高考數(shù)學(xué)回歸基礎(chǔ)復(fù)習(xí)大綱

高考數(shù)學(xué)回歸基礎(chǔ)復(fù)習(xí)大綱

一、基本知識(shí)

（一）集合（必修1第一章）

1、集合及其表示（A）

2、子集（B）

3、交集、并集、補(bǔ)集（B）

（1）含〃個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2”,真子集（非空子集）個(gè)

數(shù)為2"-1;

（2）==注意：討論的時(shí)候不要遺忘了A=0的情

況；

（3）G（AUB）=GAnG3，G（An8）=GAUG3?

注：①理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)

關(guān)系中自變量的取值？還是因變

量的取值？還是曲線上的點(diǎn)？…；如：｛x|y=lgx｝與｛y|y=lgx｝及

｛（x,y）ly=igx｝?

②數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法：解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)

軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，

將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的

思想方法解決，特別是在集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算之中.注意0是

任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.注意補(bǔ)集思想的應(yīng)用

（反證法，對(duì)立事件，排除法等）.

（二）函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（必修1第二章）

1、函數(shù)的概念（B）:

注意①第一個(gè)集合中的元素必須有象；②一對(duì)一，或多對(duì)一.

判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)：（1）A中元素必須都有象且唯

一；（2）B中元素不一定都有

原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象.

2、函數(shù)的基本性質(zhì)（B）

函數(shù)定義域的求法：函數(shù)解析式有意義；符合實(shí)際意義；定義

域優(yōu)先原則！

復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域?yàn)橐晕穑鋸?fù)合函數(shù)/Tg（M

的定義域由不等式a〈g（x）以解出即可；若已知了國(guó)（切的定義域?yàn)?/p>

口向，求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)向時(shí)，求g（x）的值域（即/（幻的

定義域）.

函數(shù)解析式的求法：代入法，湊配法，換元法，待定系數(shù)法，

函數(shù)方程法.

函數(shù)值域的求法：

（1）配方法一一二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類:

一是求閉區(qū)間口〃］上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）

的最值問題.求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：

一看開口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系）.

如：求y=f-2x+3,xe［a,a+2］的最大值與最小值（最大值分兩類；最

小值分三類）.

（2）換元法一一通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的

函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型.

如：求/（x）=sinx-cosx+sinx+cosx的值域.

（3）函數(shù)有界性法一一直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過

函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的

有界性.

（4）單調(diào)性法一一利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函

數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性.

如：函數(shù)/（幻=也在上（-2,+8）單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

x+2

（5）數(shù)形結(jié)合法一一函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)

的距離、直線斜率、絕對(duì)值的意義等，注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，

要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在X軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則

要使兩定點(diǎn)在x軸的同側(cè).

如：求函數(shù)?。?g-1）2+4+上-2）2+9的最小值（距離之和或向量法）.

（6）判別式法一一對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可

通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判

別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式.常見題型：

①尸工型，可直接用不等式性質(zhì)，如：尸/-；②y=-型，

k+xr+4x+如+〃

先化簡(jiǎn)，再用均值不等式，如：［不心。）；③尸+山」型,

通常用判別式法（或分離常數(shù)化為②型）；④尸■+〃，+〃'型,可縣

mx+n

化簡(jiǎn)為y=ox+2+c（a>o*>0）用均值不等式法或函數(shù)的單調(diào)性解決.

X

（7）不等式法利用基本不等式a+R+）求函數(shù)的最值,

其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為

定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧.

如：x>0,y>0,且x+y=Jx+1+Jy+3,求x+y的最大值.

又如：求/（幻==-+」^,1CV麗的最小值.

x-110-x

（8）導(dǎo)數(shù)法-----般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù).

如：求/（x）=xlnx,X>0的極小值.

提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？

（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？

分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，

再下結(jié)論.

如：已知函數(shù)九04（3-7。）尤+2"<1單調(diào)遞減，求°的取值范圍.

