高一年級(jí)下冊(cè)期末真題（基礎(chǔ)60題60個(gè)考點(diǎn)）

高一下期末真題精選（基礎(chǔ)60題60個(gè)考點(diǎn)專練）

一.向量相等與共線（共1小題）

1.（2022春?海南期末）設(shè),G是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量,已知屈=-3畫(huà)-k司a=（3-k再-25

+若A，B,。三點(diǎn)共線且互不重合，貝I攵=（）

A.2B.-3C.3D.4

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的基本定理，以及共線向量的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：TA,B,。三點(diǎn)共線，

???存在實(shí)數(shù)入，使得標(biāo)二入前，

,CB=(3-k)e1-2e2*CD=3ej+?2,

,?BD=CD-CB=ke?+3e2,

又?:AB=-3e]-k&2’

?,-3ej-ke=(ke?+3e)

22喂/叫3或區(qū)工

又入=-1時(shí)，AB=-BD，點(diǎn)A，。重合，舍去,

故無(wú)=-3.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量基本定理以及向量共線，屬于基礎(chǔ)題.

二.向量的三角形法則（共1小題）

-?-?.,?.—?一.

2.（2022春?吉林期末）如圖，向量AB=a，AC=b.CD=c，則向量BD可以表示為（）

A.a+b-cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c

【分析】通過(guò)向量的加法減法的運(yùn)算法則，表示出結(jié)果即可.

?'1?">?.?

【解答】解：如圖，向量AB=a，AC=b，CD=c，貝U向量BD=BA+AD，

BA+AD=BA+AC+CD=-a+b+o

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的基本運(yùn)算，考查計(jì)算能力.

三.向量加減混合運(yùn)算（共1小題）

3.（2022春?成都期末）標(biāo)+友-而+以

【分析】根據(jù)向量加減混合運(yùn)算法則，即可求解.

?.......—?

【解答】解：AB+OC-OB+CA=CA+AB+B0+0C=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量加減混合運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

四.向量數(shù)乘和線性運(yùn)算（共1小題）

4.（2022春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形ABCO中，M、N分別是BC、CQ的中點(diǎn)，若菽=人詬+^麗,

A.2B.@C.—D.為

355

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，列方程組解出入，

【解答】解：以AB,為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,則高=（1,—）,BN=（-—,1）,AC=（1,1）.

22

VAC=AAM+HBN.

入q|1=1入q

，解得，

19

-"X+|1=1

INb

.*.X+u=—.

5

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

五.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共1小題）

5.（2022春?林州市期末）已知W，E是單位向量，且lW+El=JE，則向量；與玉的夾角為60°.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量Z與E的夾角為0-由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得（Z+E）2=Z2+2ZN+]2=2+2COS。

=3,變形可得cosO的值，結(jié)合。的范圍，分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)向量之與E的夾角為。，

a，b是單位向量，且la+bl=JE，

則（a+b）2=a2+2a*b+b2=2+2cos0=3,變形可得cose=2，

2

而0°W8W180°,則8=60°,

故答案為：60。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

六.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共1小題）

6.（2022春?上黨區(qū)校級(jí)期末）平面向量之，E的夾角為60。，若偏=2,后|=1,則I：-2芯=2

【分析】根據(jù)條件即可求出（Z-2^）2的值，進(jìn)而得出la-2bI的值.

【解答】解：二，E的夾角為60。，口1=2,|b|=r

?―、’—2———2

,,（a-2b）-a-4a，b+4b=4-4+4=4;

Ia_2bI=2

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】考查向量夾角的概念，向量的數(shù)量積運(yùn)算及計(jì)算公式.

七.投影向量（共1小題）

7.（2022春?鄭城縣校級(jí)期末）向量彳=（0,1）,1=（2,-3）'則E在之上的投影向量為（）

A.（2,0）B.（0,2）C.（-3,0）D.（0,-3）

【分析】直接由投影向量公式求解即可;

—?—?—?

