9.1計(jì)數(shù)原理與排列組合

9.1計(jì)數(shù)原理與排列組合課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理)分類加法計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用通過(guò)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)分步乘法計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用2.能正確區(qū)分“類”和“步”,并能利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用通過(guò)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題,提升學(xué)生的抽象思維、運(yùn)算求解和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列結(jié)論正確的是().A.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同B.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事C.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,事情是分步完成的,其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事情,只有每個(gè)步驟都完成后,這件事情才算完成D.如果完成一件事情有n個(gè)不同步驟,在每一步中都有若干個(gè)不同方法mi(i=1,2,3,…,n),那么完成這件事情共有m1m2m3…mn種方法2.(對(duì)接教材)如圖,已知從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通,從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通,則從甲地到丙地共有種不同走法.

3.(多選)下列等式正確的是().A.(n+1)Anm=An+1m+1 B.C52+C63=20C.n4.(易錯(cuò)自糾)書架的第1層放有4本不同的語(yǔ)文書,第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書,第3層放有6本不同的體育書.從書架上任取1本書,不同的取法種數(shù)為,從第1,2,3層分別各取1本書,不同的取法種數(shù)為.

5.(真題演練)(2023·全國(guó)Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種(用數(shù)字作答).

兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理典例1(1)共有10級(jí)臺(tái)階,某人一步可跨一級(jí)臺(tái)階,也可跨兩級(jí)臺(tái)階或三級(jí)臺(tái)階,則他恰好6步上完臺(tái)階的方法種數(shù)是().A.30 B.90 C.75 D.60(2)把3封信投到4個(gè)信箱,所有可能的投法有().A.24種 B.4種C.64種 D.81種分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)(1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合它的分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類.(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法.(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外,也不能有遺漏.訓(xùn)練1(1)某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì),已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目,為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛,主辦方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲,并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單,且不改變?cè)瓉?lái)的節(jié)目順序,則不同的安排方式有種.

(2)從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù),則可組成不同的兩位數(shù)有().A.9個(gè) B.12個(gè)C.15個(gè) D.18個(gè)排列組合典例2(1)有3名男生、4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法總數(shù).①選5人排成一排;②排成前后兩排,前排3人,后排4人;③全體排成一排,女生必須站在一起;④全體排成一排,男生互不相鄰;⑤全體排成一排,其中甲不站最左邊,也不站最右邊;⑥全體排成一排,其中甲不站最左邊,乙不站最右邊;⑦全體排成一排,甲總在乙的前面.(2)從7名男生、5名女生中選取5人,分別求符合下列條件的選法總數(shù).①A,B必須當(dāng)選;②A,B必不當(dāng)選;③A,B至多有一人當(dāng)選;④選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、體育委員等5種不同的工作,但體育委員必須由男生擔(dān)任,班長(zhǎng)必須由女生擔(dān)任.求解排列應(yīng)用問(wèn)題的六種主要方法:(1)直接法,把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算;(2)優(yōu)先法,優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置;(3)捆綁法,把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列;(4)插空法,對(duì)不相鄰問(wèn)題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中;(5)定序問(wèn)題除法處理,對(duì)于定序問(wèn)題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列;(6)間接法,正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.組合問(wèn)題的常見題型:一般有選派問(wèn)題、抽樣問(wèn)題、圖形問(wèn)題、集合問(wèn)題、分組問(wèn)題等.它的解題思路:①分清問(wèn)題是否為組合問(wèn)題;②對(duì)較復(fù)雜的組合問(wèn)題,要搞清是“分類”還是“分步”,一般是先整體分類,然后局部分步,將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)兩個(gè)原理化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題.訓(xùn)練2(1)(捆綁法)現(xiàn)有8個(gè)節(jié)目,5個(gè)節(jié)目由大人表演,3個(gè)節(jié)目由孩子表演,要求孩子的節(jié)目要排在一起表演,有種不同的表演順序.

(2)(插空法)某班級(jí)組織學(xué)生看話劇,總共有4位教師和8位學(xué)生,一排座位中,有12個(gè)座位,要求4位教師必須坐在8位學(xué)生中間,并且4位教師不可以坐在一起,總共有種不同的坐法.

