2019高三一輪總復習文科數學課時跟蹤檢測75直線平面垂直的判定及性質

[課時跟蹤檢測][基礎達標]1．(2017屆青島模擬)設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則能得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a?α，b⊥β，α∥β D．a?α，b∥β，α⊥β解析：對于C項，由b⊥β，α∥β可得b⊥α，又a?α，得a⊥b，故選C.答案：C2．(2016年浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：∵α∩β＝l，∴l(xiāng)?β.∴n⊥β，∴n⊥l.答案：C3．(2017屆南昌模擬)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l解析：由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，則交線平行于l.答案：D4．(2018屆遵義模擬)設l，m，n表示三條直線，α，β，γ表示三個平面，則下列命題中不成立的是()A．若m?α，n?α，m∥n，則n∥αB．若α⊥γ，α∥β，則β⊥γC．若m?β，n是l在β內的射影，若m⊥l，則m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥β解析：在A中由線面平行的判定定理得n∥α；在B中由面面垂直的判定得β⊥γ；在C中由線面垂直得m⊥n；在D中，l與β相交、平行或l?β，故D錯誤．答案：D5．(2017年全國卷Ⅲ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CDA．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC解析：連B1C，BC1，A1D，由題意得BC1⊥B1∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1?平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1.∵A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1DCB1∵A1E?平面A1DCB1，∴A1E⊥BC1.故選C.答案：C6．(2017屆安徽合肥一模)如圖，已知四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD，則下列命題中錯誤的是()A．過BD且與PC平行的平面交PA于M點，則M為PA的中點B．過AC且與PB垂直的平面交PB于N點，則N為PB的中點C．過AD且與PC垂直的平面交PC于H點，則H為PC的中點D．過P，B，C的平面與平面PAD的交線為直線l，則l∥AD解析：設AC∩BD＝O，因為四邊形ABCD是正方形，所以O是AC的中點，因為過BD且與PC平行的平面交PA于點M，所以OM∥PC，所以M是PA的中點，故A正確；設N為PB的中點，連接AN.因為PA與AB不一定相等，所以AN與PB不一定垂直，所以過AC且與PB垂直的平面交PB于N點，則N不一定是PB中點，故B項錯誤；因為四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AB，所以PA＝AC，PD＝DC，所以過AD且與PC垂直的平面交PC于點H，則H為PC的中點，故C正確；因為AD∥BC，所以BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PCB＝l，所以l∥BC，所以l∥AD，故D正確．故選B.答案：B7．(2018屆江淮名校期中)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為菱形，M是PC上的一個動點，若要使得平面MBD⊥平面PCD.則應補充的一個條件可以是()A．MD⊥MBB．MD⊥PCC．AB⊥ADD．M是棱PC的中點解析：∵在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：B8．(2017屆寶雞質檢)對于四面體ABCD，給出下列四個命題：①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.其中為真命題的是()A．①② B．②③C．②④ D．①④解析：①如圖，取BC的中點M，連接AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD.④設A在平面BCD內的射影為O，連接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O為△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.答案：D9．如圖所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，當底面四邊形A1B1C1D1滿足條件________時，有A1C⊥B1解析：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD－A1B1C1D1為直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1C1C，則A1C1答案：A1C1⊥B1D10．(2017屆河南四校調研)四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，則這個四棱錐的五個面中兩兩互相垂直的共有________對．解析：因為AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5對．答案：511．(2017屆泉州模擬)點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1①三棱錐A－D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DB⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的命題序號是________．解析：對于①，VA－D1PC＝VP－AD1C，點P到平面AD1C的距離，即為BC1與平面AD1C的距離為定值，故正確；對于②，因為平面A1C1B∥平面AD1C，所以A1P∥平面AD1C，故正確；對于③，DB與BC1成60°角，故錯誤；對于④，由于B1D⊥平面ACD1，所以平面B1答案：①②④12．(2017年北京卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點．(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD的體積．解：(1)證明：因為PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.又因為BD?平面ABC，所以PA⊥BD.(2)證明：因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因為PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因為D為AC的中點，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1，BD＝DC＝eq\r(2).由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱錐E－BCD的體積V＝eq\f(1,6)BD·DC·DE＝eq\f(1,3).[能力提升]1．(2017屆浙江麗水一模)在四面體ABCD中，下列條件不能得出AB⊥CD的是()A．AB⊥BC且AB⊥BDB．AD⊥BC且AC⊥BDC．AC＝AD且BC＝BDD．AC⊥BC且AD⊥BD解析：對于A選項，∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC＝B，∴AB⊥平面BCD.∵CD?平面BCD，∴AB⊥CD.故A滿足；對于B選項，設A在平面BCD的射影為O，則AO⊥平面BCD.∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O為△BCD的垂心，連接BO，則BO⊥CD，又AO⊥CD，AO∩BO＝O，∴CD⊥平面ABO.∵AB?平面ABO，∴AB⊥CD.故B滿足；對于C選項，取CD中點G，連接BG，AG.∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG.∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG.∵AB?平面ABG，∴AB⊥CD，故C滿足，D不滿足要求，故選D.答案：D2．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面解析：因為B1D⊥平面A1ACC1，所以CF⊥B1D，所以為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF，設AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2，所以x2－3ax＋2a2＝0，所以x＝a或x＝2答案：a或23．如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點，F為線段EC(端點除外)上一動點．現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足．設AK＝t，則t的取值范圍是________．解析：由題意可知，DK⊥平面ABCF，故DK⊥AK，DK⊥FK，故有AD2－AK2＝DK2＝DF2－FK2.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，AK＝t，設EF＝x(0＜x＜1)，則有AD＝BC＝1，DF＝1＋x，FK＝eq\r(12＋x－t＋12)，∴12－t2＝(1＋x)2－[12＋(x－t＋1)2]，整理得t＝eq\f(1,x＋1)，0＜x＜1，故eq\f(1,2)＜t＜1.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))4．(2017屆吉林東北師大附中聯(lián)考)如圖所示的幾何體由一個直三棱柱ADE－BCF和一個正四棱錐P－ABCD組合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)證明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱錐P－ABCD的高h，使得該四棱錐的體積是三棱錐P－ABF體積的4倍．解：(1)證明：直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE.因為AD?平面ADE，所以AB⊥AD.又AD⊥AF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABFE.又AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABFE.(2)由題意得，P到平面ABF的距離d＝1，所以VP－ABF＝eq\f(1,3)S△ABF·d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3)，所以VP－ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·h＝eq\f(1,3)×2×2×h＝4VP－ABF＝eq\f(8,3)，所以h＝2.5．(2017屆黑龍江大慶質檢)如圖，已知三棱錐A－BPC，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．(1)求證：BC⊥平面APC；(2)若BC＝3，AB＝10，求點B到平面DCM的距離．解：(1)證明：如圖，∵△PMB為正三角形，且D為PB的中點，∴MD⊥PB.又∵M為AB的中點，D為PB的中點，∴MD∥AP，∴AP⊥PB.又已知AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.(2)記點B到平面MDC的距離為h，則有VM－BCD＝VB－MDC.∵AB＝10，∴MB＝PB＝5，又BC＝3，BC⊥PC，∴PC＝4，∴S△BDC＝eq\f(1,2)S△PBC＝eq\f(1,4)PC·BC＝3.又MD＝eq\f(5\r(3),2)，