8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)第一課時(shí)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(第一課時(shí))利用最小二乘法和成對樣本數(shù)據(jù)估計(jì)一元線性回歸模型Y=bx+a+e中的參數(shù)a和b；了解最小二乘法的原理，能利用該原理推導(dǎo)參數(shù)估計(jì)值的計(jì)算公式.提出問題確定研究變量收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖建立回歸模型做出預(yù)報(bào)(一元線性回歸模型)定相關(guān)關(guān)系計(jì)算r求解回歸直線方程y=bx+a(估計(jì)參數(shù)a,b)思考1：如何從散點(diǎn)圖中尋找到一條適當(dāng)?shù)闹本€，使得這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最接近方案1：先畫出一條直線，測量出各點(diǎn)與直線的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離的和最小的位置.測量出此時(shí)的斜率和截距，就可得到一條直線，如圖.方案2：在圖中選擇兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線，如圖.方案3：在散點(diǎn)圖中多取幾對點(diǎn)，確定出幾條直線的方程，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距.上面這些方法雖然有一定的道理，但比較難操作，我們需要另辟蹊徑.先進(jìn)一步明確我們面臨的任務(wù):從成對樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”.通常，我們會(huì)想到利用點(diǎn)到直線y=bx+a的“距離”來刻畫散點(diǎn)與該直線的接近程度，然后用所有“距離”之和刻畫所有樣本觀測數(shù)據(jù)與該直線的接近程度.思考2：如何利用成對樣本數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”析：可令n個(gè)樣本點(diǎn)與直線的豎直距離之和最小y=bx+a問題分析——利用樣本數(shù)據(jù)尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€最小二乘法設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(x1,

y1),(x2,

y2),???,(xn,

yn),由yi=bxi+a+ei(i=1,2,???,n)，得顯然|ei|越小，表示點(diǎn)(xi,

yi)與點(diǎn)(xi,

bxi+a)的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小，如右圖所示.特別地，當(dāng)ei=0時(shí)，表示點(diǎn)(xi,

yi)在這條直線上.因此，可以用這n個(gè)豎直距離之和來刻畫各樣本觀測數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的“整體接近程度”.在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)榻^對值使得計(jì)算不方便，所以人們通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和來刻畫“整體接近程度”.所以我們可以取使Q達(dá)到最小的a和b的值作為截距和斜率的估計(jì)值.綜上，當(dāng)a,b的取值為時(shí)，Q達(dá)到最小.經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘估計(jì)：我們將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.

這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，利用公式(2)求得的

叫做b,a的最小二乘估計(jì).這里的“二乘”是平方的意思.問題解決——最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸方程圖形推導(dǎo)編號1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182

含義2：父親身高為176cm的所有兒子身高的均值的估計(jì)值為177cm.

斜率可以解釋為父親身高每增加1cm，其兒子身高平均增加0.839cm.含義1：由方程作出推測，當(dāng)父親身高為176cm時(shí)，兒子身高一般在177cm左右.高個(gè)子父親有生高個(gè)子兒子的趨勢，矮個(gè)子父親有生矮個(gè)子兒子的趨勢，思考5：分析案例中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得到什么結(jié)論？

兒子身高有向平均身高回歸的趨勢英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓把這種后代身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”(自閱課本P122-123了解“回歸的含義”)商店名稱ABCDE銷售額x/千萬元35679利潤額y/百萬元23345例1某連鎖經(jīng)營公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表:(1)畫出銷售額和利潤額的散點(diǎn)圖；(2)計(jì)算利潤額y對銷售額x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程.解：(1)散點(diǎn)圖如下:∴所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為解1：(2)商店名稱ABCDE銷售額x/千萬元35679利潤額y/百萬元23345∴所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為解2：(2)商店名稱ABCDE銷售額x/千萬元35679利潤額y/百萬元23345x(s)5101520304050607090120y(μm)610101316171923252946

