2020-2021學(xué)年福建省福州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020.2021學(xué)年福建省福州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題（共8小題）?

1.若命題p：3xo<l,xo2<l,則為（）

A.Vx<l,N21B.Vx<1,x2<1

C.3xo<1,xo2^lD.Lxo2<l

2.某校共有1500名學(xué)生，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中等距抽取50名學(xué)生參加志愿者活動，

將這1500名學(xué)生依次編號為1,2,3,1500,已知第一位被抽到的學(xué)生編號為4,

則下列編號被抽到的是（）

A.324B.184C.104D.24

3.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A.（sinx+cosx）'=cosx+sinx

B.（xlnx）'』

x

C.（/%）'=e2x

/x、,1-x

D.（—）^

ee

4.已知W=（入+1,0,1）,E=（3，-1,2）,其中入，（ieR,若W〃1,貝!J人+四=（）

A.0B.1C.2D.3

5.設(shè)尤CR,貝u“尤>0“是"x+422”的（）

x

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知A,2是平面內(nèi)兩個定點(diǎn)，平面內(nèi)滿足|尸川?|依|=。Q為大于0的常數(shù)）的點(diǎn)尸的

軌跡稱為卡西尼卵形線，它是以發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼?卡西尼的名字命名.當(dāng)

A,B坐標(biāo)分別為（-1,0）,（1,0）,且a=l時，卡西尼卵形線大致為（）

7.將一個邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長相等的小正方形，做成一個無蓋方

盒.若該方盒的體積為2,則。的最小值為（）

A.1B.2C.3D.3^

22

8.已知橢圓E：2T+看1（@>1>>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F2,M為E上一點(diǎn).若

NMF[F2=看，恒2尸；+可.恒―；則E的離心率為（）

A.丹工B.隼1C.V2-1D.V3-1

二、多項選擇題（共4小題）.

9.已知曲線E的方程為:加+"儼=1（切〃W0）,則￡可能是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

10.如圖為我國2020年2月至10月的同城快遞量與異地快遞量的月統(tǒng)計圖：根據(jù)統(tǒng)計圖,

下列結(jié)論正確的是（）

我國訂快遞除統(tǒng)il圖

句域快速，，單位I萬件）1"?異地快跡?（單位：萬件）

A.異地快遞量逐月遞增

B.同城快遞量，9月份多于10月份

C.同城和異地的月快遞量達(dá)到峰值的月份相同

D.同城和異地的快遞量的月增長率達(dá)到最大的月份相同

11.如圖，在正方體ABC。-AIBICLDI中，M,N,P,。分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是（)

A.點(diǎn)Ci,到平面PMN的距離相等

B.PN與QM為異面直線

C.ZPNM=9Q°

D.平面截該正方體的截面為正六邊形

12.已知函數(shù)/(x)=ew，sinx+l,貝ij()

A.f(x)的周期為2TT

B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱

C./(%)在［0,等］上為增函數(shù)

D./(%)在區(qū)間［-5n,5河上所有的極值之和為10

三、填空題(共4小題).

22

13.雙曲線的漸近線方程是.

14.在區(qū)間［-3,1］上隨機(jī)取一個數(shù)無，若事件A：xW機(jī)的概率為孑，則根的值為.

15.某次數(shù)學(xué)競賽有100位同學(xué)參加，如圖為這100位同學(xué)此次競賽成績的頻率分布直方圖，

則a=，這100位同學(xué)此次競賽成績的中位數(shù)約為.(中位數(shù)精確到OOL)

16.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為中點(diǎn)，DE±AB,0c=8,DE=6.沿著

OE將△AOE折起，使A到達(dá)點(diǎn)A'的位置，且平面A'DEmBCDE.設(shè)P為AA'

DE內(nèi)的動點(diǎn)，若NEPB=NDPC,則P的軌跡的長度為.

四、解答題(共6小題).

17.已知函數(shù)/G)=-1X3-2X2+3.

(1)求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)求/(x)在［-2,1］上的最大值和最小值.

18.已知拋物線E：W=2px的焦點(diǎn)為尸，P(1,1)為E上一點(diǎn).

(1)求E的方程及尸的坐標(biāo)；

(2)設(shè)斜率為1的直線/與E交于A,B兩點(diǎn)，若瓦?而=-2,求/的方程.

