2020年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末模擬考試題庫(kù)288題（含標(biāo)準(zhǔn)答案）

2020年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末測(cè)試復(fù)習(xí)題288題［含

答案］

一、選擇題

1.連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)必滿足條件(C)。

A.0</(x)<lB.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.ff(x)dx=1D.lim/(x)=1

J—?Xf400

2.設(shè)①(X)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

=n事件A發(fā)生

lo,否則，一，“??，3,且p(A)=0.4,XyX2,…，X|0M目

100

r=Xxi

互獨(dú)立。令海，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/(舊近似于(B)。

①百竺)①(匕竺)

A.①(y)B,后c①(丁一40)D.24)

3.設(shè)隨機(jī)事件A,B互不相容，P(A)=p,P(B)=q,則P(AB)=(c)o

A.(I-PMB.pqc.qD.P

4.設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，則下列等式中(C)是不正確的。

A,尸(A8)=P(A)P(B),其中B相互獨(dú)立B,耿儂=尸(所(陋，其中

P(B)+0

C.P(AB)=P(A)P(5),其中A,B互不相容D,外人為=P(&P(@A),其中

P(A)豐0

5.對(duì)任意兩個(gè)事件A和8,若P(A8)=°,則(D)。

AAB=(f)AB=</>「P(A)P(8)=0P(A-B)=P(A)

a.DR.V-.LnJ.

6.若A.B相互獨(dú)立，則下列式子成立的為(A)。

AP(AB)=P(A)P(B)B.P(A8)=0cP(A\B)=P(B\A)D

P(AI5)=P(B)

7.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

2x

XG(0,。)

12

0,其它

求（1）a；（2）分布函數(shù)F（x）；(3)P(-0.5<X<0.5)o

解

(仃阻jdx=

(2)當(dāng)工〈時(shí)，F(xiàn)(x)=fyw=o

當(dāng)04x<而，F(xiàn)(x)=「f⑴di=[々f=]

—Joit'n

當(dāng)x2刷',F(x)=|f(t)dt=1

0,x<0

故F(x)0<x<^

兀-

1,x>n

1

(3)P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=412

8.設(shè)隨機(jī)變量X?N（u,81）,Y?N（u,16）,記

Pi=P{X<〃-9},P2={YN〃+4},貝|j（B）o

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl與p2的關(guān)系無(wú)法確定

9.設(shè)①（“）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

=J1,事件A發(fā)生；.

毛_b否則。‘…’，且P（A）=O.l,X-X?,…，乂面相互獨(dú)

100

r=￡x,.

立。令汩，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)尸（>）近似于（B）。

-,y—10

A.①（y）B.C.中（3y+l0）D.①（9y+l0）

10.設(shè)①（幻為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

丫J1,事件A發(fā)生.

z=

to,否則I，2,…，1O。,且p⑷=07,X2”、X10c相

100

y二加,

互獨(dú)立。令I(lǐng)，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)F（>）近似于（B）o

o（2zZ2）①"

A.①（y）B,歷C①（片70）D.21）

11.已知隨機(jī)變量X和y相互獨(dú)立，且它們分別在區(qū)間［-1,3］和［2,4］上服從均勻分

布，則￡（XF）=（A）。

A.3B.6C.10D.12

12.若E（XY）=E（X）E（y）,則（D）。

A.x和y相互獨(dú)立B.x與y不相關(guān)c.D（XY）=D（X）D（Y）D

D（X+Y）=D（X）+D（Y）

13.設(shè)隨機(jī)事件A.B互不相容，尸⑷=P，P（B）=q,則P（AB）=（c）。

A.Q-p）qB.pqc.qD.P

14.05.75.86.57.06.35.66.15.0

設(shè)零件長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布N（u,1）。求u的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（已知：牡。（9）=2.26%,.05（8）=0.30^25

JJ=立JL~N（o,l）

解：由于零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，所以b/?尸｛|“|<〃0必｝=0?95

9

（亍一“0,025?，亍+“0.025與）亍

所以〃的置信區(qū)間為7〃經(jīng)計(jì)算I

"的置信度為0.95的置信區(qū)間為（6-1.96x1,6+1.96x1）即（5347,6.653）

15.設(shè)卡壬-々是一組樣本觀測(cè)值，則其標(biāo)準(zhǔn)差是（B）。

A.”小D.

