2020-2021學年數(shù)學北師大版必修4教學教案：26平面向量數(shù)量積的坐標表示

6平面向量數(shù)量積的坐標表示

整體設計

教學分析

平面向量的數(shù)量積，教材將其分為兩部分.在第一部分向量的數(shù)量積中，首先研究平面向

量所成的角，其次介紹了向量數(shù)量積的定義,最后研究了向量數(shù)量積的基本運算法則和基本結

論;在第二部分平面向量數(shù)量積的坐標表示中，在平面向量數(shù)量積的坐標表示的基礎上，利用

數(shù)量積的坐標表示研討了平面向量所成角的計算方式，得到了兩向量垂直的判定方法,本節(jié)是

平面向量數(shù)量積的第二部分.

前面我們學習了平面向量的數(shù)量積，以及平面向量的坐標表示.那么在有了平面向量的坐

標表示以及坐標運算的經(jīng)驗和引進平面向量的數(shù)量積后，就順其自然地要考慮到平面向量的

數(shù)量積是否也能用坐標表示的問題.另一方面，由于平面向量數(shù)量積涉及了向量的模、夾角，

因此在實現(xiàn)向量數(shù)量積的坐標表示后，向量的模、夾角也都可以與向量的坐標聯(lián)系起來.利用

平面向量的坐標表示和坐標運算，結合平面向量與平面向量數(shù)量積的關系來推導出平面向量

數(shù)量積以及向量的模、夾角的坐標表示.

教師應在坐標基底向量的數(shù)量積的基礎上，推導向量數(shù).最積的坐標表示.通過例題分析、

課堂訓練，讓學生總結歸納出對于向量的坐標、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個因素，知道其

中?些因素，求出其他因素基本題型的求解方法.平面向量數(shù)量積的坐標表示是在學生學習了

平面向量的坐標表示和平面向量數(shù)量積的基礎上進一步學習的，這都為數(shù)量積的坐標表示奠

定了知識和方法基礎.

三維目標

1.通過探究平面向量的數(shù)量積的坐標運算，掌握兩個向量數(shù)量積的坐標表示方法.

2.掌握兩個向量垂直的坐標條件以及能運用兩個向量的數(shù)量積的坐標表示解決有關長度、角

度、垂直等幾何問題.

3.通過平面向量數(shù)量積的坐標表示，進一步加深學生對平面向量數(shù)量積的認識,提高學生的運

算速度，培養(yǎng)學生的運算能力,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，提高學生的數(shù)學素質(zhì).

重點難點

教學重點:平面向量數(shù)量積的坐標表示.

教學難點:向量數(shù)量積的坐標表示的應用.

課時安排

1課時

教學過程

導入新課

思路1.平面向量的表示方法有幾何法和坐標法晌量的表示形式不同，對其運算的表示方式也

會改變.向量的坐標表示,為我們解決有關向量的加、減、數(shù)乘運算帶來了極大的方便.上一節(jié),

我們學習了平面向量的數(shù)量積,那么向量的坐標表示，對平面向量的數(shù)量積的表示方式又會帶

來哪些變化呢？由此直接進入主題.

思路2.在平面直角坐標系中，平面向量可以用有序實數(shù)對來表示,兩個平面向量共線的條件也

可以用坐標運算的形式刻畫出來,那么學習了平面向量的數(shù)量積之后，它能否用坐標來表示？

若能，如何通過坐標來實現(xiàn)呢？平面向量的數(shù)量積還會是一個有序實數(shù)對嗎？同時，平面向量

的模、夾角又該如何用坐標來表示呢？通過回顧兩個向量的數(shù)量積的定義和向量的坐標表示,

在此基礎上引導學生推導、探索平面向量數(shù)量積的坐標表示.

推進新課

新知探究

提出問題

①平面向量的數(shù)量積能否用坐標表示？

②已知兩個非零向量a=(xi,yi),b=(X2,y2),怎樣用a與b的坐標表示ab呢？

③怎樣用向量的坐標表示兩個平面向量垂直的條件？

④你能否根據(jù)所學知識推導出向量的長度、距離和夾角公式？

活動:教師引導學生利用前面所學知識對問題進行推導和探究.前面學習了向量的坐標可以

用平面直角坐標系中的有序實數(shù)對來表示，而且我們也知道了向量的加、減以及實數(shù)與向量

積的線性運算都可以用坐標來表示.兩個向量共線時它們對應的坐標也具備某種關系,那么我

們就自然而然地想到既然向量具有數(shù)量積的運算關系，這種運算關系能否用向量的坐標來表

示呢？教師提示學生在向量坐標表示的基礎上結合向量的坐標運算進行推導數(shù)量積的坐標

表示.教師可以組織學生到黑板上板書推導過程,教師給予必要的提示和補充.推導過程如下：

Va=xii+yij,b=X2i+yj,

22

.*.ab=(x)i+yij)-(x2i+yzj)=X]X2i+xiy2ij+x2yli-j+yiyj.

