（高二數(shù)學(xué)高分突破）7.2排列（十大題型）（原卷版）

（高二數(shù)學(xué)高分突破）7.2排列（十大題型）（原卷版）（高二數(shù)學(xué)高分突破）7.2排列（十大題型）（原卷版）/（高二數(shù)學(xué)高分突破）7.2排列（十大題型）（原卷版）7．2排列課程標準學(xué)習(xí)目標(1)能通過實例,用自己的語言解釋排列的定義;能用定義判斷是不是排列問題,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．(2)能從排列的定義出發(fā)推導(dǎo)排列數(shù)公式,并能用排列數(shù)公式解決有關(guān)計數(shù)問題．(3)能綜合應(yīng)用排列的概念和公式解決簡單的實際問題．(1)理解并掌握排列的概念.(2)能應(yīng)用排列知識解決簡單的實際問題．(3)能用排列數(shù)公式進行化簡與證明．知識點01排列的概念1、排列的定義：一般地,從n個不同的元素中取出m()個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．知識點詮釋：(1)排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容,一是"取出元素”,二是"按照一定的順序排列”．(2)從定義知,只有當元素完全相同,并且元素排列的順序也完全相同時,才是同一個排列．(3)如何判斷一個具體問題是不是排列問題,就要看從n個不同元素中取出m個元素后,再安排這m個元素時是有順序還是無順序,有順序就是排列,無順序就不是排列．【即學(xué)即練1】(2024·高二課時練習(xí))下列問題是排列問題的是(

)A．從10名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽,共有多少種不同的選取方法?B．10個人互相通信一次,共寫了多少封信?C．平面上有5個點,任意三點不共線,這5個點最多可確定多少條直線?D．從1,2,3,4四個數(shù)字中,任選兩個相加,其結(jié)果共有多少種?知識點02排列數(shù)1、排列數(shù)的定義從個不同元素中,任取()個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù),用符號表示．知識點詮釋："排列”和"排列數(shù)”是兩個不同的概念,一個排列是指"從個不同的元素中,任取個元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個數(shù),而是具體的一個排列(也就是具體的一件事);2、排列數(shù)公式,其中,且．知識點詮釋：公式特征：第一個因數(shù)是,后面每一個因數(shù)比它前面一個少1,最后一個因數(shù)是,共有個因數(shù)．【即學(xué)即練2】(2024·福建·高二校聯(lián)考期末)可表示為()A． B．C． D．知識點03階乘表示式1、階乘的概念：把正整數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘．表示：,即!．規(guī)定：．2、排列數(shù)公式的階乘式：所以．【即學(xué)即練3】(2024·高二課時練習(xí))不等式的解集為．知識點04排列的常見類型與處理方法1、相鄰元素捆綁法2、相離問題插空法3、元素分析法4、位置分析法【即學(xué)即練4】(2024·全國·高二隨堂練習(xí))2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國,吸引了國內(nèi)眾多業(yè)余球隊參賽．現(xiàn)有六個參賽隊伍代表站成一排照相,如果貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰,同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰,那么不同的站法共有(

)種．A．144 B．72 C．36 D．24題型一：排列的概念【典例1-1】(2024·高二課時練習(xí))從集合中任取兩個元素,①相加可得多少個不同的和?②相除可得多少個不同的商?③作為橢圓中的a,b,可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程?④作為雙曲線中的a,b,可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程?上面四個問題屬于排列問題的是(

)A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④【典例1-2】(2024·高二課時練習(xí))下列問題是排列問題的是(

)A．10個朋友聚會,每兩人握手一次,一共握手多少次?B．平面上有2022個不同的點,且任意三點不共線,連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段?C．集合的含有三個元素的子集有多少個?D．從高三(19)班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目,有多少種選法?【變式1-1】(2024·高二課時練習(xí))已知下列問題：①從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組;②從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項活動;③從a,b,c,d四個字母中取出2個字母;④從1,2,3,4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù).其中是排列問題的有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-2】(多選題)(2024·江西新余·高二?？茧A段練習(xí))下列選項中,屬于排列問題的是(

