新北師大版八年級數(shù)學上冊第一章《勾股定理的應(yīng)用》教案

第一章勾股定理

3勾股定理的應(yīng)用

一、學情與教材分析

1.學情分析

本節(jié)將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，其中需要學生了

解空間圖形、對一些空間圖形進行展開、折疊等活動.學生在學習七年級上第一

章時對生活中的立體圖形已經(jīng)有了一定的認識，并從事過相應(yīng)的實踐活動，因而

學生已經(jīng)具備解決本課問題所需的知識基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗基礎(chǔ).

2.教材分析

本節(jié)是義務(wù)教育課程標準北師大版實驗教科書八年級（上）第一章《勾股定

理》第3節(jié).具體內(nèi)容是運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題.當然，

在這些具體問題的解決過程中，需要經(jīng)歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、

操作等實踐活動，這些都有助于培養(yǎng)學生的空間觀念、發(fā)展學生的分析問題、解

決問題能力和應(yīng)用意識；一些探究活動具體一定的難度，需要學生相互間的合作

交流，有助于發(fā)展學生合作交流的能力.

二、教學目標

1.能運用勾股定理及直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）解決簡單

的實際問題.

2.在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及

滲透數(shù)學建模的思想.

3.在利用勾股定理解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學學習的實用性.

三、教學重難點

教學重點：探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解

決生活實際問題.

教學難點：利用數(shù)學中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理,

解決實際問題.

四、教法建議

1.教學方法

引導一探究一歸納

本節(jié)課的教學對象是初二學生，他們的參與意識教強，思維活躍，為了實現(xiàn)

本節(jié)課的教學目標，我力求以下三個方面對學生進行引導：

（1）從創(chuàng)設(shè)問題情景入手，通過知識再現(xiàn)，孕育教學過程；

（2）從學生活動出發(fā)，順勢教學過程；

（3）利用探索研究手段，通過思維深入，領(lǐng)悟教學過程.

2.課前準備

教具：教材、電腦、多媒體課件.

學具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習本、文具.

五、教學設(shè)計

（一）課前設(shè)計

1.預(yù)習任務(wù)

根據(jù)課本P13的圖1T1,自己做一個圓柱，嘗試從點A到點B沿著圓柱畫幾條

路線，你覺得哪條最短呢？（拍照所做的圓柱和上面畫線的圖片上傳）

想一想，什么情況下點A的螞蟻沿著圓柱側(cè)面到達點B所爬行的路徑最短呢？像

圖1-12一樣展開并測量最短路徑？如果不展開，你能直接計算最短路徑嗎？（拍

照上傳測量的結(jié)果和計算過程）

2.預(yù)習自測

一、選擇題

1.如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距8米，一棵樹樹高13米，另一棵樹高7米，一

只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛（）

8m1

A.8米B.9米C.10米D.11米

答案：C

解析:如圖所示，AB,CD為樹,且AB=13,CD=8,BD為兩樹距離12米,

過C作CE_LAB于E,則CE=BD=8,AE=AB-CD=6,

在直角三角形AEC中，AC=10米,

答：小鳥至少要飛10米.

點撥：如圖所示，AB,CD為樹，且AB=13,CD=7,BD為兩樹距離12米，過C作

CE_LAB于E,則CE=BD=8,AE=AB-CD=6,在直角三角形AEC中利用勾股定理即

可求出AC.

2.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水而1尺，如果把

這根蘆葦拉向水池一邊,它的頂端恰好到達池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）

C.12尺D.13尺

答案：D

解析：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺,

10

根據(jù)勾股定理得：x2+（2）2=（x+1）2,解得:x=12,

蘆葦?shù)拈L度=x+l=12+l=13（尺），故選D.

點撥：找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺,根據(jù)勾股定理解答.

二、填空題

3.一個圓桶兒，底面直徑為16cm,高為18cm,有一只小蟲從底部點A處爬到上

底B處，則小蟲所爬的最短路徑長是(”取3).

FT

18cw

答案：30

解析：展開圓柱的側(cè)面如圖，根據(jù)兩點之間線段最短就可以得知AB最短.由題

意，得AC=3X16+2=24,在RtaABC中，由勾股定理，得ABMJAQ+BC2

=V242+182=30cm.

點撥：先將圓柱的側(cè)面展開為一矩形，而矩形的長就是地面周長的一半，高就是

圓柱的高，再根據(jù)勾股定理就可以求出其值.