19.在①@ZPCA=ZPCB,③平面PCD_L平面ABC這三個條件中任選一個，

補(bǔ)充在下面問題的橫線上，并解答.

問題：已知在三棱錐P-ABC中，。為A8的中點(diǎn)，,AC=BC=2.

(1)證明：PCLAB-,

(2)若PC=2,ZPCB=ZACB=9Q°,E為線段PB上一點(diǎn)，且E8=3PE,求二面角

D-CE-B的余弦值.

20.已知橢圓E：^-+^_=1(a>^>0)的離心率為蟲L,4(0,1)為E的上頂點(diǎn).

a2b23

(1)求E的方程;

(2)以A為直角頂點(diǎn)的Rt^ABC的另兩個頂點(diǎn)均在E上運(yùn)動，求證：直線BC過定點(diǎn).

21.為了研究某班男生身高和體重的關(guān)系，從該班男生中隨機(jī)選取6名，得到他們的身高和

體重的數(shù)據(jù)如表所示:

編號123456

身高x(cm)165171167173179171

體重y(kg)62m64747466

在收集數(shù)據(jù)時，2號男生的體重數(shù)值因字跡模糊看不清，故利用其余5位男生的數(shù)據(jù)得到

身高與體重的線性回歸方程為后來得到2號男生的體重精準(zhǔn)數(shù)值m后再次

計算得到線性回歸方程為y=3x+￡.

⑴求回歸方程y/x+肅

（2）若分別按照了=^^+=和y=Ex+￡來預(yù)測身高為根的男生的體重，得到的

估計值分別為Wl,W2,且W2-W1=2,求機(jī)的值；

（3）指數(shù)是目前國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標(biāo)準(zhǔn)，其中

指數(shù)在24到27.9之間的定義為超重.通過計算可知這6人的8M指數(shù)分別為：22.8,

27.4,22.9,24.7,23.1,22.6,現(xiàn)從這6人中任選2人，求恰有1人體重為超重的概率.

n__

-￡（Xj-x）（y「y）

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=------------------

H_

￡（x「x）之

i=l

a=y-bx*

22.已知函數(shù)/（x）=lnx+-=—.

x

（1）討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)心寺時，f（x）”吟

參考數(shù)據(jù)：e=2.7183.

參考答案

一、單項選擇題（共8小題）.

1.若命題p：3xo<Lxo2<L則—7?為（）

A.Vx<LN21B.Vx<l,x2<l

C.3xo<1,xo2^lD.xo2<1

解：命題p：mxoVl,xo2<1,

根據(jù)含有量詞的命題的否定，則有「p為VxVl,

故選：A.

2.某校共有1500名學(xué)生，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中等距抽取50名學(xué)生參加志愿者活動,

將這1500名學(xué)生依次編號為1,2,3,1500,已知第一位被抽到的學(xué)生編號為4,

則下列編號被抽到的是（）

A.324B.184C.104D.24

解：1500名學(xué)生系統(tǒng)抽樣抽取50名，則每隔30名抽取1名，

若4被抽取，則被抽取的是4,34,…，30Z+4,（%為自然數(shù)），

符合條件的只有答案8：184=6X30+4,

故選：B.

3.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A.(sinx+cosx)'=cosx+sinx

B.(xlnx)7」

x

C.(/%)'=e2x

解：A.(sinx+cosx)'=cosx-sinx.

B.(x/nx)1=1+lruc.

C.(e2x),=2&x.

故選：D.

4.已知@=(A+1,0,1),b=(3，2|i-1,2),其中入，u&R,若Z〃E，則人+四=(

A.0B.1C.2D.3

解：.?二〃〉

工設(shè)E=kA

???(3,2|i-1,2)=gk,0,k),

k入+k=3

:?<2N-1=0，解得X=-^-,N=^->

k=2

???入+|i=l.

故選：B.

設(shè)貝"是」的(

5.xeR,U“x>0“x+22")

x

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：?..設(shè)X6R,“xd>2”

X

x?x+l>0,

.??金>0,

X

.*.x>0,

x4>2"-“x>0”

X

又當(dāng)x>0時,二獨(dú)立.

則“%〉0"是66x^>2“的充分必要條件;

x

故選：C.