(3)(優(yōu)選法)將紅色、橙色、黃色、綠色、藍(lán)色、紫色6個(gè)小球排成一列,要求紅色的小球不能放在兩端,一共有種不同的排法.

(4)(倍縮法)將7顆棋子排成一列,要求甲、乙、丙3顆棋子的順序保持不變,則一共有種不同的排法.

(5)(環(huán)排問(wèn)題)8人圍桌而坐,共有種坐法.

(6)(定序法)3名學(xué)生和甲、乙、丙3位老師站成一排合影,要求甲、乙、丙從左到右按順序站立(可以相鄰也可以不相鄰),一共有種站法.(用數(shù)字作答)

訓(xùn)練3(1)計(jì)算:4A84+2A85A88-A95;(2)已知1C5m1綜合應(yīng)用典例36本不同的書,分為3組,求在下列條件下各有多少種不同的分配方法?(1)每組2本;(2)一組1本,一組2本,一組3本;(3)一組4本,另外兩組各1本;(4)分給甲、乙、丙3人,甲2本、乙2本、丙2本;(5)分給甲、乙、丙3人,甲1本、乙2本、丙3本;(6)分給甲、乙、丙3人,甲4本、乙1本、丙1本.通過(guò)以上6個(gè)小題的分析,我們可以得出分組問(wèn)題的一般結(jié)論:結(jié)論1:對(duì)于整體均分問(wèn)題,解題時(shí)要注意分組后,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要除以An結(jié)論2:對(duì)于部分均分問(wèn)題,解題時(shí)要注意重復(fù)次數(shù)是均分分組的階乘數(shù),即若有m組元素個(gè)數(shù)相等,則分組時(shí)要除以Am結(jié)論3:對(duì)于不等分組,只需要先分組后排列,注意分組時(shí)任何組中元素個(gè)數(shù)都不相等,所以不需要除以全排列數(shù).訓(xùn)練4(2023·廣東揭陽(yáng)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))(多選)為了做好亞運(yùn)會(huì)秩序維護(hù)工作,需要將5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4個(gè)賽區(qū)開展工作,則下列選項(xiàng)正確的是().A.共有625種分配方法B.共有1024種分配方法C.若每個(gè)賽區(qū)至少分配一名志愿者,則有240種分配方法D.若每個(gè)賽區(qū)至少分配一名志愿者,則有480種分配方法典例4漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶.“趙爽弦圖”如圖所示,由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成,現(xiàn)有5種不同的顏色可供涂色,要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色,則不同的涂色方案有種.(用數(shù)字作答)

訓(xùn)練5如圖,準(zhǔn)備用4種不同的顏色給a,b,c,d,e五塊區(qū)域涂色,要求每個(gè)區(qū)域隨機(jī)用一種顏色涂色,且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所涂顏色不能相同,則不同涂色方法共有種.

