《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

第五章三角函數(shù)

《5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1本(A版)》第五章

的5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式。本節(jié)的主要內(nèi)容是由兩角差的余

弦公式的推導(dǎo)，運(yùn)用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和代數(shù)變形，得到其它

的和差角公式。讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)

學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

1.了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程.a.數(shù)學(xué)抽象：公式的推導(dǎo)；

2.掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和b.邏輯推理：公式之間的聯(lián)系；

的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公C.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用和差角角公式求值；

式.d.直觀想象：兩角差的余弦公式的推

3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公導(dǎo)；

式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以e.數(shù)學(xué)建模：公式的靈活運(yùn)用；

及角的變換的常用方法.

4.通過正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的探究，培養(yǎng)

學(xué)生數(shù)形結(jié)合和類比的思想方法。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差

的正弦、正切公式

教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運(yùn)用。

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖

(-)創(chuàng)設(shè)問題情境

提出問題

1.兩角差的余弦公式

如果已知任意角a,B的正弦、余弦，能由此推出a+B,通過開門

a一旦的正弦、余弦嗎？見山，提出問

下面，我們來探究cos(a—B)與角a,B的正弦、余弦之題，利用坐標(biāo)

間的關(guān)系法，推導(dǎo)兩角

不妨令a。2k“+B,kGZ.如圖5.5.1,設(shè)單位圓與工軸差的余弦公

的正半軸相交于點(diǎn)A(1,0),以式，培養(yǎng)和發(fā)

X軸非負(fù)半軸為始邊作角a,B,a展數(shù)學(xué)抽象、

一B,它們的終邊分別與單位圓相直觀想象的核

交于點(diǎn)4(cosa,sina),心素養(yǎng)。

(cosB,sin0),P(cos(a—P),

sin(a—0)).任意一個(gè)圓繞著其

圖5.5-1

圓心旋轉(zhuǎn)任意角后都與原來的圓重

合，這一性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.連接為Pi，AP.若把扇形

0AP,繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)B角，則點(diǎn)A,P分別與點(diǎn)重合.根據(jù)圓

的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知，

加與防重合，從而，所以AP=&Pi

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得

[cos(a—/?)—l]2+[sin(a—

S)]2=(cosa-cosfi)2+(sina—sin/?)2,

化簡(jiǎn)得：

cos(a—/?)=cosacos/S+sinastn0

當(dāng)a=2km+B(kGZ)時(shí)，容易證明上式仍然成立.

所以，對(duì)于任意角a,B有

cos(a—^)=cosacos/3+sinasin/3(C(a—3))

此公式給出了任意角a,B的正弦、余弦與其差角a-p

的余弦之間的關(guān)系，

稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記作C(a—B).

典例解析

例1利用公式cos(a-S)證明：

(1)cosp)=sina;(2)COS(TTP)二cosa.

通過對(duì)兩

證明:(1)cos-Q)=cos]cosa+sin^sinjffsina

角差的余弦公

=0+1Xsina=sina.

式的運(yùn)用，發(fā)

(2)cos(7r-a)==cos7rcosa+sinnsin0sina

展學(xué)生，直觀

=(-l)Xcosa+o.=-cosa.

想象、數(shù)學(xué)抽

例2已知sina=ga?(看立)，cos/?=-卷，0是第三象限

象、數(shù)學(xué)運(yùn)算

角，求cos(a-/?)的值.等核心素養(yǎng)；

解:由sina=g,[￡(*元)，得

cosa=-—sina2=—Jl—(|)2=—|

又由cosA=—V，夕是第三象限角，得

sin/?=一Jl-cosp2=--(一卷/=

所以cos(a—p)=cosacos/?+sinasinp

=("1)X(-》+◎X(-另=一||

由公式cos(a-/?)出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)

的其他公式嗎？

下面以公式cos(a-/?)為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其他公式.

例如，比較cos(a—S)與cos(a+3),并注意到a+B與

a—/?之間的聯(lián)系：oc+/3=oc—(—0)則由公式

cos(a-/?),

有cos(a+^)=cos[a—(-/?)]=

cosacos(—B)+sinasin(—0)=cosacosp—sinasinp

于是得到了兩角和的余弦公式，簡(jiǎn)記作C(a+0).

cos(a+/?)=cosacos/3—sinasin/3.