又:i.i=ljj=Lij=j-i0,

/.a-b=xix2+yiy2.

教師給出結論性的總結，由此可歸納如下：

1°平面向量數(shù)量積的坐標表示

兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和，

即a=(xhyi),b=(X2,y2),

則a.b=x)X2+yiy2.

2。向量模的坐標表示

若a=(x,y),則|aF=x2+y2,或⑶=Jx?+.

如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(xi,山)、(MM),那么

a=(X2?xi,y2?yi),|a|二J(X2—為了+(為一切產(chǎn).

3。兩向量垂直的坐標表示

設a=(xi,yi),b=(X2,y2),則

a_Lb。xixz+yiy2=0.

4。兩向量夾角的坐標表示

設a.、b都是非零向量,a=(xi,yi),b=(X2,y2)f是a與b的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐

標表示，可得

cosO=*「、也+學

1aM77K?后57

討論結果:略.

應用示例

思路1

例1已知人.(1,2)以2,3),(：(-2,5),試判斷4A.BC的形狀，并給出證明.

活動:教師引導學生利用向量數(shù)量積的坐標運算來解決平面圖形的形狀問題.判斷平面圖形

的形狀，特別是三角形的形狀時主要看邊長是否相等，角是否為直角.可先作出草圖，進行直觀

判定，再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個邊所在的向量共線或者模相等，則此平面圖形

與平行四邊形有關;若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數(shù)量積為零,

則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形.教師可以讓學生多總結幾種判斷平面圖形形狀

的方法.

解:在平面直角坐標系中標出人.(1,2)以2,3),(2(25)三點,我們發(fā)現(xiàn)4A.BC是直角三角形.下面

給出證明.

:麗二(2-132)=(1,1),

元=(21,5-2)=(-3,3),

A-AC=1x(-3)+1x3=0.

：.ABLAC.

/.△ABC是直角三角形.

點評:本題考查的是向量數(shù)量積的應用，利用向量垂直的條件和模長公式來判斷三角形的形

狀.當給出要判定的三角形的頂點坐標時，首先要作出草圖,得到直觀判定，然后對你的結論給

出充分的證明.

變式訓練

在^ABC中，麗=(2,3),而=(1次),且4A.BC的一個內(nèi)角為宜角，求k的值.

解:由于題設中未指明哪一個角為直角，故需分別討論.

若NA=90。,則而_L而,所以而.獲=0.

于是2乂1+3卜=0.故1(=-三.

3

同理可求，若NB=90。時,k的值為口；

3

若/C=90。時,k的值為31舊.

2

故所求k的值為_2或U或均叵.

332

例2已知a=(3,2),b=(l,-l),求向量a與b的夾角的余弦值.

解:設向量a與b的夾角為0,

3xl+2x(-l)V26

則Cos0=

732+22>71~26~

即向量A與b夾角的余弦值為”.

例3求以點C(a.,b)為圓心,i?為半徑的圓的方程(如圖I).

解:設M(x,y)是圓C上一點，則|CM|二r,即CMCM二r2.

因為CM=(x-a.,y-b),

所以(x?a.)2十(y?b)2=F,即為圓的標準方程.

如果圓心在坐標原點上，這時a.=O,b=O,那么圓的標準方程就是x2+y2=R

例4(1)已知三點A.(2,-2),B(5,1),C(1,4),^ZBA.C的余弦值；

(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a與b的夾角.

活動：教師讓學生利用向量的坐標運算求出兩向量a=(xi,yi)與b=(X2,y2)的數(shù)量積

22

ab=xiX2+yiy2和模|a|=,b|=^x2+y2的積,其比值就是這兩個向量夾角的余弦值,

即cose=-^-=-：=產(chǎn)----■.當求出兩向量夾角的余弦值后再求兩向量的夾角

大小時，需注意兩向量夾角的范圍是Ogg.學生在解這方面的題目時需要把向量的坐標表示

清楚，以免出現(xiàn)不必要的錯誤.

解:⑴A8=(5,1)-(2,-2)=(3,3),AC=(1,4)-(2,-2)=(-1,6),

：.~ABAC=3x(?l)+3x6=15.