)A．從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽,共有多少種選法B．有十二名學(xué)生參加植樹活動,要求三人一組,共有多少種分組方案C．從,,,中任選兩個數(shù)做指數(shù)運算,可以得到多少個冪D．從,,,中任取兩個數(shù)作為點的坐標,可以得到多少個不同的點【變式1-3】(2024·全國·高二專題練習(xí))判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設(shè)來回的票價相同);(2)選2個小組分別去植樹和種菜;(3)選2個小組去種菜;(4)選10人組成一個學(xué)習(xí)小組;(5)選3個人分別擔任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員;(6)某班40名學(xué)生在假期相互打電話．【方法技巧與總結(jié)】判斷一個具體問題是否為排列問題的思路題型二：畫樹形圖寫排列【典例2-1】(2024·高二課時練習(xí))寫出從a、b、c、d四個元素中任取兩個不同元素的所有排列．【典例2-2】(2024·江蘇·高二專題練習(xí))寫出下列問題的所有排列：(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù),共有多少個不同的兩位數(shù)?(2)由1,2,3,4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?試全部列出.【變式2-1】(2024·高二課時練習(xí))(1)從四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位不同的數(shù),一共可以組成多少個?(2)寫出從4個元素中任取3個元素的所有排列．【變式2-2】(2024·全國·高二課堂例題)求從A,B,C這3個對象中取出3個對象的所有排列的個數(shù),并寫出所有的排列.【變式2-3】(2024·高二課時練習(xí))從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三人,每人一本,試將所有不同的分法列舉出來．【方法技巧與總結(jié)】樹形圖的畫法(1)確定首位,以哪個元素在首位為分類標準進行確定首位．(2)確定第二位,在每一個分支上再按余下的元素,在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類．(3)重復(fù)以上步驟,直到寫完一個排列為止．題型三：簡單的排列問題【典例3-1】(2024·高二課時練習(xí))寫出從a、b、c、d、e這五個不同元素中任意取出兩個元素的所有排列．【典例3-2】(2024·高二課時練習(xí))將A、B、C、D四名同學(xué)按一定順序排成一行,要求自左向右,且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四．試寫出他們四人所有不同的排法．【變式3-1】(2024·高二課時練習(xí))(1)從1,2,3,4這4個數(shù)字中,每次取出3不同的數(shù)字排成一個三位數(shù),寫出得到的所有三位數(shù),并求出排列數(shù);(2)試寫出由1,2,3,4四個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),并求出排列數(shù).【變式3-2】(2024·高二課時練習(xí))從、、、這個數(shù)字中選出個不同的數(shù)字組成個三位數(shù),試寫出所有滿足條件的三位數(shù)．【變式3-3】(2024·高二課時練習(xí))請列出下列排列：(1)從4個不同元素中任取3個元素的所有排列;(2)從7個不同元素中任取2個元素的所有排列．【變式3-4】(2024·高二課時練習(xí))用紅、黃、藍3面小旗(3面小旗都要用)豎掛在繩上表示信號,不同的順序表示不同的信號,試寫出所有的信號．【變式3-5】(2024·全國·高二專題練習(xí))解不等式：;【方法技巧與總結(jié)】對于簡單的排列問題,其解題思路可借助分步乘法計數(shù)原理進行,即采用元素分析法或位置分析法求解．題型四：排列數(shù)公式的應(yīng)用【典例4-1】(2024·高二課時練習(xí))．【典例4-2】(2024·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模),則等于．【變式4-1】(2024·新疆巴音郭楞·高二?？计谥?已知,則.【變式4-2】(2024·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期中)已知,則．【變式4-3】(2024·高二課時練習(xí))(1)已知,那么;(2)已知,那么;(3)已知,那么．【變式4-4】(2024·高二課前預(yù)習(xí)),則.【方法技巧與總結(jié)】排列數(shù)公式的選擇(1)排列數(shù)公式的乘積形式適用于計算排列數(shù)．(2)排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題,具體應(yīng)用時注意階乘的性質(zhì),提取公因式,可以簡化計算．題型五：階乘的概念及性質(zhì)【典例5-1】(2024·江蘇·高二專題練習(xí))求不等式的解集．【典例5-2】(2024·江蘇·高二專題練習(xí))解不等式：【變式5-1】(2024·高二課時練習(xí))解關(guān)于正整數(shù)n的方程：．【變式5-2】(2024·江蘇·高二專題練習(xí))計算：(1);(2);(3)若,求x.【變式5-3】(2024·高二課時練習(xí))解下列方程或不等式．(1)(2)【方法技巧與總結(jié)】排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題,具體應(yīng)用時注意階乘的性質(zhì),提取公因式,可以簡化計算．題型六：與排列數(shù)公式有關(guān)的證明問題【典例6-1】(2024·全國·高二課堂例題)求證：．【典例6-2】(2024·江蘇·高二專題練習(xí))求證：【變式6-1】(2024·高二課時練習(xí))證明,并利用這一結(jié)果化簡：(1);(2)．【變式6-2】(2024·高二課時練習(xí))求證：．【變式6-3】(2024·高二課時練習(xí))證明,并用它來化簡．【變式6-4】(2024·高二課時練習(xí))求證：(1);(2)．【方法技巧與總結(jié)】對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形式有關(guān)的論證時,一般用階乘式．題型七：相鄰問題【典例7-1】(2024·全國·高二假期作業(yè))第19屆亞運會于2023年9月28日至10月8日在杭州舉行,本屆亞運會的吉祥物是一組名為"江南憶”的機器人："琮琮”"蓮蓮”和"宸宸”,分別代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、西湖和京杭大運河．某同學(xué)買了6個不同的吉祥物,其中"琮琮”"蓮蓮”和"宸宸”各2個,現(xiàn)將這6個吉祥物排成一排,且名稱相同的兩個吉祥物相鄰,則排法種數(shù)共為(