【解答】解：法Z上的投影向量為與且,一一=-32=（0,-3）.

IaIIaI

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的投影公式，屬于基礎(chǔ)題.

八.平面向量的基本定理（共1小題）

8.（2022春?香坊區(qū)校級(jí)期末）在空間四邊形A2CD中，E、尸分別為A3、C￡>上的點(diǎn)，DC=3DF?AB=3AE>

AD=K.前三，則百=（）

1-2-2T1-3f1-

A.B.rD.齊串

44

【分析】根據(jù)已知關(guān)系以及空間向量基本定理化簡(jiǎn)即可求解.

【解答】解：由題意可得Ep=EA+Ali+Dp=-"^+75V正

=,1(AD+DC+CB)+AD+^DC

33

=|■通的=知本,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量基本定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

九.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（共1小題）

9.（2022春?順義區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A（0,1）,B（-1,2）,則標(biāo)的坐標(biāo)為（）

A.(-I,I)B.(1,1)C.(-1,2)D.(-1,3)

【分析】根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)即可得出向量靛的坐標(biāo).

【解答】解：(0,1),8(-1,2),

AB=(-1.1),

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，考查了計(jì)算能力，屬于容易題.

一十.平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共1小題）

10.（2022春?玉林期末）已知向量（入，2）與3=（1,入+1）方向相同，則實(shí)數(shù)人的值為（）

A.-2或1B.-1C.-2D.1

【分析】根據(jù)向量共線同向直接求解.

【解答】解：?.?向量孟=（入，2）與3=（1,入+1）方向相同，

???令ir=，n（，>0）,則（t,解得，A=1,

12=入t+t

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線同向概念及其坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

一十一.數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共1小題）

11.（2022春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知之，E是單位向量，若|2+25|=|21工I，則Z，E的夾角是（）

A.—B.—C.D.

3234

【分析】根據(jù)向量模的數(shù)量積運(yùn)算得a?b=0,進(jìn)而a，b的夾角是2-.

2

【解答】解：因?yàn)?，E是單位向量，所以昌=市=1.

因?yàn)閘a+2bl=|2a-bl?所以Ia『+4a，b+4|bF=4|aF-4a?b+lbl2-

解得a?b=0,所以alb，即夾角是

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

一十二.數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共1小題）

12.（2022春?甘孜州期末）已知平面向量？=（x,1）,b=（2,-4）;若Z1E，則實(shí)數(shù)x=（）

A.2B.-2C.—D.-A

22

【分析】利用向量垂直則數(shù)量積為0可解.

【解答】解：.向量a=（x,1）,b“2,-4>且a_l_b,

a■b=2x-4=0，即x=2>

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

一"h三.向量在物理中的應(yīng)用（共1小題）

13.（2022春?金臺(tái)區(qū)期末）已知兩個(gè)力弓，弓的夾角為三，它們的合力大小為10M合力與弓的夾角為

子，那么短的大小為（）

A.5NB.5我NC.5?ND.10N

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及平面向量的夾角公式，即可求解.

【解答】解：???兩個(gè)力可，互的夾角為三，

?-*-*

,=）,

??F[F2C

???它們的合力大小為10M合力與弓的夾角為弓,

...?2???

_(F]+F2)?FI_Fl二加

cos<F]+「2，F(xiàn)[>解得回|=572-

回+乙|回|10|FjrI。

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，以及平面向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.

一十四.平面向量的綜合題（共1小題）

14.（2022春?嘉興期末）已知平面向量之與Z+2%的夾角為30°,則四」的最大值為（）

lbI

A.AB.2C.4D.8

2

【分析】根據(jù)題意，設(shè)OA=a，AB=2b，則0B=a+2b，過(guò)點(diǎn)A作ACOB,交OB與點(diǎn)。，分析可得

AD^AB,即當(dāng)alW2|bl，變形可得答案.

2

.—?.—?.—?—?