問題探究

上面得到了兩角和與差的余弦公式.我們知道，用誘導(dǎo)公

式五(或六)可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化.你能根據(jù)C(a+

B),C(a—B)及誘導(dǎo)公式五(或六)，推導(dǎo)出用任意角a,

B的正弦、余弦表示sin(a+B),sin(a—B)的公式嗎？

通過推導(dǎo)，可以得到：

s譏(a+0)=sinacosp+cosasm/?,(S(a+0))通過其它

sin(a—p)=sinacosp—cosasinp;(S(a—p))和差角公式的

你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從C(a推導(dǎo)和應(yīng)用，

士B),S(a土反)出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角a,B的正切表示發(fā)展學(xué)生，直

tan(a+0),tan(a—￡)的公式嗎？觀想象、數(shù)學(xué)

通過推導(dǎo)，可以得到：抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)

tcm(a+/?)=ma+ta叱T(a+B)算等核心素

『1-tanatanp

養(yǎng)；

tcm(a—A)=^^T(a—B)

1+tanatanp

和(差)角公式中，a,0都是任意角.如果令a為某些

特殊角，就能得到許多有用的公式.你能從和(差)角公式出

通過對(duì)典

發(fā)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式嗎？你還能得到哪些等式

型問題的分析

公式S(a+B),C(a+B),T(a+B)給出了任意角

解決，發(fā)展學(xué)

a,B的三角函數(shù)值與其和角a+P的三角函數(shù)值之間的關(guān)

生數(shù)學(xué)建模、

系.為方便起見，我們把這三個(gè)公式都叫做和角公式.

邏輯推理，直

類似地，S(a—13),C(a—B),T(a—B)都叫做差

觀想象、數(shù)學(xué)

角公式.

抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)

典例解析

算等核心素

例3.已知sina=-|,a是第必像限角，求sing-

養(yǎng)；

a),cos(弓+a),tan(a-的值.

解：由sina=—|,a是第四象限角，

得cosa=V1—sina2=Jl-1)2=|

3

匚人

所以tana=sina二f-*二一一3

cosa-4

5

于是有sin(：—a)=sin￡cosa一cos個(gè)sina

V24V2z3X7V2

252k5101

(n.\it

cos-+a=cos-cosa—s.m-7Ts.ma=—V2x-4---V-2x

\4J44252

(_》=型.

I5，10，

右右n3<

(it\tana-tan-tana-1-1

tan(a—)=-------'=-----=——~7—=-7?

\4/1+tanatari-1+tana1+(一一)

由以上解答可以看到，在本題條件下有S譏仁-

a)=cos《+a).那么對(duì)于任意角a,此等式成立嗎？若成立，

你會(huì)用幾種方法予以證明？

例4利用和(差)角公式計(jì)算下列各式的值：

(1)sin720cos42°-cos72°sin42°;

(2)cos20°cos70°—sir)20°sin70°;

l+tanl5°

⑶…15。；

分析：和、差角公式把a(bǔ)±B的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成了a,

B的三角函數(shù)式.如果反過來，從右到左使用公式，就可以將

上述三角函數(shù)式化簡(jiǎn).

解：(1)由公式S(a—8),得

sin72°cos42°—cos72°sin42°=Sin(72°—

42°)=sin30°=i

2

(2)由公式C(a+B),得

cos20°cos70°—

sin20°sin70°=cos(20°+70°)=cos90°=0

(3)由公式T(a+B)及tcm45°=1,得

32二二——十加(45。+15。)=tan600=V3

1-tan15tan45-tanl51，

三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)通過練習(xí)

1.cos65°cos35°+sin65°sin35°等于()鞏固本節(jié)所學(xué)

A.cosl00°B.sinl00°C.~知識(shí)，鞏固對(duì)

和差和差距角

出

【解析】原式一cos(65—35)—cos30—j.公式的運(yùn)用，

增強(qiáng)學(xué)生的直

【答案】c

觀想象、數(shù)學(xué)

2.已知a是銳角，sina=|,則cosg-+)等于()

抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)

算、邏輯推理

A-一島壽.一乎D.g

的核心素養(yǎng)。

3

【解析】因?yàn)椤Ｊ卿J角，sinQ=E，

5

所以cosa_,所以cos(4+東X—東.

514y252510

故選B.

【答案】B

35

3.已知銳角a,￡滿足COSa=口cos(a+￡)=—/,

013

則cos￡等于()

33335454

A-默?一弒?德?一元

3

【解析】因?yàn)閍,6為銳角，cosa=鼻，cos(a+￡)

0

_5_

=-B，

412

所以sin。=9sin(a+￡)=/.

