2023湘教版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習1.3.3等比數(shù)列的前n 項和

1.3.3等比數(shù)列的前n項和

基礎過關(guān)練

題組一與等比數(shù)列前n項和有關(guān)的計算

1.（2022湖南師大附中月考）等比數(shù)列｛aj中，公比為右前6項和為手，則加=（）

33

A73_CD

一1

84824

2.（2022天津?qū)氄蛊谥校┰OSn為正項等比數(shù)列｛aj的前n項和,a5,3a3,a4成等差數(shù)列，

則知的值為（）

AB.春C.16D.17

3.（2022湖南婁底期中）在遞增數(shù)列｛aj中，忌+i=an?an+2,若ai+am=130,a2,am-i=256,

且前m項和Sm=170,則m=（）

A.3B.4

C.5D.6

4.（2020浙江寧波高一期末）已知等比數(shù)列｛aj的公比為q（q>0）,前n項和為Sn.若

$2=6,$4=30,貝！Jai=,q=.

題組二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)

5.在數(shù)列｛a"中,an+產(chǎn)ca￡c為非零常數(shù)），且其前n項和Sn=342+k,則實數(shù)k的值為

（）

A.-l1C1.；1D.=

399

6.（2022福建寧德九中月考）等比數(shù)列｛aj的前n項和為S~S4=8,S8=24,貝U

ai3+a14+ai5+ai6=-

7.等比數(shù)列｛aj共2n項,其和為-240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80廁公比

q=-

8.（2020四川廣元期末）等比數(shù)列｛a"的前n項和為10,前2n項和為30,則前3n項

和為.

題組三錯位相減法求和

9.（2022湖南湘潭期末）設數(shù)列｛naj的前n項和為Sn,且an=21則使得Sn<l000成

立的最大正整數(shù)n的值為（）

A.5B.6C.7D.8

10.（2022天津?qū)氄蛊谥校┮阎獢?shù)列｛a/的前n項和為S。,且

an+i=an+2（neN+）,a3+a4=12,數(shù)列｛bn｝為等比數(shù)列，且bi=az,b2=S3.

（1）求｛an｝和｛bn｝的通項公式；

n

⑵設cn=（-l）an-bn,求數(shù)列｛Cn｝的前n項和Tn.

11.(2022湖南雅禮中學一模)已知數(shù)列｛即｝是公差不為零的等差數(shù)列,a2=3且

ai,a3,a7成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)記數(shù)列｛2.而｝的前n項和為Sn,求數(shù)歹lJ｛nSJ的前n項和

題組四等比數(shù)列前n項和的綜合應用

12.（2022湖南岳陽期中）2020年年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫

貧攻堅取得重大勝利!為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企

業(yè)響應政府號召，積極參與幫扶活動.該企業(yè)2021年年初有資金500萬元，資金年平

均增長率可達到20%.每年年底扣除下一年必需的消費資金后，剩余資金全部投入

再生產(chǎn).為了實現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達到800萬元的目標，每年應扣除的消

費資金至多為（單位:萬元，結(jié)果精確到萬元X參考數(shù)據(jù)：1.2、2.07,1.25-249）（）

A.83B.60

C.50D.44

13.（2022廣東廣州期末）已知首項均為|的等差數(shù)列｛a。｝與等比數(shù)列｛bj滿足

a3=b2,a4=b3,且舊｝的各項均不相等，設Sn為數(shù)列｛瓦｝的前n項和廁Sn的最大值與

最小值之差為.

14.（2020河南洛陽期末）已知等比數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,S3=-6,S6=42.

⑴求an,Sn;

⑵證明&+|q5+2成等差數(shù)列.

能力提升練

題組一求等比數(shù)列的前n項和

2n1

1.（2022湖南永州期末）已知數(shù)列｛a"的前n項和為Sn,a1=l,a2=2,anan+i=2-,WJ

A）

A.62B.63C.64D.65

2.（2021四川成都玉林中學期末）已知數(shù)列｛a/為等差數(shù)歹U,公差d不為0,｛a"中的

部分項組成的數(shù)列以1，以2，以3,…,。跖，…恰為等比數(shù)列淇中ki=l,k2=5,k3=17,則數(shù)

列｛kJ的前n項和為（）

A.3nB.3n-1

C.3n+n-lD.3n-n-l

3.（多選X2021湖南長沙長郡中學月考）已知數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,且

ai=p,2Sn-Sn-i=2p（n》2）（p為非零常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛a"為等比數(shù)列

B.當p=l時,S4=1|

C.當P4時,aman=am+n（m,neN+）

D.|a3|+|a8|=|a5|+|a6|

4.（2022湖南衡陽期中）已知等差數(shù)列｛a"和等比數(shù)列｛bj滿足

a1=2,b2=4,an=21og2bn（neN+）.

