測(cè)量學(xué)第五章-測(cè)量誤差基本知識(shí)1

第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)

§5.1概述

§5.2衡量精度的指標(biāo)

§5.3算術(shù)平均值與中誤差

§5.4誤差傳播定律及其應(yīng)用

§5.5權(quán)及加權(quán)平均值測(cè)量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1、對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。2、觀測(cè)值之和不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180°

閉合水準(zhǔn)∑h≠0§5.1概述一、測(cè)量誤差的來源

等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)。

不等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)。1.儀器誤差2.觀測(cè)誤差3.外界條件的影響觀測(cè)條件二、測(cè)量誤差的分類在相同的觀測(cè)條件下，無論在個(gè)體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性：誤差的絕對(duì)值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負(fù)號(hào)保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對(duì)值隨著單一觀測(cè)值的倍數(shù)而積累。1、系統(tǒng)誤差(systemerror)

—

誤差的大小、符號(hào)相同或按一定的規(guī)律變化。

例：鋼尺—尺長(zhǎng)、溫度、傾斜改正水準(zhǔn)儀—i角經(jīng)緯儀—c角、i角

注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大。消除和削弱的方法:

（1）校正儀器；（2）觀測(cè)值加改正數(shù)；（3）采用一定的觀測(cè)方法加以抵消或削弱。

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某個(gè)固定量作一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)結(jié)果的差異在正負(fù)號(hào)及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。

2、偶然誤差(accidenterror)3、粗差（grosserror）：因讀錯(cuò)、記錯(cuò)、測(cè)錯(cuò)造成的錯(cuò)誤。偶然誤差的特性真誤差觀測(cè)值與理論值之差三、偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性

③絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，可相互抵消；

④同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加而趨近于零，即：

①在一定的條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限度;（有界性）②絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)要多；（密集性、區(qū)間性）（抵償性）誤差處理的原則：1、粗差(grosserror)：舍棄含有粗差的觀測(cè)值，并重新進(jìn)行觀測(cè)。2、系統(tǒng)誤差(systemerror)

：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消和削弱。3、偶然誤差(accidenterror)：根據(jù)誤差特性合理地處理觀測(cè)數(shù)據(jù)減少其影響。精度：又稱精密度，指在對(duì)某量進(jìn)行多次觀測(cè)中，各觀測(cè)值之間的離散程度。容許誤差(toleranceerror）評(píng)定精度的指標(biāo)中誤差(meansquareerror)

相對(duì)誤差(relativeerror)

§5.2衡量精度的指標(biāo)一、中誤差(meansquareerror)

定義在相同條件下，對(duì)某量（真值為X）進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值l1，l2，……，ln，偶然誤差（真誤差）Δ1，Δ2，……，Δn，則中誤差m的定義為：式中式中：例：試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各組觀測(cè)值的中誤差。解：第一組觀測(cè)值的中誤差：第二組觀測(cè)值的中誤差：，說明第一組的精度高于第二組的精度。說明：中誤差越小，觀測(cè)精度越高

定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。二、容許誤差(toleranceerror）

測(cè)量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限。偶然誤差的絕對(duì)值大于中誤差9?的有14個(gè)，占總數(shù)的35%，絕對(duì)值大于兩倍中誤差18?的只有一個(gè)，占總數(shù)的2.5%，而絕對(duì)值大于三倍中誤差的沒有出現(xiàn)。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。

相對(duì)誤差K是中誤差的絕對(duì)值m

與相應(yīng)觀測(cè)值D

之比，通常以分母為1的分式來表示，稱其為相對(duì)（中）誤差。即:三、相對(duì)誤差(relativeerror)

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。[例]

已知：D1=100m,m1=±0.01m，D2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：

設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次，觀測(cè)值為l1、l2……ln，中誤差為m1、m2…mn，則其最或然值（似真值）L為：（一）算術(shù)平均值L§5.3算術(shù)平均值及其中誤差

設(shè)未知量的真值為x，可寫出觀測(cè)值的真誤差公式為（i=1，2，…，n）將上e各式相加得

或故

推導(dǎo)過程：由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，即（算術(shù)平均值）說明，n趨近無窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。

因?yàn)?/p>

式中，1／n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m。設(shè)平均值的中誤差為mL，則有

(二)算術(shù)平均值中誤差mL由此可知，算術(shù)平均值的中誤差為觀測(cè)值的中誤差的倍。

故(三)精度評(píng)定

第一公式

第二公式

（白塞爾公式）條件：觀測(cè)值真值

x已知條件：觀測(cè)值真值

x未知，算術(shù)平均值L已知其中

—觀測(cè)值改正數(shù)，證明：（i=1，2，3，…，n）兩式相加，有即解：（i=1，2，3，…，n）設(shè)則將上列等式兩端各自平方，并求其和，則將代入上式，則故（P≠Q(mào)）又因

由于為偶然誤差，它們的非自乘積仍具有偶然誤差的性質(zhì)，根據(jù)偶然誤差的特性，即例題：設(shè)用經(jīng)緯儀測(cè)量某個(gè)角6測(cè)回，觀測(cè)值列于表中。試求觀測(cè)值的中誤差及算術(shù)平均值中誤差。算術(shù)平均值L中誤差是：已知：mx1,mx2,---mxn

求：my=?

