浙江省鄞州中學2024屆高三下學期第五次月考（一模）數(shù)學試題試卷

浙江省鄞州中學2024屆高三下學期第五次月考（一模）數(shù)學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農業(yè)經濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調研，每個縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A．16,13 B．13．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．4．已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．是拋物線上一點，是圓關于直線的對稱圓上的一點，則最小值是（）A． B． C． D．6．已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則7．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個數(shù)為（）A． B． C． D．8．已知，則（）A． B． C． D．9．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉過的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．10．復數(shù)（）．A． B． C． D．11．《周易》歷來被人們視作儒家群經之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法．我們用近代術語解釋為：把陽爻“-”當作數(shù)字“1”，把陰爻“--”當作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進制數(shù)是（）A．18 B．17 C．16 D．1512．劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家，他在《九章算術》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也.合成弦方之冪，開方除之，即弦也”.已知圖中網格紙上小正方形的邊長為1，其中“正方形為朱方，正方形為青方”，則在五邊形內隨機取一個點，此點取自朱方的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎.在比賽結果揭曉之前，四人的猜測如下表，其中“√”表示猜測某人獲獎，“×”表示猜測某人未獲獎，而“○”則表示對某人是否獲獎未發(fā)表意見.已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的，那么兩名獲獎者是_______.甲獲獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎甲的猜測√××√乙的猜測×○○√丙的猜測×√×√丁的猜測○○√×14．已知圓，直線與圓交于兩點，，若，則弦的長度的最大值為_______.15．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為__________．16．若，且，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.18．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的普通方程；（2）過坐標原點作直線交曲線于點（異于），交曲線于點，求的最小值.19．（12分）已知，，設函數(shù)，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為1，證明：.20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.點在曲線上，點滿足.（1）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求動點的軌跡的極坐標方程；（2）點，分別是曲線上第一象限，第二象限上兩點，且滿足，求的值.21．（12分）在平面直角坐標系中,有一個微型智能機器人（大小不計）只能沿著坐標軸的正方向或負方向行進,且每一步只能行進1個單位長度,例如：該機器人在點處時,下一步可行進到、、、這四個點中的任一位置．記該機器人從坐標原點出發(fā)、行進步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為．（1）分別求、、的值；（2）求的表達式．22．（10分）設數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

每個縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調研，每個縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.2、A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3，根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當x∈0,π時，又f0=3sin由fx在0,π上的值域為32解得：ω∈本題正確選項：A【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題，關鍵是能夠結合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限，從而得到關于參數(shù)的不等式.3、B【解析】

先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應,切不可錯位.4、C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個數(shù)．【詳解】由，解得或，∴中有兩個元素，因此它的真子集有3個．故選：C.【點睛】本題考查集合的子集個數(shù)問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數(shù)，解題關鍵是對集合元素的認識，本題中集合都是曲線上的點集．5、C【解析】

求出點關于直線的對稱點的坐標，進而可得出圓關于直線的對稱圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質求出的最小值，由此可得出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設點關于直線的對稱點為點，則，整理得，解得，即點，所以，圓關于直線的對稱圓的方程為，設點，則，當時，取最小值，因此，.故選：C.【點睛】本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算，同時也考查了兩圓關于直線對稱性的應用，考查計算能力，屬于中等題.6、B【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關系，逐項判斷即可得出結果.【詳解】A選項，若，，，，則或與相交；故A錯；B選項，若，，則，又，是兩個不重合的平面，則，故B正確；C選項，若，，則或或與相交，又，是兩個不重合的平面，則或與相交；故C錯；D選項，若，，則或或與相交，又，是兩個不重合的平面，則或與相交；故D錯；故選B【點睛】本題主要考查與線面、線線相關的命題，熟記線線、線面位置關系，即可求解，屬于?？碱}型.7、C【解析】

利用線線、線面、面面相應的判定與性質來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當直線平行于平面與平面的交線時也有，，故②錯誤；若，則垂直平面內以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因為，所以，從而，故④正確.故選：C.【點睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關系，里面涉及到了相應的判定定理以及性質定理，是一道基礎題.8、C【解析】

利用誘導公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【點睛】本題考查誘導公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三角函數(shù)的符號.9、B【解析】

