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文檔簡介
2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體,小圓柱底面半徑為,大圓柱底面半徑為,如圖1放置容器時,液面以上空余部分的高為,如圖2放置容器時,液面以上空余部分的高為,則()A. B. C. D.2.如圖,正方體的棱長為1,動點在線段上,、分別是、的中點,則下列結論中錯誤的是()A., B.存在點,使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值3.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個三等分點,則()A. B. C. D.4.已知向量,且,則m=()A.?8 B.?6C.6 D.85.已知函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.6.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度7.水平放置的,用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的,其中,則繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體的表面積為()A. B. C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.9.根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調研,每個縣區(qū)至少派一位專家,則甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()A. B. C. D.10.設為坐標原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.111.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切,與相切于點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.12.已知滿足,則的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量x,y滿足:,且滿足,則參數(shù)t的取值范圍為_______.14.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.15.已知雙曲線的一條漸近線為,且經(jīng)過拋物線的焦點,則雙曲線的標準方程為______.16.若點為點在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長為1的正方體中,記平面為,平面為,點是線段上一動點,.給出下列四個結論:①為的重心;②;③當時,平面;④當三棱錐的體積最大時,三棱錐外接球的表面積為.其中,所有正確結論的序號是________________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設數(shù)陣,其中、、、.設,其中,且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一行,若其中有或,則將這一行中每個數(shù)都乘以;若其中沒有且沒有,則這一行中所有數(shù)均保持不變”(、、、).表示“將經(jīng)過變換得到,再將經(jīng)過變換得到、,以此類推,最后將經(jīng)過變換得到”,記數(shù)陣中四個數(shù)的和為.(1)若,寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣;(2)若,,求的值;(3)對任意確定的一個數(shù)陣,證明:的所有可能取值的和不超過.18.(12分)已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,的前n項和為,滿足,,,.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)令,數(shù)列的前n項和,求.19.(12分)已知函數(shù),不等式的解集為.(1)求實數(shù),的值;(2)若,,,求證:.20.(12分)等差數(shù)列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一個可能的組合,并求數(shù)列的通項公式;(2)記(1)中您選擇的的前項和為,判斷是否存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若有,請求出的值;若沒有,請說明理由.21.(12分)如圖所示,三棱柱中,平面,點,分別在線段,上,且,,是線段的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知橢圓的左右焦點分別為,焦距為4,且橢圓過點,過點且不平行于坐標軸的直線交橢圓與兩點,點關于軸的對稱點為,直線交軸于點.(1)求的周長;(2)求面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中,液面以上空余部分的體積為;在圖2中,液面以上空余部分的體積為.因為,所以.故選:B【點睛】本題考查圓柱的體積,屬于基礎題.2、B【解析】
根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【詳解】在A中,因為分別是中點,所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故B錯誤;在C中,由平面幾何得,根據(jù)線面垂直的性質得出,結合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.3、B【解析】
連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運算律計算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個三等分點,,且,所以四邊形為棱形,.故選:B【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運算律的應用,屬于基礎題.4、D【解析】
由已知向量的坐標求出的坐標,再由向量垂直的坐標運算得答案.【詳解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故選D.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算,考查向量垂直的坐標運算,屬于基礎題.5、D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性和單調性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為.因為,所以為上的偶函數(shù),因為函數(shù)都是在上單調遞減.所以函數(shù)在上單調遞減.因為,所以,且,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷,考查函數(shù)的奇偶性和單調性的應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6、D【解析】
先將化為,根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則,即可得出結果.【詳解】因為,所以只需將的圖象向右平移個單位.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移,熟記函數(shù)平移原則即可,屬于基礎題型.7、B【解析】
根據(jù)斜二測畫法的基本原理,將平面直觀圖還原為原幾何圖形,可得,,繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得,,,繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,它的表面積為.故選:【點睛】本題考查斜二測畫法的應用及組合體的表面積求法,難度較易.8、B【解析】
列出每一次循環(huán),直到計數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.9、A【解析】