隔板法與選板法對(duì)于相同元素的“分配”問(wèn)題,常用方法是采用“隔板法”.典例(1)12個(gè)相同的小球放入編號(hào)分別為1,2,3,4的盒子中,問(wèn)每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球的不同放法有多少種?(2)12個(gè)相同的小球放入編號(hào)分別為1,2,3,4的盒子中,盒子可空,問(wèn)不同的放法有多少種?(3)12個(gè)相同的小球放入編號(hào)分別為1,2,3,4的盒子中,要求每個(gè)盒子中的小球個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù),問(wèn)不同的放法有多少種?“隔板法與選板法”解決小球入盒問(wèn)題,分為三類題型:1.隔板法:“1”型,即每個(gè)編號(hào)不同的盒子至少1個(gè)球.一般地,將n個(gè)相同小球分配到m(m≤n,m,n∈N*)個(gè)不同盒子,每個(gè)盒子至少1個(gè)球,則共有Cn2.選板法:“0”型,即盒子可以沒(méi)有球.一般地,將n個(gè)相同小球分配到m(m≤n,m,n∈N*)個(gè)不同盒子,盒子可空,則共有Cn3.“有條件型”根據(jù)實(shí)際題目轉(zhuǎn)化為“1”型.訓(xùn)練(1)方程x1+x2+x3+x4=10的正整數(shù)解有多少組?(2)方程x1+x2+x3+x4=10的非負(fù)整數(shù)解有多少組?(3)方程2x1+x2+x3+…+x10=3的非負(fù)整數(shù)解有多少組? 一、單選題1.已知A2n3A.4 B.5C.6 D.72.(2024·江蘇揚(yáng)州期初考試)某中學(xué)五四頒獎(jiǎng)典禮上有A,B,C,D,E,F共6個(gè)節(jié)日,在排演出順序時(shí),要求A,B相鄰,C,D不相鄰,則該典禮節(jié)目演出順序的不同排法種數(shù)為().A.288種 B.144種 C.72種 D.36種3.(2023·江蘇連云港模擬預(yù)測(cè))某航母編隊(duì)將進(jìn)行一次編隊(duì)配置科學(xué)演練,要求2艘攻擊型核潛艇一前一后,2艘驅(qū)逐艦和2艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右,每側(cè)2艘,同側(cè)不能都是同種艦艇,則艦艇分配方案的方法數(shù)為().A.16 B.32C.36 D.644.(2023·江蘇鹽城統(tǒng)考三模)為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù),踐行五育并舉,某學(xué)校開設(shè)A,B,C三門德育校本課程,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí),每位同學(xué)僅報(bào)一門,每門至少有一位同學(xué)參加,則不同的報(bào)名方法有().A.54種 B.240種C.150種 D.60種二、多選題5.下列說(shuō)法正確的是().A.從3名射擊運(yùn)動(dòng)員、2名游泳運(yùn)動(dòng)員和5名跳水運(yùn)動(dòng)員中選1名作為運(yùn)動(dòng)員代表發(fā)言,有10種選法B.將3名同學(xué)分配到3個(gè)班級(jí),每班1人,有9種不同的方案C.將3名同學(xué)分配到3個(gè)班級(jí),有27種不同的方案D.某人有3個(gè)不同的電子郵箱,他要發(fā)5封電子郵件,則有35種不同的方案6.有4名男生、3名女生排隊(duì)照相,7個(gè)人排成一排,則下列說(shuō)法正確的有().A.如果4名男生必須連排在一起,那么有720種不同排法B.如果3名女生必須連排在一起,那么有576種不同排法C.如果女生不能站在兩端,那么有1440種不同排法D.如果3名女生中任意2名均不能排在一起,那么有1440種不同排法三、填空題7.(2023·江蘇鎮(zhèn)江校考二模)某公園有如圖所示A至H共8個(gè)座位,現(xiàn)有2個(gè)男孩2個(gè)女孩要坐下休息,要求相同性別的孩子不坐在同一行也不坐在同一列,則不同的坐法總數(shù)為.

ABCDEFGH8.在生物學(xué)研究過(guò)程中,常用高倍顯微鏡觀察生物體細(xì)胞.已知某研究小組利用高倍顯微鏡觀察某葉片的組織細(xì)胞,獲得顯微鏡下局部的葉片細(xì)胞圖片,如圖所示,為了方便研究,現(xiàn)在利用甲、乙、丙、丁4種不同的試劑對(duì)A,B,C,D,E,F這6個(gè)細(xì)胞進(jìn)行染色,其中相鄰的細(xì)胞不能用同種試劑染色,且甲試劑不能對(duì)C細(xì)胞染色,則共有種不同的染色方法.(用數(shù)字作答)

四、解答題9.陽(yáng)春三月,草長(zhǎng)鶯飛;絲絳拂堤,盡飄香玉.三個(gè)家庭的3位媽媽帶著3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一條小溪時(shí),為了安全起見,他們排隊(duì)前進(jìn),三位母親互不相鄰照顧孩子;3名女孩相鄰且不排最前面也不排最后面;為了防止2名男孩打鬧,2人不相鄰,且不排最前面也不排最后面.則不同的排法共有多少種.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加某項(xiàng)競(jìng)賽,決出了第一名到第五名的5個(gè)名次.甲、乙兩人去詢問(wèn)成績(jī),組織者對(duì)甲說(shuō):“很遺憾,你和乙都未拿到冠軍.”對(duì)乙說(shuō):“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從組織者的回答分析,這5名同學(xué)的名次排列共有多少種不同的情況?11.《數(shù)術(shù)記遺》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)著作,該書記述了籌算、太乙算、兩儀算、三才