因為時針經過2小時相當于轉了一圈的，且按順時針轉所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經過2小時，時針所轉過的弧度數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎題.10、A【解析】試題分析：，故選A.【考點】復數(shù)運算【名師點睛】復數(shù)代數(shù)形式的四則運算的法則是進行復數(shù)運算的理論依據(jù)，加減運算類似于多項式的合并同類項，乘法法則類似于多項式的乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數(shù)化.11、B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001，將其轉化為十進制數(shù)即可.【詳解】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001，轉化為十進制數(shù)的計算為1×20+1×24=1．故選：B．【點睛】本題主要考查數(shù)制是轉化，新定義知識的應用等，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.12、C【解析】

首先明確這是一個幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.【詳解】因為正方形為朱方，其面積為9，五邊形的面積為，所以此點取自朱方的概率為.故選：C【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、乙、丁【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目分為四種情況，然后對四種情況依次進行分析，觀察四人所猜測的結果是否沖突，最后即可得出結果.【詳解】從表中可知，若甲猜測正確，則乙，丙，丁猜測錯誤，與題意不符，故甲猜測錯誤；若乙猜測正確，則依題意丙猜測無法確定正誤，丁猜測錯誤；若丙猜測正確，則丁猜測錯誤；綜上只有乙，丙猜測不矛盾，依題意乙，丙猜測是正確的，從而得出乙，丁獲獎.所以本題答案為乙、丁.【點睛】本題是一個簡單的合情推理題，能否根據(jù)“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關鍵，考查推理能力，是簡單題.14、【解析】

設為的中點，根據(jù)弦長公式，只需最小，在中，根據(jù)余弦定理將表示出來，由，得到，結合弦長公式得到，求出點的軌跡方程，即可求解.【詳解】設為的中點，在中，，①在中，，②①②得，即，，.，得.所以，.故答案為：.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系、相交弦長的最值，解題的關鍵求出點的軌跡方程，考查計算求解能力，屬于中檔題.15、【解析】設，則，由題意可得故當時，由不等式，可得，或求得，或故答案為（16、8【解析】

利用的代換，將寫成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因為（即取等號），所以最小值為.【點睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開后利用基本不等式求解，注意取等號的條件.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，即可得出該不等式的解集；（2）利用分析法可知，要證，即證，只需證明即可，因式分解后，判斷差值符號即可，由此證明出所證不等式成立.【詳解】（1）.當時，由，解得，此時；當時，不成立；當時，由，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2）要證，即證，因為，，所以，，，.所以，.故所證不等式成立.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解，同時也考查了利用分析法和作差法證明不等式，考查分類討論思想以及推理能力，屬于中等題.18、（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：（2）【解析】

（1）消去曲線參數(shù)方程中的參數(shù)，求得和的普通方程.（2）設出過原點的直線的極坐標方程，代入曲線的極坐標方程，求得的表達式，結合三角函數(shù)值域的求法，求得的最小值.【詳解】（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：.（2）設過原點的直線的極坐標方程為；由得，所以曲線的極坐標方程為在曲線中，.由得曲線的極坐標方程為，所以而到直線與曲線的交點的距離為，因此，即的最小值為.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直角坐標方程化為極坐標方程，考查極坐標系下距離的有關計算，屬于中檔題.19、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點分段法，求出各段的取值范圍然后取并集可得結果.（2）利用絕對值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得結果.【詳解】（1）由，所以由當時，則所以當時，則當時，則綜上所述：（2）由當且僅當時取等號所以由，所以所以令根據(jù)柯西不等式，則當且僅當，即取等號由故，又則【點睛】本題考查使用零點分段法求解絕對值不等式以及柯西不等式的應用，屬基礎題.20、（1）（）；（2）【解析】

（1）由已知，曲線的參數(shù)方程消去t后，要注意x的范圍，再利用普通方程與極坐標方程的互化公式運算即可；（2）設，，由（1）可得，，相加即可得到證明.【詳解】（1），∵，∴，∴，由題可知：，：（）.（2）因為，設，，則，，.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化，考查學生的計算能力，是一道容易題.21、（1）,,,（2）【解析】

（1）根據(jù)機器人的進行規(guī)律可確定、、的值；（2）首先根據(jù)機器人行進規(guī)則知機器人沿軸行進步,必須沿軸負方向行進相同的步數(shù),而余下的每一步行進方向都有兩個選擇(向上或向下),由此結合組合知識確定機器人的每一種走法關于的表達式,并得到的表達式,然后結合二項式定理及展開式的通項公式進行求解.【詳解】解：（1）,,（2）設為沿軸正方向走的步數(shù)（每一步長度為1）,則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,