（高二數(shù)學(xué)高分突破）第9章統(tǒng)計(jì)章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

（高二數(shù)學(xué)高分突破）第9章統(tǒng)計(jì)章末題型歸納總結(jié)（原卷版）（高二數(shù)學(xué)高分突破）第9章統(tǒng)計(jì)章末題型歸納總結(jié)（原卷版）/（高二數(shù)學(xué)高分突破）第9章統(tǒng)計(jì)章末題型歸納總結(jié)（原卷版）第9章統(tǒng)計(jì)章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：線性回歸方程經(jīng)典題型二：非線性回歸方程經(jīng)典題型三：獨(dú)立性檢驗(yàn)經(jīng)典題型四：統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③特殊到一般思想模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：線性回歸方程例1．(2024·高三·上海閔行·階段練習(xí))某公司為了增加某商品的銷售利潤,調(diào)查了該商品投入的廣告費(fèi)用：(單位：萬元)與銷售利潤(單位：萬元)的相關(guān)數(shù)據(jù),如表所示,根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程,則下列命題正確的是(請?zhí)顚懶蛱?廣告費(fèi)用3458銷售利潤4578①;

②;③直線必過點(diǎn);④直線必過點(diǎn)例2．(2024·高二·江西·開學(xué)考試)商家為了解某品牌取暖器的月銷售量Y(臺)與月平均氣溫之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月該品牌取暖器的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫,其數(shù)據(jù)如下表;平均氣溫()10741月銷售量(臺)26375582由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的,當(dāng)平均氣溫為時(shí),此品牌取暖器的月銷售量為臺(結(jié)果保留整數(shù))．例3．(2024·高三·全國·專題練習(xí))某種產(chǎn)品2014年到2018年的年投資金額(萬元)與年利潤(萬元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下,由散點(diǎn)圖知,與之間的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合,已知5年利潤的平均值是4.7．年份20142015201620172018年投資金額萬元12345年利潤萬元2.42.76.47.9(1)求表中實(shí)數(shù)的值;(2)求關(guān)于的線性回歸方程．參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,．例4．(2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí))為幫助鄉(xiāng)村脫貧,某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況,測得了平均金屬含量(單位：)與樣本對原點(diǎn)的距離(單位：)的數(shù)據(jù),并作了初步處理,得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.(表中)660(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識,判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離的回歸方程類型?(2)根據(jù)(1)的結(jié)果回答下列問題：(i)建立關(guān)于的回歸方程;(ii)樣本對原點(diǎn)的距離時(shí),金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少?例5．(2024·高三·上海浦東新·階段練習(xí))環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響,在某監(jiān)測點(diǎn)統(tǒng)計(jì)每日過往的汽車流量(單位：輛)和空氣中的的平均濃度(單位：)．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù),制作了關(guān)于的散點(diǎn)圖,并用直線與將散點(diǎn)圖分成如圖所示的四個(gè)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為6,20,16,8．(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷至少有多大把握認(rèn)為"平均濃度不小于與"汽車日流量不小于1500輛”有關(guān);汽車日流量汽車日流量合計(jì)的平均濃度的平均濃度合計(jì)(2)經(jīng)計(jì)算得回歸方程為,且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差,的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．①求相關(guān)系數(shù),并判斷該回歸方程是否有價(jià)值;②若這50天的汽車日流量滿足,試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．(精確到0.1)參考公式：,其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程,其中．相關(guān)系數(shù)．若,則認(rèn)為與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．例6．(2024·廣東廣州·二模)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積與某種野生動物數(shù)量的關(guān)系,將其分成面積相近的若干個(gè)地塊,從這些地塊中隨機(jī)抽取20個(gè)作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù),其中,和,分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量(單位：只),并計(jì)算得.