)A．48 B．24 C．12 D．6【典例7-2】(2024·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末),,,,五人站成一排,如果,必須相鄰,那么排法種數(shù)共有(

)A．24 B．120 C．48 D．60【變式7-1】(2024·全國·高二隨堂練習(xí))停車站劃出一排12個停車位置,今有8輛不同的車需要停放,若要求剩余的4個空車位連在一起,則不同的停車方法有()A．種 B．種C．種 D．種【變式7-2】(2024·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí))市內(nèi)某公共汽車站有6個候車位(成一排),現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個座位上候車,則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是(

)A．48 B．54 C．72 D．84【變式7-3】(2024·全國·高二專題練習(xí))2023年5月21日,中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊,實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念,其中甲、乙均不能站左端,且甲、丙必須相鄰,則不同的站法共有(

)A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【方法技巧與總結(jié)】相鄰問題捆綁法題型八：不相鄰問題【典例8-1】(2024·福建漳州·高二統(tǒng)考期末)某班聯(lián)歡會原定3個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了2個節(jié)目,現(xiàn)將這2個新節(jié)目插人節(jié)目單中,要求新節(jié)目不相鄰,那么不同的插法種數(shù)為(

)A．6 B．12 C．20 D．72【典例8-2】(2024·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末)某5位同學(xué)排成一排準備照相時,又來了甲?乙?丙3位同學(xué)要加入,若保持原來5位同學(xué)的相對順序不變,且甲?乙2位同學(xué)互不相鄰,丙同學(xué)不站在兩端,則不同的加入方法共有(

)A．360種 B．144種 C．180種 D．192種【變式8-1】(2024·全國·高二假期作業(yè))亞運會火炬?zhèn)鬟f,假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞,每人傳遞一棒,且甲不從乙手中接棒,乙不從甲手中接棒,則不同的傳遞方案共有(

)A．288種 B．360種 C．480種 D．504種【變式8-2】(2024·全國·高二假期作業(yè))五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景,在觀鳥島濕地門口五名同學(xué)排成一排照相留念,若甲與乙相鄰,丙與丁不相鄰,則不同的排法共有(

)A．12種 B．24種 C．48種 D．96種【變式8-3】(2024·全國·高二假期作業(yè))寒冬己至,大雪紛飛,峨眉山頂銀裝素裹.成實外教育集團的5位學(xué)生相約一起爬山觀景.其中位女生,位男生,在到達零公里時,為了安全起見,他們排隊前進,為了照顧大家安全,位男生不能相鄰,且女生甲怕猴子,不能排在最后一個,則不同的排法種數(shù)共有(

)A． B． C． D．【變式8-4】(2024·山東德州·高二校考期末)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任意兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(

)A．14 B．120 C．72 D．24【方法技巧與總結(jié)】不相鄰問題插空法題型九：定序問題【典例9-1】(2024·上海市金山中學(xué)高二期末)某次演出有6個節(jié)目,若甲、乙、丙3個節(jié)目的先后順序已確定,則不同的排法有____種．【典例9-2】(2024·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期末)在8所高水平的高校代表隊中,選擇5所高校進行航模表演.如果、為必選的高校,并且在航模表演過程中必須按先后的次序(、兩高校的次序可以不相鄰),則可選擇的不同航模表演順序有_______.【變式9-1】(2024·全國·高二課時練習(xí))期中安排考試科目9門,語文,數(shù)學(xué),英語三門課的前后順序已經(jīng)確定,則期中考試不同的安排順序有______種．【變式9-2】(2024·全國·高二課時練習(xí))將A,B,C,D,E這5個字母排成一列,要求A,B,C在排列中的順序為A,B,C或C,B,A(可以不相鄰),這樣的排列方法有______種.(用數(shù)字作答)【變式9-3】(2024·全國·高三專題練習(xí))如圖所示,某貨場有三堆集裝箱,每堆2個,現(xiàn)需要全部裝運,每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱,則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是____________(用數(shù)字作答).題型十：間接法【典例10-1】(2024·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末)2022年2月4日,中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎,驚艷了全球觀眾.我市某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化,特制作出"小雪”、"大雪”、"冬至”、"小寒”、"大寒”五張知識展板,分別放置在五個并排的文化櫥窗里,要求"小雪”不能放在首位,"大雪”不能在末位,且"冬至”不在正中間位置,則不同的放置方式的種數(shù)有(