工力（西一君

16.設(shè)X“X2是任意兩個(gè)互相獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為工（幻和

AW,分布函數(shù)分別為耳（無(wú)）和「2（X）,則（B）0

A,力（*）+人（*）必為密度函數(shù)B.6（幻.尸2。）必為分布函數(shù)

C.6（/+居（力必為分布函數(shù)D.工（“）,同（X）必為密度函數(shù)

17.已知隨機(jī)變量X的概率密度為/x（x）,令y=-2X+3,則Y的概率密度力"）為

（A）?

A.

18.從某同類零件中抽取9件，測(cè)得其長(zhǎng)度為（單位：mm）：

19.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是

/（X⑹=-^e4,

-00<X<+00

\J27TO

西,馬,芻，’當(dāng)是一組樣本值，求參數(shù)5的最大似然估計(jì)？

解：似然函數(shù)

InL=ln（2^-）--InJ———Sx2

2''223-=i'

生電=-2+」公；居疊X：

dd23282^'〃0'

20.設(shè)①（%）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

v事件A發(fā):生.

jo,否則‘一、2,…，1。。，口p（A）=o.7,X『X2,…，X|0c相

100

r=￡x,.

互獨(dú)立。令閆，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/⑶）近似于（B）。

①（空）①（T）

AS）B,V21c①（y-70）D.21

21.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

vJ1,事件A發(fā)生.?.

口人且P（A）=P,X|'、2，'X"相互獨(dú)

y=Zx,

立。令<=1,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)~（y）近似于(B)o

①

A.①(y)B,5P(1-〃)C①(y_np)Dnp(\-p)

左+i

尸（X=k）"

""io々=0,1,2,3,則頊X)=

22.設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為

(B)o

A.1.8B.2C.2.2D.2.4

23.下列事件運(yùn)算關(guān)系正確的是（A）。

A.B=BA+BAB.8=BA+BAc,B=BA+BAD.B=l-B

2X

24.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間［1,2］上服從均勻分布，求Y=e-的概率密度f(wàn)（y）?

1

［答案：當(dāng)dWy'e’時(shí)，的）=2》,當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時(shí)，f（y）=o.］

25.在假設(shè)檢驗(yàn)中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（C）。

A.乩真時(shí)拒絕乩稱為犯第二類錯(cuò)誤。B.不真時(shí)接受稱為犯第一類錯(cuò)誤。

C設(shè)P｛拒絕"。1"。真｝=a,P｛接受“。|“。不真｝=/，則a變大時(shí)萬(wàn)變小。

D.尸的意義同（C）,當(dāng)樣本容量一定時(shí)，"變大時(shí)則?變小。

26.一個(gè)機(jī)床有1/3的時(shí)間加工零件A,其余時(shí)間加工零件加工零件A時(shí)停機(jī)的概率

是0.3,加工零件A時(shí)停機(jī)的概率是0.4。求（1）該機(jī)床停機(jī)的概率；（2）若該機(jī)床已停

機(jī)，求它是在加工零件A時(shí)發(fā)生停機(jī)的概率。

解：設(shè)G,G,表示機(jī)床在加工零件A或B,D表示機(jī)床停機(jī)。

（1）機(jī)床停機(jī)夫的概率為

—-x03+—x()4-11

P(B)=P(C)P(D|C,)+P(C2).P(014)一3仙+3xu.430

(2)機(jī)床停機(jī)時(shí)正加工零件A的概率為

1x0R

P(G).P(Q|G)_33

P(GI0=

P(D)1111

30

1,事件A發(fā)生

Xj=二，;=1,2,--,100,

0,否則閂

27.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，L11

100

y=￡x,

P（A）=0.9,x『、2,…，X|00相互獨(dú)立。令,=1則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)F（y）近似于（B）。

y-90>-90

0(

A.①⑴B.丁c①(丁一90)