又???|而kJ32+32=班」而1="(-1)2+62=4,

ACOSZBAC=^->4C155A/74

1481|AC\。?歷74

(2)a-b=3x(-5)+Ox5=-15,|a|=3,|b|=572.

}5

設a與b的夾角為0,則CosO=-^-=~r-=--又???區(qū)0女,???。=網(wǎng).

點評:本題考查的是利用向量的坐標表示來求兩向量的夾角.利用基本公式進行運算與求解

主要是對基礎知識的鞏固與提高.

變式訓練

已知向量a=(l,l),b=(2,-3),若ka-b與a垂直,則實數(shù)k等于.

解析:由題意，ftl(ka-b)a=(k-2,k+3)-(1,1)=0,

解得k=--

2

答案」

2

思路2

例1已知|aJ=3,b=(2,3),試分別解答下面兩個問題：

(1)若a._Lb,求a;

(2)若a〃b,求a.

活動:對平面中的兩向量a=(xi,y。與b=(X2,y2),要讓學生在應用中深刻領悟其本質(zhì)屬性,向量垂

直的坐標表示xiX2+yiy2=0與向量共線的坐標表示xiy2-X2yi=O很容易混淆,應仔細比較并熟記,

當難以區(qū)分時，要從意義上鑒別,兩向量垂直是ab=O,而共線是方向相同或相反.教師可多加強

反例練習，多給出這兩種類型的同式變形訓練.

解:⑴設a=(x,y),由|a.|=3且a_Lb,

/+y2=|心9,

得

2x+3y=0,

x=7而,

13

解得或

yA7By

13-夢

?*-3=(-乂內(nèi)二月)或a=(Nm,-2相)

13131313

x2+y2=\a\2=9.

⑵設a=(x,y),由|a|=3且2〃1),得,

3x-2y=0,

…夢，

解得4T或

尸后厄

y=-V13

13

???a=(9屈,2屈)或.a=(_92舊)

13131313

點評:本題主要考查學生對公式的掌握情況，學生能熟練運用兩向量的坐標運算來判斷垂直

或者共線,也能熟練地進行公式的逆用，利用已知關系來求向量的坐標.

變式訓練

求證:一次函數(shù)y=2x-3的圖像(直線h)與一次函數(shù)y=[x的圖像(直線b)互相垂直.

證明:在h：y=2x-3中，令x=l得y=-l;令x=2得y=l,即在1)上取兩點A.(1,-1),B(2,1).

同理,在直線b上取兩點C(-2,l),D(-4,2),于是

AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),

CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).

由向量的數(shù)量積的坐標表示，可得B?而=1x(-2)+1x2=0.

AAB_LCDWh_L12.

例2已知圓C:(x-a.)2+(y-b)2=K求與圓C相切于點Po(xo,yo)的切線方程(如圖2).

解:設P(x,y)為所求直線1上一點.

根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有CP?！?,EPCP0PoP=O.

因為CR)=(xo-a.,y(rb),綜P=(x-xo,y-yo),

所以(xo-a)(x?xo)十(yo-b)(y-yo尸0.

特別地，當圓心在坐標原點時，圓的標準方程為x2+y2=a,與它相切于Po(xo,yo)的切線方程為

xo(x-xo)+yo(y-yo)=0,

由于Xo2+yo2=r2,故此方程可化為x(ix+yoy=r2.

由解析幾何,知給定斜率為k的宣線1,則向量m=(l,k)與直線1共線,我們把與直線1共線

的非零向量m稱為直線1的方向向量.

例3已知直線li：3x+4y-12=0和k：7x+y-28=0,求直線h和12的夾角.

解:任取直線h和h的方向向量和n=(l,-7).

4

設向量m與n的夾角為a因為mn=|m||n|cosO,

1x1+(凸x(-7)萬

從而cosO=.\=—

業(yè)+(-1)2■河石7-

所以5c,即直線h和12的夾角為45。.

知能訓練

課本本節(jié)練習1、2.

課堂小結

1.在知識層面上，先引導學生歸納平面向量數(shù)量積的坐標表示，向量的碟,兩向量的夾角，向量

垂直的條件.其次引導學生總結數(shù)量積的坐標運算規(guī)律，夾角和距離公式、兩向量垂直的坐標

表示.

2.在思想方法上，教師與學生一起回顧探索過程中用到的思維方法和數(shù)學思想方法,定義法，待

定系數(shù)法等.

作業(yè)

課本習題2—6A.組2、4、6.