［log“x,X>1

復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題：

（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知/（X）的定義域?yàn)榭谙颍鋸?fù)合

函數(shù)/Tg（x）］的定義域由不等式a<g（x）4b解出即可；若已知/［g（初

的定義域?yàn)椋踑向，求/（x）的定義域，相當(dāng)于當(dāng)尤向時(shí)，求g（x）的

值域（即〃x）的定義域）.

（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：①首先將原函數(shù)尸〃g（x）］分解為

基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)"=g（x）與外函數(shù)）=/（"）；②分別研究?jī)?nèi)、外函

數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；③根據(jù)“同增異減”來判斷原函

數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性.

注意：外函數(shù)"/（〃）的定義域是內(nèi)函數(shù)M=g（X）的值域.

函數(shù)的奇偶性

⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的心霽事佳；

⑵/（X）是奇函數(shù)o/（-x）=-/（x）of（-x）+/'（X）=0o=-1（/（%）X0）；

/（X）

⑶/（X）是偶函數(shù)o/（-x）=/（X）=/（|X|）=/（-X）-/（X）=0o=1（/（X）手0）；

f（x）

⑷奇函數(shù)〃x）在原點(diǎn)有定義，則/（。）=。（可用于求參數(shù)）；

⑸在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶

函數(shù)有相反的單調(diào)性；

⑹若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，等價(jià)變形，再判

斷其奇偶性.

如：/（x）=ln（GTT-x）是函數(shù).

函數(shù)的單調(diào)性

⑴單調(diào)性的定義：/⑴在區(qū)間M上是增（減）函數(shù)=V5fe相當(dāng)

項(xiàng)<龍2時(shí)，f（Xt）-f（X2）<°（>°）（Xl-X2）l/（Xl）-f（X2）1>°（<°）

o?3>o?o）；

Xj-x2

⑵單調(diào)性的判定:①定義法：注意：一般要將式子/但）—"/）化為幾

個(gè)因式作積或作商的形式，以利于判斷符號(hào)；②導(dǎo)數(shù)法（見導(dǎo)數(shù)部

分）；③復(fù)合函數(shù)法（同增異減）；④圖像法.

注：證明單調(diào)性要用定義法或?qū)?shù)法；求單調(diào)區(qū)間，先求定義域；

多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用“并集”、”或，，；單調(diào)區(qū)間不能用集合或不

等式表不.

函數(shù)的周期性

⑴周期性的定義：對(duì)定義域內(nèi)的任意X,若有/（x+T）=/（x）（其中T

為非零常數(shù)），則稱函數(shù)/"）為周期函數(shù)，T為它的一個(gè)周期.所有

正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期.如沒有特別說明，遇到的

周期都指最小正周期.

⑵函數(shù)周期的判定：①定義法(試值)；②圖像法；③公式法

(利用⑶中的結(jié)論).

⑶與周期有關(guān)的結(jié)論：

①/(x+a)=/(x-a)或/"(x-2a)=/(x)(a>O)=/(x)的周期為2a；

②y=/(x)對(duì)xeR時(shí)，/(x+a)=-/(x)(或/(x+a)=―-^―),則y=/(x)是

/(x)

周期為2時(shí)

的周期函數(shù)；

③若k是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱，則/(X)是周期為

2時(shí)的周期函數(shù);

④若k/⑸是奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=〃對(duì)稱，則/⑴是周期為

41a的周期函數(shù).

3、指數(shù)與對(duì)數(shù)(B)

h

(1)a=N^b=\ogaN(a>Q,a^\,N>0);

(2)log,N二哨”0b>Qa、%Wl,N>0).

log,,a

4、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)(B)

y=a'(要對(duì)0<a<l以及a〉l展開討論.)

5、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)(B)

y=logax(要對(duì)0<a<l以及a>l展開討論.)

注：同底的對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)y=%關(guān)于對(duì)稱.(如)，=2、與

y=log,x)

如：方程2*+x-3=0與唾2%+%-3=0的根之和為.