（1）求數(shù)列｛aj,｛bj的通項公式；

（2）設數(shù)列｛%｝中不在數(shù)列｛4｝中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列｛.｝,記數(shù)列｛品｝

的前n項和為Sn,求SI00.

題組二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)

5.（2022四川綿陽月考）已知正項等比數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,若-5,S3,S6成等差數(shù)

列，則S9-S6的最小值為（）

A.25B.20C.15D.10

6.（2022安徽亳州期末）已知等比數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,公比q>0,ai=l,a3=a2+2.

若數(shù)列｛bn｝的前n項和為Tn,an+尸bnSn+lSn,則T9=（）

510102310221

A'51T氏1024J023L023

7.（2022江蘇常熟中學月考）已知公比為2的等比數(shù)列｛a。｝

中,az+as+ag+a1i+a14+a17+220=13,則該數(shù)列的前21項和S21=.

題組三錯位相減法求和

8.（2022湖南長沙一中月考）定義區(qū)表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.39]=0,[1.28]=1.

若數(shù)列｛an｝的通項公式為an=[log2n],Sn為數(shù)列｛a"的前n項和，則S2047=（）

A.2"+2B.3x2"+2

C.6x2"+2D.9x2"+2

9.(2022湖南郴州期末)已知數(shù)列｛aj的前n項和為S0,a尸之且4SI1+,=3Sn-9.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)設數(shù)列｛bn｝滿足3bn+(n-4)an=0(n￡N+),記｛bn｝的前n項和為Tn,若TnW入bn對任意

n￡N+恒成立，求實數(shù)X的取值范圍.

題組四等比數(shù)列前n項和的綜合應用

10.(2020福建福州期末)“垛積術(shù)”(隙積術(shù))是由北宋科學家沈括在《夢溪筆談》

中首創(chuàng)，南宋數(shù)學家楊輝、元代數(shù)學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有

菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草

垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層都比上一層多1件，最后一層是n件.已知第

一層貨物的單價是1萬元，從第二層起，每一層貨物的單價都是上一層單價的3.若

這堆貨物的總價是［25-65萬元則n的值為（）

A.7B.8

C.9D.10

11.（多選）（2021山東濰坊期中）下面是按照一定規(guī)律畫出的一排“樹形圖”.

其中悌2個圖比第1個圖多2個“樹枝”，第3個圖比第2個圖多4個“樹枝”，

第4個圖比第3個圖多8個“樹枝”.假設第n個圖的樹枝數(shù)為％,數(shù)列｛a"的前n

項和為Sn,則下列說法正確的是（）

n1

A.an=2-

n

B.an+i=an+2

C.Sn=2an-n

D.ai+as+a5H----Fa2n-i=2a2n-n+l

12.（2021山東煙臺二中三模）已知數(shù)列｛aj滿足avlogzWI.給出定義:使數(shù)列｛a/的

前k項和為正整數(shù)的k（k￡N+）叫作“好數(shù)”，則在［1,2021］內(nèi)的所有“好數(shù)”的和

為.

13.（2021湖南衡陽八中期末）已知正項等差數(shù)列｛a/中,ai=2,且ai,a2-l,a3成等比數(shù)

-1

歹U,數(shù)列｛bn｝的前n項和為Sn,big,2Sn+l=2Sn+bn.

（1）求數(shù)列｛%｝和｛%｝的通項公式;

⑵設備=%+法數(shù)列｛，｝的前n項和為。證明:|W*

答案與分層梯度式解析

基礎過關(guān)練

l.BS6=ai,1￡）=爭尸事故a[=24,故a6=24xg）三，故選B.

~2

2.D設數(shù)列⑶｝的公比為q,q>0,由as,3a3,a4成等差數(shù)列，可得6a3=a5+a4,§P

6aiq2=aiq4+aiq3,

化簡得q2+q-6=0,解得q=2（q=-3舍去）廁上二備2--=—；=l+q4=l+16=17,故選D.

