高中數(shù)學 計數(shù)原理 中檔難度習題

第頁）計數(shù)原理一、選擇題（共12小題；共60分）1.某班有男生26人，女生24人，從中選—位同學為數(shù)學課代表，則不同選法的種數(shù)有?? A.50 B.26 C.24 D.6162.5位同學報名參加學校的籃球隊、足球隊和羽毛球隊，要求每位同學只能選報一個球隊，則所有的報名數(shù)有?? A.53 B.35 C.A53.已知集合M=1,?2,3，N=?4,5,6,?7，從M，N A.12 B.8 C.6 D.44.某班小張等4位同學報名參加A，B，C三個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，且小張不能報A小組，則不同的報名方法有?? A.27種 B.36種 C.54種 D.81種5.已知x∈2,3,7，y∈?3,?4,8，則x?y A.8 B.12 C.10 D.96.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為?? A.24 B.18 C.12 D.97.有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有?? A.8種 B.9種 C.10種 D.11種8.把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有?? A.24種 B.4種 C.43種 D.39.已知集合M=1,?2,3，N=?4,5,6,?7 A.18 B.16 C.14 D.1010.如圖，標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，小圓圈表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示他們有網(wǎng)線相連，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為?? A.26 B.24 C.20 D.1911.《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設AA1是正六棱柱的一條側棱，如圖．若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、以AA A.4 B.8 C.12 D.1612.從0，1，2，3，4中每次取出不同的3個數(shù)字組成三位數(shù)，那么這些三位數(shù)的個位數(shù)字之和為?? A.80 B.90 C.110 D.120二、填空題（共5小題；共25分）13.6個標有不同編號的乒乓球放在兩頭有蓋的棱柱型紙盒中，正視圖如圖所示，若隨機從一頭取出一個乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，則不同的排法種數(shù)是

（用數(shù)字作答）． 14.如圖所示，某貨場有兩堆集裝箱，一堆2個，一堆3個，現(xiàn)需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是

（用數(shù)字作答）． 15.現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m,nm≤7,n≤9可以任意選取，則16.在某藝術團體組織的“微視頻展示”活動中，該團體將從微視頻的“點贊量”和“專家評分”兩個角度來進行評優(yōu)，若A視頻的“點擊量”和“專家評分”中至少有一項高于B視頻，則稱A視頻不亞于B視頻，已知共有5部視頻參展，如果某視頻不亞于其他4部視頻，就稱此視頻為優(yōu)秀視頻，那么在這5部微視頻中，最多可能有