(-)課堂設(shè)計

本節(jié)課設(shè)計了五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：探究發(fā)現(xiàn)；

第三環(huán)節(jié)：知識運用；第四環(huán)節(jié)：隨堂檢測；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié).

第一環(huán)節(jié)：情境引入

情景1：多媒體展示：

提出問題：從二教樓到綜合樓怎樣走最近？

情景2：尸

如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在

8處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬QAL

向8處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？

意圖：

通過情景1復習公理：兩點之間線段最短；情景2的創(chuàng)設(shè)引入新課，激發(fā)學

生探究熱情.

效果：

從學生熟悉的生活場景引入，提出問題，學生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠

定了良好基礎(chǔ).

第二環(huán)節(jié)：探究發(fā)現(xiàn)

內(nèi)容：

學生分為4人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總

各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總

結(jié)出最短路線.讓學生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎

么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數(shù)學解決實際問題的

方法.

意圖：

通過學生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距

離問題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解.在活動中體驗數(shù)學建摸，

培養(yǎng)學生與人合作交流的能力，增強學生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展

空間觀念.

效果：

學生匯總了四種方案：

學生很容易算出：情形（1）中A—B的路線長為：AA'+d,

情形（2）中A-8的路線長為：

出1

所以情形（1）的路線比情形（2）要短.

學生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學生提出用剪刀沿母

線/U剪開圓柱得到矩形，情形（3）是折線，而情形（4）是線段，故根

據(jù)兩點之間線段最短可判斷（4）較短，最后通過計算比較（1）和（4）即可.

如圖:

B

（1）中A-3的路線長為：?Z\..AJ,J

」卜

（2）中A-B的路線長為：＞AB.

A

(3)中A-B的路線長為：AO+OB>AB.

(4)中A-8的路線長為：AB.

得出結(jié)論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解

決問題.在這個環(huán)節(jié)中，可讓學生沿母線剪開圓柱體,

具體觀察.接下來后提問：怎樣計算

在RtAAA'B中，利用勾股定理可得

AB2=AA'2+AB2,若已知圓柱體高為12c?n,底面半徑為3cm,兀取3,則

Afi2=122+(3X3)2,..AB=15.

注意事項：本環(huán)節(jié)的探究把圓柱側(cè)面尋最短路徑拓展到了圓柱表面，目的僅

僅是讓學生感知最短路徑的不同存在可能.但這一拓展使學生無法去論證最短路

徑究竟是哪條.因此教學時因該在學生在圓柱表面感知后，把探究集中到對圓柱

側(cè)面最短路徑的探究上.

方法提煉：解決實際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題建立相應(yīng)的數(shù)學模型，解決

這一類幾何型問題的具體步驟大致可以歸納如下:

1.審題一一分析實際問題；

2.建模一一建立相應(yīng)的數(shù)學模型;

3.求解一一運用勾股定理計算；

4.檢驗一一是否符合實際問題的真實性.

做一做

李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AO邊和8c邊是否分別垂直于底邊

AB,但他隨身只帶了卷尺，

(1)你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？

(2)李叔叔量得AO長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米,

AO邊垂直于AB邊嗎？為什么？

(3)小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗邊是否

垂直于AB邊嗎？BC邊與A3邊呢？

解答：(2)AD?+AB?=3()2+4()2=2500

B￡>2=2500

AD2+AB2=BD2

：.AD和AB垂直.

意圖：

運用勾股定理逆定理來解決實際問題，讓學生學會分析問題，利用允許的工

具靈活處理問題.

效果：

先鼓勵學生自己尋找辦法，再讓學生說明李叔叔的辦法的合理性.當刻度尺

較短時，學生可能會在上面解決問題的基礎(chǔ)上，想出多種辦法，如利用分段相加

的方法量出AB,AD和8。的長度，或在AB,A。邊上各量一段較小長度，再去

量以它們?yōu)檫叺娜切蔚牡谌?，從而得到結(jié)論.

第三環(huán)節(jié)：知識運用

1.甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6km/h

的速度向正東行走，1時后乙出發(fā)，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：

00,甲、乙兩人相距多遠？

解答：如圖:已知A是甲、乙的出發(fā)點，10:00甲到達3點，乙到達C點.則：

AB=2X6=12(km)

AC=1X5=5(km)呷

在RiAABC中：卜、

fiC2=AC2+AB2=52+122=169=132.

：.BC=\3(km).A..東

即甲乙兩人相距13km.

2.如圖，臺階A處的螞蟻要爬到8處搬運食物，它怎么走最近？并求出最

近距離._______B

解答：二鉆2=夕+202=625=252..一0不1/

3.有一個高為1.5m,半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔,

從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5m,問這根鐵棒有多長？

解答：設(shè)伸入油桶中的長度為x□.#

則最長時:-W.

x=2.5.