S4二（1-Q）If

3.B由題意知數(shù)列｛加｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，設其公比為q,則q>0,且q#l.因為

a2-am」=256,所以a.-am=256,聯(lián)立伊'解得或

:產(chǎn)，舍去).因為Sm="工170,所以Y=85①,又因為am=ai-qm-』28,即

vam—z—q—q

qm-i=64②，聯(lián)立①②，解得q=4,m=4.故選B.

4.答案2;2

解析若q=l,貝曦1二常無解，故qWL

5(1/)_$

當q>0,且qWl時「

爾山=30,

\1—q

所以a】=2,q=2.

5.D易知ayo,由題意得出｝為等比數(shù)列，又???Sn=3n-2+k=；?3n+k,.?.根據(jù)等比數(shù)

列前n項和的性質(zhì)，得k=_.

6.答案64

解析易知等比數(shù)列的公比qW-1.由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知

S4,S8-S4,S12-S8,S16-S|2成等比數(shù)列，即8,16512$,S6S戰(zhàn)成等比數(shù)列，故

Si2-S8=32,Si6-Si2=64,所以ai3+ai4+ai5+ai6=Si6-S12=64.

7.答案2

(S各+S俚=-240,

解析設奇數(shù)項的和為S奇,偶數(shù)項的和為S偶.根據(jù)題意得Jc?an

。奇-3偶=叫

解得J1AO.,.q=-=—=2.

(S偶=—160,rS奇-80

8.答案70

解析設等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn.由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)得

22

(S2n-Sn)=Sn(S3?-S2n)=>(30-10)=10(S3n-30)=?S3n=70.

9.B由題意，得nan=n?2、所以Sn=lx2】+2x22+3x23+…+型2n①，

貝！J2s產(chǎn)1X22+2X23+3X24+-?+(n-l)x2n+nx2n+1(2),

①-②，得-Sn=2〔+22+23+…+2n-nx2n+i=%g_nx2n+i=(l-n)x2n+i-2,所以

1—2

Sn=(n-l)x2n+i+2,當n=6時,Sn=642,當n=7時,Sn=l538,所以使Sn<l000成立的最大

正整數(shù)n為6.故選B.

10.解析(1)由已知得an+i-an=2,

.??數(shù)列｛a。｝是以2為公差的等差數(shù)列.

as+a4=12,2ai+10=12,.*.ai=l,

...an=2n-1.

設等比數(shù)列｛bn｝的公比為q,

bi=a2=3,b2=S3=9,bz=3q=9,/.q=3,

n

.,.bn=3.

nnn

(2)由題意，得cn=(-l)an?bn=(-l)"(2n-l)?3=(2n-l)?(-3),

23n

'Tn=1x(-3)+3x(-3)+5x(-3)+??-+(2n-l)x(-3),

23nn+1

.,.-3Tn=lx(-3)+3x(-3)+-+(2n-3)x(-3)+(2n-l)x(-3).

兩式相減，得41；=-3+2[(-3)2+(-3)3+???+(-3尸卜(211-1?(-3嚴

=3+2"f：：："L(2n-l)x(一3嚴

=：?x(-3嚴，

I1+1

.,.Tn=--—x(-3)

88

易錯警示

利用“錯位相減法”求和應注意:①相減時后一項的符號;②項數(shù)別出錯;③

最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以(1-q).

11.解析(1)設數(shù)列｛即｝的公差為d(d/O),由題意得2口7=送，即ai(ai+6d)=(ai+2d)2,

化冏得ai=2d,

又因為a2=a1+d=3,所以d=l,所以at=2,

所以an=2+(n-1)x1=n+1.

(2)由(1)得2-an=2-n=(；y,則數(shù)列｛21一而｝是以;為首項、;為公比的等比數(shù)歹U,所以

Sn=』：(j)]=]_(；)，則nSn=n-nQ),

~2

所以「=(1+2+…+n)-[1x；+2x(；)之+...+型Qn]

若斗X；+2XG)2,+：XG);

設tn=lx；+2xgy+..?+nx以①，

23n+1

IJ!ij4n=lxQ)+2xQ)+---+nxQ)(2),

①-②,得尾+(；)+(；)+,?n+2

2n+P

所以％=2-蒙,

所以Tn=n(n4-l)^n+2-2.