6、寨函數(shù)(A)

在考查學(xué)生對(duì)嘉函數(shù)性質(zhì)的掌握和運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問題時(shí)，涉及

的基函數(shù)/(%)=/中的a常在集合｛-2,—1,—；,安,1,2,3｝中取值.

7、函數(shù)與方程(A)

8、函數(shù)模型及其應(yīng)用(B)

補(bǔ)充：

1、基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

⑴黑函數(shù)：y=xa(ae/?);⑵指數(shù)函數(shù):y=a*(a〉0,aw1)；

⑶對(duì)數(shù)函數(shù):y=log°x(a>0,-l);⑷正弦函數(shù):y=sinx；

(5)余弦函數(shù):y=COSX;⑹正切函數(shù)：y=tanx;

⑺一元二次函數(shù)：

a,八、

函數(shù)y-x+—(a>0J

y=ax2+bx+c{a^O);X

⑻其它常用函數(shù)：定義

(—oo,0)kJ(0,4-oo)

①正比例函數(shù)：y=5%wO)；域

(-8,-2八]u[27a,+oo)

②反比例函數(shù)：y」伙W0)；值域

X奇偶

特別的y」；函數(shù)y=x+@(a>0)；奇函數(shù)

xx性

函數(shù)>=X」(XHO).在(-OO,—7a],[Va,+oo)上單調(diào)

X

單調(diào)遞增

掌握函數(shù)y=x+9(a>0)的圖象和性

x性在[-血o),。加上單調(diào)遞

質(zhì)：減

(如右圖)

⑼關(guān)注基本初等函數(shù)間圖像的關(guān)

系：

如：①》=%與""(a>D相切，圖象

則”；

變:》(a>1)的定乂域、值域均為[北加(〃>〃z>0),則aw.

②y=ax2(a>0)與>=Inx相切，貝(]°=.

(10)研究函數(shù)①/(x)=xlnx(x>0)；②f(x)=(x>0)的性質(zhì)及應(yīng)用.

x

2、二次函數(shù)：

⑴解析式：(〃>0)

①一般式：/(x)=ax2+bx+c；"

②頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-h)2+k,(九左)為頂點(diǎn);

③零點(diǎn)式：/(x)=a(x-x,)(x-x2).

⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：①開口方向；②對(duì)稱軸；③端

點(diǎn)值；④與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤判別式；⑥兩根符號(hào).

⑶二次函數(shù)問題解決方法：①數(shù)形結(jié)合；②分類討論.(二次函數(shù)在

閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看

對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系.)

3、函數(shù)圖象

⑴圖象作法：①描點(diǎn)法(注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖)②圖象變換法

③導(dǎo)數(shù)法.

⑵圖象變換：

平移變換:iy=f(x)^y=f(x±a),(a>0)左"右"-"；

iiy^f(x)->y=f(x)±k,(k>0)------上“+”下“一”；

伸縮變換：

iy=f(x)^y=f(aix),(<y>0)------縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的

，倍；

CD

ii.y=f(x)->y=Af(x),(A>0)------橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的

A倍；

對(duì)稱變換：iiiy=f(x)^>y=_/(x)；

iiiy=f(x)—y=f{-x)；ivy=/(%)%=/(y)；

翻轉(zhuǎn)變換：

iy=/(x)-y=/(IxI)右不動(dòng)，右向左翻(/(x)在y左側(cè)圖象去掉);

iiy=,f(x)-^y=\f(x)|------上不動(dòng)，下向上翻(|/(x)I在X下面無圖象);

⑶函數(shù)圖象(曲線)對(duì)稱性的證明：

i證明函數(shù)y=/(x)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)

稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；

ii證明函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象的對(duì)稱性，即證明y=/(x)圖象上