6.已知A,8是平面內(nèi)兩個定點(diǎn)，平面內(nèi)滿足|尸川?|尸8|=。Q為大于0的常數(shù))的點(diǎn)尸的

軌跡稱為卡西尼卵形線，它是以發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼?卡西尼的名字命名.當(dāng)

A,B坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),且。=1時，卡西尼卵形線大致為()

CD

解：由題意設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

貝IV(x+1)2+y2?7(x-l)2+y2=1-

即［(x+l)2+儼卜［(x-1)2+y2］=1,

把原點(diǎn)。(0,0)代入，可得上式成立，故曲線過原點(diǎn)，排除C、。；

把方程中的x被-尤代換，y被-y代換，方程不變，

故曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，排除&

故選：A.

7.將一個邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長相等的小正方形，做成一個無蓋方

盒.若該方盒的體積為2,則。的最小值為()

A.1B.2C.3D.3炯

解：設(shè)截去的四個小正方形的邊長為x,則無蓋方盒底面是邊長為a-2x的正方形，高為

所以方盒的體積為V(x)=(a-2x)x=4x3-4ax2+a"x,x€(0,得)，

則V'(x)=12x2-8ax+a2=(2x-a)(6x-a),x€(0,y),

令V(x)=0,解得x=_^_，x=^"，

當(dāng)0<x<色時，Vz(x)>0,所以丫(x)單調(diào)遞增，

6

當(dāng),<x<=時，V(X)<0,所以V(尤)單調(diào)遞減，

62

93

故Wx1—V管)號，

若該方盒的體積為2,

n3

則有、、一丫管)號>2，

解得。23,

所以a的最小值為3.

故選：C.

22

8.已知橢圓E：彳+^=l（a〉b〉O）的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,M為E上一點(diǎn).若

/見尸1卜2=千，|F2F；+F/|=|F.；I，則E的離心率為（）

A.夸^B.嚀1C.V2-1D.V^-l

解：如圖所示，以BE,為鄰邊作平行四邊形EP2MM對角線尸赤交于點(diǎn)E,

則F2W+呼=踮,所以|BN=0F2|=2C,

V

則在三角形中，Z

F2F1M=ZF2F1E=-^->

2

由余弦定理可得：甲2E|2=|F[E，+恒產(chǎn)2I-2\FiE\\FlF2\cosZF2FiE,

即c2=[F[E|2+4c2-2X|F[E|X2cx亨，整理可得：

IJE|2-2gc|F[E|+3c2=0,

解得尸1E|=^C,所以|MFI|=2愿C，且由勾股定理可得BE,凡E,

又E為ME的中點(diǎn);，則二角形打他M為等腰三角形，所以|MF2|=|PLF2|=2C,

由橢圓的定義可得：|MFi|+|MF2l=2V3c+2c=2a,

解得二1,

a2

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。

9.已知曲線E的方程為znN+〃y2=i（m〃wo）,則E可能是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

解：當(dāng)機(jī)=〃>0時，曲線E的方程為加/+卬；2=1表示圓;

m>Q,〃>0,〃zWw時，曲線E的方程為m：2+wy2=i表示橢圓，

機(jī)”<0時，曲線E的方程為mG+盯2=1表示雙曲線，

故選：ABC.

10.如圖為我國2020年2月至10月的同城快遞量與異地快遞量的月統(tǒng)計圖：根據(jù)統(tǒng)計圖,

下列結(jié)論正確的是（）

我國月快遞量統(tǒng)計圖

■■同城快建，，單位?萬件）1"?異地快還■（單位：萬件）

A.異地快遞量逐月遞增

B.同城快遞量，9月份多于10月份

C.同城和異地的月快遞量達(dá)到峰值的月份相同

D.同城和異地的快遞量的月增長率達(dá)到最大的月份相同

解：由我國2020年2月至10月的同城快遞量與異地快遞量的月統(tǒng)計圖，知：

對于A,異地快遞量2月到6月逐月遞增，6月到7月遞減，7月到10月逐月遞增，故A

錯誤;

對于8,9月同城快遞量113215.1萬件，10月同城快遞量97454.2萬件，9月份多于10

月份，故B正確；

對于C,同城的月快遞量達(dá)到峰值的月份是6月，異地的月快遞量達(dá)到峰值的月份是10

月，故C錯誤；

對于同城和異地的快遞量的月增長率達(dá)到最大的月份相同，都是3月，故。正確.

故選：BD.