513

所以cos￡=cos[(a+￡)—a]=cos(a+￡)?cosa+

/?c、53,12433

sin(a+￡)?sina=——X~+—X~=—故選A.

13513565

【答案】A

、1毋m―tan15°

4.計(jì)算乂亍-------=________.

1+^/3tan15°

■左力m―tan15°tan60°-tan15°

【解析】：r--。-IJ_+c八。+1二?！?/p>

l+^/3tan15°1+tan60tan15

tan45°=1.

【答案】1

5.已知a,￡均為銳角，sin。一cos￡—求

510

a—B.

【解】:。，。均為銳角，sina=金，cos￡=少，

510

c3訴2A/5

..sinp—:八，cosci—二.

105

JT

?,'sinQ〈sin￡,:.a<B,?'?—a—8V。,

乙

..(.a-a季、,訴

..sin(op)—sm^cosPCOS^sinp——

510

2^53710_^2

510-2'

JI

.?"一￡=一彳

四、小結(jié)學(xué)生根據(jù)

讓我們回顧半節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，看看主要的收獲有哪些？課堂學(xué)習(xí)，自

知識(shí)上：兩角和差的公式主總結(jié)知識(shí)要

思想方法上：整體代換思想，轉(zhuǎn)化思想。點(diǎn)，及運(yùn)用的

五、作業(yè)思想方法。注

1.課時(shí)練2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容意總結(jié)自己在

學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)

/占、、、，?

《5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程.

2.掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、

正切公式.

3.會(huì)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的求值、

化簡(jiǎn)、計(jì)算等.

4.熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、

逆用以及角的變換的常用方法.

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程.

難點(diǎn)：會(huì)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的求值、

化簡(jiǎn)、計(jì)算等

【知識(shí)梳理】

1兩角和與差的余弦公式

名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件

cos(a-/3)=

兩角差的余弦公式C(a-.)a,

cos(a+/?)=

兩角和的余弦公式C(a+0a,￡GR

2兩角和與差的正弦公式

名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件

兩角和的正弦S(a+優(yōu)sin(a+￡)=___________________a,尸GR

兩角差的正弦S(a-向sin(Q-P)=___________________a,夕￡R

3兩角和與差的正切公式

名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件

tan(a+￡)=兀

兩角和的正切T(a+份a,}a+4#兀+,(A仁Z)且tana-tan尸聲1

Tl

tan(a一4)=a,}4一期左兀+,上￡Z)且tana-tan毋

兩角差的正切T(a-力

-1

【學(xué)習(xí)過程】

問題探究

1.兩角差的余弦公式

如果已知任意角a,0的正弦、余弦，能由此推出a+p,a—B的正弦、

余弦嗎？

下面，我們來探究cos(a-p)與角a,B的正弦、余弦之間的關(guān)系

不妨令a#2k7t+|3,kez.如圖551,設(shè)單位圓與工軸的正半軸相交于點(diǎn)

A(1,0),以x軸非負(fù)半軸為始邊作角a,p,a—p,它們的終邊分別與單位

圓相交于點(diǎn)H(cosa,sina),P】(cosp,sin。),P(cos(a—p),sin(a—p)).任意

一個(gè)圓繞著其圓心旋轉(zhuǎn)任意角后都與原來的圓重合，這一性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱

性.連接4Pi，AP.若把扇形OAP,繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)p角，則點(diǎn)A,P分別與點(diǎn)

重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知，

府與布重合，從而，所以AP=&Pi

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得

[cos(a——l]2+[sin(a—/7)]2=(cosa—cos/?)2+(sina—sin/?)2,

化簡(jiǎn)得：

cos(a-/?)=cosacosp+sinasin/3

當(dāng)a=2k?r+B(kGZ)時(shí)，容易證明上式仍然成立.

所以，對(duì)于任意角a,p有

cos(a—P)=cosacos13+sinasin/3(C(a—p))

此公式給出了任意角a,0的正弦、余弦與其差角a—0的余弦之間的關(guān)系,

稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記作C(a—p).

典例解析

例1利用公式cos(a-B)證明：

(1)cos(1-a)=sina;(2)cosga)=cosa.

例2已知s譏a=g,aG(pTT),cos0=_總,0是第三象限角，求cos(a-。)

的值.

由公式cos(a-R出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎？

下面以公式cos(a-/?)為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其他公式.