任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)在產(chǎn)g(x)的圖象上，

反之亦然；

注：①曲線G"(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)go)的對(duì)稱曲線。2方程為：

f(2a-x,3-加=0②曲線G：f(X,y)=0關(guān)于直線*=°的對(duì)稱曲線C?方程

為：f(2a-x,y)=0；

③曲線G：/(x,y)=O關(guān)于y=x+a(或廣-x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為

f(y—a,x+a)=O(或/(-y+a,_x+a)=0)；

④f(a+x)=f(b-x)(x€/?)--->y=/(x)圖像關(guān)于直線x=-"；"對(duì)稱；

特別地：f(a+x)-f(a-x)(xe/?)--->y=/(x)圖像關(guān)于直線x=°對(duì)稱；

⑤函數(shù)尸/(-)與y=/S-x)的圖像關(guān)于直線》=空對(duì)稱；

4、函數(shù)零點(diǎn)的求法：⑴直接法(求/(x)=0的根)；⑵圖象法；

⑶二分法.

5、方程氏=/(幻有解oZeQ(。為f(x)的值域)；

6、恒成立問題的處理方法：

⑴分離參數(shù)法：心/。)恒成立0。2"(必伽；a4/(x)恒成立o

注意：Vx&R,a>f{x}與R,a>f(x)的區(qū)別！

⑵轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布，列不等式(組)求解.

7、實(shí)系數(shù)一元二次方程/(%)=ax1+bx+c=0(a>0)的兩根項(xiàng)的分布問

題：

根的

x>x>km<X{<x2<nx<k<x

情況x2}2

等價(jià)在(%,+8)上有在(AW,上有在(A:,+oo)和(-8閨上各有

命題兩根兩根一根

A>0

充要A>0/(加)>0

/w>of(n)>0/U)<0

條件b,h

------>ktn<-----<n

2a2a

注意：若在閉區(qū)間的,〃］討論方程/3=0有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用

在開區(qū)間(加,〃)上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，在令》=〃和x=m檢查

端點(diǎn)的情況.

二、思想方法

(-)函數(shù)方程思想

函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法處理變量或未知數(shù)之

間的關(guān)系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想.

1、函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系

表達(dá)出來，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問題，這就

是函數(shù)思想；

2、應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，

大體可分為下面兩個(gè)步驟：（1）根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系

式，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題；（2）根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用

函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問題；（3）方程思想：在某變化過程中，往往

需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值，這時(shí)常常列出這些變量的

方程或（方程組），通過解方程（或方程組）求出它們，這就是方

程思想；

3、函數(shù)與方程是兩個(gè)有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲

透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法解決，很多函數(shù)的問

題也需要用方程的方法的支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成

了函數(shù)方程思想.

三、易題重現(xiàn)

1、至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是.

2、設(shè)/={（x,y]y=-4x+6},廬{（x,y]y=5x-3卜則4G斤.

3、不等式的解集是.

4、已知貝|工2+12的值為.

1

5、函數(shù)yr才的定義域是_____；值域是.

6、函數(shù)片、^一（，尸的定義域是;值域是.

7、已知集合/={㈤寸+（p+2）x+l=0,p￡R\,若ACR'=族。則實(shí)數(shù)夕的

取值范圍為.

8、已知集合公{x|-2WxW7},廬{x|研1VXV2〃一1},若

則函數(shù)"的取值范圍是.

9、函數(shù)尸kx+7的定義域是一切實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

kx~+4%x+3

10、判斷函數(shù)廣⑴二々一〃、腎的奇偶性為_____________________

V1-X

]+X

11、已知函數(shù)f(x)=logr.----(力0,aWl).⑴求F⑨的定義域;

1—x

⑵解不等式f(x)>0.

高考數(shù)學(xué)回歸基礎(chǔ)材料二

一、基本知識(shí)6

（三）基本初等函數(shù)n（三角函數(shù)（必修4第一章））、三角恒等變

換（必修4第三章）

1、三角函數(shù)的概念

⑴象限角的概念：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于

任何象限.