11.如圖，在正方體A8CD-AIBCLDI中，M,N,P,。分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.點(diǎn)Ci,5到平面PMN的距離相等

B.PN與QM為異面直線

C.ZPNM=9Q°

D.平面PMN截該正方體的截面為正六邊形

解：如圖，取中點(diǎn)E,CG中點(diǎn)E則有六邊形MQNPEF為正六邊形，

對于A,根據(jù)正方體的對稱性，可得點(diǎn)Ci,Di到平面MQNPEF的距離相等，正確;

對于8,PN與QM為共面直線，故B錯；

對于C,在正六邊形A/QNPEB中，設(shè)PN=1,則PM=2,MN=M，：，MN1+PN2=PM1,

則MN_LPN,故C正確；

對于。，平面PMN截該正方體的截面為正六邊形，故。正確.

故選：ACD.

12.已知函數(shù)/(%)=0劉?siiLt+1,則()

A.f(x)的周期為2TT

B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱

C./(%)在［0,等］上為增函數(shù)

D.于(x)在區(qū)間［-5m5n］上所有的極值之和為10

解：對于A,函數(shù)/(x)=e國?sinx+1,f(X+2TC)(x+2ir)+l=^+27rlesinx+l

豐于(x),

故2Tt不是/(x)的周期，故A錯誤；

對于8,g(x)=eM,sinx,g(-x)=e「*、sin(-x)=-ew,sin,r=-g(x),

所以g(無)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對稱，所以/(x)=g(x)+1的圖象關(guān)于

點(diǎn)(0,1)對稱，故B正確；

兀

對于C,當(dāng)x20時，f(x)=Qsinx+l,f'(x)=^?sinx+^?cosx=，，/^sin(x+-^-),

當(dāng)xc［0,3兀］時,x+兀C［2-,JI］,sin(x+H~)20,故/(x)20"(x)在［0,3兀］

44444

上為增函數(shù)，故C正確；

對于。，當(dāng)比［0,5用時，令/(x)=0,解得x=--~+E,k=l,2,3,4,5,

xxX9x

當(dāng)％E［-5ir,0)時，f(x)=e'*siwc+lff(x)=-e'*siwc+e~cosx=y［2^sin(x-

T-

令/(x)=0,解得x=:+加，k=-1,-2,-3,-4,-5,

因?yàn)?(x)+f(-x)=e園?sinx+1-eWesinx+l=2,

故所求極值之和為f(XI)+f(X2)+f(X3)+f(X4)+f(X5)4/(-XI)4/(-%2)+/(-

X3)4/(-X4)tf(-X5)=2X5=10,故。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中的橫線上。

22-

13.雙曲線、■一孑二1的漸近線方程是心±2尸0.

2222—

解：由￡-4_=0,可得雙曲線手-(-=1的漸近線方程為'余士2y=0.

故答案為：J余±2y=0.

14.在區(qū)間［-3,1］上隨機(jī)取一個數(shù)無，若事件A：xW機(jī)的概率為則"z的值為0.

4

解：?..區(qū)間［-3,1］的區(qū)間長度為1-(-3)=4,

???隨機(jī)地取一個數(shù)x,若無滿足xWm的概率為㈢，

4

則滿足條件的區(qū)間長度為4X4=3.

4

因此無所在的區(qū)間為［-3,0］,

故m=0.

故答案為：0.

15.某次數(shù)學(xué)競賽有100位同學(xué)參加，如圖為這100位同學(xué)此次競賽成績的頻率分布直方圖,

則。=0.015,這100位同學(xué)此次競騫成績的中位數(shù)約為73.33.(中位數(shù)精確到

(0.010+a+a+0.030+0.025+0.005)X10=1,

解得a=0.015.

V[40,70)的頻率為：(0.010+0.015+0.015)X10=0.4,

[70,80)的頻率為：0.030X10=0.3,

；.這100位同學(xué)此次競賽成績的中位數(shù)約為：70+寫技生X10處73.33.

16.如圖所示，在平行四邊形ABC。中，E為AB中點(diǎn)，DELAB,DC=8,DE=6.沿著

OE將△ADE折起，使A至U達(dá)點(diǎn)A'的位置，且平面A'DE_L平面BCOE.設(shè)尸為△?1'

DE內(nèi)的動點(diǎn)，若/EPB=NDPC,則P的軌跡的長度為_仁工_.