，最長是2.5+0.5=3(m).

最短時：一二一

，最短是1.5+0.5=2(m).

答:這根鐵棒的長應(yīng)在2?3m之間.

意圖:

對本節(jié)知識進行鞏固練習，訓練學生根據(jù)實際情形畫出示意圖并計算.

效果:

學生能獨立地畫出示意圖，將現(xiàn)實情形轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，并求解.

*提高訓練(根據(jù)學生程度適當添加課件中講解)

1.如圖，在棱長為10cm的正方體的一個頂點A處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂

點B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1cm/s,且速度保持不變，問螞蟻能否在

解:如圖，在RtAABC中:

?.?500>2()2.

，不能在20s內(nèi)從A爬到區(qū)

2.在我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題

的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一

根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好

到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？

解答：設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長為

AD=AB=(x+1)尺，

在直角三角形ABC中，3c=5尺.

由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.

即52+/=(x+1)2.

25+/=W+2x+l.

2x=24.

AF12,X+1=13.

答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.

意圖：

第1題旨在對“螞蟻怎樣走最近”進行拓展，從圓柱側(cè)面到棱柱側(cè)面，都是

將空間問題平面化；第2題，學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)

用，了解我國古代人民的聰明才智；運用方程的思想并利用勾股定理建立方程.

效果：

學生能畫出棱柱的側(cè)面展開圖，確定出A3位置，并正確計算.如有可能，

還可把正方體換成長方體進行討論.

學生能畫出示意圖，找等量關(guān)系，設(shè)適當?shù)奈粗獢?shù)建立方程.

注意事項：對于普通班級而言，學生完成“小試牛刀”，已經(jīng)基本完成課堂

教學任務(wù).因此本環(huán)節(jié)可以作為教學中的一個備選環(huán)節(jié)，共老師們根據(jù)學生狀況

選用.

第四環(huán)節(jié)：隨堂檢測

一、選擇題

1.一架25米長的云梯，斜立在一豎直的墻上，這時梯腳距離墻底端7米.如果

梯子的頂端沿墻下滑4米，那么梯腳將水平滑動()

A.9米B.15米C.5米D.8米

答案：D

解析：梯子頂端距離墻角地距離為后可之2碗，

頂端下滑后梯子低端距離墻角的距離為、252-(24-4)2=15m,15m-7m=8m.

故選D.

點撥：利用勾股定理進行解答.求出下滑后梯子低端距離低端的距離，再計算梯

子低端滑動的距離.

2.已知螞蟻從長、寬都是3,高是8的長方形紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那

么它所行的最短路線的長是()

B

A

A.8B.10C.12D.16

答案：B

解析：將點A和點B所在的兩個面展開，則矩形的長和寬分別為6和8,

故矩形對角線長AB=G%NIO,即螞蟻所行的最短路線長是10.

點撥：根據(jù)”兩點之間線段最短”，將點A和點B所在的兩個面進行展開，展開

為矩形，則AB為矩形的對角線，即螞蟻所行的最短路線為AB.

二、填空題

3.如圖，長為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B,然后把中點C向

1_

解析：RtZXACD中，AC=-2AB=4cm,CD=3cm；

根據(jù)勾股定理，得：AD=VAC2+CD2=5cm；

Z.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；

故橡皮筋被拉長了2cm.

點撥：根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD-AB即為橡皮筋拉長的距

離.

4.小明想知道學校旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還余1m,當他把

繩子下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿高度為米.

答案：12

解析：設(shè)旗桿高xm,則繩子長為（x+1）m,

???旗桿垂直于地面，.?.旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，

由題意列式為r+5?=（x+1）2,解得x=12m.

點撥：由題可知，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定

理即可解答.

三、解答題

5.“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不

得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街道上直道行駛，某一時刻

剛好行駛到路面對車速檢測儀正前方30米C處，過了2秒后，小汽車行駛到B

處，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50米，

（1）求BC的長；

（2）這輛小汽車超速了嗎？

n小汽4^

5Q：：......oc

觀測

答案：（1）40米；（2）小汽車超速了.

解析：（1）在直角AABC中，已知AC=30米，AB=50米，且AB為斜邊，則

BC=VAB2-AC2=40米.所以小汽車在2秒內(nèi)行駛的距離BC為40米；

（2）小汽車在2秒內(nèi)行駛了40米，所以平均速度為20米/秒，20米/秒=72千

米/時，因為72>70,所以這輛小汽車超速了.

