC于點(diǎn)。.點(diǎn)￡、尸分別在線段4?、ZX7上，SLAE=DF,聯(lián)結(jié)EF,以鉆、EF為

鄰邊作平行四邊形A￡FG.

（1）求比）的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)平行四邊形A￡FG是矩形時(shí)，求他的長(zhǎng)；

（3）過點(diǎn)。作平行于A3的直線，分別交EF、AG、4C于點(diǎn)尸、Q、M.當(dāng)。尸=加。

時(shí)，求AE的長(zhǎng).

備用圖

19.(2022?普陀區(qū)二模)如圖，已知矩形ABCD中，AD=5,以AT)上的一點(diǎn)E為圓心，EA

為半徑的圓，經(jīng)過點(diǎn)C,并交邊BC于點(diǎn)F(點(diǎn)尸不與點(diǎn)C重合).

(1)當(dāng)AE=4時(shí)，求矩形對(duì)角線AC的長(zhǎng)；

(2)設(shè)邊CF=y,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

(3)設(shè)點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，且NG肝=45。，求邊A3的長(zhǎng).

20.(2022?浦東新區(qū)二模)如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC,AB=BC=6,ADVAC,

點(diǎn)E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，射線QE交邊8c于點(diǎn)F.

(1)求證：DC=2AB；

(2)如果。尸_L8C,求NACO的余弦值；

(3)當(dāng)△CEF是等腰三角形時(shí)，求線段功的長(zhǎng).

21.(2022?楊浦區(qū)三模)已知在RtAABC中，NAC8=90。，AD是AA8C的內(nèi)角N84C的

平分線，過點(diǎn)5作8EJ_A￡),交4)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)如圖1,聯(lián)結(jié)CE,求證：CE=BE；

(2)如圖2,如果cotZABC=4,求處的值；

7DE

(3)如果以點(diǎn)。為圓心，3c長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過RtAABC的斜邊中線與邊AZ)的交點(diǎn)

垂線OQ交半圓于點(diǎn)E,P是AE上的點(diǎn)，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)C,連結(jié)尸3交。。于

點(diǎn)尸.

(1)我們知道NAP8=90。，證明方法如下：

聯(lián)結(jié)OP,-,-OA=OP,:.ZPAO=ZAPO,.OB=OP,:.Z.OPB=Z.OBP.

在AAP3中，Z.PAO+ZAPO+/LOPB+ZOBP=180°,

:.ZAPO+ZOPB=(X)°,即NAPB=90°

請(qǐng)?jiān)儆靡环N其他方法證明ZAPS=90°.

(2)如圖2,以PB,PC為鄰邊作口PBDC,當(dāng)CD與OO相切時(shí)，求PC的長(zhǎng)；

(3)已知點(diǎn)〃為AC上的點(diǎn)，且4"=工.當(dāng)AMPP與AAfiP相似時(shí)，求絲的值.

CM2AC

圖1圖2圖3

23.（2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模）如果三角形中一個(gè)內(nèi)角a的兩條夾邊中有一條邊上的中線長(zhǎng)

恰好等于這條邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“奇異三角形”，角a叫做“奇異角”，這條邊

叫做“角a的奇異邊”.

（1）如圖1,已知在AA8C中，NC=90。，tanA=—,求證：AA8C是“奇異三角形”；

2

（2）已知ADEF是“奇異三角形"，DE=2,ZD=60°,當(dāng)DE是“NO的奇異邊”時(shí),

請(qǐng)?jiān)趫D2上作出拉死尸并求出所的長(zhǎng)；（不必寫作法，保留作圖痕跡）

（3）如圖3,已知在邊長(zhǎng)為a的正方形中，點(diǎn)P、。同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速

度分別沿折線4?-3C和AD-ZX7向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)尸所經(jīng)過的路程為S,當(dāng)AAPQ為

“奇異三角形”時(shí)，求巴的值.

s

（備用圖）

24.（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在半徑為3的圓O中，OA.08都是圓O的半徑，且

NAO8=90。，點(diǎn)C是劣弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、B重合），延長(zhǎng)AC交射線08

于點(diǎn)D.