D.9

fl,事件A發(fā)生

X,={：?i=l,2,…，100,

28.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，10'否則且

100

y=fXj

P（A）=0.3,X］，、2,…，Xioo相互獨(dú)立.令則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)近似于（B）。

①（亨2）①（U）

A.①（y）B,V21C.21'D①（V一3°）

’76、

69

29.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為')

求隨機(jī)向量(X+Y,X—Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=7+9-2*6=4

Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=7-9=-2

_Cov(X+匕X-y)__2_-1

PX+YX-Y—JD(X+y)Jo(x—y)-V28*V4-V28

’28-2、

-24

所以，(X+Y,X—Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為I”''和

(-1A

,728

二1

I腐)

?axa~0<x<1?

f(zx,a)=，(a〉0)

30.設(shè)總體x的密度函數(shù)為1°

XI,X2,…,Xn是取自總體X的一組樣本，求參數(shù)a的最大似然估計(jì)(同步52頁(yè)三.5)

31.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

e'\x>Q

/(X)=*

0,其它

設(shè)F(x)是X的分布函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=F(X)的密度函數(shù)。

解：當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(F(X)〈y)=0；

當(dāng)y>l時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=l；

當(dāng)OWyWl時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P((F(X)Wy)=尸(><"1'))

=F(F-'(y))=y

,400=，

其它.

因此，fY(y)=>0,

32.若隨機(jī)事件A，8的概率分別為P(&=S6,P(5)=0.5,則A與B-定⑴

)?

A.相互對(duì)立B.相互獨(dú)立C.互不相容D.相容

33.：。2未知，求u的置信度為1-a置信區(qū)間

_C__C

(X-%l)-y=,X/=)

7n7n

3：求。2置信度為l-a的置信區(qū)間

An-l)S2(n-l)S2

2x0<x<l

f(x)=?

0others

34.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

求：(1)X的分布函數(shù)F(x)；(2)P{0.3<X<2}(同步45頁(yè)三.3)

35.正常人的脈搏平均為72次/分，今對(duì)某種疾病患者9人，測(cè)得其脈搏為(次/分)：

36.若A與B對(duì)立事件，則下列錯(cuò)誤的為(A)。

AP(A8)=P(A)P(8)B.P(A+8)=1cP(A+B)=+P(B)D

P(AB)=0

37.某廠生產(chǎn)某種零件，在正常生產(chǎn)的條件下，這種零件的周長(zhǎng)服從正態(tài)分布，均值為

0.13厘米。如果從某日生產(chǎn)的這種零件中任取9件測(cè)量后得亍=0.146厘米，S=0.016厘

米。問(wèn)該日生產(chǎn)的零件的平均軸長(zhǎng)是否與往日一樣？

(己知：a=0.05,t005(9)=2.262,ZOO5(8)=2.306,uOO25=1.96)

S/

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)為"。：〃二°」3選擇統(tǒng)計(jì)量/J"當(dāng)"。成立時(shí)，T?t(8)

尸{⑺>6(8)}=095取拒絕域W={|T|>2.3061

由已知

?X-/.1_0.146-0.13_

1刀>2306拒絕”。，即認(rèn)為該生產(chǎn)的零件的平均軸長(zhǎng)與往日有

顯著差異。

38.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望EX=U,方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)

單隨機(jī)樣本，則下列口的估計(jì)量中最有效的是(D)

A.—X、—Xq~\—XQH—B.—X、—X、—XQ

6633333

C+.X2-gx?-]乂4D.5X]+：X2+：X3+《

39.若隨機(jī)事件A與8相互獨(dú)立，則尸(A+8)=(B)。

AP(A)+P(B)BP(A)+P(B)_P(A)P(3)c.2A)P(3)D.

