課標(biāo)專(zhuān)用5年高考3年模擬A版2024高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題十一概率與統(tǒng)計(jì)2離散型隨機(jī)變量及其分布列均值與方差試題理

PAGEPAGE18離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.離散型隨機(jī)變量的分布列①理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.②理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程,并能進(jìn)行簡(jiǎn)潔的應(yīng)用.③理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念,能計(jì)算簡(jiǎn)潔離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些實(shí)際問(wèn)題2024課標(biāo)Ⅲ,18,12分求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望利用頻率估計(jì)概率★★★2024山東,18,12分離散型隨機(jī)變量的分布列、期望計(jì)數(shù)原理,古典概型概率公式2.離散型隨機(jī)變量的均值與方差2024課標(biāo)Ⅰ,19,12分求離散型隨機(jī)變量的分布列,利用期望進(jìn)行決策利用相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式求概率分析解讀本節(jié)內(nèi)容常以實(shí)際問(wèn)題為背景,考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差,解題時(shí)要熟識(shí)相關(guān)公式的應(yīng)用.考查考生的數(shù)據(jù)分析實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.以解答題的形式呈現(xiàn),分值約為12分.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列1.若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表,則常數(shù)c的值為()X01P9c2-c3-8cA.23或13B.23答案C2.有同一型號(hào)的電視機(jī)100臺(tái),其中一級(jí)品97臺(tái),二級(jí)品3臺(tái),從中任取4臺(tái),則二級(jí)品不多于1臺(tái)的概率為(用式子表示).

答案C考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.(2024浙江重點(diǎn)中學(xué)模擬,8)已知隨機(jī)變量ξ滿意P(ξ=0)=13,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=23-x,若0<x<A.E(ξ)隨著x的增大而增大,D(ξ)隨著x的增大而增大B.E(ξ)隨著x的增大而減小,D(ξ)隨著x的增大而增大C.E(ξ)隨著x的增大而減小,D(ξ)隨著x的增大而減小D.E(ξ)隨著x的增大而增大,D(ξ)隨著x的增大而減小答案C2.(2024河南南陽(yáng)一中第七次考試,14)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,現(xiàn)逐一檢測(cè),直至能確定全部次品為止,記檢測(cè)的次數(shù)為ξ,則E(ξ)=.