§5-4誤差傳播定律及其應(yīng)用

y=?dy

y

概念

誤差傳播定律：闡述觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律。函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)§5.4誤差傳播定律及其應(yīng)用

例如：用水準(zhǔn)測(cè)量測(cè)定兩點(diǎn)間的高差h=(a-b)，a為后視讀數(shù)，b為前視讀數(shù)，稱h為觀測(cè)值a和b的函數(shù)。又例如距離S分n段丈量，各段長(zhǎng)度分別為S1、S2、…，Sn，則S=S1+S2+….Sn，稱距離S是各分段長(zhǎng)度S1，S2、…，Sn的函數(shù)這些數(shù)學(xué)式都是直接觀測(cè)值之和或差，因此稱為和差函數(shù)。（一）和差函數(shù)（二）倍函數(shù)

例如用尺子在比例尺為1：1000的圖上量取兩點(diǎn)間長(zhǎng)度d，則其相應(yīng)的實(shí)地長(zhǎng)度D=1000d。則稱D是觀測(cè)值d的倍函數(shù)。（三）線性函數(shù)在直接觀測(cè)值li之前乘某一常數(shù)系數(shù)后取其代數(shù)和，稱該量是直接觀測(cè)值li的線性函數(shù)。和差函數(shù)和倍函數(shù)也屬于線性函數(shù)。（四）一般函數(shù)（非線性函數(shù)）例如用三角高程測(cè)量方法獲得高差h，是通過測(cè)量斜距S′和豎直角a按公式：h=S′sina計(jì)算而得。S′ha凡是乘、除、乘方、開方、三角函數(shù)等非線性關(guān)系組成的函數(shù)稱一般函數(shù)（非線性函數(shù)）。誤差傳播定律——根據(jù)觀測(cè)值的中誤差求觀測(cè)值函數(shù)的中誤差的一般規(guī)律稱為誤差傳播定律。誤差傳播定律按照函數(shù)的形式表達(dá)成為一般的數(shù)學(xué)公式。式中x1，x2、….xn為具有中誤差m1、m2、…mn的獨(dú)立觀測(cè)值，當(dāng)各觀測(cè)值的真誤差為Δi時(shí)，函數(shù)y必然也產(chǎn)生真誤差Δy，即：

y+Δy=f（x1+Δ1，x2+Δ2，…..xn+Δn）由于Δi很小，對(duì)函數(shù)全微分并以真誤差代替微分：m22

mn2

my2

m12函數(shù)的中誤差關(guān)系式：

1.列出觀測(cè)值函數(shù)的表達(dá)式：

2.對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式：

式中，是用觀測(cè)值代入求得的值。求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：運(yùn)用誤差傳播定律的步驟

3、根據(jù)誤差傳播率計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)中誤差：

注意：在誤差傳播定律的推導(dǎo)過程中，要求觀測(cè)值必須是獨(dú)立觀測(cè)值。誤差傳播定的幾個(gè)主要公式：函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)誤差傳播定律觀測(cè)值：斜距S和豎直角v待定值：高差hSvhD應(yīng)用舉例1誤差傳播定律觀測(cè)值：斜距S和豎直角v待定值：水平距離DSvhD應(yīng)用舉例2[例]已知：測(cè)量斜邊D′=50.00±0.05m，測(cè)得傾角α=15°00′00″±30″求：水平距離D的中誤差。解：1.函數(shù)式

2.全微分

3.求中誤差

D'vhD算例3：用三角形閉合差求測(cè)角中誤差觀測(cè)值：基線長(zhǎng)度b，角度r待求值：長(zhǎng)度DbrAD例4

當(dāng)r角較小時(shí)，和差函數(shù)算例例如，用30m的鋼尺丈量一段240m的距離D,共量8尺段。設(shè)每一尺段丈量的中誤差為±5mm，則丈量全長(zhǎng)D的中誤差為:由于D=d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7+d8則：

mD2=md12+md22+md32+md42+md52

+md62+md72+md82倍函數(shù)算例例如，用尺子在l:1000的地形圖上量得兩點(diǎn)間的距離d,其相應(yīng)的實(shí)地距離D＝l000d，則D是d的倍函數(shù)。

Z=kx

Mz=kmx

例如，在比例尺為l:500的地形圖上量得某兩點(diǎn)間的距離d＝134.7mm，圖上量距的中誤差md=±0.2mm，則換算為實(shí)地兩點(diǎn)間的距離D及其中誤差mD為:

500×(±0.2mm)=±0.1m(一)水平角觀測(cè)的精度

J6級(jí)經(jīng)緯儀一測(cè)回方向觀測(cè)的中誤差m=±6″，則一測(cè)回角度觀測(cè)的中誤差為：四、誤差傳播定律應(yīng)用示例則半測(cè)回角度值的中誤差為：盤左、盤右角度值之差的中誤差為：取兩倍中誤差為極限誤差則為±34″。

故DJ6經(jīng)緯儀一測(cè)回觀測(cè)水平角，盤左、盤右角值之差的容許誤差一般規(guī)定為±40″。若在平坦區(qū)，測(cè)站間距離S大致相等，設(shè)A、B間距離為L(zhǎng)，則測(cè)站數(shù)n=L/S，故：四、誤差傳播定律應(yīng)用示例(二)水準(zhǔn)測(cè)量的高差中誤差水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，設(shè)A、B兩