P(A)+P(B)

40.設(shè)(X”X2,…，X“)為總體N(l,2?)的一個(gè)樣本，刀為樣本均值，則下列結(jié)論中正

確的是(D)。

V_11p_1

廠?，5)~尸(〃，1)—f=~■尸~N(0,1)

A.2/品；B.4G；C,五；D.

1n

-1)2~/(〃)

41=1；

41.某廠加工一種零件，已知在正常的情況其長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N(〃，°92),現(xiàn)從一批產(chǎn)

品中抽測(cè)20個(gè)樣本，測(cè)得樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=1.2。問(wèn)在顯著水平a=°』下，該批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)

差是否有顯著差異？

222

(已知:存屋(19)=30.14,Zo95(19)=10.12；Zoo5(2O)=31.41,Zo95(20)=10.85)

2

wAn-l^

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是H。：0^0.選擇統(tǒng)計(jì)量/在“。成立時(shí)

W~/(19)

P{/O05(19)>W>%2O95(19)}=O.9O

取拒絕域亞=嚴(yán)>301144<10.117}

w=出-1)S"=19xL2-=33778

由樣本數(shù)據(jù)知〃0.9233.778>30.114

拒絕”。，即認(rèn)為這批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)差有顯著差異。

42.一批螺絲釘中，隨機(jī)抽取9個(gè)，測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下：了=16.10。九s=2.10cm。設(shè)螺

2

絲釘?shù)拈L(zhǎng)度服從正態(tài)分布，試求該批螺絲釘長(zhǎng)度方差b-的置信度為0.95的置信區(qū)間。

22

(已知：%。-(8)=17.535,ZO.975(8)=2.18；Z0.025(9)=19.02,%⑼=2.7)

解：因?yàn)槁萁z釘?shù)拈L(zhǎng)度服從正態(tài)分布，所以

(H-l)S2/2

CT2小)P{心。25(8)4W4%,975(8)}=0-95

j(〃-西(n-l)S2

"的置信區(qū)間為：1公。25("T忌975(〃-1),

’8x2.1028x2.102、

,的置信度0.95的置信區(qū)間為I17,5352,180J即(2.012,16.183)

43.隨機(jī)抽取某種炮彈9發(fā)做實(shí)驗(yàn)，測(cè)得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=3(m/s),設(shè)炮口速度服

2

從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的方差b-的置信度為0.95的置信區(qū)間。

2

(已知:⑻=17.535,%。二(8)=2.18；小片⑼=19.02,Zo975(9)=2.7)

因?yàn)榕诳谒俣确恼龖B(tài)分布，所以

搜"小)22

P{ZO.O25(8)<IV<ZO.975(8)}=O.95

(n-l)S2(n-l)S2

〃的置信區(qū)間為：〔總必(〃T)^0.975(?-1)?

(8x98x9]

b2的置信度0.95的置信區(qū)間為117.535'2.180)即(4.106,33.028)

44.設(shè)①(幻為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

_事件A發(fā)生：

X,=jo,否則。2‘…,10°,旦P(A)=O.1,XjX2,…，乂用相互獨(dú)

r=￡100x?-

立。令I(lǐng)，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/(>)近似于(B)。

.,y-10、

A.①(y)B.c①3+1°)D①(9y+i0)

k+i

P(X=k)=

攵=則

45.設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為可,0,123,E(X)=

(B)0

A.1.8B,2C.2.2D,2.4

ax+h0<x<1

f(x)=<

46.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為I°°"際

且E(X)=7/12。求：(l)a,b；(2)X的分布函數(shù)F(x)(同步49頁(yè)三.2)

47.工廠生產(chǎn)一種零件,其口徑X(單位:毫米)服從正態(tài)分布,現(xiàn)從某日生產(chǎn)的零件

中隨機(jī)抽出9個(gè)，分別測(cè)得其口徑如下：

48.連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)必滿足條件(C)。

A.0</(x)<lB.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.ff(x)dx=lD.lim/(x)=1