【解答】解：根據(jù)題意，如圖，設(shè)OA=a，AB=2b，則0B=a+2b，

平面向量之與Z+2E的夾角為30。，則403=30°,

過(guò)點(diǎn)A作AQ_L03,交03與點(diǎn)。，易得AO=OAsin30°=3a|,

2

又由AOW4B,可得上R|W2后I，所以衛(wèi)

2IbI

所以反1的最大值為4.

Ibl

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，涉及平面向量基本定理，屬于中檔題.

一十五.正弦定理（共1小題）

15.（2022春?內(nèi)江期末）ZvlBC的內(nèi)角A、8、C所對(duì)的邊分別為隊(duì)氏c,若〃cosB=bsinA,r=—，

3

貝ljb=（）

A返B啦c3近岷D3?-3

,~'2'4'-2-

【分析】利用正弦定理解出角8,再利用正弦定理，即可解出b值.

【解答】解：由正弦定理知y=b,且r—一^,

sinAsinBsinAcosB

.,.sin^=cosB,

VBG(0,IT),

：.B=K

7

c_b

sinCsinB

3

b=4~

V3

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

一十六.余弦定理（共1小題）

16.（2022春?黑龍江期末）已知三角形的三邊滿足條件月2一"+c）、二則NA=（）

be

A.120°B.45°C.60°D.30°

【分析】將已知等式化簡(jiǎn)整理，再結(jié)合余弦定理，即可得解.

【解答】解：由a2-（b+c）2=知層+d-“2=-bc,

be

222

由余弦定理知，cosA=-b^*~c-=be=-_L,

2bc2bc2

因?yàn)锳€（0°,180°）,所以A=120°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

一十七.三角形中的幾何計(jì)算（共1小題）

17.（2022春?農(nóng)安縣期末）已知RLA4BC,ZC=90°,設(shè)AC=〃z,BC=n

（1）若O為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CD=—AB-,

2

（2）若E為CO的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交8c于凡求AF的長(zhǎng)度（用相，"表示）

【分析】（1）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由引能證明

（2）由已知得E（△,獨(dú)），直線AE：y=-3%+m,由此求出F（二，0）,利用兩點(diǎn)間距離公式能求出

44n3

A尸的長(zhǎng).

【解答】證明：（1）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

則C（0,0）,A（0,m）,B（.n,0）,：.D（二，典），

22

22人口2

.?.4/=機(jī)2+〃2,QQL=n_+J2_=,

444

；.CD=^AB.

2

解：（2）為C￡）的中點(diǎn)，（Z,—

44

m

?y-m

...直線AE：工衛(wèi)二—，整理，得y=-包lx+粗，

xn_n

4

,連接AE并延長(zhǎng)交8c于F,...尸（Z,0）

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形中斜邊上中線等于斜邊長(zhǎng)一半的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解

題時(shí)要認(rèn)真審題，合理建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

一十八.解三角形（共1小題）

18.（2022春?保定期末）一艘船航行到點(diǎn)4處時(shí)，測(cè)得燈塔C與其相距30海里，如圖所示.隨后該船以

20海里/小時(shí)的速度，沿直線向東南方向航行1小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)8,測(cè)得燈塔C在其北偏東25°方向，則

sin/ACB=()

A.2sin70°B.&in75°C.^cos70°D?喙

332

【分析】由題意可知AC,A8的值，利用正弦定理即可求解.

【解答】解：由題意可知，/ABC=45°+25°=70°,A3=20海里，

由正弦定理可得一等一=一單一，代入數(shù)據(jù)得sin/ACB工sin70°.

sinZABCsinZACBsin乙BLD3smfu

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，解三角形的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

一十九.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共1小題）

19.（2022春?昌江區(qū)校級(jí)期末）復(fù)數(shù)z=2-i（i是虛數(shù)單位）的虛部為（）

A.-iB.iC.-1D.2

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的基本概念得答案.

【解答】解：復(fù)數(shù)z=2-i的虛部為-1.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的概念題.