設計感想

由于本節(jié)課是對平面向量的進一步探究與應用,是對平面向量幾何意義的綜合研究提高,

因此教案設計流程是探究、發(fā)現(xiàn)、應用、提高，這符合新課程理念，符合新課標要求.我們知道

平面向量的數(shù)量積是本章最重要的內(nèi)容，也是高考中的重點，既有選擇題、填空題，也有解答題

(大多同立體幾何、解析幾何綜合考查)，故學習時要熟練掌握基本概念和性質(zhì)及其綜合運用.

而且數(shù)量積的坐標表示又是向量運算的一個重要內(nèi)容，用坐標表示直角坐標平面內(nèi)點的位置,

是解析幾何的一個基本特征，從而以坐標為橋梁可以建立向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系.以三角

函數(shù)表示點的坐標，又可以溝通向量與三角函數(shù)的相互關系，由此就產(chǎn)生出一類向量與解析幾

何及三角函數(shù)交匯的綜合性問題.

平面向量數(shù)量積的坐標表示使得向量數(shù)量積的應用更為方便,也拓寬了向量應用的途徑.

通過學習本節(jié)的內(nèi)容，要更加加深對向量數(shù)量積概念的理解，同時善于運用坐標形式運算解決

數(shù)量問題，尤其是有關向量的夾角、長度、垂直等，往往可以使問題簡單化.靈活使用坐標形式,

綜合處理向量的線性運算、數(shù)量枳、平行等，綜合地解決向量綜合題，體現(xiàn)數(shù)形結合的思想.

在本節(jié)的學習中可以通過對實際問題的抽象來培養(yǎng)學生分析問題、解決問題和應用知識解決

問題的意識與能力.

備課資料

一、|a-b|S|a||b|的應用

若a=(xi,yi),b=(X2?y2)?則平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)|ab|<|a|b|的坐標表示為

2222222

xiX2+yiy2<V-^i+.ViAP/+刈2<^(xtx2+,v1y2)<(xi4-yi)(x24-y2).

不等式(X|X2+yiy2)2W(X/+yJ)(x22+y22)有著非常廣泛的應用，由此還可以推廣到一般(柯西

不等式)：

(aIb1+a2b2+…+anbn)2W(a1+a2+…+anj(b?+b2+…+bn).

例1(1)已知實數(shù)x,y滿足x+y-4=0,則x2+y2的最小值是;

(2)已知實數(shù)x,y滿足(x+2)2+y2=l,則2x-y的最大值是.

解析:⑴令m=(x,y),n=(l,l).

V|m-n|<|m||n|,:.|x+y|<^x2+y2?41,

即2(x?+y2丘(x+y)2=16.，x2+y2N8,故x2+y2的最小值是8.

⑵令m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.

由|m-n區(qū)|m||n|,得|2(x+2)-y|WJ(x+2/+y??炳=亞，即|t+4區(qū)后.

解得-4-右WtW后-4.故所求的最大值是75-4.

答案:(1)8⑵行-4

例2已知a.,b￡R,0e(0,-)，試比較-^―+的大小.

28s2。sin26>

解:構造向量m=(°,------),n=(cose,sin。),由得

cosOsin。

('一cos0+sin0)2<()(cos2e+sin2e),

cos。sin。cos"0sin0

/.(a+b)2<\.

cos-0sin-0

同類變式:已知a.,bER,m,nER,且mn翔,m2n2>a2m2+b2n2,令M=,N=a+b,比較M、N

的大小.

解:構造向量p=(—),q=(n,m),由|pq|W|p||q|,得

nm

,abb~.22\a~/y2、/22

(—xn+—xm)<(—+--)(mz+nz)=------；------(mz+nz)<nr+n。

nmnm~

AM>N.

例3設a.,bER,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n€Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,mEZ},C=((x,y)|x2+y2

344}是直角坐標平面xOy內(nèi)的點集,討論是否存在a和b,使得ACB=0與(a,b)￡C能同時成

立.

na+b=3n2+15,(1)

解:此問題等價于探求a、b是否存在的問題,它滿足《，，

a2+b2<\44(2)

設存在a和b滿足①?兩式，構造向量m=(a.,b),n=(n,l).

由|m-n|2<|m|2|n|2,^(na+b)2<(n2+l)(a2+b2),

J(3n2+15)2<144(/+l)n4-6n2+9<0.

解得n=±V3，這與n￡Z矛盾，故不存在a.和b滿足條件.

