8-與三角形有關(guān)的線段、與三角形有關(guān)的角、多邊形及其內(nèi)角和

三角形和多邊形的內(nèi)角和試題

【典型例題】例1.

如圖，已知，（

）（A）

（B）

（C）

（D）

分析：添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，把所求的角的和轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和或多邊形的內(nèi)角和，即可得出解答。解答：連結(jié)，∵，

∴∴選。說明：解決這類問題只要善于運(yùn)用三角形和多邊形的內(nèi)角和定理，就不困難了。

例2.

如圖，在△ABC的邊BC上取兩點(diǎn)D、E，使BD=CE，請(qǐng)你運(yùn)用三角形三邊的關(guān)系和平移的知識(shí)，觀察AB+AC與AD+AE之間的長度關(guān)系，提出一個(gè)設(shè)想，并加以證明.

分析：通過觀察、測(cè)量等方法可以猜想：.要比較它們的大小，就需將這四條線段相對(duì)集中，為此可將△AEC沿EB方向平移到△FBD的位置.于是由三角形的三邊關(guān)系知，從而易解決問題.解答：如圖，將△AEC沿EB方向平移到△FBD的位置.由平移的特征知：經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，∴.設(shè)FD與AB的交點(diǎn)為O，在△AOD中，，在△FOB中，，∴∴

例3.

如圖（1）所示，△中，的平分線交于點(diǎn)，求證：.

（1）

（2）

（3）變式1：如圖（2）所示，△中，內(nèi)角和外角的平分線交于點(diǎn)，求證：.變式2：如圖（3）所示，△中，外角的平分線交于點(diǎn)，求證：.分析：本題已知△的內(nèi)角平分線和外角平分線，從而想到可利用三角形角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及外角與內(nèi)角的關(guān)系證題。解答：如圖（1），∵在△中，又∵的平分線交于點(diǎn)，

∴

變式1：∵是△的一個(gè)外角，∴

∵平分，平分，且是△的外角，∴，即

∴變式2：在△中，

在△中，

∵平分，且三點(diǎn)共線，

∴，同理可證

∴

∴

例4.

如圖，已知等腰三角形的周長為21cm，一腰上的中線把等腰三角形分成周長之差為3cm的兩個(gè)三角形，求等腰三角形各邊的長。分析：本題考查了三角形中線的概念，從題意中，中線分成的兩個(gè)三角形周長差為3cm，根據(jù)分析，差值是由于腰和底邊的長不同而產(chǎn)生的，但不能確定腰和底邊誰長誰短，所以要分情況討論。解答：設(shè)腰長為cm，底邊長為ycm，（1）若腰比底邊長，由題意，得，解得（2）若底邊比腰長，由題意，得，解得∴這個(gè)三角形的三邊長為8，8，5或6，6，9。

例5.

已知：如圖，在△中，，分別是邊上的高，相交于，求的度數(shù)。分析：由已知可求，在△中，故先求和。解答：∵∴設(shè)，則∴，解得∴∵為邊上的高，∴∴在中，同理∴在△中，

例6.

多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為，求多邊形的邊數(shù)。分析：利用多邊形的內(nèi)角和公式來求，另外此題隱含邊數(shù)為正整數(shù)這個(gè)條件。解答：設(shè)邊數(shù)為，這個(gè)外角為，則，依題意有：∴∵為正整數(shù)，∴（）必為180的倍數(shù)。又∵，∴，∴同學(xué)們還可以想想其它方法來解決這個(gè)問題。

【小結(jié)】1、掌握三角形的基本概念及分類；2、三角形中的主要線段——三角形的角平分線，中線，高線；3、三角形的三邊關(guān)系；4、掌握三角形的內(nèi)角和定理及其推論；5、會(huì)用公式求多邊形的內(nèi)角和，知道多邊形的外角和等于。

【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一.

選擇題1.

三角形的角平分線是一條（

）（A）射線

（B）直線

（C）線段或射線

（D）線段2.

三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，這個(gè)三角形是（

）（A）銳角三角形

（B）直角三角形

（C）鈍角三角形

（D）無法確定3.

下面三條線段中，能組成三角形的是（

）（A）3，6，7

（B）2，4，6

（C）3，4，9

（D）5，5，104.

一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最多有（

）（A）兩個(gè)銳角

（B）一個(gè)鈍角

（C）兩個(gè)直角

（D）不能確定5.

在中，，點(diǎn)是平分線的交點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）（A）

（B）

（C）

（D）6.

等腰三角形中，有一個(gè)角是，則另外兩個(gè)角分別是（

）（A），

（B），

（C），

（D），或，7.

下面各角能成為某多邊形的內(nèi)角的和的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空題8.

的三邊為，且，若，則的取值范圍是

9.

在等腰中，，一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長和底邊長分別是

10.

如圖所示，（1）在中，邊上的高是

；（2）在中，邊上的高是

；（3）在中，邊上的高是

；（4）若，則=

，

。11.

如圖，，則=

度。

11題

12題

13題12.

如圖，已知，，求

13.

如圖，中，，平分，于，則=

14.

一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是

，它的內(nèi)角和是

三.

解答題15.

中，三邊長為5，12，，周長為奇數(shù)，求整數(shù)的值及周長的最大值。16.

如圖，把△ABC紙片任意折疊，但要使A落在另一部分紙片上，設(shè)折痕為DE.

無論怎樣折疊，∠A與∠l+∠2之間有一種始終保持不變的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你探索出這個(gè)關(guān)系，并說明為什么.