2023-2024學(xué)年福建省福州市高一下學(xué)期7月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試（含答案）

2023-2024學(xué)年福建省福州市高一下學(xué)期7月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題第Ⅰ卷選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則為（

）A．16 B．25C．4 D．52.已知向量，，則（

）A．0 B．1C．-1 D．-33．設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，則以下列結(jié)論中一定正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則從1，3，5，7這4個數(shù)中隨機取出2個不同的數(shù)，則的概率為（

）A． B．C． D．5.《九章算術(shù)》中將正四梭臺（上?下底面均為正方形）稱為“方亭”.現(xiàn)有一方亭，上底面邊長為2，下底面邊長為4，側(cè)棱與下底面所成的角為，則此方亭的體積為（

）A． B．C． D．

6．函數(shù)的大致圖象為（

）A．B．C．D．7．如圖，某觀察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條公路走向是南偏東40°，在B處測得公路上距B處7km的C處有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到達(dá)D處，此時B，D間的距離為km．要達(dá)到A城，這個人還要走（

）

A．6km B．kmkmD．7km在平面四邊形中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當(dāng)四面體的體積最大時，點O到平面ABD的距離為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)B．的對稱軸是C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的最小值是10．在12張卡片上分別寫上數(shù)字1～12，從中隨機抽出一張，記抽出的卡片上的數(shù)字為，甲表示事件“為偶數(shù)”，乙表示事件“為質(zhì)數(shù)”，丙表示事件“能被3整除”，丁表示事件“”，則（

）A．甲與丙為互斥事件 B．乙與丁相互獨立C．丙與丁相互獨立 D．甲乙乙丙）11.已知棱長為2m的正方體中，下列結(jié)論中正確的是（

）A.若點P在線段上運動，異面直線AP與所成的角范圍為B．若點在線段上運動，m C．若將正方體視為容器（容器厚度忽略不計），則底面直徑為2.4m，高為0.01m的圓柱體能被整體放入該容器 D.若點P在的內(nèi)部及邊界上運動，且m,則動點P的軌跡長為m第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．一個容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為.13．2009年9月，經(jīng)聯(lián)合國教科文組織批準(zhǔn)，中國傳統(tǒng)節(jié)日端午節(jié)正式列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，同時，端午節(jié)成為中國首個入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的節(jié)日．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在端午節(jié)期間組織有關(guān)端午節(jié)文化知識競賽活動，某班甲、乙兩人組成“粽隊”參加競賽活動，每輪活動由甲、乙各回答一個問題，已知每輪活動中甲、乙答對問題的概率分別為和，且每輪活動中甲、乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．則甲在兩輪活動中答對1個問題的概率為，“粽隊”在兩輪活動中答對三個問題的概率為．在長方形ABCD中，，，點E，F(xiàn)分別為邊BC和CD上兩個動點（含端點），且，設(shè)，，則的最小值為.四、解答題：共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（本小題滿分13分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求；(2)若為邊的中點，且，求的值.（本小題滿分15分）已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，且，是棱上的點.（1）求證：平面平面；（2）若平面，求的值.（本小題滿分15分）2020年1月15日教育部制定出臺了“強基計劃”，2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃，強基計劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，?？歼^程中通過筆試，進(jìn)入面試環(huán)節(jié).現(xiàn)隨機抽取了100名同學(xué)的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為，第一組和第五組的頻率相同．求，的值，并估計這100名同學(xué)面試成績的平均數(shù)；已知樣本落在第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為64和20，落在第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為82和50，求樣本中這兩組面試成績的方差；(3)在第四、第五兩組中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自不同組的概率．（本小題滿分17分）如圖，直三棱柱中，，，點是中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值．（本小題滿分17分）已知函數(shù)的定義域為，如果存在區(qū)間，使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個和諧區(qū)間．（1）直接寫出函數(shù)的所有和諧區(qū)間；（2）若區(qū)間是函數(shù)的一個和諧區(qū)間，求實數(shù)的值；（3）若函數(shù)存在和諧區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍．高一年級（數(shù)學(xué)）評分細(xì)則單項選擇題（每小題5分，共40分）題號12345678答案DABBCDAA二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）題號91011答案ABCCDBCD填空題（每小題5分，共15分）12.1813./13./10.375(第一空2分，第二空3分）14.50四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題滿分13分）【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）解：因為，由正弦定理可得，…………2分即，,……4分又因為，所以，解得，又因為，所以…………………6分（2）解：因為為邊的中點，，所以,設(shè),在中，由正弦定理可得，即，解得，又因為，所以，，…………8分

在中，，…………9分在中，，由余弦定理可得：，……………12分所以，即.…………13分16.（本小題滿分15分）【正確答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】(1)證明：因為，所以，又，所以.…………1分過C作交AB于點H,連接AC,…………3分又因為平面，平面，所以.…………4分又因為，所以平面.……………6分（備注：沒寫，扣1分）又平面，所以平面平面.…………8分連接BD交AC于E點，連接ME…………11分（備注：答題卡上無輔助線扣1分）…………12分…………14分…………15分17.（本小題滿分15分）【正確答案】(1)，；平均數(shù)69.5(2)(3)【詳解】（1）由題意可知：，，解得，；…………3分由直方圖知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05所以平均數(shù)：…………5分（2）設(shè)第二組、第四組面試者的面試成績的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，…………6分則第二組和第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)，……7分第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差為故估計第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差是；…………9分（3）根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為，故在和中分別選取4人和1人，分別設(shè)為和，……………10分則在這5人中隨機抽取兩個的樣本空間包含的樣本點有：共10個，即，…………12分記事件“兩人來自不同組”，則事件包含的樣本點有共4個，即，…………………14分所以.答:選出的兩人來自不同組的概率為.…………15分18.（本小題滿分17分）【正確答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）．【詳解】解：（1）證明：，是中點，，……1分又在直三棱柱中，平面，平面，，…………3分又，平面，平面，平面．…5分

（備注：沒寫，扣1分）

證明：連接，交于點，連接，…………6分（備注：答題卡上無輔助線扣1分）、分別是、的中點，是的中位線，，………………8分平面，平面，平面.…………10分（備注：沒寫平面扣1分）解：連，交于點，分別取、中點、，連接、、，四邊形是正方形且、分別是、的中點，故，在中，，，，，…………11分又，分別是，中點且，，又在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，，，平面，平面，平面，…………12分平面，平面，，，又，，平面，平面，平面，…………13分平面，，又平面平面就是二面角的平面角…………14分，

設(shè)，則在中，，，…………15分故，…………16分故，即二面角的余弦值為.…………17分（備注：答題卡中沒有做出二面角的平面角的輔助線扣1分）19.（本小題滿分17分）【正確答案】（1），，；（2）或2；（3）.【詳解】（1）函數(shù)是增函數(shù)，定義域為，令，解得或，故函數(shù)的所有“和諧區(qū)間”為、、…………3分（備注：每寫出1個區(qū)間分別給1分）（2）因為，所以，…………4分因為為函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”，所以可令，解得或，………5分如圖所示，繪出函數(shù)圖像：結(jié)合“和諧區(qū)間”的定義易知，當(dāng)時滿足題意，因為，所以當(dāng)時，，滿足題意，故的值為或2.…………7分（3）①當(dāng)時，在上時單調(diào)遞減函數(shù)，由題意有，得，因為，所以，…………8分且,即，解得舍去，或，.由，得，所以當(dāng)時，和諧區(qū)間為．………1