答案7煉技法【方法集訓(xùn)】方法1離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的求法(2024天津,16,13分)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)接受分層抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠足夠,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(ii)設(shè)A為事務(wù)“抽取的3人中,既有睡眠足夠的員工,也有睡眠不足的員工”,求事務(wù)A發(fā)生的概率.解析本小題主要考查隨機(jī)抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、互斥事務(wù)的概率加法公式等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn).考查運(yùn)用概率學(xué)問(wèn)解決簡(jiǎn)潔實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力.(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為3∶2∶2,由于接受分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)(i)隨機(jī)變量X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=C4所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P112184隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×4(ii)設(shè)事務(wù)B為“抽取的3人中,睡眠足夠的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事務(wù)C為“抽取的3人中,睡眠足夠的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=B∪C,且B與C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67所以,事務(wù)A發(fā)生的概率為67導(dǎo)師點(diǎn)睛超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題,隨機(jī)變量為抽到某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特點(diǎn):(1)考察對(duì)象分兩類(lèi);(2)已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù);(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考察某類(lèi)個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類(lèi)別的小球等概率模型,其實(shí)質(zhì)是古典概型.方法2利用期望與方差進(jìn)行決策的方法(2024廣東肇慶第三次統(tǒng)考,18)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售.假如當(dāng)天賣(mài)不完,剩下的玫瑰花當(dāng)作垃圾處理.(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式;(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(i)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差;(ii)若花店安排一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說(shuō)明理由.解析(1)當(dāng)日需求量n≥16時(shí),y=80.當(dāng)日需求量n<16時(shí),y=10n-80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y=10n(2)(i)X可能的取值為60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.故X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差為DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.(ii)答案不唯一.答案一:花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,設(shè)Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),則Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y的方差為DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.結(jié)合(2)(i)可知DX<DY,即購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤(rùn)波動(dòng)相對(duì)較小.雖然EX<EY,但兩者相差不大.故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花.答案二:花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,設(shè)Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.結(jié)合(2)(i)可知EX<EY,即購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)平均每天的利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16枝時(shí)平均每天的利潤(rùn).故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花.過(guò)專(zhuān)題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組(2024課標(biāo)Ⅲ,18,12分)某超市安排按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.依據(jù)往年銷(xiāo)售閱歷,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).假如最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;假如最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)安排,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?解析本題考查隨機(jī)變量的分布列,數(shù)學(xué)期望.(1)由題意知,X全部可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=36P(X=500)=25+7+490因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因此只需考慮200≤n≤500.當(dāng)300≤n≤500時(shí),若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.當(dāng)200≤n<300時(shí),若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元.B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列(2024山東,18,12分)在心理學(xué)探討中,常接受對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理示意對(duì)人的影響,詳細(xì)方法如下:將參與試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理示意,另一組接受乙種心理示意,通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理示意后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理示意的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理示意,另5人接受乙種心理示意.(1)求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.解析本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列,期望.(1)記接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事務(wù)為M,則P(M)=C84C(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C65C105=1P(X=2)=C63C42C10P(X=4)=C61C因此X的分布列為X01234P151051X的數(shù)學(xué)期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×521+2×1021+3×521考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差(2024北京,17,13分)為了探討一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時(shí)間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“*”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ);(3)試推斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫(xiě)出結(jié)論)解析本題考查古典概型,離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,方差等學(xué)問(wèn).(1)由題圖知,在服藥的50名患者中,指標(biāo)y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為1550(2)由題圖知,A,B,C,D四人中,指標(biāo)x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的全部可能取值為0,1,2.P(ξ=0)=C22C42=16,P(ξ=1)=C2所以ξ的分布列為ξ012P121故ξ的期望E(ξ)=0×16+1×23+2×(3)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差.方法總結(jié)①在求解離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望時(shí),先確定隨機(jī)變量的取值及各個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率,利用期望的公式求其數(shù)學(xué)期望;②在比較數(shù)據(jù)的方差時(shí),可以依據(jù)兩組數(shù)據(jù)的集中或分散程度進(jìn)行比較.C組老師專(zhuān)用題組考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列1.(2024四川,17,12分)某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參與辯論賽,A中學(xué)舉薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)舉薦了3名男生、4名女生,兩校所舉薦的學(xué)生一起參與集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng),從參與集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率;(2)某場(chǎng)競(jìng)賽前,從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽,設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由題意,參與集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為C33C因此,A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1-1100=99(2)依據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3.P(X=1)=C31C33C6P(X=3)=C33C所以X的分布列為X123P131因此,X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×2.(2024重慶,17,13分)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中隨意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析(1)令A(yù)表示事務(wù)“三種粽子各取到1個(gè)”,則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)=C21C(2)X的全部可能值為0,1,2,且P(X=0)=C83C103=7P(X=2)=C22C綜上知,X的分布列為X012P771故E(X)=0×715+1×715+2×115考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.(2024浙江,7,4分)設(shè)0<p<1,隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P11p則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí),()A.D(ξ)減小 .D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大D.D(ξ)先增大后減小答案D2.(2024浙江,8,5分)已知隨機(jī)變量ξi滿意P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<12A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)答案A3.(2024江蘇,23,10分)已知一個(gè)口袋中有m個(gè)白球,n個(gè)黑球(m,n∈N*,n≥2),這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出,并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3,…,m+n的抽屜內(nèi),其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P;(2)隨機(jī)變量X表示最終一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù),E(X)是X的數(shù)學(xué)期望,證明:E(X)<n(解析(1)編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P=Cm+n(2)隨機(jī)變量X的概率分布為:X111…1…1PCCC…C…C隨機(jī)變量X的期望為:E(X)=∑k=nm+n1所以E(X)<1=1=1(n-1)Cm=1(n-1)Cm+n=1(n-1)Cm=…=1(n-1)=Cm+n即E(X)<n(4.(2024天津,16,13分)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球競(jìng)賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參與.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參與競(jìng)賽.(1)設(shè)A為事務(wù)“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”,求事務(wù)A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由已知,有P(A)=C22C所以事務(wù)A發(fā)生的概率為635(2)隨機(jī)變量X的全部可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1331隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×1評(píng)析本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式,互斥事務(wù),離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn).考查運(yùn)用概率學(xué)問(wèn)解決簡(jiǎn)潔實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力.屬中等難度題.5.(2024福建,16,13分)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢(qián)時(shí),發(fā)覺(jué)自己遺忘了銀行卡的密碼,但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一,小王確定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則接著嘗試,直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事務(wù)為A,則P(A)=56×45×34(2)依題意得,X全部可能的取值是1,2,3.P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,P(X=3)=56所以X的分布列為X123P112所以E(X)=1×16+2×16+3×236.(2024安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)須要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且其次次檢測(cè)出的是正品的概率;(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品須要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所須要的檢測(cè)費(fèi)用(單位:元),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解析(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且其次次檢測(cè)出的是正品”為事務(wù)A,則P(A)=A21A(2)X的可能取值為200,300,400.P(X=200)=A22AP(X=300)=A33+P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110-310=故X的分布列為X200300400P136EX=200×110+300×310+400×7.(2024湖北,20,12分)安排在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求將來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率;(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?解析(1)依題意,p1=P(40<X<80)=1050=0.2,p2=P(80≤X≤120)=3550=0.7,p3=P(X>120)=由二項(xiàng)分布知,在將來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為p=C40(1-p3)4+C41(1-p3)3p3=910(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位:萬(wàn)元).(i)安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫(kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5000,E(Y)=5000×1=5000.(ii)安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意知,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)X≥80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8,由此得Y的分布列如下:Y420010000P0.20.8所以,E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.(iii)安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)80≤X≤120時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;當(dāng)X>120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:Y3400920015000P0.20.70.1所以,E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.綜上,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).評(píng)析本題考查了概率和離散型隨機(jī)變量的分布列.考查了分類(lèi)探討方法和運(yùn)算求解實(shí)力.8.(2024福建,18,13分)為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行嘉獎(jiǎng),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求:(i)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率;(ii)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)商場(chǎng)對(duì)嘉獎(jiǎng)總額的預(yù)算是60000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的嘉獎(jiǎng)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說(shuō)明理由.解析(1)設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X元.(i)依題意,得P(X=60)=C11C即顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率為12(ii)依題意,得X的全部可能取值為20,60.P(X=60)=12,P(X=20)=C32即X的分布列為X2060P0.50.5所以顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的期望為E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)依據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元.所以,先找尋期望為60元的可能方案.對(duì)于面值由10元和50元組成的狀況,假如選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以期望不行能為60元;假如選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以期望也不行能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的狀況,同理可解除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析:對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X1元,則X1的分布列為X12060100P121X1的期望E(X1)=20×16+60×23+100×X1的方差D(X1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X2元,則X2的分布列為X2406080P121X2的期望E(X2)=40×16+60×23+80×X2的方差D(X2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16由于兩種方案的嘉獎(jiǎng)?lì)~的期望都符合要求,但方案2嘉獎(jiǎng)?lì)~的方差比方案1的小,所以應(yīng)當(dāng)選擇方案2.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共15分)1.(2025屆廣東深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校考試,7)某學(xué)校10位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé),每次獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)均需該組織4位同學(xué)參與.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給4位同學(xué),且所發(fā)信息都能收到.則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知的信息的概率為()A.25B.1225C.16答案C2.(2024廣東省際名校聯(lián)考(二),11)不透亮袋子中裝有大小、材質(zhì)完全相同的2個(gè)紅球和5個(gè)黑球,現(xiàn)從中逐個(gè)不放回地摸出小球,直到取出全部紅球?yàn)橹?則摸取次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是()A.185B.92C.36答案D3.(2024安徽合肥第一中學(xué)沖刺,8)某班級(jí)有男生32人,女生20人,現(xiàn)選舉4名學(xué)生分別擔(dān)當(dāng)班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記和體育委員.男生當(dāng)選的人數(shù)記為ξ,則ξ的數(shù)學(xué)期望為()A.1613B.2013C.32答案C二、填空題(每小題5分,共10分)4.(2024安徽蚌埠二模,16)賭博有陷阱.某種賭博嬉戲每局的規(guī)則是:參與者從標(biāo)有5,6,7,8,9的小球中隨機(jī)摸取一個(gè)(除數(shù)字不同外,其余均相同),將小球上的數(shù)字作為其賭金(單位:元),然后放回該小球,再隨機(jī)摸取兩個(gè)小球,將兩個(gè)小球上數(shù)字之差的肯定值的2倍作為其獎(jiǎng)金(單位:元).若隨機(jī)變量ξ和η分別表示參與者在每一局賭博嬉戲中的賭金與獎(jiǎng)金,則Eξ-Eη=元.