(1)求樣本的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并推斷這種野生動物的數(shù)量y(單位：只)和植物覆蓋面積x(單位：公頃)的相關(guān)程度;(2)已知20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量低于樣本平均數(shù),從20個(gè)樣區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè),記抽到這種野生動物數(shù)量低于樣本平均數(shù)的樣區(qū)的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.附：相關(guān)系數(shù)經(jīng)典題型二：非線性回歸方程例7．(2024·廣東廣州·一模)某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重(單位：克)與脈搏率(單位：心跳次數(shù)/分鐘)的對應(yīng)數(shù)據(jù),根據(jù)生物學(xué)常識和散點(diǎn)圖得出與近似滿足(為參數(shù)).令,,計(jì)算得,,.由最小二乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,則的值為;為判斷擬合效果,通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得預(yù)測值,若殘差平方和,則決定系數(shù).(參考公式：決定系數(shù))例8．(2024·高三·重慶·開學(xué)考試)當(dāng)前,人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展,并逐步影響我們的方方面面,人工智能被認(rèn)為是推動未來社會發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段．某公司在這個(gè)領(lǐng)域逐年加大投入,以下是近年來該公司對產(chǎn)品研發(fā)年投入額(單位：百萬元)與其年銷售量y(單位：千件)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表．12345611.53612(1)公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷售量關(guān)于年投入額的回歸分析模型,請根據(jù)已知數(shù)據(jù),確定方案①和②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(計(jì)算過程保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位,最后結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位)(2)根據(jù)下表數(shù)據(jù),用決定系數(shù)(只需比較出大小)比較兩種模型的擬合效果哪種更好,并選擇擬合精度更高的模型,預(yù)測年投入額為百萬元時(shí),產(chǎn)品的銷售量是多少?經(jīng)驗(yàn)回歸方程殘差平方和參考公式及數(shù)據(jù)：,,,,,,,,．例9．(2024·高二·黑龍江大興安嶺地·期中)碳排放是引起全球氣候變暖問題的主要原因．2009年世界氣候大會,中國做出了減少碳排放的承諾,2010年被譽(yù)為了中國低碳創(chuàng)業(yè)元年．2020年中國政府在聯(lián)合國大會發(fā)言提出：中國二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值,努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．碳中和是指主體在一定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放總量,通過植樹造林、節(jié)能減排等形式,以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放量,實(shí)現(xiàn)正負(fù)抵消,達(dá)到相對"零排放”．如圖為本世紀(jì)來,某省的碳排放總量的年度數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖．該數(shù)據(jù)分為兩段,2010年前該省致力于經(jīng)濟(jì)發(fā)展,沒有有效控制碳排放;從2010年開始,該省通過各種舉措有效控制了碳排放．用x表示年份代號,記2010年為．用h表示2010年前的的年度碳排放量,y表示2010年開始的年度碳排放量．表一：2011~2017年某省碳排放總量年度統(tǒng)計(jì)表(單位：億噸)年份2011201220132014201520162017年份代號x1234567年度碳排放量y(單位：億噸)2.542.6352.722.802.8853.003.09(1)若關(guān)于x的線性回歸方程為,根據(jù)回歸方程估計(jì)若未采取措施,2017年的碳排放量;并結(jié)合表一數(shù)據(jù),說明該省在控制碳排放舉措下,減少排碳多少億噸?(2)根據(jù),設(shè)2011~2017年間各年碳排放減少量為,建立z關(guān)于x的回歸方程．①根據(jù),求表一中y關(guān)于x的回歸方程(精確到0.001);②根據(jù)①所求的回歸方程確定該省大約在哪年實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰?參考數(shù)據(jù)：．參考公式：．例10．(2024·四川內(nèi)江·一模)某企業(yè)為響應(yīng)國家號召,匯聚科研力量,加強(qiáng)科技創(chuàng)新,準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入,為了解年研發(fā)資金投入額(單位：億元)對年盈利額(單位：億元)的影響,通過對"十二五”和"十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,建立了兩個(gè)函數(shù)模型：;,其中、、、均為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù),令,,經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：(1)請從相關(guān)系數(shù)的角度,分析哪一個(gè)模型擬合度更好?(2)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程．(系數(shù)精確到0.01)附：相關(guān)系數(shù)回歸直線中：,．例11．(2024·高三·四川成都·期末)為幫助鄉(xiāng)村脫貧,某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況,測得了平均金屬含量(單位：)與樣本對原點(diǎn)的距離(單位：m)的數(shù)據(jù),并作了初步處理,得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)理的值．