（1）當(dāng)點(diǎn)C為線段4）中點(diǎn)時(shí)，求N/4DB的大小；

（2）如果設(shè)AC=x,BD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）當(dāng)AC="nt，點(diǎn)E在線段8上，且OE=1,點(diǎn)尸是射線OA上一點(diǎn)，射線砂與射

5

線八4交于點(diǎn)G,如果以點(diǎn)A、G、尸為頂點(diǎn)的三角形與ADGE相似，求上”的值.

S^DGE

25.(2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬)數(shù)學(xué)家龐斯萊發(fā)明過一種玩具(如圖1),這種玩具用七根小

棍做成，各結(jié)點(diǎn)均可活動(dòng)，AD^AF,CD=DE=EF=FC,且OC<AF-b.使用時(shí)，

將A,O釘牢在平板上，使A,O間的距離等于木棍OC的長(zhǎng)，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)C,則點(diǎn)C在

G>O上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在直線8G上運(yùn)動(dòng)，BG1AB.圖2是該玩具轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的一幅示意圖.

(1)判斷點(diǎn)A,C,E在同一條直線上嗎？請(qǐng)說明理由，

(2)當(dāng)點(diǎn)O,C,尸在同一條直線上時(shí).

①求證：CD//AB.

②若OC=2,CD=3,tanZ(9AC=-,求BE的長(zhǎng).

26.(2022?普陀區(qū)模擬)如圖，線段上4=1,點(diǎn)。是線段以延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AD=a(a>\),

點(diǎn)O是線段AP延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，OAr=OPOD,以O(shè)為圓心，為半徑作扇形

ZBOA=90°.

點(diǎn)C是弧43上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)尸C、DC.

(1)聯(lián)結(jié)5。交弧A3于E,當(dāng)〃=2時(shí)，求BE的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)以PC為半徑的0尸和以CD為半徑的G)C相切時(shí)，求a的值；

(3)當(dāng)直線DC經(jīng)過點(diǎn)5,且滿足PC.O4=8CO尸時(shí)，求扇形OA8的半徑長(zhǎng).

B

PAD

27.（2022?寶山區(qū)模擬）已知等邊AABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。為邊3C的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心

的圓交邊AC于點(diǎn)E（點(diǎn)￡不與點(diǎn)A、C重合）.

（1）如果圓A與線段8c有公共點(diǎn)，求線段AE的取值范圍;

（2）如果射線。E與線段84的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,

①設(shè)AE=x,AF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域;

②當(dāng)&時(shí)，求線段小的長(zhǎng).

28.（2022?徐匯區(qū)模擬）已知：在AABC中，ZABC=9O°,AB=5,NC=30。，點(diǎn)。是AC

邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），過點(diǎn)。分別作交AB于點(diǎn)E,DFLBC交BC

于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)防，設(shè)A￡=x,EF=y.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（2）以尸為圓心FC為半徑的°F交直線AC于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G為4）中點(diǎn)時(shí)，求x的值；

（3）如圖2,聯(lián)結(jié)3。將A￡B￡＞沿直線比＞翻折，點(diǎn)E落在點(diǎn)E處，直線3E與直線AC相

交于點(diǎn)用，當(dāng)包見W為等腰三角形時(shí)，求N4皮）的度數(shù).

29.（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖1,點(diǎn)C是半圓A3上一點(diǎn)（不與A、3重合），ODVBC

交弧3c于點(diǎn)O,交弦3c于點(diǎn)￡,連接交3c于點(diǎn)

（1）如圖1,如果A￡>=8C,求Z48C的大小；

（2）如圖2,如果AF:￡>F=3:2,求NABC的正弦值；

（3）連接O尸，。。的直徑為4,如果AD尸O是等腰三角形，求AD的長(zhǎng).

30.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖1,已知等腰A4BC中，AB=AC,所是BC邊上的

中位線，點(diǎn)G為BE中點(diǎn),點(diǎn)P是底邊8c上一動(dòng)點(diǎn)，線段CG與線段尸產(chǎn)交于點(diǎn)Q,聯(lián)結(jié)

EQ.