二、備用習題

4

1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且ab=一，則x等于()

3

A.3B.-C.--D.-3

33

2.設a=(l,2),b=(l,m),若a與b的夾角為鈍角，則m的取值范圍是()

A.m>—B.m<—C.m>--

2222

3.若a=(cosa,sina),b=(cosp,sinp),WiJ()

A.a±bB.a〃bC.(a+b)±(a.-b)D.(a+b)/7(a-b)

4.與a=(u,v)垂直的單位向量是()

vu

J/+L>27M2+L>2

5.已知向量a=(cos23o,cos67o),b=(cos68o,cos22°),u=B+tb(tR),^cu的模的最小值.

6.已知a,b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角.

7.已知△ABC的三個頂點為人(1,1)&(3,1)。(4,5),求^ABC的面積.

參考答案：

l.C2.D3.C4.D

5.解：|a|=Jcos223°+COS2670="cos?23°+sin?230=1,同理|b|=1.

又a-b=cos23ocos680+cos67ocos22°

4i

=cos23ocos68o+sin23osin68o=cos45°=——,

2

.*.|u|2=(a+tb)2=a2+2ta-b+t2b2=t2+&t+1=(t+)2+—>—.

222

當時,|u|min=".

22

6.解：由已知(a+3b)_L(7a.-5b)O[a+3b)?(7a-5b)=0<=>7a2+16ab-15b2=O.?

X(a-4b)_L(7a-2b)<=>(a-4b)-(7a.-2b)=0<=>7a2-30a-b+8b2=0.@

①-②，得46a-b=23b2,即a-b二吩=叱.③

22

將③代入①，可得7|a.|2+8|b|2-15|b|2=0,BP|a|2=|b|2,<|a|=|b|,

回

:、若記a與b的夾角為8,則cos8==---=—.

\a\\b\\b\\b\2

又?！闧0。,180。],???9=60。,即a與b的夾角為60°.

7.分析:SAA,BC=-|AB||AC|sin/BAC,而IAB|,|AC|易求，要求sinZBAC可先求出cosZBAC.

2

解:???麗=(2,1),AC=(34),1AB|=2.|AC|=5,

???cos/BAC=$**C_2x3+0x434

-/.sinZBAC=-,

Mfi||AC|2x555

1,■14

:.SAABC=-1AB||AC|sinZBAC=-x2x5x二=4.

225

三、新教材新教法的二十四個“化”字訣

新課導入新穎化，揭示概念美麗化;縱橫相聯(lián)過程化，探索討論熱烈化;

探究例題多變化，引導思路發(fā)散化;學生活動主體化，一石激浪點撥化;

大膽猜想多樣化，論證應用規(guī)律化;變式訓練探究化，課堂教學藝術化;

學法指導個性化，對待學生情感化;作業(yè)拋磚引玉化，選題質(zhì)量層次化;

學生學習研究化，知識方法思想化;抓住閃光激勵化，教學相長平等化;

教學意識超前化，與時俱進媒體化;靈活創(chuàng)新智慧化，學生素質(zhì)國際化.

《平面向量數(shù)量積的坐標表示》教學設計

教學目標：1掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會進行平面向量數(shù)量積的運算。

2能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的平行和

垂直關系。

3體會向量運算轉化為坐標運算的過程，體會坐標的意義，熟悉坐標化的方法。

學情分析：本節(jié)教學內(nèi)容是在上一節(jié)學習平面向量數(shù)量積定義的基礎上，把數(shù)量積進一步用

坐標表示出來，并在此基礎上用坐標表示向量的模，向量的夾角，向量平行與垂

直的坐標關系。對我們學生來說，由數(shù)量積定義推導數(shù)量積坐標表示有困難一

因此采用分解難點的辦法處理，先讓學生研究兩個基底i與j的運算性質(zhì)，然后

結合向量數(shù)量積運算性質(zhì)推導坐標表示。之后的幾個結論都可由數(shù)量積坐標公式

推導出來。

教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示以及鞏固應用。

教學難點：平面向量數(shù)量積坐標表示的推導。

教學過程：

一：復習

1.向量的數(shù)量積也叫一內(nèi)積,記作小，如果向量a與b的夾角為a,那么

a?b=laiIbIcosa。

2.向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，該數(shù)的正負由向量夾角確定，兩個向量夾角的

取值范圍為(0°,180°)。

3.3.如果/ABC滿足AB.BC>0,試判斷該三角形是什么三角形？(銳角力,

鈍角直角，)，如果AB.BC=0呢？

二：新課學習

1.平面向量數(shù)量積的坐標表示

我們以平面向量基本定理為理論基礎，以兩軸正方向的單位向量為基底建立

了向量的坐標表示形式，并用坐標表示了向量的加法，減法，數(shù)乘運算：

設a=(xl,yl),b=(x2,y2)那么a+b=?a-b=?ka=?(k￡R)

思考：如何使用坐標來表示向量的數(shù)量積？

分析：

如圖,i是x軸上的單位向量,j是y軸上的單位向量，那么i和？ii=?j讓?

j?j=?