二十.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共1小題）

20.（2022春?邯鄲期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

l+3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法原則和復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解:_1=l-3i=1__3_.

z=l+3i(l+3i)(l-3i)=10"IO-1

則復(fù)數(shù)z（i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（工，工）位于第四象限.

1010

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于

基礎(chǔ)題.

二十一.純虛數(shù)（共1小題）

21.（2022春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2=層-5〃?-6+4,?為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)〃?=（）

A.-1或6B.2或3C.2D.6

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解.

【解答】解：?.?復(fù)數(shù)2=/-5,"-6+今為純虛數(shù)，

-5〃]-6=0,解得m=6或m--1.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

二十二.復(fù)數(shù)的運(yùn)算（共1小題）

22.（2022春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算復(fù)數(shù)衛(wèi)匚=1-z.

3+41

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【解答】解:7+i_(7+i)(3-4i)^25-25i,

3+4i(3+4i)(3-4i)=25

故答案為：1-i.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

二十三.共挽復(fù)數(shù)（共1小題）

23.（2022春?徐匯區(qū)期末）若復(fù)數(shù)z滿足"z=3-4i,則2=5

【分析】根據(jù)已知條件，先對(duì)z化簡(jiǎn)，再結(jié)合共短復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：

3-4i_(3-4i)1

z=~~：——----o----=-4-3i-

Az=-4+3i，

|z|=V(-4)2+32=5-

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共輒復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

二十四.復(fù)數(shù)的模（共1小題）

24.（2022春?迎江區(qū)校級(jí)期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=l,則|z|的最大值為（）

A.1B.V3C.2D.3

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、圓的方程即可得出結(jié)論.

【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=l,則z的軌跡為以（0,2）為圓心，1為半徑的圓，

則|z|的最大值=2+1=3,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、圓的方程、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

二十五.復(fù)數(shù)的三角表示（共1小題）

25.（2022春?和碩縣校級(jí)期末）任意復(fù)數(shù)z=〃+bi（mi為虛數(shù)單位）都可以寫(xiě)成z=r（cosO+isin。）

的形式，其中尸｛a2+b2,（0<6<2n）該形式為復(fù)數(shù)的三角形式，其中。稱為復(fù)數(shù)的輻角主值.若復(fù)

數(shù)2=返+上i,則z的輻角主值為（）

22

A.—B.—c.D.

6336

【分析】由復(fù)數(shù)z=1_+2i=cos2-+isin」「L,能求出復(fù)數(shù)z=MJ_+』i的輻角主值.

226622

【解答】解：復(fù)數(shù)z=Y^-+L=cos2-+isin2~,

2266

復(fù)數(shù)z=四+」i的輻角主值為二.

226

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的輻角主值的求法，考查復(fù)數(shù)的三角形式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

二十六.棱柱的結(jié)構(gòu)特征（共1小題）

26.（2022春?錦州期末）已知正方體ABC。-己1，棱長(zhǎng)為2,E為棱BBi的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)4,D,E

三點(diǎn)的正方體的截面面積為（）

A.9B.3我C.D.罵

222

【分析】根據(jù)面面平行，得到截面形狀，求面積.

解：如圖，取BC的中點(diǎn)R根據(jù)面面平行的性質(zhì)，過(guò)4,D,E三點(diǎn)的正方體的截面為梯形4EFD,

???4￡>=2M，EF=42>DF=A\E=Q高力=i^_,...S四邊%A]EFD=/X（72+272）X-^-

_9

---,

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體的截面，是基礎(chǔ)題

二十七.棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征（共1小題）

27.（2022春?豐臺(tái)區(qū)期末）木工小張?jiān)谔幚砣鐖D所示的一塊四棱臺(tái)形狀的木塊48CZ）-A|8iCi5時(shí)，為了

經(jīng)過(guò)木料表面CDDiCi內(nèi)一點(diǎn)P和棱A4i將木料平整鋸開(kāi)，需要在木料表面CDD\C\過(guò)點(diǎn)P畫(huà)直線/,

則/滿足③④.（選出你認(rèn)為正確的全部結(jié)論）

①/〃A4;②l〃BBi；③/與直線A4i相交；④/與直線B8i相交.