⑵弧長(zhǎng)公式：l=\a\R,扇形面積公式：S=；/R=Ja|R?,1弧度（11W）=573.

⑶任意角的三角函數(shù)的定義：

設(shè)a是任意一個(gè)角，是a的終邊上的任意一點(diǎn)

（異于原點(diǎn)），

它與原點(diǎn)的距離是「=乒了＞。，那么

sina=—,cosa=—,tana=—,（x*o）,

rrx

三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律記憶口訣：一全正，二正弦，三是切，四余弦.

⑷三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP”站在X軸上（起點(diǎn)在X軸上）”、

余弦線0M“躺在X軸上（起點(diǎn)是原點(diǎn)）”、正切線AT“站在點(diǎn)A（1,O）處

（起點(diǎn)是A）”.三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解

三角不等式.

常見三角不等式：

(1)若xe(O,工)，貝！Jsinx<x<tanx;

2

(2)若xe(O,g,則l<sinx+cosx<V2;

證明思路：一、三角函數(shù)線；二、構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)解決.

(3)|sinx|+1cosx|>1.

⑸特殊角的三角函數(shù)值：

X30°45°60°0°90°180°270°15°75°

V2

sina1010—1

2244

tana1V3002-62+73

-3-/

2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

平方關(guān)系：sinZe+cos?*：!；商數(shù)關(guān)系：tan。二電應(yīng).

cos。

3、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式

(1)負(fù)角變正角，再寫成2版■+￡,0Va<2乃;

(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).

2?

22

.尸兀(-1)sinez,"為偶數(shù)(-l)cosa9"為偶數(shù)

sin(_+6Z)=巴cos(_+a)=)如

(-1)2cosa,九為奇數(shù)[(-1)2sina,〃為奇數(shù)

可用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”概括.

4、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

性質(zhì)y=sinxy=cosxy=tanx

圖像

定義域

值域

周期

單調(diào)性及

遞增遞減區(qū)間

奇偶性

對(duì)稱軸

對(duì)稱中心

最值(給定區(qū)

間的最值)

5、函數(shù)y=Asin(<zzv+0)的圖象與性質(zhì)

(1)幾個(gè)物理量：A—振幅；/=y—頻率(周期的倒數(shù))；CDX+(p—

相位；°一初相；

(2)函數(shù)y=Asin(0x+°)表達(dá)式的確定：A由最值確定；①由周期確定；

8由圖象上的特殊點(diǎn)確定；

(3)函數(shù)y=Asin(>x+e)圖象的畫法：①"五點(diǎn)法"---設(shè)X=a)x+(p,

令X=0,工肛四,2萬求出相應(yīng)的x值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得

22

出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法.

(4)研究函數(shù)kAsinQx+⑼性質(zhì)的方法：類比于研究ksinx的性質(zhì)，

只需將y=Asin(ox+e)中的CDX+(p看成y=sinx中的x,但在求y=Asin(6wx+e)

的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和。的符號(hào)，通過誘導(dǎo)公式先將①化正.

(5)函數(shù)y=Asin(@x+s)、y=Acos(dzr+0),xeR(A,<y,e為常數(shù)，且AwO,0>0)

的周

期T3;函數(shù)y=Atan(①x+9),a)x+(p^k兀+乙keZ為常數(shù),且AwO,69>0)

(o2

的周期T

CD

6、兩角和(差)的正弦、余弦及正切

sin(a±/?)=sinacos(3±cosasin[3；

cos(a±/7)=cosacosp干sinasm[3；

,,c、tana±tan/7

tan(a±')=------------

1+tanortanP

7、二倍角的正弦、余弦及正切

sin2a=sinacosa.

cos2a—cos2cif-sin2a-2cos2a-\=\-2sin2a

-2tana

tan2a=---------.