例如，比較cos(a—3)與cos(a+)),并注意到a+p與

a一夕之間的聯(lián)系：a+/?=a-1一夕)則由公式cos(a一夕),

有cos(a+/?)=cos[a-(-/?)]=

cosacos(—/?)+sinasin(—/?)=cosacos/3—sinasin/3

于是得到了兩角和的余弦公式，簡(jiǎn)記作C(a+0).

cos(a+S)=cosacos/?—sinasin/3.

問題探究

上面得到了兩角和與差的余弦公式.我們知道，用誘導(dǎo)公式五(或六)可以

實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化.你能根據(jù)C(a+p),C(a—p)及誘導(dǎo)公式五(或六)，

推導(dǎo)出用任意角a,。的正弦、余弦表示sin(a+P),sin(a—p)的公式嗎？

通過推導(dǎo)，可以得到：

s+6)=sinacosp+cosas出/?,(S(a+p))

si九(a—6)=sinacos￡—cosasin0;(S(a—p))

你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從C(a±p),S(a±p)出發(fā),

推導(dǎo)出用任意角a,0的正切表示tcm(a+S),tcm(a-B)的公式嗎？

通過推導(dǎo)，可以得到：

tan(a+夕)=tana+tanpT(a+P)

1-tanatanp

tan(a_0)=tana-tanpT(a-p)

1+tanatan/3

和(差)角公式中，a,0都是任意角.如果令a為某些特殊角，就能得到

許多有用的公式.你能從和(差)角公式出發(fā)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式嗎？你還能得到哪

些等式

公式S(a+B),C(a+B),T(a+|3)給出了任意角a,B的三角函數(shù)值與其和

角a+0的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.為方便起見，我們把這三個(gè)公式都叫做和角

公式.

類似地，S(a-p),C(a-p),T(a一0都叫做差角公式.

典例解析

例3.已知stria=—|,a是第四象限角，求s譏一a),cos(彳+a),tan(a—

9的值.

由以上解答可以看到，在本題條件下有s譏g-a)=cos《+a).那么對(duì)于

任意角a,此等式成立嗎？若成立，你會(huì)用幾種方法予以證明？

例4利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值:

（1）sin72°cos42°—cos72°sin42°;

（2）cos20°cos70°—sin20°sin70°;

/c、

（3）*l+tan15°；

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.cos65°cos35°+sin65°sin35°等于（）

1

北

A.cos100°B.sin100°C.D.2

2.已知a是銳角，sina=|,則cosg+a）等于（

A-應(yīng)B啦C-也啦

AD.

.1010J55

35

3.已知銳角a,4滿足cosa=§,cos（a+^）=-則cos4等于（）

33335454

A.65B.65C.75D.75

,,gg-tan15°

4.計(jì)算1+小tan15。=

、行\(zhòng)/To

5.已知a,夕均為銳角，sin5>cos4=節(jié)-,求a一夕.

參考答案：

知識(shí)梳理

l.cosacos夕+sinasin4cosacos4一sinccsin/?

2.sinacosy9+cosccsin夕sinacos4一cosasin0

tana+tan/tana-tan/

1-tanatan八+tanatan,

學(xué)習(xí)過程

典例解析

例1證明：(l)coscoscosa+sinsinpsina=0+1xsina=sina.

(2)cos(7r-a)==cosncosa+sinnsinfisina=(-l)xcosa+o.=—cosa.

例2解：由sina=|,a￡得cosa=—V1—sina2=—Jl—(^)2二3

5

又由cosS=—*/?是第三象限角，得

sin。=-y/1-cos(i2=-Jl—(—]I=

所以cos(a—8)=cosacosp+sinasin0=(—|)x(—.)+($x(—1|)=—.

例3.解：由sina=a是第四喙限角,

得cosa=V1—sina2=l-(-|)2=g

3

所以tana=sma=f二?之

cosa-4

5

.nn.V24V2z3X7V2

于是有sin-a)=sin-cosa—cos-sina=—X-------X(—)——；

4425215，10'

(n,\n.n.V24V2z3X7遮

cos\-4+a/=cos-4cosa—sin4-sina=-2x-5-----2-x(k——5)7=——10

n

tan(a-Etana-tan-_tana-1

1+tanatari^-1+tana

4

例4分析：和、差角公式把a(bǔ)土p的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成了a,0的

三角函數(shù)式.

如果反過來，從右到左使用公式，就可以將上述三角函數(shù)式化簡(jiǎn).