（1）若PC=3BP,證明:EQ//AC,且EQ=gAC；

（2）如圖2,當(dāng)鉆=5,BC=6時(shí)，若以點(diǎn)B為圓心，以為半徑的圓與以砂為直徑

的圓相切，求5尸的長(zhǎng);

（3）若他=6,3c=4,且AEF。與ACPF相似，求8P的長(zhǎng).

圖1備用圖

31.（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）在RtAABC中，ZACB=90°,8c=30,AB=50.點(diǎn)P是AB

邊上任意一點(diǎn)，直線PE_LA5,與邊AC或BC相交于E.點(diǎn)M在線段北上，點(diǎn)N在

1?

線段3P上，EM=EN,sinZEMP=—.

13

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求CM的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合，設(shè)”=x,BN=y,求y關(guān)

于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)若的頂點(diǎn)A、M、E分別與A￡NB的頂點(diǎn)E、N、3對(duì)應(yīng))，

求AP的長(zhǎng).

32.(2022?金山區(qū)校級(jí)模擬)已知：OO的半徑為5,點(diǎn)C在直徑上，過點(diǎn)C作。。的

弦￡火，45,過點(diǎn)。作直線￡?的垂線。尸，垂足為點(diǎn)尸.

(1)如圖，當(dāng)AC=2時(shí)，求線段EB的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸是線段項(xiàng)的中點(diǎn)時(shí)，求￡)尸的長(zhǎng)；

(3)如果EF=33F,求線段AC的長(zhǎng).

備用圖

33.(2022?青浦區(qū)模擬)如圖，4?是半圓。的直徑，AB=2,P是半圓O上一動(dòng)點(diǎn),

PC工AB,垂足為點(diǎn)C,。是釬的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)班＞.

(1)當(dāng)AC=9時(shí)，求線段用5的長(zhǎng)；

5

（2）設(shè)3C=x,tanZABD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)PC與8。交于點(diǎn)E,當(dāng)CE:PE=1:4時(shí)，求A尸：8P的值.

34.（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖1,在梯形ABCD中，ZABC=9O°.AD!IBC,45=4,

BC=5,AD=2.動(dòng)點(diǎn)尸在邊3c上，過點(diǎn)P作尸F(xiàn)//8,與邊43交于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作

FE//BC,與邊CE＞交于點(diǎn)E,設(shè)線段3P=x,PF=y.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（2）當(dāng)APFE是以PE為腰的等腰三角形時(shí)，求8P的值；

（3）如圖2,作AP￡F的外接圓OO,當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，外接圓OO的圓心。落在APEF

的內(nèi)部（不包括邊上）時(shí)，求出族的取值范圍.

圖1圖2備用圖

專題07幾何壓軸題

1.（2022?上海）如圖，在中，P是線段8c中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交鏟于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)CE.

（1）如果AE=CE.

i.求證：口458為菱形；

ii.若A8=5,CE=3,求線段皮）的長(zhǎng)；

（2）分別以/IE,BE為半徑,點(diǎn)A,8為圓心作圓，兩圓交于點(diǎn)E,F,點(diǎn)尸恰好在射

線CE上，如果CE=0AE,求空的值.