(表中,)697.900.21600.1414.1226.13(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識,判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離的回歸方程類型?(2)根據(jù)(1)的結(jié)果回答下列問題：①建立關(guān)于的回歸方程;②樣本對原點(diǎn)的距離時(shí),金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少?附：對于一組數(shù)據(jù),其線性相關(guān)系數(shù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：,．例12．(2024·高三·全國·專題練習(xí))數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲,玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字,推理出所有剩余空格的數(shù)字,并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮(3×3)內(nèi)的數(shù)字均含1～9,且不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加"絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級組的比賽．參考數(shù)據(jù)：17500.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù),其經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.(1)賽前小明進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練,每天解題的平均速度y(秒/題)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān),經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型,請利用表中數(shù)據(jù),求出該回歸方程;(,用分?jǐn)?shù)表示)(2)小明和小紅玩"對戰(zhàn)賽”,每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題,先解出題的人獲勝,不存在平局,兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為,且各局之間相互獨(dú)立,設(shè)比賽X局后結(jié)束,求隨機(jī)變量X的分布列及均值．例13．(2024·高三·湖南衡陽·階段練習(xí))為了加快實(shí)現(xiàn)我國高水平科技自立自強(qiáng),某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y(單位：億元)的散點(diǎn)圖,其中年份代碼1～10分別對應(yīng)年份2013～2022.

根據(jù)散點(diǎn)圖,分別用模型①,②作為年研發(fā)投入y(單位：億元)關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型,并進(jìn)行殘差分析,得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù),計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：752.2582.54.512028.35表中,.(1)根據(jù)殘差圖,判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y(單位：億元)關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型?并說明理由;(2)(i)根據(jù)(1)中所選模型,求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(ii)設(shè)該科技公司的年利潤(單位：億元)和年研發(fā)投入y(單位：億元)滿足(且),問該科技公司哪一年的年利潤最大?附：對于一組數(shù)據(jù),,…,,其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.經(jīng)典題型三：獨(dú)立性檢驗(yàn)例14．(2024·寧夏銀川·一模)有甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績,得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30合計(jì)附：P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人,成績優(yōu)秀的概率為,則下列說法正確的是(

)A．列聯(lián)表中c的值為30,b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15,b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按97.5%的可靠性要求,能認(rèn)為"成績與班級有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按97.5%的可靠性要求,不能認(rèn)為"成績與班級有關(guān)系”例15．(2024·高二·江西九江·期末)假設(shè)有兩個(gè)變量和,它們的取值分別為和,其列聯(lián)表為(

)根據(jù)以下選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)計(jì)算的值,其中最大的一組為(