答案35.(2024浙江寧波5月模擬,13)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:Xa234P1b11若EX=2,則a=;DX=.

答案0;5三、解答題(共35分)6.(2025屆廣東佛山順德其次次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),18)某糕點(diǎn)房推出一類(lèi)新品蛋糕,該蛋糕的成本價(jià)為4元,售價(jià)為8元.受保質(zhì)期的影響,當(dāng)天沒(méi)有銷(xiāo)售完的糕點(diǎn)只能銷(xiāo)毀.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的調(diào)研,統(tǒng)計(jì)了一下該新品的日需求量.現(xiàn)將近期一個(gè)月(30天)的需求量展示如下:日需求量X(個(gè))20304050天數(shù)510105(1)從這30天中任取兩天,求兩天的日需求量均為40個(gè)的概率;(2)以上表中的頻率作為概率,列出日需求量X的分布列,并求該月的日需求量X的期望;(3)依據(jù)(2)中的分布列求得當(dāng)該糕點(diǎn)房一天制作35個(gè)該類(lèi)蛋糕時(shí),對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)的期望值為3203;現(xiàn)有員工建議擴(kuò)大生產(chǎn),一天生產(chǎn)45個(gè),求對(duì)應(yīng)利潤(rùn)的期望值,推斷此建議該不該被接受解析(1)從這30天中任取兩天,兩天的日需求量均為40個(gè)的概率為C102C(2)日需求量的分布列為X20304050P1111日需求量X的期望E(X)=20×16+30×13+40×13(3)設(shè)該糕點(diǎn)房制作45個(gè)蛋糕對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)為Y元,對(duì)應(yīng)的分布列如下:利潤(rùn)Y(元)-2060140180概率1111利潤(rùn)Y的期望E(Y)=-20×16+60×13+140×13+180×16=2803.因?yàn)?80方法總結(jié)(1)干脆依據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求概率即可;(2)列出日需求量的分布列,依據(jù)分布列,用數(shù)學(xué)期望的公式求解即可