解：因?yàn)镹EPB=NDPC,

所以tanZEPB—tanZDPC,

因?yàn)槠矫鍭'OE_L平面BCDE,

又平面A'BCDE=DE,DELAB,ABu平面BCOE,

所以AB_L平面A'DE,

又DP,PEu平面A'DE,

故BE_LPE,BELDP,

又ABC。為平行四邊形,

所以A8〃CD,

所以C￡>_LZ)P,

BE

在RtZiEPB中，tanNEPB=

PE,

.CD

在RtZYDPC中，tanZDPC=

PD

又E為AB中點(diǎn)，且A8=CD,

所以PD=2PE,

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，E￡>為x軸，EA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則。(6,0),E(0,0),設(shè)尸(尤，y),

則有正_6)2+y2=Mf2+y2,

整理可得(X+2)2+y2=16,

故點(diǎn)尸的軌跡是以M(-2,0)為圓心，半徑，=4的圓，

設(shè)點(diǎn)尸在平面A'OE內(nèi)的圓弧對應(yīng)的圓心角為a,

根據(jù)弧長公式1=<1「=今'，

所以尸的軌跡的長度為空.

故答案為:

3

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知函數(shù)八無)=-1X3-2X2+3.

O

(1)求曲線y=/(%)在x=l處的切線方程;

(2)求/(x)在［-2,1］上的最大值和最小值.

解：⑴f(x)--|~X3-2X2+3，f(1)=￡,

oo

f'(無)=2尤2-4X,則/(1)=-2,

故y=/(x)的切線方程為：j-1-=-2(x-1),

o

即尸-2x+呈；

(2)f(x)=2x(x-2),

令/(x)>0,解得：％V0或%>2,

令/(x)<0,解得：0<xV2,

故/(%)在［-2,0)遞增，在(0,1］遞減,

故/(九)在［-2,1］上的最大值是/(0)=3,

而“-2)=-爭/(I)=今，故4-2)</(1),

故/(x)的最小值是/(-2)=-,

O

Q1

故人x)2=f(0)=3,…)-=/(-2)=-,

18.已知拋物線E：爐=2"的焦點(diǎn)為足p(1,1)為E上一點(diǎn).

(1)求E的方程及產(chǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)斜率為1的直線/與E交于A,B兩點(diǎn),若瓦?聞=-2,求/的方程.

解：(1)因?yàn)閽佄锞€及產(chǎn)=2川過點(diǎn)p(1,1),

所以l=2p,

故E的方程為：儼=羽焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(1，0)；

4

(2)設(shè)斜率為1的直線/的方程為：y=x+m,A(xi,yi),B(xi,”)，

，2=

聯(lián)立，VX可得y2-y+m=0,

ky=x+m

△=1-4m>0,

?'?yi+y2—Lyi*y2—m,

包=(xi-1,yi-1)，pg=(X2-L>2-1)

?而=~2,(xi-1)(X2-1)+(yi-1)("-1)=-2,

整理可得：xi%2-(X1+X2)+yiy2-(%+以)+4=0,

(yi-m)(j2-m)-(yi-m+^2-m)+yij2-(yi+y2)+4=0,

；?2”y2-(m+2)(yi+y2)+源+2m+4=0,

m2+3m+2=0,

解得m=-1或m=-2,滿足△>()

的方程為：y=xT或尸％-2.

19.在①PD_LA3,@ZPCA=ZPCBf③平面PCD_L平面ABC這三個條件中任選一個，

補(bǔ)充在下面問題的橫線上，并解答.

問題：已知在三棱錐尸-ABC中，。為A3的中點(diǎn)，,AC=BC=2.

(1)證明：PC.LAB；

(2)若PC=2,ZPCB=ZACB=90°,E為線段尸3上一點(diǎn)，且防=3尸￡求二面角

Q-CE-3的余弦值.

B

D

解：補(bǔ)充的三個條件相互等價，證明如下：①=PA=P8,AC=BC,PC=PC=APA8

△PBC=②;

②，AC=BC,PC=PC=APAC咨APBCnPA：PBnPDtAB,CDJLABn③;

③，AC^BC,。為AB中點(diǎn)=>C￡)_LAB,平面PCD_L平面ABC今尸￡>_LAB=①；

不妨補(bǔ)充①.

(1)證明：AC^BA,。為A2的中點(diǎn)0C￡)_LAB,PCD,PCu平面

PCD^PCLAB.