解：(1)由公式S(a—P),得

sin72°cos420-cos72°sin42°=Sin(72°-42°)=sin30°=1

(2)由公式C(a+p),得

cos20°cos70°—sin20°sin70°=cos(200+70°)=cos90°=0

(3)由公式T(a+p)及1加45。=1,得

l+tanl5°_tan45o+tanl5°

tan(45°4-15°)=tan60°=V3

l-tan\5°tan450-tan\5°

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【解析】原式=cos(65。-35o)=cos30。=為".

【答案】C

3

2.【解析】因?yàn)閍是銳角，sina=g,

所以cosa=1,所以cos［：+a)=坐X,一乎x|=*.故選B.

【答案】B

35

3.【解析】因?yàn)閍,4為銳角，cosa=g,cos(a+/0=一值,

412

所以sina=§,sin(a+￡)=百.

所以cos=cos[(a+^)—a]=cos(a+//)?cosa+sin(a+4)-sina=-j^x-+—

433

x廣密故選A.

【答案】A

小一tan150tan60°—tan15°

4.【解析】

1+小tan15°-1+tan60°tan15°—

【答案】1

5.【解】?:a,夕均為銳角，sina=乎，cos￡=*^,

嚼，3。=乎.

Vsina<sina<fi,.,.一]VQ一夕<0,

Jiyio2753回

.'.sin(a-/?)=sinacos夕一cosasin[i=5X105*]o—坐

/.?-/?=-J

《5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》同步練習(xí)一

基礎(chǔ)鞏固

1.cosl5。的值是（）

V6-V2V6+V2

DD.

2--------------------------------------------------2

Py/b—V2D>/6+y/2

Vy?，4

4

123

2.已知a為銳角，￡為第三象限角，且cosa=ppsin2=一；，則cos(a-/?)的

值為（）

“63n33c63c33

A.——B.——C.—D.—

65656565

4

3.已知cos（;r—a）=q，則a為第三象限角，則tan2a的值等于（）

A.1R32424

B-~4c-TD.——

7

4.若sinA=@，sinB=?，且A,8均為鈍角，則A+3的值為（）

510

7萬64

A.C%

T2

5.已矢Dcos（工一7）二一］，貝！Jcosx+cos［的值為（）

A?當(dāng)B.6c-4…

6.計(jì)算：sin23°cos22°+sin67°sin22°=

sin(?-/3)cosa-cos(a-/7)sin?=,且￡是第四象限角，則cos，=

7.

sin70+cos150-sin80

8.不用計(jì)算器，求值:

cos70-sin150-sin80

9.已知角。的終邊過點(diǎn)尸(<3).

tan(3兀+a)

⑴求,/\(71)的值；

sin(57i-(7)-cosl—+?I

(2)若￡為第三象限角，且tanp=g,求cos(a-0的值.

能力提升

10.已知cos(a-P)=1,sir)A=-得，且［€(0仁)，,貝ijcosa=

()

33c56c33c56

A.—B.—c.-----D.——

65656565

PM?aa.

11.設(shè)sina=一,2n<a<3n,貝ijsin—+cos—=()

322

A.一氈B.空

c.-D.--

3333

12.已知tancr、tan/是關(guān)于x的一元二次方程f+4x_5=o的兩實(shí)根，則

sin(a+/7)

cos(a-/?)

13.已知萬兀<B<一~,s\na=~,cos°=—,求。一萬的值.

22510

素養(yǎng)達(dá)成

14.已知函數(shù)/(x)=sin2xcos"+cos2xsin°(x￡R,0<°<兀),

(1)求/(x)的解析式;

，、一兀、.(乃人

⑵右/仁一=廿51￡(匕7t可\，求sm[a+j的值.

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式答案解析

基礎(chǔ)鞏固

1.cosl5。的值是（）

AV6—>/2RV64-y/2

22

PA/6—\/2nV6+A/2

44

【答案】D

【解析】

.2co6V3V21A/6+V2

cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin450

22224

，故選:D.

io3

2.已知a為銳角，￡為第三象限角，月.cosa=—,sin/7=--,則cos（a-?）的

值為（）

6333萬62c33

A.——B.——C.—-D.—

65656f65

【答案】A

1?

【解析】Qa為銳角，且cosa=n，:與!!。二=Vl-cos2a=—.

13

3

???，為第三象限角，且sin〃=-g,

/.cos/3=-Jl-sin2,=_g,

12'撲祖高

二.cos（a-/?）=cosacos'+sinasin（3-—x-

13\

=-笑.故選A.