BC

B

【答案】（1）i見解析；ii6近：（2）叵

5

【詳解】（1）i.證明：如圖，連接AC交班）于點(diǎn)O,

B

圖1

?/四邊形MCD是平行四邊形,

OA=OC,

?；AE=CE,OE=OE,

:.AAOE=ACOE(SSS),

/.ZAOE=ZCOE,

?.?ZAO石+NCO￡=180°,

/.ZCO￡=90°,

??ACJL肛

???四邊形4?CD是平行四邊形,

.?.□ABCD為菱形；

ii.解：:OA=OC,

.?.OB是AABC的中線,

?./為BC的中點(diǎn)，

.?.AP是AABC的中線,

.?.點(diǎn)￡是AABC的重心，

:.BE=2OE,

設(shè)OE=x,則5E=2x,

在RtAAOE中，由勾股定理得，OA2=A￡2-<9￡2=32-x2=9-x2,

在RtAAOB中，由勾股定理得，042=482-082=52—(3x)2=25—9x2,

.1.9-X2=25-9X2,

解得％=夜(負(fù)值舍去),

OB=3x=3^2,

:.BD=2OB=6五；

(2)解：如圖，

?.?。4與03相交于E,F,

:.ABYEF,

由(1)②知點(diǎn)E是AABC的互心，

又「F在直線CE匕

.?.CG是AABC的中線，

AG=BG=-AB,EG=-CE,

22

-.-CE=y/2AE,

:.GE=—AE,CG=CE+EG=—AE,

22

萬1

AG2=AE2-EG2=AE2-(—AE)2=-AE2,

22

75

AG=—AE,

2

AB=2AG=-/2AE,

BC2=8G2+CG2=-AE2+(—AE)2=5AE2,

22

BC=sISAE,

ABy/2AE710

BC~45AE-5,

2.（2021?上海）如圖，在四邊形A8C7）中，AD//BC,NABC=90。，AD^CD,。是對(duì)

角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)30并延長(zhǎng)交邊8或邊AD于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)點(diǎn)“在8上，

①求證：Aft4csAO3C；

②若BE上CD,求42的值；

BC

（2）若DE=2,OE=3,求8的長(zhǎng).

【答案】（1）①見解析；②2；（2）1+J歷或3+曬

3

【詳解】（1）①證明：如圖1,

圖1

.AD=CD,

ZDAC=ZDCA.

.AD!IBC,

/.ZDAC=ZACB.

BO是RtAABC斜邊AC上的中線,

OB=OC,

/OBC=NOCB,

.\ZDAC=ZDCA=ZACB=ZOBC,

:.ADAC^AOBC；

②解：如圖2,若BEA.CD,

圖2

在RtABCE中，AOCE=Z.OCB=ZEBC,

/.Z.OCE=NOCB=ZEBC=30°.

過點(diǎn)。作OHJ_BC于點(diǎn)H,

設(shè)45=8=2"?,則B”=AD=2m，

在RtADCH中，DC=2m,

：.CH=m,

BC=BH+CH=3m,

.AD_2*2

"正一藐-3'

(2)①如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，

/.AEAO^ZBCO,ZAEO=NCBO,

???O是AC的中點(diǎn)，

/.OA=OC

:.AAOE=ACOB(AAS).

OB=OE，

???四邊形ABCE是平行四邊形，

又???Z4BC=90。，

.?.四邊形ABCE是矩形.

設(shè)AO=C0=x,

,:DE=2,

AE=x—2,

???QE=3,

二.AC=6，

在RtAACE和RtADCE中，CE2=AC2-AE2,CE2=CD2-DE2,

62-（X-2）2=X2-22,

解得X=I+M，或x=i—M（舍去）.

.-.CD=l+>/i9.

②如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，設(shè)AD=C￡>=x,則CE=x—2,

圖4

設(shè)OB=OC=tn,

■.OE=3,

/.EB=m+3,

???AmCsAQB。，

,DCAC

~OC~~BC'

.x2OC

,?'m~~BC'

OC_x

又?.?ZEBC=NOCE,ZBEC=ZOEC,

/.IsEOCs巫CB,

,OEECOC

EC-EB一CB'

,3x-2OC

x-2m+3CB

3_x-2_x

..---------------=—,

x—2in+32m

x2-2x

m=--------,

6

將加=二^代入=，

6x-2m+3

整理得，X2-6X-10=0,

解得x=3+VI^,或x=3-（舍去）.

:.CD=3+y/[9.

綜合以上可得CD的長(zhǎng)為1+J歷或3+M.

3.(2020?上海)如圖，AABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圓，30的延長(zhǎng)線交邊AC

于點(diǎn)D.

(1)求證：ZBAC=2ZABDt

(2)當(dāng)ABCD是等腰三角形時(shí)，求NBCD的大小;

(3)當(dāng)4)=2,8=3時(shí)，求邊BC的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析；(2)NC的值為67.5?；?2。；(3)—

2

【詳解】(1)證明：連接OA.

圖1

?,?AB=AC,

AB=AC,

:.OA±BC,

ZBAO=ZCAO,

?：OA=OB，

/.ZABD=/BAO,

??.ZBAC=2ZABD.