22n

12.B設每年應扣除的消費資金為x萬元，則1年后投入再生產(chǎn)的資金為

500(l+20%)-x,2年后投入再生產(chǎn)的資金為

[500(1+20%)-x](1+20%)-x=500(1+20%)2-(1+20%)x-x,....,5年后投入再生產(chǎn)的資

金為500(1+20%)5-(1+20%)4x-(l+20%)3x-(1+20%)2x-(1+20%)x-x3800,

.,.且xW500xl.25-800,；.xW60.故選B.

1-1.2

13.答案-

4

解析設等差數(shù)列｛an｝的公差為d,等比數(shù)列｛bn｝的公比為q,

則；3；解得｛廠J或,3

《+3d+，ld=0卜=一；，

又因為｛踴｝的各項均不相等，所以\則Sn=Uf〃=l-(一).

d=-----1+:、2)

當n為奇數(shù)時,Sn=l+；,易知Sn=l+?單調(diào)遞減，最大值為S1=,且Sn>l；

當n為偶數(shù)時,Sn=l《,易知Sn=l《單調(diào)遞增，最小值為S2三,且Sn<l.

所以Sn的最大值為Si=：最小值為S2-,

24

所以Sn的最大值與最小值之差為；

4

14.解析（1）設等比數(shù)列｛aj的公比為q,由S6#2s3得q#l,則

*得l+q3=-7,即q3=-8,

所以q=-2,所以ai=-2,

n1n

所以an=-2x(-2)-=(-2),

(-2)X[l-(-2)n]

(2)證明油⑴知,Sn+]+Sn+2=Wl-G2)n+l]Wl-(-2)n+2]

=$2-(-2)n+】-(-2)n+2]

=-^2[2+2x(-2)n-4x(-2)n]

凱(-2用=21，

所以成等差數(shù)列.

能力提升練

ccco4n4-l-門co4n-l

l.D由3=3-=%=4,如=3±I=J=4,可知數(shù)列⑶｝的奇數(shù)項是以1為首

4143

a2na2na2n+l2"-a2ml2n2"-

項、4為公比的等比數(shù)列;偶數(shù)項是以2為首項、4為公比的等比數(shù)列.所以

s6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=°")ai+>439=21+2x21=63,Sii365+2x1

1-41-41-41-4

365=4095,所以心沙=65.

5663

故選D.

2.D由題意可知點2=%?%，即譴=a】ai7,可得(由+4dy=ai(ai+16d),因為dWO,所

以ai=2d,故an=ai+(n-l)d=(n+l)d.所以等比數(shù)列｛耿｝的公比q=^="=吧=3,所以

n

%ax2d

nln

cifcn=ai?q=2x3'd,

又因為Ln=(kn+l)d,所以kn+l=2x3n-i,故口=2、3a1-1.所以

2nln

ki+kz+lQri---Fkn=2(l+3+3H---b3-)-n=^^-^-n=3-n-l,^^D.

1—3

3.AC對于A,由2S『S*2P(n22)①,ai=p，得a2!當n230t,2Sn-i-Sn-2=2p@,

①-②可得2a『ae=0,即an2anNn23),又因為絲上,所以數(shù)列是首項為p、公比為

2旬2

，勺等比數(shù)列，故A正確；

1

對于B,當p=l時,S4=Y=:故B錯誤；

1-58

11\m-11z.xn-1m+n〔m+n-lm+n

對于C,當p虧吐aman=/Z1Jx-x(-)=(/-lX)，am+n弓xQ)=(J，所以

aman=am+n,故C正確；

對于D,|a3|+|a8|=|p|?G+搟)=縈Pl,

|a5|+|a6|=|p|?G+^)=!|p|,

則必|+院|>閉|+1|,故D錯誤.故選AC.

4.解析(1)設等差數(shù)列｛即｝的公差為d,

因為bz=4,所以a2=21og2b2=4,

所以d=a2-a]=2,

所以an=2+(n-1)x2=2n.

又因為an=21og2bn,所以2n=21og2bn,即n=log2bn,

n

所以bn=2.

n

(2)由(1)得bn=2n=2?2-'=a2n-i,

即％是數(shù)列｛%｝中的第2n4項.