1-tana

注：三角函數(shù)的恒等變形的基本思路：一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀

察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函

數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇保坏?/p>

三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).基本的技巧有：⑴巧變角(配角)；⑵三

角函數(shù)名互化（切化弦）；（3）公式變形使用；（4）三角函數(shù)次數(shù)的降

升；（5）式子結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化（對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同）；（6）常值變

換主要指“1”的變換；⑺正余弦“三兄妹一一sinx士COSX、sinxcosx”

的內(nèi)在聯(lián)系---“知一求二”.

輔助角公式中輔助角的確定：

asinx+6cosx=+從sin（x+6）（其中。角所在的象限由a1的符號(hào)確定，9

角的值由tan”2確定），在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.

a

求角的方法：先確定角的范圍，再求出關(guān)于此角的某一個(gè)三角函數(shù)

（要注意選擇，其標(biāo)準(zhǔn)有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單

調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）.

（四）解三角形（必修5第一章）

1、正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用

⑴正弦定理*=上=-=2/?（2R是A4BC外接圓直徑）如何用

sinAsinBsinC

向量法證明?

注：（D。：人：c=sinA:sin3:sinC；a=27?sinA,h=27?sinB,c=27?sinC；（§）

a_b_c_a+b+c

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

⑵余弦定理：

a2=b2+c2-2Z?ccosAcosA="十，———

2bc

h2=c2+〃_2cacosB

c2=a2+b2—2abcosC

熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，處理三角

形內(nèi)的三角函數(shù)問題勿忘三內(nèi)角和等于180。，一般用正余弦定理實(shí)施

邊角互化.

三角形中的其他結(jié)論：

=

(1)S==—bhh=—chc(/??'/%、〃<.分^別表^萬ci,b,c邊.上的)；^&ABC~cibsinC.

(2)三角形內(nèi)切圓半徑r=ZS^BC；

a+h+c

特殊的，直角三角形內(nèi)切圓的半徑：

①/;2；②〃=—(角C=90).

a-hh-bc2

(3)三角形的外接圓直徑2R=-=二=三.

sinAsinBsinC

已知a也A時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)的判定：

其中Z?=bsinZ

⑴力為銳角時(shí)：①時(shí)，無解；②a=/z時(shí)，一解

(直角)；③/?<a<b時(shí)，兩解(一銳角，一鈍角);

④時(shí)，一解(一銳角).

⑵力為直角或鈍角時(shí)：①aWb時(shí)，無解；②a>6

時(shí),一解(銳角).

三、易題重現(xiàn)

1、若一個(gè)600°的角的終邊上有一點(diǎn)夕(一4,a),則a的值為.

2、cos研餡sinciF.

3、(l+tan44°)(l+tanl°)=；

4、已知tana=~,則sin2df+sin2QF.

乙

n、317〃7〃sin2x+2sinx

5、已知cos(T+x)=z,<x<-,求的值.

40iLt4?j

6、如圖，三個(gè)相同的正方形相接，則研酒----

7、函數(shù)f(X)=sinxcosx的值域?yàn)開_____________.

l+sinx+cosx

8、已知函數(shù)f(x)=2cos(3+2)—5的最小正周期不大于2,則正整

43?

數(shù)k的最小值是.

9、下列各式能否成立？為什么？

(A)cos?尸啦(B)sinx—cosx^z

乙

jr

10、已知函數(shù)y%sin（2x+w）,XER.

o

（1）如何變化可以得到函數(shù)p=s力?X的圖象；

⑵寫出其遞減區(qū)間；（3）寫出V取得最小值的x的集合；

⑷寫出不等式3sin（2x+j）>乎-的解集.

高考數(shù)學(xué)回歸基礎(chǔ)材料三

一、基本知識(shí)

（五）平面向量（必修4第二章）

1、平面向量的概念

（1）向量的概念：向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是

有向線段，為什么？（向量可以平移）.

（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：6,注意零向量的

方向是任意的.

（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量（與通共線的單位向量

是+巫）.

~\AB\

（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等

向量有傳遞性.

（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量入b

叫做平行向量，記作：a//b,規(guī)定零向量和任何向量平行.

