新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單+鞏固練習(xí)專題06 三角函數(shù)的概念與公式（原卷版）

第第頁(yè)專題06三角函數(shù)的概念與公式一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1任意角與弧度制1、角的概念（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．（2）象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．這樣，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．（3）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2、弧度制定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2知識(shí)點(diǎn)2任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，記作sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線知識(shí)點(diǎn)3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式1、平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.2、商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).3、基本關(guān)系式的幾種變形（1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．（2）(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.（3）sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).4、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名改變，符號(hào)看象限函數(shù)名不變，符號(hào)看象限“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的奇、偶是指π/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。知識(shí)點(diǎn)4三角恒等變換公式1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβS(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβS(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβT(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保證tanα，tanβ，tan(α±β)都有意義．2、二倍角公式S2αsin2α＝2sinαcosα；變形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；變形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)3、輔助角公式一般地，函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).一、確定角SKIPIF1<0終邊所在象限的方法法1分類討論法：利用已知條件寫(xiě)出SKIPIF1<0的范圍（用SKIPIF1<0表示），由此確定SKIPIF1<0的范圍，在對(duì)SKIPIF1<0進(jìn)行分類討論，從而確定SKIPIF1<0所在象限。法2幾何法：先把各象限分為SKIPIF1<0等份，再?gòu)腟KIPIF1<0軸的正方向的上方起，逆時(shí)針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四……則SKIPIF1<0原來(lái)是第幾象限的角，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域即角SKIPIF1<0終邊所在的區(qū)域?！镜淅?】（多選）如果α是第三象限的角，那么SKIPIF1<0可能是下列哪個(gè)象限的角（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【典例2】（多選）如果SKIPIF1<0是第四象限角，那么SKIPIF1<0可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【典例3】（多選）若SKIPIF1<0是第二象限角，則（）A．SKIPIF1<0是第一象限角B．SKIPIF1<0是第一或第三象限角C．SKIPIF1<0是第二象限角D．SKIPIF1<0是第三象限角或SKIPIF1<0是第四象限角或SKIPIF1<0的終邊在y軸負(fù)半軸上二、三角函數(shù)的定義中常見(jiàn)的三種題型及解決辦法1、已知角SKIPIF1<0的終邊上一點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，求角SKIPIF1<0的三角函數(shù)值方法：先求出點(diǎn)SKIPIF1<0到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。2、已知角SKIPIF1<0的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角SKIPIF1<0有關(guān)的三角函數(shù)值方法：先求出點(diǎn)SKIPIF1<0到原點(diǎn)的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問(wèn)題。3、已知角的終邊所在的直線方程（SKIPIF1<0），求角的三角函數(shù)值方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)SKIPIF1<0，求出點(diǎn)SKIPIF1<0到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解，注意SKIPIF1<0的符號(hào)，對(duì)SKIPIF1<0進(jìn)行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫(xiě)出角SKIPIF1<0的三角函數(shù)值?！镜淅?】已知SKIPIF1<0為角α終邊上一點(diǎn)，則SKIPIF1<0=．【典例2】如果角SKIPIF1<0的終邊在直線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】在平面直角坐標(biāo)系中，角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與SKIPIF1<0軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值可以是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<01C．0D．SKIPIF1<02三、對(duì)sinα，cosα，tanα的知一求二問(wèn)題1、知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1求解2、知弦求切：常通過(guò)平方關(guān)系，與對(duì)稱式sinα±cosα，sinα·cosα建立聯(lián)系，注意tanα＝eq\f(sinα,cosα)的靈活應(yīng)用3、知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方關(guān)系求解【典例1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0.四、已知tanα求sinα，cosα齊次式中“切弦互化”的技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值．常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)有：（1）sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的問(wèn)題常采用“切”代換法求解；（2）sinα，cosα的齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的問(wèn)題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般單獨(dú)出現(xiàn)正切的時(shí)候，采用此技巧．【典例1】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【典例2】已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【典例3】已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是．五、sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．【典例1】已知SKIPIF1<0，A為第四象限角，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列結(jié)果正確的是（）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】已知SKIPIF1<0為第三象限角，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0五、利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟eq\x(\a\al(任意負(fù)角,的三角函,數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式)),\s\do8(三或一))eq\x(\a\al(任意正角,的三角函,數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式一)))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三角,函數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式二)),\s\do8(或四或五))eq\x(\a\al(銳角三,角函數(shù)))也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了”．【典例1】點(diǎn)SKIPIF1<0位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【典例2】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝.【典例3】已知SKIPIF1<0為第三象限角，SKIPIF1<0=.七、給值求值問(wèn)題的求解策略1、“給值求值”關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用;②變換待求式，便于將已求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.2、“湊配角”：用已知角和特殊角將所求角表示出來(lái)，例如：等.【典例1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為．【典例2】已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【典例3】已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是.八、給值求角問(wèn)題的求解策略“給值求角”實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為“給值求值”.解決此類題的關(guān)鍵是：（1）求值：求出所求角的某種三角函數(shù)值.（2）界定范圍：根據(jù)題設(shè)（隱含條件）確定所求角的取值范圍.（3）求角：由所得函數(shù)值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及角的取值范圍確定角的大小.【典例1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是.【典例2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個(gè)根，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0九、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則【注意】化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常見(jiàn)方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等．【典例1】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】化簡(jiǎn)SKIPIF1<0的結(jié)果是（）A．1B．SKIPIF1<0C．2D．SKIPIF1<0【典例3】SKIPIF1<0等于（）A．1B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)任意角的理解不到位點(diǎn)撥：根據(jù)任意角的定義，順時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角?！镜淅?】喜洋洋從家步行到學(xué)校，一般需要10分鐘，則10分鐘時(shí)間鐘表的分針走過(guò)的角度是（）A．30°B．﹣30°C．60°D．﹣60°【典例2】教室里的鐘表慢了30分鐘，在同學(xué)將它校正的過(guò)程中，時(shí)針需要旋轉(zhuǎn)多少弧度?（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0易錯(cuò)點(diǎn)2三角函數(shù)定義中，忽略點(diǎn)坐標(biāo)值的正負(fù)點(diǎn)撥：在應(yīng)用三角函數(shù)定義時(shí)，要注意對(duì)參數(shù)正負(fù)進(jìn)行討論?！镜淅?】已知角SKIPIF1<0的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例2】（多選）已知角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊上的一點(diǎn)為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則下列各式一定為負(fù)值的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0易錯(cuò)點(diǎn)3忽略角所在的象限點(diǎn)撥：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求三角函數(shù)值時(shí)，要注意角所在的象限，從而確定三角函數(shù)值的符號(hào)。【典例1】若s