65

4

3.已知cos（7一a）=g,則a為第三象限角，則tan2c的值等于（）

3324c24

A.-B.——C.—D.——

4477

【答案】c

_44

【解析】?；cos（萬一a）=w=-cosa,Acosa=一§,???a為第三象限角，...sina

Jsina3

-J1一cos2a=——??tana=------=—

5cosa4

2tana_24

則tan2a

1-tarra7

故選：C.

4.若sinA=且，sinfi=—,且A,3均為鈍角，則A+3的值為（

)

510

【答案】B

【解析】:A,5均為鈍角且sinA=@，sin8=X3,

510

r.cosA=-Jl-sin2A=,cosB=-Jl-sin*=一^1°

510

--x^^=—又生<4<乃，—<B<7T,:.7T<A+B<2K@,由①②,

510222

知A+B=?.

4

故選：B

已知]_

5.cos|x.的值為（)

3

A.-B.73C.—也D.一百

33

【答案】C

【解析】因?yàn)閏os1一V=T，

所以cosxcos—+sinxsin—=——

663

即——cosx+—sinx=——

223

而所求的cosx+cos(x—()

7t.7t

-cosx+cosxcos—■1-sin%sin—

33

36.

=—cosx+——sinx

22

=73——cosx+—sinx

122J

=_B

~~~3

故選：c.

6.計(jì)算：sin230cos22°+sin67°sin22°=

【答案】叵

2

【解析】sin67°=sin(90°-23°)=cos23°

V2

sin23°cos220+sin67°sin22°=sin23°cos22°+cos23°sin22°=sin(23°+22°)=sin45°=—

故答案為：變

2

4

7.sin(a-/?)cosa-cos(a-/?)sina=-,且乃是第四象限角，則cos上=

2

【答案】士正

5

【解析】由題，sin(。-p)cosa-cos(a-/7)sina=sin[(2-尸-a]=-sin4=[,

〃4

二?sinp=——

???夕是第四象限角,

cosP=~

???，是第二、四象限角，

COS2—=—(l+COSy5)=—xf1+-^=—

22，72I5)5

8s2=±濁

25

本題答案為：土還

5

sin70+cos150-sin80

8.不用計(jì)算器，求值:

cos70-sin15°-sin80

【答案】2-6

【解析】

sin70+cos15。-sin8°_sin(15°-8°)+cosl50-sin8。_sin150?cos8°_tan15。

cos70-sin15°-sin8°-cos(15°-80)-sin15°-sin8°-cos15°-cos8°一皿

tan450-tan30°_3

tanl50=tan(45°-30°)=

1+tan45°-tan30°~~忑一~~

1H-----

3

9.已知角a的終邊過點(diǎn)P（T3）.

tan（3n:+a）

（1）求—\赤一的值；

sin（5n-a）-cosl—+aI

（2）若夕為第三象限角，且tan，=g,求cos（a-0的值.

【答案】（1）（2）0-

O

【解析】（1）因?yàn)榻莂的終邊過點(diǎn)P（Y,3）,

34

所以sina=『cos(7

sina

所以tan(3兀+a)cosa=1_

.\(n、sina+sina2cosa8

sin(5兀一a)-cos—+a

、2)

4

(2)因?yàn)??為第三象限角，>tan/?=-,

43

所以sin/?=_《，cos^=--.

34

由(1),知sina=y,cosa=——,

5

4

所以cos(a-力)=cosacos/?+sinasin/?=--x0.

能力提升

10.已知cos(a—A)=1,sin/?=—得，月.a￡(0,7t，^e(-p°l?貝Ucosa

()

33「56八33c56

i.—B.—C.——D.——

65656565

【答案】B

0<a<—

73

【解析】?n，：.Q<a-/3<7r.Xcos(a-/7)=-,

2—尸=一亮,

sinn(a-0)=J11—cos(a~</?<0>sincos/?=—,

13

'cosa=cos[(a—1)+4]=cos(a-Q)cos夕-sin(a-0sinQ=.

故選：B

13I?aa/

11.設(shè)sina=—，2兀<av3兀,貝ijsm——Feos—=()

322

273

A.一空C.-

33

【答案】A

Iaa

【解析】Vsintz=-,先將sin,+cos,平方得：

(.aa\.?.aa?,-4

sin——i-cos—=sin-2——k2sin—cos—+cos2'—=1+sina=—.

t22)22223

a3TT

又2兀<0<3兀，...兀<5<萬在第三象限，

則sin—<0,cos—<0,

22

.aa2V3

/.sin—Fcos—=-------.