每個縣區(qū)至少派一位專家,基本事件總數(shù),甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù),由此能求出甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調研,每個縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為:本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.10、C【解析】試題分析:設,由題意,顯然時不符合題意,故,則,可得:,當且僅當時取等號,故選C.考點:1.拋物線的簡單幾何性質;2.均值不等式.【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程,均值不等式的靈活運用,屬于中檔題.解題時一定要注意分析條件,根據(jù)條件,利用向量的運算可知,寫出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號是否成立,否則易出問題.11、D【解析】
可設的內(nèi)切圓的圓心為,設,,可得,由切線的性質:切線長相等推得,解得、,并設,求得的值,推得為等邊三角形,由焦距為三角形的高,結合離心率公式可得所求值.【詳解】可設的內(nèi)切圓的圓心為,為切點,且為中點,,設,,則,且有,解得,,設,,設圓切于點,則,,由,解得,,,所以為等邊三角形,所以,,解得.因此,該橢圓的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質,注意運用三角形的內(nèi)心性質和等邊三角形的性質,切線的性質,考查化簡運算能力,屬于中檔題.12、C【解析】
設,則的幾何意義為點到點的斜率,利用數(shù)形結合即可得到結論.【詳解】解:設,則的幾何意義為點到點的斜率,作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:由圖可知當過點的直線平行于軸時,此時成立;取所有負值都成立;當過點時,取正值中的最小值,,此時;故的取值范圍為;故選:C.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的非線性目標函數(shù)函數(shù)問題,解題時作出可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求解是解題關鍵.對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)變量x,y滿足:,畫出可行域,由,解得直線過定點,直線繞定點旋轉與可行域有交點即可,再結合圖象利用斜率求解.【詳解】由變量x,y滿足:,畫出可行域如圖所示陰影部分,由,整理得,由,解得,所以直線過定點,由,解得,由,解得,要使,則與可行域有交點,當時,滿足條件,當時,直線得斜率應該不小于AC,而不大于AB,即或,解得,且,綜上:參數(shù)t的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,還考查了轉化運算求解的能力,屬于中檔題.14、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為415、【解析】
設以直線為漸近線的雙曲線的方程為,再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點,能求出雙曲線方程.【詳解】解:設以直線為漸近線的雙曲線的方程為,∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點,∴,∴雙曲線方程為,故答案為:.【點睛】本題主要考查雙曲線方程的求法,考查拋物線、雙曲線簡單性質的合理運用,屬于中檔題.16、①②③【解析】
①點在平面內(nèi)的正投影為點,而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直,所以直線垂直于平面,而為正三角形,可得為正三角形的重心,所以①是正確的;②取的中點,連接,則點在平面的正投影在上,記為,而平面平面,所以,所以②正確;③若設,則由可得,然后對應邊成比例,可解,所以③正確;④由于,而的面積是定值,所以當點到平面的距離最大時,三棱錐的體積最大,而當點與點重合時,點到平面的距離最大,此時為棱長為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯誤.【詳解】因為,連接,則有平面平面為正三角形,所以為正三角形的中心,也是的重心,所以①正確;由平面,可知平面平面,記,由,可得平面平面,則,所以②正確;若平面,則,設由得,易得,由,則,由得,,解得,所以③正確;當與重合時,最大,為棱長為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯誤.故答案為:①②③【點睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關系,求幾何體的體積,考查空間想象能力和推理能力,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2);(3)見解析.【解析】
(1)由,能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣;(2)由,,求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣,進而可求得的值;(3)分和兩種情況討論,推導出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和,由此能證明的所有可能取值的和不超過.【詳解】(1),經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣;(2)經(jīng)變換后得,故;(3)若,在的所有非空子集中,含有且不含的子集共個,經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、;含有且不含的子集共個,經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、;同時含有和的子集共個,經(jīng)過變換后第一行仍為、;不含也不含的子集共個,經(jīng)過變換后第一行仍為、.所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若,則的所有非空子集中,含有的子集共個,經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)椤?;不含有的子集共個,經(jīng)過變換后第一行仍為、.所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.同理,經(jīng)過變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為.所以的所有可能取值的和為,又因為、、、,所以的所有可能取值的和不超過.【點睛】本題考查數(shù)陣變換的求法,考查數(shù)陣中四個數(shù)的和不超過的證明,考查類比推理、數(shù)陣變換等基礎知識,考查運算求解能力,綜合性強,難度大.18、(1),;(2).【解析】
(1)設的公差為,的公比為,由基本量法列式求出后可得通項公式;(2)奇數(shù)項分一組用裂項相消法求和,偶數(shù)項分一組用等比數(shù)列求和公式求和.【詳解】(1)設的公差為,的公比為,由,.得:,解得,∴,;(2)由,得,為奇數(shù)時,,為偶數(shù)時,,∴.【點睛】本題考查求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,考查分組求和法及裂項相消法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和公式,求通項公式采取的是基本量法,即求出公差、公比,由通項公式前項和公式得出相應結論.數(shù)列求和問題,對不是等差數(shù)列或等比數(shù)列的數(shù)列求和,需掌握一些特殊方法:錯位相減法,裂項相消法,分組(并項)求和法,倒序相加法等等.19、(1),.(2)見解析【解析】
(1)分三種情況討論即可(2)將,的值代入,然后利用均值定理即可.【詳解】解:(1)不等式可化為.即有或或.解得,或或.所以不等式的解集為,故,.(2)由(1)知,,即,由,得,,當且僅當,即,時等號成立.故,即.【點睛】考查絕對值不等式的解法以及用均值定理證明不等式,中檔題.20、(1)見解析,或;(2)存在,.【解析】
(1)滿足題意有兩種組合:①,,,②,,,分別計算即可;(2)由(1)分別討論兩種情況,假設存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,即,解方程是否存在正整數(shù)解即可.【詳解】(1)由題意可知:有兩種組合滿足條件:①,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.②,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.(2)若選擇①,.則.若,,成等比數(shù)列,則,即,整理,得,即,此方程無正整數(shù)解,故不存在正整數(shù),使,,成等比數(shù)列.若選則②,,則,若,,成等比數(shù)列,則,即,整理得,因為為正整數(shù),所以.故存在正整數(shù),使,,
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