(2)解：如圖2中，延長(zhǎng)AO交3c于〃.

圖2

①若BD=CB,則NC=ZBDC=ZA6￡>+N^C=3ZABO,

\AB=AC,

ZABC=NC,

:.ZDBC=2ZABD,

???ZDBC+ZC+ZBDC=180°,

:.8ZABD=\80°9

.?.NC=3ZARD=67.5。.

②若CD=CB,則NCW=NCD3=3ZAB。，

/.ZC=4ZABD,

???ZDBC+NC+NCDB=180°,

.\10ZABD=180°，

.?./BCD=4ZABD=72°.

③若。3=QC,則。與A重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5?；?2。.

(3)如圖3中，作AE//3。交3。的延長(zhǎng)線于石.

AnAPA

—=—=—,設(shè)。3=。4=4?,OH=3a,

OHBH3

BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,

.?.25—49/=16/一9/,

2

56

8

:.BH=—

4

/.BC=2BH=-.

2

4.(2019?上海)如圖1,AD,B￡)分別是AA8C的內(nèi)角N8AC、NABC的平分線，過點(diǎn)A

作AE_LM),交班＞的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：ZE=-ZC；

2

(2)如圖2,如果他=旗，且BD:DE=2:3,求cosNABC的值；

(3)如果NABC是銳角，且A4BC與AADE相似，求N4BC的度數(shù)，并直接寫出&些的

值.

【答案】(1)見解析；(2)-；(3)ZABC=30°,且城=2-e.ZABC=45°,&^=2-應(yīng)

3S6ABe5必叱

圖1

?：AEYAD,

:.ZDAE=90°.ZE=90°-ZA￡>￡,

?.,AD平分N54C,

.?.NBAD=L/BAC,同理

22

???ZADE=ZBAD+ZDBA,Z^4C+ZABC=180°—NC,

/.ZADE=-(ZABC+ZBAC)=90°--ZC,

22

ZE=90°-(90°--ZC)=-ZC.

22

(2)解：延長(zhǎng)AD交5C于點(diǎn)尸.

圖2

?：AB=AE,

；.ZABE=ZE,

BE平分ZABC,

:.ZABE=ZEBC,

:.ZE=NCBE,

：,AEIIBC,

BFBD

,\ZAFB=ZEAD=90°

~\E~~DE

???BD:DE=2:3,

BFBF2

cosZABC=----

ABAE3

(3)?jAABC與AWE相似，ZDA￡=90°,

48c中必有一個(gè)內(nèi)角為90。

?.?/ABC是銳角，

.-.ZABC*90°.

①當(dāng)44C=ZZM￡=90°時(shí)，

?.?Z￡=-ZC,

2

ZABC=ZE=-ZC,

2

???ZABC+ZC=90°,

:.ZABC=30°,此時(shí)包些=2-75.

S岫BC

②當(dāng)NC=Nn4f=90°時(shí)，Z￡--ZC=45°,

2

:.ZEDA=45°,

?.?△ABC與AADE相似，

,-.ZABC=45°,此時(shí)&^=2-a

s

^^ABC

qq

綜上所述，ZABC=30°,^^=2-5Z4BC=45°,-^L=2-y/l.

^AABCS^BC

5.（2018?上海）已知OO的直徑45=2,弦AC與弦比）交于點(diǎn)E.且OD_LAC,垂足為

(2)如圖2,如果￡為弦比＞的中點(diǎn)，求/4瓦)的余切值；

(3)聯(lián)結(jié)8C、CD、DA,如果8c是。O的內(nèi)接正"邊形的一邊，C"是OO的內(nèi)接正

5+4)邊形的一邊，求AACD的面積.