)A．B．C．D．例16．(2024·高二·山東濱州·期末)針對時(shí)下的"短視頻熱”,某高校團(tuán)委對學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人,男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的,女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立,則的最小值為()附：,附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10例17．(2024·高三·全國·專題練習(xí))2020年以來,為了抗擊新冠肺炎疫情,教育部出臺了"停課不停學(xué)”政策,全國各地紛紛采取措施,通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行教學(xué),為莘莘學(xué)子搭建學(xué)習(xí)的平臺．在線教育近幾年蓬勃發(fā)展,為學(xué)生家長帶來了便利,節(jié)省了時(shí)間,提供了多樣化選擇,滿足了不同需求,也有人預(yù)言未來的教育是互聯(lián)網(wǎng)教育．與此同時(shí),網(wǎng)課也存在以下一些現(xiàn)象,自覺性不強(qiáng)的孩子網(wǎng)課學(xué)習(xí)的效果大打折扣,授課教師教學(xué)管理的難度增大．基于以上現(xiàn)象,開學(xué)后某學(xué)校對本校課學(xué)習(xí)情況進(jìn)行抽樣調(diào)查,抽取25名女生,25名男生進(jìn)行測試、問卷等,調(diào)查結(jié)果形成以下2×2列聯(lián)表,通過數(shù)據(jù)分析,認(rèn)為認(rèn)真參加網(wǎng)課與學(xué)生性別之間(

)認(rèn)真上網(wǎng)課不認(rèn)真上網(wǎng)課合計(jì)男生52025女生151025合計(jì)203050參考數(shù)據(jù)：0.050.010.0013.8416.63510.828A．不能根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)B．根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)C．根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)D．根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者無關(guān)經(jīng)典題型四：統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用例18．(2024·高二·福建漳州·期中)某工廠引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備,為對其進(jìn)行評估,從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到下表：直徑/mm5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計(jì)算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率的估計(jì)值.(1)為評估設(shè)備對原材料的利用情況,需要研究零件中某材料含量和原料中的該材料含量之間的相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)取了8對觀測值,求與的線性回歸方程.(2)為評判設(shè)備生產(chǎn)零件的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判(表示相應(yīng)事件的概率);①;②;③.評判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式,則設(shè)備等級為甲;僅滿足其中兩個(gè),則等級為乙;若僅滿足其中一個(gè),則等級為丙;若全部不滿足,則等級為丁,試判斷設(shè)備的性能等級.(3)將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品．從樣本中隨意抽取2件零件,再從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件,計(jì)算其中次品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望.附：①對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為,;②參考數(shù)據(jù)：,,,.例19．(2024·高三·廣東深圳·期中)紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一,能對柚子樹造成嚴(yán)重傷害,每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))和平均溫度x(℃)有關(guān),現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù),得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與(其中…為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))關(guān)于平均溫度x(℃)的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)由(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸方程.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)附：回歸方程中,,參考數(shù)據(jù)()5215177137142781.33.6(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì),得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%,對柚子產(chǎn)量影響不大,不需要采取防蟲措施;平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%,柚子產(chǎn)量會下降20%;平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%,柚子產(chǎn)量會下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害,農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.在每年價(jià)格不變,無蟲害的情況下,某果園年產(chǎn)值為200萬元,根據(jù)以上數(shù)據(jù),以得到最高收益(收益＝產(chǎn)值－防害費(fèi)用)為目標(biāo),請為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案,并說明理由.方案1：選擇防害措施A,可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn),費(fèi)用是18萬;方案2：選擇防害措施B,可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害,但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害,費(fèi)用是10萬;方案3：不采取防蟲害措施.