【分析】延長(zhǎng)AiA,B18交于點(diǎn)M,則CiC,的延長(zhǎng)線也過(guò)點(diǎn)M,則直線PM即為所求作的直線/,

由此可得出結(jié)論.

【解答】解：延長(zhǎng)44,BiB交于點(diǎn)M,則QC,的延長(zhǎng)線也過(guò)點(diǎn)如下圖所示：

因?yàn)槔?44,則M6平面%iA,則直線P例即為所求作的直線/.

所以，直線/與直線4A、直線BiB都相交.

故答案為：③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

二十八.旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）（共1小題）

28.（2022春?河池期末）已知某圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此圓柱的體積為（）

A.6TTB.4nC.2nD.IT

【分析】由已知可得圓柱的底面半徑與高，則圓柱體積可求.

【解答】解：???圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，

.??圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱體積為T(mén)TX12x2=2Tt.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征，考查圓柱體積的求法，是基礎(chǔ)題.

二十九.簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征（共1小題）

29.（2022春?西城區(qū)校級(jí)期末）唐朝著名的鳳鳥(niǎo)花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看

作是半球與圓柱的組合體（如圖2）.假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，其內(nèi)壁表面積為S平方厘米，半球的半徑為R

厘米.當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁表面積S為定值時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值范

圍為（）

圖^_____圖^______________

A.（0,J^-]B.[J_3S_,+8）c..C?Z）D.

VionVionvion，2兀、5兀vion

【分析】根據(jù)題意，酒杯內(nèi)壁表面積為圓柱與半球的表面積，列出s的表達(dá)式，再求出體積匕解不等

式即可.

【解答】解：設(shè)圓柱的高度與半球的半徑分別為〃，R,

則表面積S=2-aR2+2iiRh,故兀Rh9-兀R2,

所以酒杯的容積丫欄兀R2+兀R2h=-；R34R4171R3,

ooo

所以,《冷兀R2,

4o

又|--KR2>0,

解得唇令＜唇'

所以兀R2<34￡兀R2,

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合體的體積和表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

三十.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積（共1小題）

30.（2022春?秦州區(qū)校級(jí)期末）已知某圓錐的高為3,底面半徑為則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.V221TB.272211C.2TTD.6n

【分析】利用圓錐側(cè)面積公式直接求解.

【解答】解：某圓錐的高為3,底面半徑為企,

則該圓錐的側(cè)面積為：

S=兀X72XV32+2兀.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征、圓錐側(cè)面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

三十一.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共1小題）

31.（2022春?伊犁州期末）將一個(gè)圓錐的高變?yōu)樵瓉?lái)的工，底面半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則所得圓錐的體積

2

)

A.變?yōu)樵瓉?lái)的一半B.變?yōu)樵瓉?lái)的工

6

C.不變D.變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

【分析】由圓錐體積公式分別求解出原來(lái)的體積和變化后的體積，由此可得結(jié)果.

【解答】解：設(shè)圓錐原來(lái)的高和底面半徑分別為/7和心圓錐原來(lái)體積為口，變化后為正，

K2

%卷兀r2卜，；?V2=y*（2r）■卷兀rh=2V/

即圓錐的體積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

三十二.球的體積和表面積（共1小題）

32.（2022春?伊州區(qū)校級(jí)期末）阿基米德（Archimedes,公元前287年——公元前212年）是古希臘偉大的

數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家.他推導(dǎo)出的結(jié)論“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球

的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，后人按照他生前的要求，在他的墓

碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球（如圖所示），該球與圓柱的兩個(gè)底面及側(cè)面均相切，圓柱的底面直

徑與高都等于球的直徑，若球的體積為36n,則圓柱的體積為（）

【分析】先根據(jù)球的體積求出球額半徑，再根據(jù)題意及圓柱的體積公式即可求解.