【答案】(1)6；(2)&；(3)立」

2

【詳解】解：(1).ODA.AC,

AD=CD,ZAFO=9Q0,

又?.,AC=BD,

:.AC=BD,BPAD+CD=CD+BC,

AD=BC，

AD=CD=BC,

??.ZAOD=ZDOC=ZBOC=60。,

?.?45=2,

：.AO=BO=\,

AF=AOsinZAOF=lx—=—,

22

則AC=2A尸=G；

（2）如圖1,連接Z?C,

圖1

?.?AB為直徑,OD上AC,

/.ZAFO=ZC=90°,

:.OD//BC,

.\ZD=ZEBC,

???DE=BE、ZDEF=ZBEC,

.\ADEF=ABEC(ASA),

:.BC=DF、EC=EF,

又?.?AO=O8,

「.OF是AABC的中位線，

設(shè)。尸=，，則3C=。尸=2f,

???DF=DO—OF=J,

11人「V2

243

?;OB=OD,

:.ZABD=ZD,

2

則cotNABO=cotN￡>=―1=4=近；

EF也

(3)如圖2,

c

圖2

???3C是。。的內(nèi)接正"邊形的一邊，8是。。的內(nèi)接正5+4）邊形的一邊,

4。。=駟360

ZAOD=ZCOD=

nn+4

360仁360e

則nlll一+2x-------=180，

n〃+4

解得：〃=4或-2,—2舍去.

/.ZBOC=90°>ZAOD=ZCOD=45°,

BC=AC=五,

?.■ZAFO=90°,

:.OF=AOcosZAOF=—,

2

亞

貝ijDF=OD-OF=\~—,

2

5MCD=1AC?DF=^XX/2X（1-^）=^.

6.（2022?靜安區(qū)二模）如圖①，已知梯形ABC。中，AD//BC,ZA=90°,AB=y/3,AD=6,

BC=1,點(diǎn)P是邊4）上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8P,作N8PF=NAZ）C,設(shè)射線PF交線段3c于E,

交射線DC于F.

（1）求/4DC的度數(shù)；

（2）如果射線PF經(jīng)過點(diǎn)C（即點(diǎn)E、產(chǎn)與點(diǎn)C重合，如圖②所示），求AP的長(zhǎng)；

（3）設(shè)赫=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.

圖②

17

【答案】(1)120°；(2)2或5；(3)y=--x2+-x-3,定義域?yàn)?效Jr5

22

【詳解】解：(1)如圖①，過點(diǎn)D作DHLBC于點(diǎn)H,則ZD//B=Z￡WC=90。,

vAD/IBC,ZA=90°,

...ZABC=180。-ZA=180。-90。=90。，

:.ZA=ZABC=ZDHB=90°f

四邊形ABHD是矩形，

.\AD=BH=6,DH=AB=6ZADH=90°,

:.CH=BC-BH=7-6=T,

CH\_73

tanNCDH=

...NCDH=30。，

ZADC=ZAD"+NCD"=90。+30°=120°；

(2)設(shè)AP=x,貝i」PD=6-x,

在圖①RtACDH中，CD=.CH--=2,

sinZCDHsin30°

如圖②???NBPC=ND=120。，AD!IBC,

:.ZDPC=ZPCB,

X)PCsM)CB,

.PDCDPC

PC-BP'

?6-x_2PC

"~PC~~BP~~

PC=V42-7x,BP=-

Jt42—72

在RtABP中,AB2+AP2=BP2,

14

,-.(X/3)2+X2=(-%

142-72

整理得：?-6X2+3X+10=0,

(x-2)(x-5)(x+1)=0,

=2,%2=5,Xy=—1(^:)，

.?.AP=2或5；

(3)如圖③，在4)上取點(diǎn)G,連接AG,使NABG=30。，則NAG3=60。,

/.ZBGP=120°,

.?.ZBGP=NBPF=ZADC=120°,

?;ZBPG+ZPBG=^BPG+ZDPF=3,

：,ZPBG=ZDPF,

MPGS"FD，

BGPD即上一6-x

PG-DFx-1y

y=—4—x—3,

22

根據(jù)題意，怎k6,y..2,

17

當(dāng)一一x2+—%—3=2時(shí),

22

解得：％=2或x=5,

*/―-<0,

2

???當(dāng)y..2時(shí)，2熟k5,

故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為），=-；》2+（》-3,定義域?yàn)?效k5.