(2)PD±AB,D為AB中點(diǎn)今PA=PB,AC^BC,PC=PC=APAC沿LPBC"/PCA

=ZPCB=90°,

又/ACB=90°,所以CA、CB、CP互相垂直；可以建空間直角坐標(biāo)系如圖，又因?yàn)镃4

=CB=CP=2,EB=3PE,

則C(0,0,0),。(1,1,0),A(2,0,0),￡(0,右爭，才=(1,1,0),

—*(13、

CE=(n。，V2)'

設(shè)平面CED與平面CEB成角大小為0,平面CEB單位法向量為4=(1,0,0),平

面CED法向量為:=(無，y,z),

n,CD，=0,n*CE=0,于是有0x+5+*=。，lx+ly+0z=0,解得后=入(3,-3,1),

單位法向量F：(3,3,1),

由圖可知，二面角。-CE-B為銳二面角，則其余弦值為cos。=|五，；［=|(1,0,0)

?(-t(3,-3,1))

V19V1919

二面角D-CE-B的余弦值為心叵.

19

C2

22

20.已知橢圓E：蕓吃=1(a>b>0)的離心率為A(0,1)為E的上頂點(diǎn).

2,2Q

ab0

(1)求E的方程；

(2)以A為直角頂點(diǎn)的RtaABC的另兩個頂點(diǎn)均在E上運(yùn)動，求證：直線2C過定點(diǎn).

解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意可得6=1,

離心率

a3

又因?yàn)閍2=b2+c2,所以〃=F，

2°

所以E的方程為：三-+y2=i.

3

(2)證明：因?yàn)橹本€8C不垂直于x軸，可設(shè)直線BC方程為>=區(qū)+如

y=kx+m

22

由49得，(1+3F)x+6^mx+3m-3=0

M+3y=3

設(shè)3(為，”)，C(X2,”)，則△=36N/-4(1+3N)(3m2-3)>0,即次2+1-小

>0.

_~6km31n2-3

x

1+xQ-2，Xi1X29-------------2

l+3ki+3k

yt-1y2-l

?：AB±AC,：.kAB^AC=———=-l，

X1x2

?'?yiyi-(yi+")+1=一?垃，

(to+m)(te+m)-(^xi+m+te+m)+1=-制孫

(1+F)xixi+k(m-1)(X1+X2)+(m-1)2=0,

即(l+k2)，*m_(m-1).-+(m-1)2=0,

l+3k2l+3k2

整理可得(m-1)(2m+l)=0,

解得加=1(舍去)或加=-/,

且m=-1滿足△>(),

2

所以直線8C方程為尸質(zhì)-卷，過定點(diǎn)(0,-y).

21.為了研究某班男生身高和體重的關(guān)系，從該班男生中隨機(jī)選取6名，得到他們的身高和

體重的數(shù)據(jù)如表所示:

編號123456

身高x(cm)165171167173179171

體重y(kg)62m64747466

在收集數(shù)據(jù)時，2號男生的體重數(shù)值因字跡模糊看不清，故利用其余5位男生的數(shù)據(jù)得到

身高與體重的線性回歸方程為y=qX+Z；后來得到2號男生的體重精準(zhǔn)數(shù)值機(jī)后再次

計算得到線性回歸方程為y%X+1?

⑴求回歸方程yEx+C；

（2）若分別按照y^x+C和y=3x+￡來預(yù)測身高為180c機(jī)的男生的體重，得到的

估計值分別為Wl，W2,且W2-W1=2,求相的值;

（3）指數(shù)是目前國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標(biāo)準(zhǔn)，其中

指數(shù)在24到27.9之間的定義為超重.通過計算可知這6人的出〃指數(shù)分別為：22.8,

27.4,22.9,24.7,23.1,22.6,現(xiàn)從這6人中任選2人，求恰有1人體重為超重的概率.

n__

*￡區(qū)-x）（y「y）

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b上，--------------

￡（Xj-x）2

i=l

a=y-bx'

165+171+167+173+179+171

解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得：X=171，

5

—62+64+74+74+66

=68-

5

6_

￡(xi-x)口-了)

i=l111214

所以b[=

62-120-15,

￡(xrx)

i=l

?141374

=68-171X—

ai11b15

所以141374.

ykF,

(2)由題意3180-1管=76.4，32=2+31=78.4,

11515

一62tm+64+74+74+66340+m,所