【解答】解：設(shè)圓柱的內(nèi)切球半徑為R,；球的體積為36m

二名兀屋=36兀，，R=3,

又球與圓柱的兩個(gè)底面及側(cè)面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，

圓柱的體積為皿/?2.2/?=2冗/?3=如乂27=5471,

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積公式，圓柱的體積公式，屬基礎(chǔ)題.

三十三.平面圖形的直觀圖（共1小題）

33.（2022春?平頂山期末）如圖所示，在四邊形。48c中，OA=2,AB=2&，3c=3,OALABS.OA//

BC,則四邊形OABC水平放置時(shí)，用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖面積為（）

A.5我B.5C.—D.

22

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到直觀圖，計(jì)算可得.

【解答】解：如圖所示，07VBe為OABC的直觀圖，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知。0=2,A'B'=如，

B'C=3,Ab平行于y'軸，

...該圖形的面積為$卷X（3+2）xV2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查斜二測(cè)畫(huà)法求直觀圖面積，屬于基礎(chǔ)題.

三十四.斜二測(cè)法畫(huà)直觀圖（共1小題）

34.（2022春?道里區(qū)校級(jí)期末）若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如圖所示的直觀圖，其

中AC〃05,A'CA.B'C,A'C=bOE=2,則原四邊形中AO的長(zhǎng)度為（）

A.V2B.2>/2C.2D.亞

2

【分析】根據(jù)題意，分析直觀圖中O'A'的長(zhǎng)，由斜二測(cè)畫(huà)法分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，直觀圖中，作A'軸，且與『軸交于點(diǎn)。，

又由A'C〃O'B',A'CIB'C,A'C=1,05=2,

貝UO'D=0'B'-A'C'=2-1=1,

A'D=0'D=\,

故O,A，=VI+1=V2.

則原圖中，0A=20'A'=2點(diǎn),

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查斜二測(cè)畫(huà)法，涉及平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

三十五.平面的基本性質(zhì)及推論（共1小題）

35.（2022春?皇姑區(qū)校級(jí)期末）已知正三棱錐P-ABC,底面邊長(zhǎng)為3,高為1,四邊形EFG”為正三棱錐

P-ABC的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形，則四邊形EFGH面積的最大值為（）

A.返B.返C.—D.亞

2224

【分析】根據(jù)題意，設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為。，則由底面邊長(zhǎng)為3,高為1,由1a2-（通）2=1，可求得。=2,再

利用基本不等式求四邊形的面積最大值即可.

【解答】解：設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為小則由底面邊長(zhǎng)為3,高為1,由Wa2-（禽）2=1，可求得a=2,

p

如圖，設(shè)笆?=入，則四=更=31=旦旦=入，且旦2=更=1-入，于是EH=2入,EF=3(1-A),

APPCBPAPPCABAB

所以，SEFGH=EH-EF=2X-3(1-A)=6A(1-A)fA+1~X)2=-^,

k272

當(dāng)且僅當(dāng)入=l-入，即入」時(shí)取等號(hào).

2

故四邊形的面積最大值為3,

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征和基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

三十六.異面直線及其所成的角(共1小題)

36.(2022春?營(yíng)口期末)已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)均為2,M,N分別為棱A￡>,8c的中點(diǎn)，尸為棱A8

上異于A,8的動(dòng)點(diǎn).有下列結(jié)論：

①若點(diǎn)G為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，則無(wú)論點(diǎn)尸與G如何運(yùn)動(dòng)，直線FG與直線C。都是異面直線；

②線段MN的長(zhǎng)度為加；

③異面直線MN和CD所成的角為三；

4

④FM+FN的最小值為2.