設兩個非零向量a=(xl,yl),b=(x2,y2),則

a=xli+ylj,b=x2i+y2j

:.a?b=(xli+ylj)(x2i+y2j)

=xlx2i2+xly2ij+x2ylij+yiy2j2

=xix2+yiy2

故兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和。即a?b=x1x2+y1y2

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示，向量的數(shù)量積運算可轉化為向量的坐標運算。

例1：(1)己知a-(3,-4),b-(-2,6),求a.b

(2)已知a=(4,-2),b=(x,l)/若a?b=6,求x

解：⑴a.b=xlx2+yly2

=3X(-2)+(-4)X6

=-30

(2)*.*a.b=xlx2+yly2

=4x+(-2)XI

=4x-2

=6

x=2

(2)日矢口G=(2,3),E=(—2,4),

貝LlCa+Z?)-Ccz—.

2、向量的模和兩點間的距離公式

⑴向量的模

設a=(x,y),珅「=—+/或.J=J/+.2：

(2)兩點間的距離公式

設A(西，必)、8(々，當)，

貝Uk4=一巧產(chǎn)+(-一％)2

例2⑴已知a=(3z-4),求|aI;e=(監(jiān),-奶)，求Ie|

把向量e叫做向量a方向上的單位向量。

思考：怎樣求一個向量方向上的單位向量？

ao=a/Ia|

⑵練習：求a=(-l,3)的方向上的單位向量a。

3、兩向量垂直和平行的坐標表示

設。=(對%)3=(%2，丫2),則設〃=(%,％)，'=(/，%)，則

a±b<^>x{x2+y\y2=0aHb<=>xxy2-x2yl=0

例3：⑴已知a=(3,2),b=(-6,9),求證:a±b

(2)已知A(L2)、B(4、0)、C(8,6)、D(5,8),則四邊形ABCD的

形狀是？

4、兩向量夾角公式的坐標運算

設Z與扇勺夾角為e(o"4e《i8(r),設。=(%,y),b=(x2,%)，且。與派角為仇

(00<6><180°)貝1]cos。=4"+絲=

則cos。

=ffl

其中氏+犬*0,5后+式豐o.

例4：(1)(1)已知a=(3,-4),b=(l,l),求

⑵已知a=(-5,0),b=(l,l),求a,b的夾角

(3)已知。=(3,0)力=(&,5),且々與從勺夾角為絲，

4

求2的值.

分析：可設夾角為。，利用夾角公式求得夾角的余弦值，再結合夾角

范圍(。，n)確定夾角值。

例5：已知直線l:3x+4y-7=0和m:7x+y-28=0,求直線I和m的夾角.

分析：⑴兩條直線的夾角指的是它們相交所成的不大于90。的角。

⑵直線ax+by+c=0和直線ax+by=0平行，因此他們的方向向量也平

行，一般我們?nèi)x+by=0上的向量m=(l,k)作為該平行線系的方

向向量，其中k=-a/b.(bW0),是直線ax+by=0的斜率。

三：小結

1、理解各公式的正向及逆向運用；

2、數(shù)量積的運算轉化為向量的坐標運算；

3、掌握平行、垂直、夾角及距離公式，形成轉化技能。

4.解題過程注意表述，符號使用的規(guī)范性，注意數(shù)形結合，設

未知數(shù)形成方程，轉化等解題思想的運用。

四：作業(yè)課本P98A組1,2,3,4

《平面向量數(shù)量積的坐標表示》教學設計

一、本教學設計主要思考的幾個問題：

4教材的地位和作用是什么？

5學生在學習中會遇到什么困難？

6如何根據(jù)新課程理念，設計教學過程?

7如何結合教學內(nèi)容，指導學生學法、發(fā)揮評價作用、發(fā)展學生能力？

二、教材分析：

1、向量是近代數(shù)學中最重要的概念之一；

2、向量的幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”以及它的一套優(yōu)良的運

算系統(tǒng)使它成為“重要工具”和“橋梁”；

3、數(shù)量積的坐標表示為解決“形”中的長度、角度等問題帶來了方便;

4、有助于理解和掌握數(shù)形結合的思想方法；

5、為學習物理等其他學科解決實際問題作準備；

三、教學目標分析：

1.知識目標：（1）掌握數(shù)量積利模的坐標；

（2）掌握兩向量垂直的充要條件（等價條件）、夾角公式.