個優(yōu)秀視頻．17.如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有

個． 三、解答題（共5小題；共65分）18.某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖）．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有多少種（用數(shù)字作答）? 19.已知直線ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合?3,?2,?1,0,1,2,3中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)．20.如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色．現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種? 21.3個人要坐在一排8個空座位上，若每個人左右都有空座位，不同的坐法有多少種?22.某小組6個人排隊照相留念．（1）若分成兩排照相，前排2人，后排4人，有多少種不同的排法?（2）若分成兩排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種排法?（3）若排成一排照相，甲、乙兩人必須在一起，有多少種不同的排法?（4）若排成一排照相，其中甲必在乙的右邊，有多少種不同的排法?（5）若排成一排照相，其中有3名男生、3名女生，且男生不能相鄰，有多少種排法?（6）若排成一排照相，且甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不同的排法?答案第一部分1.A 【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，因數(shù)學課代表可為男生，也可為女生，因此選法共有26+24=50（種）．2.B 【解析】5位同學報名參加學校的籃球隊、足球隊和羽毛球隊，每人限報一項，每人有3種報名方法；根據(jù)分步計數(shù)原理，可得共有3×3×3×3×3=33.C 【解析】分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是3×2=6．4.C 【解析】小張的報名方法有2種，其他3位同學各有3種，所以由分步乘法計數(shù)原理知共有2×3×3×3=54（種）不同的報名方法．5.D 【解析】分兩步：第一步，在集合2,3,7中任取一個值，有3種不同的取法；第二步，在集合?3,?4,8中任取一個值，有3種不同取法．故x?y可表示3×3=9（個）不同的值．6.B 【解析】如圖，除已知標記的E，F(xiàn)，G三點外，另記A，B，A1，B1，E1，A2，B2，G1，若總體線路最短，則需E到F最短，并且F到G也最短．E到F最短，可由E→B→F或E→E1→F．顯然，由E→B→F最短有3條（E→B→A→A1→F或E→B→B1→A1→F或E→B→B1→A2→F），由E→E1→F最短有3條（E→7.B 【解析】設四位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d，假設A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c，d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數(shù)原理，共有3+3+3=9（種）不同的監(jiān)考方法．8.C 【解析】第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法．只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計數(shù)原理可得共有439.C 【解析】第一象限不同點有N1第二象限不同點有N2故N=N10.D 11.D 12.B 第二部分13.32【解析】從盒子中取出第1個球有2種取法，取出第2個球有2種取法，取出第3個球有2種取法，取出第4個球有2種取法，取出第5個球有2種取法，取出第6個球有1種取法，所以依次排成一行共有2×2×2×2×2×1=32種排法．14.1015.20【解析】基本事件總數(shù)為N=7×9=63，其中m,n都為奇數(shù)的事件個數(shù)為M=4×5=20，所以所求概率P=M16.5【解析】記這5部微視頻為A1，A2，A3，A先考慮2部微視頻的情形，若A1的點播量大于A2的點播量，且A2的專家評分大于A再考慮3部微視頻的情形，若A1的點播量大于A2的點播量大于A3的點播量，且A3的專家評分大于A2依次來推可知，這5部為視頻中，優(yōu)秀視頻最多可能有5種．17.40【解析】滿足條件的有兩類：第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有m1第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有m2所以滿足條件的三角形共有8+32=40（個）．第三部分18.解法一：從題意來看，6部分種4種顏色的花，又從圖形看，可知必有2組同顏色的花，故從同色入手分類求解．（1）若2與5同色，則3，6或4，6同色，共有4×3×2×2×1=48種栽種方法；（2）若3與5同色，則2，4或4，6同色，共有4×3×2×2×1=48種栽種方法；（3）若2與4且3與6同色，則共有4×3×2×1=24種栽種方法．所以共有48+48+24=120種栽種方法．解法二：記四種顏色的花分別為A，B，C，D，先安排1，2，3，有4×3×2種不同的栽法，不妨設1，2，3已分別栽種A，B，C，則4，5，6的栽種方法共有5種，由以下樹狀圖清晰可見．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有4×3×2×5=120種不同的栽種方法．19.設傾斜角為θ，由θ為銳角，得tanθ=?ab>0，即（1）若c=0，則a，b各有3種取法，排除2個重復3x?3y=0,2x?2y=0,x?y=0的，故有3×3?2=7（條）．（2）若c≠0，則a有3種取法，b有3種取法，而同時c還有4種取法，且其中任意兩條直線均不相同，故這樣的直線有3×3×4=36條從而符合要求的直線共有7+36=43（條）．20.因為區(qū)域1與其他4個區(qū)域都相鄰，所以首先考慮區(qū)域1，有4種涂法．若區(qū)域2，4同色，則有3種涂法；此時區(qū)域3，5均有2種涂法，涂法總數(shù)為4×3×2×2=48種．若區(qū)域2，4不同色，先涂區(qū)域2，有3種方法，再涂區(qū)域4，有2種方法；此時區(qū)域3，5也都只有1種涂法，涂法總數(shù)為4×3×2×1×1=24種．故共有48+24=72種涂法．21.3個人在一排8個空座位上坐下后，只剩下5個空座位，我們可以構造這樣的解題過程，依次將3個人連同他的座位逐個地插入5個空座位的空當中去．由于每人左右都要有空位子，因此將第一個人連同他的座位插入時，不能插在兩邊，所以有4種插法[如圖中的（1）到（2）]；然后將第二個人連同他的座位插入時，只有3種插法了[如圖中的（2）到（3）]；最后將第三個人連同他的座位插入時，只有2種插法了[如圖（3）到（4）]．這時，我們再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可以得到插入的不同的方法共有4×3×2=24（種）．（1）○○○○○（2）○○?○○○（3）○○?○○?○（4）○?○?○○?○○表示沒有坐人的空位．?表示已經(jīng)坐人的位置．22.（1）分兩排照相實際上與排成一排照相一樣，只不過把第3～6個位子看成是第二排而已，所以實際上是6個元素的全排列問題，有A6

（2）先確定甲的排法，有A21種；再確定乙的排法，有A4因為這是分步問題，所以用乘法原理，有A2

（3）采用“捆綁法”，即先把甲、乙兩人看成一個人，這樣有A5然后甲、乙兩人之間再排隊，有A2因為是分步問題，應當用乘法原理，所以有A5

（4）甲在乙的右邊與甲在乙的左邊的排法各占一半，有12

（5）采用“插人法”，把3個女生的位子拉開，在兩端和她們之間放進4張椅子，如\（__\）女\（__\）女\（__\）女\（__