點撥：（1）在直角三角形ABC中，已知AB,AC根據(jù)勾股定理即可求出小汽車2

秒內(nèi)行駛的距離BC；（2）根據(jù)小汽車在兩秒內(nèi)行駛的距離BC可以求出小汽車的

平均速度，求得數(shù)值與70千米/時比較，即可計算小汽車是否超速.

第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

教師提問：

通過這節(jié)課的學習，你有什么樣的收獲？師生共同暢談收獲.

師生相互交流總結(jié)：

1.解決實際問題的方法是建立數(shù)學模型求解.

2.在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理

解決實際問題.

意圖：

鼓勵學生結(jié)合本節(jié)課的學習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定

理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史.

效果：

學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結(jié)出在尋求曲面最短路徑時,

往往考慮其展開圖，利用兩點之間，線段最短進行求解.并贊嘆我國古代數(shù)學的

成就.

布置作業(yè)：

1.課本習題1.4T1,2,3t

2.如圖是學校的旗桿，旗桿上的繩子垂到了地面，并多出了一段，

現(xiàn)在老師想知道旗桿的高度，你能幫老師想個辦法嗎?請你與同伴交流

設(shè)計方案？

注意事項：作業(yè)2作為學有余力的學生的思考題.

分層作業(yè)

基礎(chǔ)型：

一、選擇題

1.放學以后，小紅和小穎從學校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若小

紅和小穎行走的速度都是200米/分，小紅用3分鐘到家，小穎4分鐘到家，小

紅和小穎家的直線距離為（）

A.600米B.800米C.1000米D.1400米

答案：C

解析:根據(jù)題意得：如圖:0A=3X200=600m.0B=4X200=800m.

在直角AOAB中，AB=VOA2+OB2=1000米.

故選C.

點撥：兩人的方向分別是東南方向和西南方向，因而兩人的家所在點與學校的連

線正好互相垂直，根據(jù)勾股定理即可求解.

2.如圖，若圓柱的底面周長是30cm,高是40cm,從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一

圈絲線到頂部B處做裝飾，則這條絲線的最小長度是()

A.80cmB.70cmC.60cmD.50cm

答案：D

解析：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形ACBD,則從圓柱底部A處沿側(cè)面纏

繞一圈絲線到頂部B處做裝飾，這條絲線的最小長度是長方形的對角線AB的長.

???圓柱的底面周長是30cm,高是40cm,

...AB2=302+40'=900+1600=2500,

AB=50(cm).

點撥：要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得

出結(jié)果，在求線段長時，借助于勾股定理.

3.如圖，是一扇高為2m,寬為1.5m的門框，現(xiàn)有3塊薄木板，尺寸如下：①

號木板長3m,寬2.7m；②號木板長4m,寬2.4m；③號木板長2.8m,寬2.8m.可

以從這扇門通過的木板是（）

A.①號B.②號C.③號D.均不能通過

答案：B

22

解析：由題意可得：門框的對角線長為：^2+1.5=2.5（m）,

?①號木板長3m,寬2.7m,2.7>2.5,...①號不能從這扇門通過;

?.,②號木板長4m,寬2.4m,2.4V2.5,.?.②號可以從這扇門通過；

..?③號木板長2.8m,寬2.8m,2.8>2.5,...③號不能從這扇門通過.

故選：B.

點撥：根據(jù)勾股定理得出門框的對角線長，進而比較木門的寬與對角線大小得出

答案.

二、填空題

4.如圖，一棵垂直于地面的大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底

部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是米.

答案：8

解析：???一棵垂直于地面的大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部

4米處，

...折斷的部分長為V32+42=5,

折斷前高度為5+3=8（米）.

點撥：由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運用勾股定理即可求出斜

邊，從而得出這棵樹折斷之前的高度.

5.如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，

A,B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物,

則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米.

答案：2.5

解析：三級臺階平面展開圖為長方形，長為2,寬為(0.2+0.3)X3,

則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長.

可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x,

由勾股定理得：X2=22+[(0.2+0.3)X3]2=2.5%

解得x=2.5.

點撥：先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答.

三、解答題

6.在甲村至乙村的公路有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破.已知點C

與公路上的停靠站A的距離為300米，與公路上的另一?？空綛的距離為400

米，且CA_LCB,如圖所示.為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內(nèi)不

得進入，問在進行爆破時，公路AB段是否有危險而需要暫時封鎖？請通過計算

進行說明.