2.能力目標：（1）領悟數(shù)形結合的思想方法；

（2）培養(yǎng)學生自主學習及提出、分析、解決問題的能力.

3.情感目標：體驗探索的樂趣認識世間事物的聯(lián)系與轉化.

四、教學的重點、難點分析：

重點：數(shù)量積坐標表示的推理過程.

難點：公式的建立與應用.

五、學生分析：

L知識上：學習過向量加減法坐標運算和數(shù)量積定義性質(zhì)運算等;

認方法上：研究過向量加減法坐標運算的推理過程；

知——思維上：由經(jīng)驗型抽象思維逐漸過渡理論性嚴謹抽象思維；

主

體能力上：主動遷移、主動重組整合的能力較弱.

六、教學方法和教學手段分析：

1、建構主義學習理論認為：學生的認知結構是通過同化和順化而不斷發(fā)展,

學習不是對教師所授予的知識被動接受，而是一個以學生已有的知識和經(jīng)

驗為基礎的主動的建構過程。學生真正獲得知識的消化，是把新的學習內(nèi)

容正確納入已有的認知結構，使其成為整個認知結構的有機組成部分，所

以在教學中，以向量為載體，按照“直觀感知--操作確認一-思辯論證”

的認識過程展開。通過創(chuàng)設良好的問題情境，不斷引導學生觀察、實驗、

思考、探索，通過自己的親身實踐，充分發(fā)揮學生學習的主動性，培養(yǎng)學

生的自主、合作、探索能力。同時采用電腦課件的教學手段，加強直觀性

和啟發(fā)性，提高課堂效益；

2、運用“導學探究式”教學方法；

3、本節(jié)課的基調(diào)定為，自主探索、民主開放、合作交流、師生對話、

分層評價；

4、多媒體信息技術教學手段整合教學過程.

七、學法指導：

1、根據(jù)本節(jié)課特點及學生的認知心理，把重點放在如何讓學生“會學習”

這一方面，學生在教師營造的“可探索”環(huán)境里，積極參與、生動活

潑地獲取知識、善于觀察類比、掌握規(guī)律、主動發(fā)現(xiàn)、積極探索質(zhì)疑,

從而培養(yǎng)學生觀察能力、想象能力、探索思維能力，設計轉化、分析

問題及解決問題的能力；

2、緊緊圍繞數(shù)形結合這條主線；

3、注意前后知識的聯(lián)系與區(qū)別，不斷反思建構形成知識網(wǎng)絡.

A.教學基本流程：

反思建構

分層評價

九.教學過程分析:

第一種:選擇恰當?shù)膶嵗?/p>

—第二種:從復習向量加減法的坐標運算開始;

_第三種:開門見山直奔主題；

第四種:種提供材料，讓學生發(fā)現(xiàn)問題；

（二）導學誘思、探眄究；教師通過學生已有經(jīng)驗，啟發(fā)其思、疑、探，在討

論、設計中得到問題的解答，培養(yǎng)其求異思維、創(chuàng)新能力的形成；

（三）建模應用；數(shù)學作為科學獨立分支，其重要工具作用無處不在；關鍵是否

體會數(shù)學本質(zhì)，構建數(shù)學模型使問題得到解決；

（四）反思建構；學生在反思建構中，尋找知識、方法、能力、情感等方面的收

獲規(guī)律，有利于納入知識系統(tǒng)，形成知識網(wǎng)絡；

（五）分層評價.充分發(fā)揮課堂教學評價的針對性、激勵性、導向性、創(chuàng)新性；

使評價更有利于學生的身心健康發(fā)展，更符合新課程改革理念.

教學環(huán)節(jié)師生活動設計意圖

1、提出問題：

己知兩個向量￡=（3/）出=（2,4）;你能設計出什么問

題?（多媒體課件動畫演示直角坐標系中的向量）

溫

滲透數(shù)形

V'、師：向量坐標確定，哪些量能確

故結合意識，

-，r定？突出向量

知

的兩個要

〃比A（3,?生：（1）與坐標對應的從原點

素；

0

新出發(fā)的向量固定；

（2）向量的兩個要素，模、方向隨之確

創(chuàng)定.