J-OOXf+oo

49.某人外出可以乘坐飛機(jī).火車.輪船.汽車四種交通工具，其概率分別為

5%.15%.30%.50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為

100%.70%.60%.90%。求該人如期到達(dá)的概率。

解：設(shè)A1,4,4,4分別表示乘坐飛機(jī)火車輪船.汽車四種交通工具，B表示如期到

達(dá)。

4

P(B)=ZP(4)P(8|4)

則&=().05X1+0.15X0.7+0.3X0.6+0.5x0.9=0.785

答：如期到達(dá)的概率為0.785。

四(1)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

[Ax,0<x<l

其它

求(1)A；(2)X的分布函數(shù)F(x)；(3)P(0.5<X<2)o

(1)j=￡=1^=^=1

解：4=2

(2)當(dāng)x<(M,尸(?=「f(t)dt=0

當(dāng)0<x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=j=￡2tdt=x2

當(dāng)x>1時(shí),F(x)=jf(t)dt=2tdt=1

0,x<0

故F(x)=*x2,0<x<l

1,x>l

(3)P(1/2<X<2)=F(2)—F(l/2)=3/4

事件A發(fā)生

Xj=i=l,2,…，100,

50.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，否貝IJ且

100

y=￡x,.

P(A)=0.6X2,…，*儂相互獨(dú)立。令,.=|則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)/(>)近似于(B)。

-zy—60v—60

A.①(y)B,^24c.①(y-60)D.24'

51.614.715.114.914.815.015.115.214.7

已知零件口徑X的標(biāo)準(zhǔn)差b=015,求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（已知：標(biāo)5（9）=2.262,機(jī)5（8）=2.306,%必=1.960）

U=X-*~N（0,1）

解：由于零件的口徑服從正態(tài)分布，所以b/6口|。|<%必}=0-95

9

（X_“0.025~r!，X+“0.025~r^X=Xj=14.9

所以〃的置信區(qū)間為：7n7n經(jīng)計(jì)算I

〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為（149-1.96x呼,14.9+1.96x竽）即

（14,802,14.998）

52.設(shè)總體X服從參數(shù)為％的指數(shù)分布，%，々，七，是一組樣本值，求參數(shù)丸的最大

似然估計(jì)。

n

In￡=nln2-2SA;

解：似然函數(shù)I/=1

d\nLn”

——Zx=0

~dT2/=1

53.615.114.914.815.215.114.815.014.7

若已知該天產(chǎn)品直徑的方差不變，試找出平均直徑〃的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（已知:（）（））

f0059=2.262,?0058=2.306,U002S=1.960

U=N（0

解：由于滾珠的直徑X服從正態(tài)分布，所以b7n

WK”0.025}=095

9

（_（T_

（X-"o025~r=，X+W0.025J=±yr.=14.911

所以〃的置信區(qū)間為：7H經(jīng)計(jì)算7

〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為

（14.911-l.96x平,14.9U+1.96x挈）

即(14.765,15.057)

54.某車間生產(chǎn)滾珠，其直徑X?N（〃，0.05）,從某天的產(chǎn)品里隨機(jī)抽出9個(gè)量得直徑如

下（單位：毫米）：

55.若事件4'42,4兩兩獨(dú)立，則下列結(jié)論成立的是（B）。

A.4'4，相互獨(dú)立B.A'4，&兩兩獨(dú)立

cP（AA24）=P（4）尸⑷爪）D.4，&，4相互獨(dú)立

56.715.114.815.015.314.915.214.615.1

已知方差不變。問(wèn)在a=°O5顯著性水平下，新機(jī)器包裝的平均重量是否仍為15?