答案：需要暫時封鎖

解析：公路AB需要暫時封鎖.

理由如下：如圖，過C作CD_LAB于D.

因為BC=400米，AC=300米，ZACB=90°,所以根據(jù)勾股定理有AB=500米.

1_1BOAC400X300

因為SAABC=7B?CD=5BC?AC,所以CD=AB=-500—=240米.

由于240米V250米，故有危險，因此AB段公路需要暫時封鎖.

點撥：過C作CDLAB于D.根據(jù)BC=400米，AC=300米，ZACB=90°,利用根據(jù)

勾股定理有AB=500米.利用SAABC=7AB?CD=5BC?AC得到CD=240米.再根據(jù)240

米＜250米可以判斷有危險.

能力型：

一、填空題

1.某校九年級學生準備畢業(yè)慶典，打算用橄欖枝花圈來裝飾大廳圓柱.已知大

廳圓柱高4米，底面周長1米.由于在中學同學三年，他們打算精確地用花圈從

上往下均勻纏繞圓柱3圈(如圖)，那么螺旋形花圈的長至少米.

答案：5

解析：將圓柱表面切開展開呈長方形，則有螺旋線長為三個長方形并排后的長方

形的對角線長

???圓柱高4米，底面周長1米，.*.x2=(1X3)M2=9+16=25

所以，花圈長至少是5nl.

點撥：要求花圈的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得

出結(jié)果，在求線段長時，借助于勾股定理.

2.圖①所示的正方體木塊棱長為6cm,沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）

剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行

到頂點B的最短距離為cm.

答案：3V2+3V6

解析：如圖所示:

△BCD是等腰直角三角形，4ACD是等邊三角形，

在RtABCD中，CD=7BC2+BD2=6V2cm,

，BE=2cD=3&cm,

在RtaACE中，AE=VAC2-CE2=3V6cm,

???從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（3&+3巫）cm.

點撥：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進而根據(jù)“兩點

之間線段最短”得出結(jié)果.

二、解答題

3.一艘輪船以16海里/時的速度離開港口（如圖），向北偏東40°方向航行，

另一艘輪船在同時以12海里/時的速度向北偏西一定的角度的航向行駛，已知它

們離港口一個半小時后相距30海里（即BA=30）,問另一艘輪船的航行的方向是

北偏西多少度？

解析:由題意可知,0A=16+16X2=24（海里），0B=12+12X2=18（海里），AB=30

海里，

V242+182=302,即0A2+0B2=AB2,.'.△OAB是直角三角形,

VZA0D=40°，

即另一艘輪船的航行的方向是北偏西50度.

點撥：先根據(jù)題意得出0A及0B的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出aOAB的

形狀，進而可得出結(jié)論.

探究型:

一、解答題

1.閱讀下面材料:

實際問題：如圖（1）,一圓柱的底面半徑為5厘米，BC是底面直徑，高AB為5

厘米，求一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線，小明設(shè)計了兩

條路線.

圖（1）

解決方案:

路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC,如圖（2）所示,

設(shè)路線1的長度為11：貝u]J=AC2=AB2+BC2=52+（5JT）2=25+25JT2；

路線2：高線AB+底面直徑BC,如圖（1）所示.

設(shè)路線2的長度為12：則1/=（AB+BC）=（5+10）=225.

為比較L，k的大小，我們采用“作差法”：

22222

VI,-12=25（n-8）>0.\11>12.\11>12,

小明認為應(yīng)選擇路線2較短.

（1）問題類比：

小亮對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1厘米，高

AB為5厘米.”.請你用上述方法幫小亮比較出L與L的大?。?/p>

（2）問題拓展：

請你幫他們繼續(xù)研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為r厘米時，高為h

r

厘米，螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C,當M滿足什么條件時，選擇路線

2最短？請說明理由.

（3）問題解決：

如圖（3）為2個相同的圓柱緊密排列在一起，高為5厘米，當螞蟻從點A出發(fā)

沿圓柱表面爬行到C點的兩條路線長度相等時，求圓柱的底面半徑r.（注：按

上面小明所設(shè)計的兩條路線方式）.

r410

2

答案：（1）選擇路線1較短；（2）冗2一4；（3）r=7T-4.

解析：（1）如圖（2）.

???圓柱的底面半徑為1厘米，高AB為5厘米，

22222

路線1：1,=AC=AB+BC=25+JT；

22

路線2：l2=AB+BC=5+2=7,12=（AB+BC）=49.

2222

VI,-12=25+n-49=n-24<0,

...選擇路線1較短；

（2）如