設師：能否設計出求同=?4=?夾角N

問AOB=?試試看！

為知新而溫

題2、復習思考:

故

情（1）數(shù)量積的定義：a-5=|a||5|cosft

境（2）數(shù)量積的性質(zhì)：①石國=0;

②當2、洞向時,H=同并當￡石反向時,7萬=-同屏

為后面建立

確￡?￡=]￡1，或同=，￡?￡；

模、夾角公式

定

做鋪墊，使學

③cosG=p.|I|；

探

生產(chǎn)生學習

究

數(shù)量積坐標

方師:若能求2?石=?

表示的心理

向則B國有解,從而cos6可解;

傾向；

?其關鍵是如何用坐標表示ab=l

教學環(huán)節(jié)師生活動設計意圖

1、導學誘思：

激勵學生去思，

已知兩個非零向量〃=（不yj,b=（%2，%）；怎樣用2

導和6的坐標表示％呢？啟發(fā)學生去想，

師：有沒有可能是？（錯誤預測）

學引導學生去疑，

。石=（不凹）（%，％）=（XW，Y%）；

誘￡0=（4兇）（芍%）=%與+與必+±%+%必；鼓勵學生去探，

問題：（自我評價，若甘是兩個分別與x軸、y軸方向

思教學信息的模

相同的單位向量）

①ii=l,j?j=l,i?j=j-Z=0；糊性最能引起

②7=（1。）j=（O,?；

探學生思維上的

那么ii=?JJ=h.J=jz=?

索思考：兩個向量的數(shù)量積是“向量”還是“數(shù)量”？不確定性觀念

運算過程與向量坐標有何關系？

研的產(chǎn)生，促使學

師：有沒有可“類比”的東西？有沒有用坐標表示過除“積”

究以外的其它運算？生形成求異心

、［5入*信息輸入?大腦篩選_?時“積”改造

認知分析：f--------f理狀態(tài)；

―--同-化*重--組-----

2、探索研究：

導已知向量￡=（不yj石=（電，%）；求2石?突破關鍵，

學師：根據(jù)剛才同學討論，結合向量運算律能否完成運體驗樂趣.

誘算？

思生：運算結果2?萬=%工2+，1%

表述：兩向量數(shù)量積等于兩向量對應坐標的乘積的

探和；

索師生共司歸納：（1）坐標表示的實質(zhì)表示了向量的坐

研標運算必須按照向量的運算法則進行，且滿足向量的

究運算律；

?（2）運算結果是數(shù)量；

（3）解決相關問題

_聯(lián)系轉化____

突破關鍵,

①向量模，公式：同=jV+y2_________同=".￡體驗樂趣.

②西一'（X-々）2+（%一必）2______碼=]叱.

+乂%-----”:小一一

探③cos夕二1―—]—cos=.,

后+W?后+W哨

索

研?a±h<=>內(nèi)毛+,%=0_________aA-bab=0

究

a//b<^.xiy2=0____a//b（石WO）oa=4

?

教學環(huán)節(jié)師生活動設計意圖

、解答自己設計的問題，根據(jù)課本上的練習你還能

1進一步強化數(shù)

得出什么不同見解；

形結合意識，突

已知兩個向量2=（3,1）石=（2,4）;你能設計出

"IQ2.4）什么問題？出“用數(shù)量積為

零證明幾何垂

建L八生：求模和夾角；

\/\,師：你能判斷口形狀嗎？

（3n直”這一重要方

模扁的甌岸平行,一艘船從A處出發(fā)；速度

法.

應

|v^|=10km/h,水流速度同=4km/h,那么彳與

用

E的夾角0多大時，船才能垂直到達正對岸B

?

感受數(shù)學是與

處？（多媒體動畫演示船運行情況）

其他學科、實際

師：建立坐標系，畫出示意圖；同學嘗試完成解答；

生活緊密聯(lián)系

生：探索出向量坐標，運用夾角

的，感悟數(shù)學本

公式得cos6=-：,6=114°

質(zhì)上是一種文

化，要善于把實

C<-4.yo）1

、（0,yo）

N際問題抽象出

數(shù)學模型.

教學環(huán)節(jié)師生活動設計意圖

師：同學經(jīng)過自己努力，完成的很好；并且有一些獨

到見解，能否歸納一二；

生：發(fā)表各種看法；發(fā)展學生對知

師生共司總結：1、知識上：數(shù)量積的坐標表示，模

反識的組織、整

公式及坐標表示的兩向量的充要條件（等價條件）；

合、詮釋的能