（已知：小。5（15）=2.131,r005（14）=2.145,4磔=1.960）

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是“。：〃=匕選擇統(tǒng)計(jì)量在"。成立時(shí)

U~N（0,l）

P[\U\>U.025}=0.Q5取拒絕域w={IU?L960}

X-〃14.967-15

亍=/￡匕=14.967⑼

cr/Vrt0.3/3|t/|<1.960

經(jīng)計(jì)算

接受“。，即可以認(rèn)為袋裝的平均重量仍為15克。

57.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

x>2

F(x)=

[0,x<2

求(1)A；（2）密度函數(shù)f（x）；(3)P(0WX<4)。

(2)

(1)bF(x)=l-4/4=0/(x)=)

12F'(X

A=4

(3)P(0<X<4)=3/4

58.某人外出可以乘坐飛機(jī).火車.輪船.汽車四種交通工具，其概率分別為

5%.15%.30%.50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為

100%.70%.60%.90%。已知該人誤期到達(dá)，求他是乘坐火車的概率。

（10分）

解：設(shè)A,4,43,分別表示乘坐飛機(jī)火車輪船.汽車四種交通工具，B表示誤期到

達(dá)。

P（4I3）=

⑻￡P(guān)（4）P（3|4）

______________0.15x0.3

=0.209

0.05x0+0.15x0.3+0.3x0.4+0.5x0.1

答：此人乘坐火車的概率為0.209。

59.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

z.,、\a4x,0<%<1

/(x)=\

0,其它

求(1)a；(2)X的分布函數(shù)F(x)；(3)P(X>0.25)?

(1)Jf{x}dx-￡ay/xdx=ga=1

解：a=3/2

(2)當(dāng)x<OH寸，F(xiàn)(x)=「=0

J-ao

當(dāng)0<x<］時(shí).，F(xiàn)(x)=j：f(t)dt=’:剎dt=02

當(dāng)x21時(shí)，F(xiàn)(x)=f'f(t)dt=l

J-00

0,x<0

故尸(X)=<X3/2,0<X<l

1,x>1

(3)P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

60.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于X

和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其他數(shù)值填入表中的空白處。

'4—5、

61.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為'—59)

求隨機(jī)向量(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=4+9-2*(-5)=23

D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=4+9+2*(-5)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=4-9=-5

_Cov(x-y,x+y)__5_-5

Px-r'x+Y~Jo(X—y),￡>(X+y)-V23*V3-V69

'23-5、

-513

所以，(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為'J2/和

f,-5]

1病

1

IV69

62.設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）聯(lián)合密度為

'8xy,0<A:<^<1;

n「0,其它.

f(x,y)=1

(1)求(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度f(wàn)X(x),fY(y)；

(2)判斷X,Y是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由。

解：(1)當(dāng)x<0或x>l時(shí)，fX(x)=O；

ff(x,y)(fy=['Sxydy=4x-y2\\=4x(1-x2).

當(dāng)OWxWl時(shí)，fX(x尸J--J&、

4x-4x\0<x<1,

因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X(x)=10'其匕

當(dāng)y<0或y>l時(shí)，fY(y)=O；

ff(x,y)dx-fSxydx-4y-x24y3.

當(dāng)OWyWl時(shí)，fY(y)=J-i'J。」°7

4y3,04y41,

因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y(y)=10'其匕

(2)因?yàn)閒(l/2,l/2)=2,而fX(l/2)fY(l/2)=(3/2)*(l/2)=3/4Wf(l/2,1/2),

所以，X與Y不獨(dú)立。

63.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）,則Y=5—2X的密度函數(shù)為（B）

A.-ly（-v-5）B.—/（-v-5）

2222

C.-1f（一￥+5）D.—-1+5）

2222

64.設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，則下列等式中(C）是不正確的。

（）（）（）其中

A.=P(A)P(B),其中A,B相互獨(dú)立B.PA3=P8PA3,

P(B)rO

D.尸（AB）=P（A）P（@A）,其中

C.P(A8)=P(A)P(B),其中A)B互不相容

P(A)*0

65.設(shè)①(X)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

XL",瑞產(chǎn)生』,2,.7。。=。4

X],X2,…,X[0c相

100

Y=YXi

互獨(dú)立。令<=',則由中心極限定理知y的分布函數(shù)尸(>)近似于(B)。

A①（y）B①（甯）c①（匕40）D①（臂）

66.將兩封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵筒中，則未向前面兩個(gè)郵筒投信的概率為(A)。

"叁0

A.42B.C：C.P；D,4!