其中正確的結(jié)論為()

A.①④B.①③?C.②③D.②③④

【分析】對(duì)于①，取AB的中點(diǎn)為凡C。的中點(diǎn)為E,說(shuō)明四邊形FNEM為平行四邊形，直線尸G與直

線CQ相交于E,即可判斷；

對(duì)于②，解三角形求得線段MN的長(zhǎng)度即可判斷；

對(duì)于③，取BD的中點(diǎn)為H,找到則NHNM即為異面直線MN和CD所成的角或其補(bǔ)角，求得其大小，

即可判斷；

對(duì)于④，將面ABC,而ABC展開(kāi)為一個(gè)平面，即可求得FM+FN的最小值，進(jìn)行判斷，由此可得答案.

【解答】解：對(duì)于①，取A8的中點(diǎn)為F,CQ的中點(diǎn)為E,連接FM,ME,EN,NF,

A

則FA/〃FM=/BD，NE=/BD，所以FM〃NE,EM=NE,故四邊形FNEM為平行四邊形.

則MN與EF交于點(diǎn)G,故此時(shí)直線FG與直線CD相交于E,

因此此時(shí)直線FG與直線CO不是異面直線，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，連接AN,DN,四面體ABCO的所有棱長(zhǎng)均為2,

故AN=DN=如,因?yàn)镸為AO中點(diǎn)，故MN_LAO.

所以MN=M，故②正確；

對(duì)于③，取的中點(diǎn)為H,連接印V,HM,因?yàn)镸,N分別為棱A。，BC的中點(diǎn)，

故?黜=],”N=/CD=LNH//CD.

則NHNM即為異面直線MN和CD所成的角或其補(bǔ)角，

因?yàn)镸H2+NH2=2=MM,故為等腰直角三角形，

則NHNM=』~，故③正確；

4

對(duì)于④，將面480，面ABC展開(kāi)為一個(gè)平面，如圖示：

當(dāng)F,N三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)M+FN最小,因?yàn)樨穑琋分別為棱AD,BC的中點(diǎn),

所以此時(shí)四邊形AMNC為平行四邊形，故MN=AC=2,

即FM+FN的最小值為2,故④正確，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.

三十七.異面直線的判定（共1小題）

37.（2022春?濰坊期末）在正方體ABC。-AiBiCiOi中，與棱AA1異面的棱有（）

A.8條B.6條C.4條D.2條

【分析】判斷異面直線的方法：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線,

由此判斷出正方體中與棱A41異面的直線.

【解答】解:如圖所示,

正方體488-4BiCiDi中，

與棱44異面的棱有：BC,CD,C\D\,B\C\.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了判斷兩條直線是否為異面的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

三十八.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系（共1小題）

38.（2022春?簡(jiǎn)陽(yáng)市期末）如圖，兩個(gè)正方形ABCD,AOE尸不在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)P,。分別為線段EF,

A.相交B.平行C.異面D.不確定

【分析】過(guò)BC,E尸有唯一平面BCE凡P8u平面BCEF,FQC平面BCEF,可得直線尸。與尸8的關(guān)系

是異面直線.

【解答】解：因?yàn)锳￡>〃BC〃EF,所以過(guò)8C,EF有唯一平面8CEF,

因?yàn)镻6EF,B€BC,所以PBu平面8CE尸，

又F€EF,QC平面BCEF,

平面BCEF,又F比BP,

所以直線FQ與PB的關(guān)系是異面直線.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的判定，屬基礎(chǔ)題.

三十九.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系（共1小題）

39.（2022春?莆田期末）設(shè)如〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若機(jī)〃〃，m//a,則〃〃aB.若&〃0,機(jī)ua,"U0,則相〃〃

C.若"〃"，m_La,則〃_LaD.若&_1_0,mua,“u。，則,"_L〃

【分析】A,由直線與直線平行、直線與平面平行分析線面關(guān)系即可判斷；

B,若a〃廿，/wua,“U0,則機(jī)〃"或，〃與w異面；

C,由直線與直線平行、直線與平面垂直分析線面關(guān)系即可判斷；

D,由兩垂直平面中兩直線的位置關(guān)系即可判斷.