設數(shù)列｛an｝的前n項和為Pn,數(shù)列｛bn｝的前n項和為Qn,

6=a

因為b7=a264,bs=a27=a128,

所以數(shù)列｛Cn｝的前100項是由數(shù)列｛an｝的前107項去掉數(shù)列｛bn｝的前7項后構(gòu)成的,

107x(2+214)2-28

所以S100=P|07-Q7=,--=11302.

21-2

5.B因為｛如｝是正項等比數(shù)列，所以S3,S6-S3,S9、6成等比數(shù)列，所以

2

(S6-S3)=S3(S9-S6).

又因為-5,S3,S6成等差數(shù)列，所以S6-5=2S3,即S6$3=S3+5,所以

s內(nèi)=誓號=號10.易知S40,則S3目1。2所打。=2。,當且僅當

S3=5時取等號，故選B.

2n1

6.CVa)=1,a3=a2+2,/.q-q-2=0,/.q=2或q=-1,q>0,q=2,an=2-,

Qi(]一q")=]-口_]

?\Sn=2:2

l-q1-2

?Hn+I=bnSn+]Sn,??Sn+]-Sn=bnSn+lS

Tn=bi+b+---+b=???31-急=落故

2n6-/G-沙…+&-J=hh=i-高

選c.

7.答案今

解析設等比數(shù)列｛an｝的首項為ai,公比為q.由題意知a2,a5,a8,a“,a]4,ai7,a2o仍為等

37

i2[i-(<7)]Qiq(l-q21)

比數(shù)列，其首項為公比為故

a2,q\a2+a5+a8+aii+ai4+ai7+a2o=-l-q3(l?q)(l+q+q2)

=處吧?—=S2#=13,所以S21=-.

1-ql+q+q’72

8.D當OWlog2n<1時,n=l,即ai=0(共1項);當IWlog2n<2時,n=2,3,即a2=a3=l(^

2項);當2Wlog2n<3時,n=4,5,6,7,即a4=as=a6=a7=2(共4項);...;當k^Iog2n<k+l

時,n=2k,2k+l,…,2-1-1,即。2上=。2/<+]=?，，=(22k+i：=k(共2k項).由1+2+22H----F2k=2047,

可得上竺=

1-2

2047懈得k=10,

231

所以S2047=0x1+1X2+2X2+3X2+???+10x2°?,

23411

2S2047=0X2+1X2+2X2+3X2+-+10X2(2),

①一②可得一$2047=0+2+22+23+…+2Q10X2”=%三210X2”,化簡可得S2047=9X2”+2,

1-2

故選D.

9解析(1)當n=l時,4(ai+a2)=3a「9,

目口A9c27?27

即4a?=-9=—,??a2=—.

4416

當n22時，由4Sn+i=3S「9①,

得4Sn=3Sn」-9②，①-②得4an+i=3an,

Va2=--^0,/.an7^0,/.^=-,

160n4

又...絲二3

Q]4

???{%}是首項為-2、公比為三的等比數(shù)歹U,

44

??2?一"(丁n

(2)由3bn+(n-4)an=0,得bn=-?an=(n-4)xG),

n+1

兩式相減得拼=-3x?G)+0+。+…+。-04)x(]

-_-J-1-----H--------H3-------"(廣

49

用葉y……

/3\n+1

n+1

.,.Tn=-4nxg),

由TnW入bn得-4nxG)"+WMn-4)xQn恒成立，即X(n-4)+3n^0恒成立.

當n=4時，不等式恒成立；

當n<4時AW-電=-3士恒成立，得入W1;

n-4n-4

當n>4時入》$=-3*恒成立，得入23

10.B由題意，可設前n層貨物的總價為Sn萬元，則

Sn=l+2xi+3xQ)+-+nxQ),

2nl

^Sn4+2xQ)+...+(n-l)x(0+nx

兩式相減可得冬=l+》()+-+(3n。(廣看一比)"=5一(什5啕：

所以

令Sn=25-65x?n，貝!J5(n+5)=65,解得n=8.故選B.

n

11.BC對于A,若an=2。”，則a3=23T=4W7,故錯誤;對于B,由題意得an+i-an=2,EP

an+l=an+2n,故正確;對于C,由an+i-an=2n,可得

an=ai+(a2-aD+…+(an-an-i)=l+2i+22+…+2n/=^"=2n-],貝ijSn="