)A．66 B．64 C．48 D．30【典例10-2】(2024·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末)中國古代中的"禮、樂、射、御、書、數(shù)”,合稱"六藝”."禮”主要指德育;"樂”主要指美育;"射”和"御”就是體育和勞動;"書”指各種歷史文化知識;"數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展"六藝”講座活動,每次講一藝.講座次序要求"數(shù)”不在第一次也不在第六次,"禮”和"樂”不相鄰,則"六藝”講座不同的次序共有(

)A．480種 B．336種 C．144種 D．96種【變式10-1】(2024·北京海淀·高二期末)某班周一上午共有四節(jié)課,計劃安排語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育各一節(jié),要求體育不排在第一節(jié),則該班周一上午不同的排課方案共有(

)A．24種 B．18種 C．12種 D．6種【變式10-2】(2024·全國·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末)某人根據(jù)自己愛好,希望從中選2個不同字母,從中選3個不同數(shù)字編擬車牌號,要求前3位是數(shù)字,后兩位是字母,且數(shù)字2不能排在首位,字母和數(shù)字2不能相鄰,那么滿足要求的車牌號有(

)A．198個 B．180個 C．216個 D．234個【方法技巧與總結(jié)】正難則反一、單選題1．(2024·河南·高二校聯(lián)考專題練習(xí))四名護士和一名醫(yī)生站成一排照相,則醫(yī)生站在正中間的不同站法有(

)A．64種 B．12種 C．120種 D．24種2．(2024·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末)用1,2,3,4,5,6寫出沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中,滿足相鄰的數(shù)字奇偶性不同的數(shù)有(

)個A．18 B．36 C．72 D．863．(2024·北京石景山·高二統(tǒng)考期末)用可以組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為(

)A．25 B．20 C．16 D．154．(2024·江西上饒·高二婺源縣天佑中學(xué)校考期末)"數(shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,它的游戲規(guī)則很簡單,將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里,每個空格填一個數(shù),且9個空格的數(shù)字各不相同,若中間空格已填數(shù)字4,且只填第二行和第二列,并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的,則不同的填法種數(shù)為(

)4A．70 B．120 C．140 D．1445．(2024·吉林·高二長春市第二實驗中學(xué)校聯(lián)考期末)4個人排成一排,則甲不站兩邊的站法有()A．8 B．10C．12 D．246．(2024·福建·高二校聯(lián)考期末)可表示為()A． B．C． D．7．(2024·江西·高二校聯(lián)考期末)甲、乙、丙等6人站在一起,且甲不在兩端,乙和丙之間恰有2人,則不同排法共有(

)A．108種 B．96種 C．84種 D．72種8．(2024·河南南陽·高二統(tǒng)考期末)南陽市博物院為國家二級博物館,是豫西南最大的地方綜合性博物館、文化新地標,是展示南陽悠久歷史和燦爛文化的重要窗口.南陽市博物院每周一閉館(節(jié)假日除外).某學(xué)校計劃于2024年3月4日(周一)——3月10日(周日)組織高一、高二、高三年級的同學(xué)去南陽市博物院參觀研學(xué),每天只能有一個年級參觀,其中高一年級需要連續(xù)兩天,高二、高三年級各需要一天,則不同的方案有(

)A．20種 B．50種 C．60種 D．100種二、多選題9．(2024·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末)象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲,具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營,將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子．現(xiàn)將3個紅色的"將”"車”"馬”棋子與2個黑色的"將”"車”棋子排成一列,則下列說法正確的是(

)A．共有種排列方式． B．若兩個"將”相鄰,則有種排列方式．C．若兩個"將”不相鄰,則有種排列方式． D．若同色棋子不相鄰,則有種排列方式．10．(2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí))下列等式正確的是(

)A． B．C． D．11．(2024·江蘇常州·高二常州高級中學(xué)?？计谀?2023年國外某智庫發(fā)布《尖端技術(shù)研究國家競爭力排名》的報告,涵蓋了超音速、水下無人潛航器、量子技術(shù)、人工智能、無人機等二十多個領(lǐng)域.報告顯示,中國在其中19個領(lǐng)域處于領(lǐng)先.某學(xué)生是科技愛好者,打算從這19個領(lǐng)域中選取這5個領(lǐng)域給班級同學(xué)進行介紹,每天隨機介紹其中一個領(lǐng)域,且每個領(lǐng)域只在其中一天介紹,則下列結(jié)論中正確的是(

)A．都在后3天介紹的方法種數(shù)為36B．相隔一天介紹的方法種數(shù)為36C．A不在第一天,不在最后一天介紹的方法種數(shù)為72D．A在,之前介紹