【解答】解：對(duì)于A,若加〃小m//a,則〃〃a或〃ua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a〃0,〃?ua,nep,則加〃"或/〃與"異面，即8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若，“〃“，m±a,由直線與平面垂直的性質(zhì)可得〃_La,故C正確；

對(duì)于￡）,若a_L0,,〃ua,〃u0,則相與〃的關(guān)系為平行、相交或異面，故。錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判斷問(wèn)題，也考查了空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

四十.直線與平面平行（共1小題）

40.（2022春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四棱錐P-A8C。中，AB_L平面用。，CD//ABKCD=2AB,PA

LPC,M為PC中點(diǎn).

（1）求證：8M〃平面BLD；

（2）求證：%_L平面PCD.

【分析】(1)取PD中點(diǎn)N,連接AN,MN,證明四邊形ABMN是平行四邊形，再利用線面平行的判定

推理作答.

(2)根據(jù)給定條件，證明4P_LCD再利用線面垂直的判定推理作答.

【解答】證明：(1)在四棱錐尸-ABC。中，取PO中點(diǎn)N,連接AMMN,如圖,

因M為PC中點(diǎn)，則MN〃C￡>,MN或CD，

又CQ〃AB且CO=2AB,則有MN〃AB,MN=AB,

即四邊形ABMN是平行四邊形，有8M〃AN,而4Vu平面布。，8MC平面力

所以8例〃平面PAD.

(2)因AB_L平面玄。，用u平面網(wǎng)￡>,則AB_LB4,

而CD//AB,因此，PALCD,

又必_LPC,P(riCD=C,PC,CDu平面PCD,

所以fi4_L平面PCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面平行的判定，線面垂直的判定等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

四H■一.直線與平面垂直(共1小題)

41.(2022春?萍鄉(xiāng)期末)如圖，矩形ABCO所在平面與半圓弧而所在平面垂直，M是加上異于C、。的

點(diǎn).

(1)證明：。例，平面8WC；

(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)尸，使得MC〃平面P2O?說(shuō)明理由.

D,—/c

【分析】（1）通過(guò)平面CMQ_L平面ABCD,推出BC_L平面CMD,得到BC±DM.證明DM±CM.即可

證明￡>M_L平面BMC.

（2）連結(jié)AC交于0.說(shuō)明。為AC中點(diǎn).連結(jié)0P,證明MC〃OP.即可說(shuō)明MC〃平面P8D.

【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意，平面CM。，平面ABC￡>,交線為CD.

因?yàn)锽C_LC￡）,BCu平面ABCO,所以BC_L平面CMC,故BC_LOM.

因?yàn)镸為半圓弧上異于C,。的點(diǎn)，且。C為直徑，所以

又BCCICM=C,BCu平面BMC,CMu平面BMC,

所以￡>M_L平面BMC；

（2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC〃平面尸80.

證明如下：連結(jié)AC交8。于0.因?yàn)锳8C。為矩形，所以。為AC中點(diǎn).

連結(jié)。P,因?yàn)槭瑸锳M中點(diǎn)，所以MC〃0P.MCtt平面尸80,。尸u平面PBQ,

所以MC〃平面PBD

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，考查空間想

象能力，邏輯推理能力，是中檔題.

四十二.平面與平面之間的位置關(guān)系（共1小題）

42.（2022春邛可克蘇市校級(jí)期末）已知〃?，”是兩條不重合的直線，a,0,丫是三個(gè)兩兩不重合的平面，給

出下列四個(gè)命題：

①若〃」a,〃?_L0,則a〃0；

②若a_Ly，P-Ly>則a〃由

③若wjua,"U0,則a〃仇

④若"?，〃是異面直線，機(jī)ua,機(jī)〃0,nep,n//a,則a〃樂(lè)其中真命題是（）

A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④

【分析】在①中，由線面角的定義可知平面a