例20．(2024·福建·模擬預(yù)測)為了解學(xué)生中午的用穊方式(在食堂就餐或點(diǎn)外賣)與最近食堂間的距離的關(guān)系,某大學(xué)于某日中午隨機(jī)調(diào)查了2000名學(xué)生,獲得了如下頻率分布表(不完整)：學(xué)生與最近食堂間的距離合計(jì)在食堂就餐0.150.100.000.50點(diǎn)外賣0.200.000.50合計(jì)0.200.150.001.00并且由該頻率分布表,可估計(jì)學(xué)生與最近食堂間的平均距離為(同一組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表).(1)補(bǔ)全頻率分布表,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān)(當(dāng)學(xué)生與最近食堂間的距離不超過時(shí),認(rèn)為較近,否則認(rèn)為較遠(yuǎn))：(2)已知該校李明同學(xué)的附近有兩家學(xué)生食堂甲和乙,且他每天中午都選擇食堂甲或乙就餐.(i)一般情況下,學(xué)生更愿意去飯菜更美味的食堂就餐.某日中午,李明準(zhǔn)備去食堂就餐.此時(shí),記他選擇去甲食堂就餐為事件,他認(rèn)為甲食堂的飯菜比乙食堂的美味為事件,且、均為隨機(jī)事件,證明：：(ii)為迎接為期7天的校慶,甲食堂推出了如下兩種優(yōu)惠活動方案,顧客可任選其一.①傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案：校慶期間,顧客任意一天中午去甲食堂就餐均可獲得元優(yōu)惠;②"饑餓型”優(yōu)惠方案：校慶期間,對于顧客去甲食堂就餐的若干天(不必連續(xù))中午,第一天中午不優(yōu)惠(即"饑餓”一天),第二天中午獲得元優(yōu)惠,以后每天中午均獲得元優(yōu)惠(其中,為已知數(shù)且).校慶期間,已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均為(),且是否去甲食堂就餐相互獨(dú)立.又知李明是一名"激進(jìn)型”消費(fèi)者,如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望不一樣,他傾向于選擇能獲得優(yōu)惠期望更大的方案,如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望一樣,他傾向于選擇獲得的優(yōu)惠更分散的方案.請你據(jù)此幫他作出選擇,并說明理由.附：,其中.0.100.0100.0012.7066.63510.828例21．(2024·全國·模擬預(yù)測)某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號12345678910數(shù)學(xué)成績100999693908885838077知識競賽成績29016022020065709010060270學(xué)生編號11121314151617181920數(shù)學(xué)成績75747270686660503935知識競賽成績4535405025302015105計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績的平均值是,知識競賽成績的平均值是,并且,,．(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到)．(2)設(shè),變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為,其中兩兩不相同,兩兩不相同．記在中的排名是第位,在中的排名是第位,．定義變量和變量的"斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(記為)為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù)．(i)記,．證明：．(ii)用(i)的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的"斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(精確到)．(3)比較(1)和(2)(ii)的計(jì)算結(jié)果,簡述"斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢．注：參考公式與參考數(shù)據(jù)．;;．例22．(2024·湖南益陽·模擬預(yù)測)為了研究學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況,某課題組在某市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績和平時(shí)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況,并繪制了下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表,圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖,圖2為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績在110分及以上視為優(yōu)秀,將一個(gè)星期有4天及以上整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題視為"經(jīng)常整理”,少于4天視為"不經(jīng)常整理”.已知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中,經(jīng)常整理錯(cuò)題的學(xué)生占.數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常整理不經(jīng)常整理合計(jì)(1)求圖1中的值以及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù);(2)根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù),補(bǔ)全上方列聯(lián)表,并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題是否有關(guān)?(3)用頻率估計(jì)概率,在全市中學(xué)生中按"經(jīng)常整理錯(cuò)題”與"不經(jīng)常整理錯(cuò)題”進(jìn)行分層抽樣,隨機(jī)抽取5名學(xué)生,再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談.