專題06 橢圓（解析版）

Page2Page1專題06橢圓知識總結(jié)：牛刀小試【題型1橢圓的定義及辨析】【題型2利用橢圓定義求標(biāo)準(zhǔn)方程】【題型3橢圓上的點到焦點的距離】【題型4判斷方程是否表示橢圓】【題型5求標(biāo)準(zhǔn)方程】【題型6根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)】【題型7根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程】【題型8求橢圓的離心率的值】【題型9直線與橢圓的位置關(guān)系】【題型10弦長】【題型1橢圓的定義及辨析】1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.【典例1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)定點，，動點P滿足條件，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【答案】A【詳解】因為，，所以，所以，所以點P的軌跡是以，為焦點的橢圓.故選：A.【題型2利用橢圓定義求標(biāo)準(zhǔn)方程】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系【典例2】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）方程，化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可得點到定點，的距離之和等于12，即，所以動點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，設(shè)其方程為，則，，所以，，故方程為.【題型3橢圓上的點到焦點的距離】【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓上一點到右準(zhǔn)線的距離為，則點到它的左焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，到左準(zhǔn)線的距離為，到右準(zhǔn)線的距離為，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，解得：，又，解得：，到它的左焦點距離為．故選：A.【題型4判斷方程是否表示橢圓】【典例4】（2023·高二課時練習(xí)）已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由，若，則表示一個圓，充分性不成立；而表示一個橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B【題型5求標(biāo)準(zhǔn)方程】【典例5】（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才雙語學(xué)校?？计谀┮阎獧E圓（）的一個焦點為，則（

）A． B．3 C．41 D．9【答案】A【詳解】由題意可知：橢圓的焦點在y軸上，且，則.故選：A.【題型6根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)】【典例6】（2023春·上海楊浦·高二校考期中）橢圓與橢圓的（

）A．長軸相等 B．短軸相等 C．焦距相等 D．長軸、短軸、焦距均不相等【答案】C【詳解】橢圓即，則此橢圓的長軸長為10，短軸長為6，焦距為；橢圓即，因為，則此橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為,故兩個橢圓的焦距相等．故選：C．【題型7根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程】焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）范圍，，頂點，，，軸長短軸長＝，長軸長＝焦點焦距對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點離心率，【典例7】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第十九中學(xué)?？计谀┻^點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由化簡可得，焦點為在軸上，同時又過點，設(shè)，有，解得，故選：C【題型8求橢圓的離心率的值】離心率：橢圓焦距與長軸長之比：.（）當(dāng)越接近1時，越接近，橢圓越扁；當(dāng)越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；當(dāng)且僅當(dāng)時，圖形為圓，方程為【典例8】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在中，，設(shè)，由題意知,，由余弦定理得,，由橢圓定義知，則離心率.【題型9直線與橢圓的位置關(guān)系】【典例9】（2023·全國·高三對口高考）若直線與橢圓有且只有一公共點，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為方程表示的曲線為橢圓，則，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，，可得，則，解得.故選：C.【題型10弦長】弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：；【典例10】（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為．【答案】【詳解】在橢圓中，，，則，故點，設(shè)點、，由題意可知，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.練習(xí)1.（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓以原點為中心，長軸長是短軸長的2倍，且過點，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】或【詳解】當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)橢圓方程，則，解得，故橢圓方程為；當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)橢圓方程，則，解得，故橢圓方程為；綜上，橢圓方程為或.2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知焦點在軸上的橢圓的焦距等于，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，所以，根據(jù)題意可得，解得.故選：D.3.（2023秋·高二課時練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為（

）A．12 B．24 C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，對于橢圓有長半軸長，又過的直線交橢圓于A、B兩點，故的周長，故選：D4.（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【詳解】由題知：，①又橢圓經(jīng)過點，所以，②又，③聯(lián)立解得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：.5.（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）橢圓上一點P與它的一個焦點的距離等于6，那么點P與另一個焦點的距離等于.【答案】14【詳解】設(shè)左、右焦點為,設(shè)，由題得因為，所以.所以點P與另一個焦點的距離等于14.故答案為：14故選：B.6.（2023秋·高二單元測試）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【詳解】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.7.（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓的焦點為、，點在橢圓上，若，則，的大小為.【答案】2【詳解】∵，，∴，∴，又，，∴，由余弦定理，得，∴.故答案為：2，8.（2023春·河北石家莊·高二正定中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為.【答案】或【詳解】因為橢圓的離心率為，易知，當(dāng)時，橢圓焦點在軸上，，，所以，解得，則，所以橢圓的長軸長為.當(dāng)時，橢圓焦點在軸上，，，所以，得，滿足題意，此時，所以橢圓的長軸長為.故答案為：或.9.（2023春·江西吉安·高二校考期中）直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【詳解】聯(lián)立，則所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以直線與橢圓相交故選：C.10.（2023·全國·高三對口高考）通過橢圓的焦點且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長等于（

）A． B．3 C． D．6【答案】B【詳解】由題設(shè)，不妨設(shè)過焦點且垂直于x軸的直線，代入橢圓方程得，可得，故被橢圓截得的弦長等于.故選：B11.（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）橢圓的長軸長、短軸長、離心率依次是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，，所以長軸長為、短軸長為、離心率為.故選：D.12.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（

）A．6 B．或 C． D．或【答案】D【詳解】當(dāng)焦點在軸時，由，解得，符合題意，此時橢圓的長軸長為；當(dāng)焦點在軸時，由，解得，符合題意，此時橢圓的長軸長為．故選：D．13.（2023秋·高二課時練習(xí)）橢圓的焦距為4，則m的值為．【答案】10或2【詳解】橢圓的焦距為4，即當(dāng)時，；當(dāng)時，；故m的值為10或2，故答案為：10或214.（2023春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第四中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為，長軸長為12，則橢圓方程為（

）A． B．