3.已知隨機(jī)變量x的概率密度為A"),令y=-2x,則y的概率密度4(>)為

(D)。

42人(-2>)B./'J)

4.設(shè)隨機(jī)變量X~/(幻，滿足/(X)=/(一%),R(x)是》的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a

有(B)。

fWx

A止。)=1-口(幻公BFJ)=J-Ic.Ma)"⑷D.

F(—a)—2F(a)—1

5.設(shè)①(幻為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

fl,事件A發(fā)生；

X,.=4=,i=l,2,…，1()(),

。否則；且P(A)=0.8,X],X”…,X]0G相

100

y二加,

互獨(dú)立。令，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)F(>)近似于(B)o

,zy—80

A.①(y)B.0(---4--))c.①(16y+80)D.①(4y+80)

1.設(shè)A,8為隨機(jī)事件，P(8)>0,P(A|B)=1,則必有(A)。

A尸(Au8)=P(A)BA^Bc.P(A)=P?D尸(AB)=P(A)

2.某人連續(xù)向一目標(biāo)射擊，每次命中目標(biāo)的概率為3/4,他連續(xù)射擊直到命中為止，則射

擊次數(shù)為3的概率是(C)。

22

(3)3(2)2X1(1)X-C；(-)

A.4B.44c.44D.4

67.若隨機(jī)向量(x，y)服從二維正態(tài)分布，則①x，y一定相互獨(dú)立；②若

夕xy=0,則X，y一定相互獨(dú)立；③X和y都服從一維正態(tài)分布；④若X，y相互獨(dú)

立，則

Cov(X,Y)=0?幾種說(shuō)法中正確的是(B)。

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

68.6577706469726271

設(shè)患者的脈搏次數(shù)X服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算得其標(biāo)準(zhǔn)差為4.583。試在顯著水平。=0.05

下，檢測(cè)患者的脈搏與正常人的脈搏有無(wú)顯著差異？

(已知：%05(8)=2.306,-62,402s=1.960)

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)為"。："=72

7/一〃

S/

選擇統(tǒng)計(jì)量7a當(dāng)"。成立時(shí)，

巴7乜陰⑼4磔

—19

ITICQC/x=-'Lx=68.667

1i

取拒絕域w={為>2306}經(jīng)計(jì)算99

68.667-72

=2.182

4.58%

|T|<2.306

接受“。，檢測(cè)者的脈搏與正常的脈搏無(wú)顯著差異。

"92、

69.己知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為211)

求隨機(jī)向量(X+Y,X-Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+1+2*2=14

D(X-Y>DX+DY-2Cov(X,Y)=9+l-2*2=6

Cov(X+Y,X-Y尸DX-DY=9-1=8

_C"u(x+y,x-y)_8_4

PX+YX-Y~'D(X+y)J0(x—y)-Vi4*V6-V21

<14、

Q

所以，(X+Y,X-Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為1°/和

70.已知隨機(jī)變量X?N(0,1),求Y=|X|的密度函數(shù)。

解：當(dāng)yWO時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(|X|〈y)=O；

當(dāng)y>0時(shí),FY(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=P('~y-X-丁)

dhJR八

y〉0,

二弓(y)=<V萬(wàn)

ay

因此，fY(y)=15y<0.

71.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望EX=u,方差DX=o2,XI,X2,X3是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨

機(jī)樣本，則下列U的估計(jì)量中最有效的是（B）

A.-X,H----X,H—X、B.-X.-h-X+-X.

412243*53?32933

342

C.-X.+—X2——X”D.*X[X2X3

515253

72.設(shè)％'是來(lái)自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則最有效的無(wú)偏估計(jì)是（A