求這2名同學(xué)中經(jīng)常整理錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：例23．(2024·吉林·三模)2022年11月20日,卡塔爾足球世界杯正式開幕,世界杯上的中國元素隨處可見．從體育場建設(shè)到電力保障,從賽場內(nèi)的裁判到賽場外的吉祥物都是中國制造,為卡塔爾世界杯提供了強(qiáng)有力的支持．國內(nèi)也再次掀起足球熱潮．某地足球協(xié)會組建球隊(duì)參加業(yè)余比賽,該足球隊(duì)教練組為了考查球員甲對球隊(duì)的貢獻(xiàn),作出如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)(甲參加過的比賽均分出了輸贏)：球隊(duì)輸球球隊(duì)贏球總計(jì)甲參加23032甲未參加81018總計(jì)104050(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為該球隊(duì)贏球與甲球員參賽有關(guān)聯(lián);(2)從該球隊(duì)中任選一人,A表示事件"選中的球員參賽”,B表示事件"球隊(duì)輸球”．與的比值是選中的球員參賽對球隊(duì)貢獻(xiàn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo),記該指標(biāo)為R．①證明：;②利用球員甲數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),給出,的估計(jì)值,并求出R的估計(jì)值．附：．參考數(shù)據(jù)：a0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想例24．(2024·河南·校聯(lián)考三模)某企業(yè)對目前銷售的四種產(chǎn)品進(jìn)行改造升級,經(jīng)過改造升級后,企業(yè)營收實(shí)現(xiàn)翻番,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該企業(yè)升級前后四種產(chǎn)品的營收占比,得到如下餅圖：下列說法不正確的是(

)A．產(chǎn)品升級后,產(chǎn)品的營收是升級前的4倍B．產(chǎn)品升級后,產(chǎn)品的營收是升級前的2倍C．產(chǎn)品升級后,產(chǎn)品的營收減少D．產(chǎn)品升級后,產(chǎn)品營收的總和占總營收的比例不變例25．(2024·山東青島·高二山東省青島第一中學(xué)?？计谥?下圖是某地區(qū)2009年至2018年芯片產(chǎn)業(yè)投資額(單位：億元)的散點(diǎn)圖,為了預(yù)測該地區(qū)2019年的芯片產(chǎn)業(yè)投資額,建立了與時(shí)間變量的四個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2009年至2018年的數(shù)據(jù)建立模型①;根據(jù)2010年至2017年的數(shù)據(jù)建立模型②;根據(jù)2011年至2016年的數(shù)據(jù)建立模型③;根據(jù)2014年至2018年的數(shù)據(jù)建立模型④．則預(yù)測值更可靠的模型是(

)A．① B．② C．③ D．④例26．(2024·貴州·高三統(tǒng)考期末)某校從2011年到2018年參加"北約”,"華約”考試而獲得加分的學(xué)生(每位學(xué)生只能參加"北約”,"華約”一種考試)人數(shù)可以通過以下表格反映出來．(為了方便計(jì)算,將2011年編號為1,2012年編號為2,依此類推……)年份x12345678人數(shù)y23447766(1)據(jù)悉,該校2018年獲得加分的6位同學(xué)中,有1位獲得加20分,2位獲得加15分,3位獲得加10分,從該6位同學(xué)中任取兩位,記該兩位同學(xué)獲得的加分之和為X,求X的分布列及期望．(2)根據(jù)最近五年的數(shù)據(jù),利用最小二乘法求出y與x之間的線性回歸方程,并用以預(yù)測該校2019年參加"北約”,"華約”考試而獲得加分的學(xué)生人數(shù)．(結(jié)果要求四舍五入至個(gè)位)參考公式：②轉(zhuǎn)化與化歸思想例27．(2024·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測)某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加,它的使用功能逐漸減退,使用價(jià)值逐年減少,通常把它使用價(jià)值逐年減少的"量”換算成費(fèi)用,稱之為"失效費(fèi)”．某種機(jī)械設(shè)備的使用年限(單位：年)與失效費(fèi)(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限(單位：年)24568失效費(fèi)(單位：萬元)34567(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計(jì)算與的相關(guān)系數(shù),并說明與的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱．(已知：,則認(rèn)為與線性相關(guān)性很強(qiáng);,則認(rèn)為與線性相關(guān)性一般;,則認(rèn)為與線性相關(guān)性較弱)(r的結(jié)果精確到0.0001)(2)求關(guān)于的線性回歸方程,并估算該種機(jī)械設(shè)備使用10年的失效費(fèi)．,,．例28．(2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末)如圖是某地區(qū)2000年至2019年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2019年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為,,,)建立模型①：;根據(jù)2010年至2019年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為,,,)建立模型②：．(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由．例29．(2024·陜西西安·高二西安中學(xué)校考期中)隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生．某市場研究人員為了了解共享單車運(yùn)營公司的經(jīng)營狀況,對該公司最近六個(gè)月(20