例2在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕刻線試驗(yàn)，得到腐蝕深度y(μm)與腐蝕時(shí)間x(s)之間的一組觀察值如表.(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測時(shí)間為100s時(shí)腐蝕深度為多少．解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示，x(s)5101520304050607090120y(μm)610101316171923252946∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為解：(3)根據(jù)(2)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)腐蝕時(shí)間為100s時(shí)，即腐蝕時(shí)間為100s時(shí)腐蝕深度為約35.76μm.x123456y021334練1

已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：則y對x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)__________.父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm175175176177177C練2為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對身高數(shù)據(jù)如下:則y對x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為().年份x20162017201820192020儲(chǔ)蓄存款額y/千億元567810

練習(xí)3

某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，該地一銀行連續(xù)五年年底的儲(chǔ)蓄存款情況如下表所示.為了計(jì)算方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，令t＝x－2015，z＝y(tǒng)－5，得到下表.t12345z01235(1)求z關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)用所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測到2022年年底，該地此銀行儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)到多少？(1)求z關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)用所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測到2022年年底，該地此銀行儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)到多少？t12345z01235解：∴z關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為∴預(yù)測到2022年年底，該地此銀行儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)到12千億元.求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟：殘差=觀測值－預(yù)報(bào)值對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的)稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.殘差分析：例如，對于下表中的第6個(gè)觀測，父親身高為172cm，其兒子身高的觀測值為y6=176(cm)，預(yù)測值為殘差為176-173.265=2.735(cm).編號1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182類似地，我們還可以得到其他的殘差，如下表所示.父親身高x174170173169182172180172168166182173164180兒子身高觀測值yi176176170170185176178174170168178172165182174.943171.587174.104170.748181.655173.265179.977173.265169.909168.231181.655174.104166.553179.9771.0574.413-4.104-0.7483.3452.735-1.9770.7350.091-0.231-3.655-2.104-1.5532.023為了使數(shù)據(jù)更加直觀，用父親身高作為橫坐標(biāo)，殘差作為縱坐標(biāo)，可以畫出殘差圖，如圖下所示.殘差圖：012345-1-2-3-4-5160165170175180185殘差/cm父親身高/cm??????????????觀判斷模型是否滿足一元線性回歸模型的假設(shè).

一般地，建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程后，通常需要對模型刻畫數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析.借助殘差分析還可以對模型進(jìn)行改進(jìn)，使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測與決策.觀察殘差的散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊.說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定，是均值為0、方差為σ2的隨機(jī)變量的觀測值.可見，通過觀察殘差圖可以直2.殘差的作用：判斷回歸模型刻畫數(shù)據(jù)的效果；發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，對模型進(jìn)行改進(jìn)，使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測與決策.1.殘差分析途徑：列殘差表、作殘差圖.以殘差為縱坐標(biāo)，以樣本編號(或x)為橫坐標(biāo).若存在某幾個(gè)樣本點(diǎn)的殘差絕對值較大，則為可以數(shù)據(jù)，需予以糾正或剔除，再重新建立回歸模型.殘差圖：殘差有正有負(fù)，比較均勻地分布在橫軸的兩邊，說明殘差比較符合一元線性回歸模型中對于隨機(jī)誤差的假定帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，殘差絕對值越小，且較均勻地落在橫軸附近，說明回歸方程預(yù)報(bào)的精度越高.

殘差與觀測時(shí)間有線性關(guān)系，應(yīng)將時(shí)間變量納入模型殘差與觀測時(shí)間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部分殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨觀測時(shí)間的變大而變大殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，滿足一元線性回歸模型對隨機(jī)誤差的假設(shè).練習(xí)1.已知兩個(gè)線性相關(guān)變量與的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：x3456y2.534m

殘差的概念回歸直線過樣本點(diǎn)中心B練習(xí)2.2020年初，新型冠狀病毒引起的肺炎疫情爆發(fā)以來，各地醫(yī)療機(jī)構(gòu)采取了各種針對性的治療方法，取得了不錯(cuò)的成效，某醫(yī)療機(jī)構(gòu)開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如下表所示：第x周12345治愈人數(shù)y(單位：十人)38101415

BP113-例.經(jīng)驗(yàn)表明，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)(如下表)，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.編號123456789101112胸徑d/cm18.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.2樹高h(yuǎn)/m18.819.22