7.（2022?閔行區(qū)二模）如圖，梯形A88中，AD//BC,AB=26,3C=42,cos5=—,

13

=點(diǎn)”在射線CB上，以點(diǎn)C為圓心，CM為半徑的OC交射線CD于點(diǎn)N,聯(lián)

結(jié)MN,交射線C4于點(diǎn)G.

（1）求線段4）的長(zhǎng)；

（2）設(shè)線段CN=x,—=y，當(dāng)點(diǎn)N在線段8上時(shí)，試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，

GC

并寫出X的取值范圍；

（3）聯(lián)結(jié)DM,當(dāng)ZNMC=2NDMN時(shí),求線段CM的長(zhǎng).

【詳解】解：（1）過點(diǎn)A作A//_LBC于〃，過點(diǎn)。作OELAC于E，

:.BH=W,4/=24,

:.CH=BC-BH=32.

?.?在RtAAHC中，ZA"C=90。，由勾股定理得,

AC=y/AH2+CH2=40,

\AD=DC,

ZDAC=ZDCA,AE=-AC=20.

2

AD/IBC,

ZDAC=ZACB=ZDCA，

ApCH4

在RtAADE中，cosZDAC=——=cosZACB=——=—

ADAC5

.?.AD=CD=25；

(2)延長(zhǎng)MN交A￡＞的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

(3)當(dāng)點(diǎn)"在8上時(shí)，

???CM=CN,

:.ZNMC=ZMNC.

?；NNMC=24DMN,NMNC=NDMV+NMDN,

：.ZDMN=ZMDN.

:.DN=MN=25-x,

31

vMG=-x,MG=—MN,

52

，MN=-x.

5

-x=25-x,

5

125

x=----

11

125

即HCIMI=—

11

當(dāng)點(diǎn)N在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，DN=x-25,

延長(zhǎng)DA交射線MN于點(diǎn)P.

?;/NMC=24DMN,

.\ZNMD=ZDMC9

?;ADIIBC,ZNMC=ZMNC,

NPDN

:,ZNPD=ZMNC.——=——，

PMDC

,\DN=PD=x-25.

,AD//BC,

：.ZPDM=ZDMC,

:.ZNMD=ZPDM.

.\PM=PD=x-25.

x-2525

...x=55,即GW=55,

生或

綜上所述，線段CM的長(zhǎng)為55.

11

8.（2022?黃浦區(qū)二模）已知：在梯形AB8中，AD//BC,90°.AB=6f

BC:AD=l:3,。是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE_LO3,交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡.

（1）當(dāng)8C=EC時(shí)，求證：AB=OEf

（2）設(shè)3c=a,用含〃的代數(shù)式表示線段3E的長(zhǎng)，并寫出〃的取值范圍；

（3）聯(lián)結(jié)8、DE,當(dāng)ADOE是以DE為直角邊的直角三角形時(shí)，求3c的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）BE=a+36（0<a<6）；（3）26或

2a5

【詳解】（1）證明：???NABC=90。，O是AC的中點(diǎn),

:.OB=OC,

ZOBC=ZOCB,

?.?OE上BC,

.?.NBOE=90。,

???BC=EC,

:.CO=BC,

BC=BO，

ZABC=NBOE=90。,

「.MBC=AEOB(ASA),

AB=EO；

(2)解：,.NOBC=NOCB,ZABC=ZBOE,

.BCAC

?：BC=a,A8=6,

AC=\la2+36，

aVa2+36

,■,BE=q2+36(0<a<6)：

2。

(3)解：設(shè)8C=a,則AD=3a,

①當(dāng)NO￡0=9O。時(shí)，延長(zhǎng)BO交4)于點(diǎn)G,

?.?NWE=90。，

...ZBOE=NOED,

:.BG//ED,

BE//AD,

二.四邊形3GD石是平行四邊形,

:.BE=DG,

???BC//AD,

BCCO

BC=AG=a>

a2+36.

---------=3a-a

2a

二.a=20(負(fù)值舍去);

②當(dāng)NODE=90。時(shí)，分別過點(diǎn)O,石作OM_LA￡),ENA.AD,垂足分別為M,N,

圖？

/.ZOMD=ZDNE,ZMOD=ZEDNt

:.fsOMD^^