提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩

個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包

含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合;③平行向量

無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛小＃?；④三點(diǎn)A、8、C共線o延北共線.

（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量.>的相反

向量是一「.

2、平面向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)入、u為實(shí)數(shù)

(1)結(jié)合律：幾(〃&)=(加)口；

⑵第一分配律：(2+〃)乙=而+留；

(3)第二分配律："。+5)=而+肪.

注：實(shí)數(shù)4與向量a的積是一個(gè)向量，記作布，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定

如下：⑴即|=|刈司；⑵當(dāng)幾>0時(shí)，血的方向與々的方向相同，當(dāng)幾<0

時(shí)，旗的方向與日的方向相反，當(dāng)2=0時(shí)，Aa=O,注意：Aa^O.

3、平面向量的坐標(biāo)表示

向量的表示方法：

①幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如麗，注意起點(diǎn)在前,

終點(diǎn)在后；

②符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如"5,二等；

③坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同

的兩個(gè)單位向量f，]為基底，則平面內(nèi)的任一向量?？杀硎緸?/p>

[=行+辦(刈,稱(x,y)為向量值的坐標(biāo)，a=(x,y)叫做向量乙的坐標(biāo)表示.如

果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

(1)設(shè)。=(再,兇)，b=(x,,)'2),貝1a+g=a+如y+%).

(2)設(shè)a=O，y),b=(x2,y2),則&-1=(再-0yp).

(3)設(shè)A(x”％),8(々,月)，則而=方-況=(%-4%-x).

(4)設(shè)a=(x,y),4GR,則幾a=(2x,2y).

(5)設(shè)a=(x”y),3=(孫力)，則a*b=xlx2+yty2.

平面向量基本定理：如果I、窗是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那

么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、4,使得

￡=竭+4小不共線的向量1、團(tuán)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一

組基底.

4、平面向量的數(shù)量積

兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量作次=￡,詼=9，ZAOB=0(O<0<^

稱為向量Z,2的夾角，當(dāng)6=0時(shí)，a,2同向，當(dāng)。=乃時(shí)，a,3反

向，當(dāng)。=工時(shí)，a,B垂直.當(dāng)。為銳角時(shí)，a>0,且不同向,

2

￡%>0是8為銳角的必要非充分條件；當(dāng)。為鈍角時(shí)，a-b<0,且

不反向，￡4<o是。為鈍角的必要非充分條件.

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a,b=b,a(交換律)；

(2)(Za),b=A(a?b)=Aa?b=a?(Ab);

(3)(a+b)?c—a?c+b*c.

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表不：

(1)若以=@],弘),b=(X2，y2),貝(小萬=%巧+%％；

腳卜J(X|-才+0一%)2；

(2)若K(x,y),貝H二二4+丫2,同=爐7；

cose=(a=偽方)，b=(x2,y,)).

9.平面兩點(diǎn)間的距離公式(/(3D,B(x2j2)).dAB=\AB\=ylABAB

22

=y/(x2-x,)+(y2-y,)

5、平面向量的平行與垂直

⑴兩個(gè)向量平行的充要條件：設(shè)三(即力)，%為實(shí)數(shù).①

向量式：a//b(^7^6)a-Ab；②坐標(biāo)式：一

x2yi=0.

⑵兩個(gè)向量垂直的充要條件：設(shè)Z二區(qū),%),右二(必外)，①向量式：7

J_3(1#6)oai=0;②坐標(biāo)式：a-LbXiX2+yiY2=0.

6、平面向量的應(yīng)用

重要結(jié)論：

⑴三角形的重心坐標(biāo)公式：AABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x「%)、

B(x21y2),C(X3，y3),則AABC的重心的坐標(biāo)是G(“十彳十七,X+巳+%).

⑵設(shè)4(Xi,xK、B(X2,y),則S/4仍=4芭乃-々訃

(3)三角形五“心”向量形式的充要條件:

設(shè)。為AABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,仇c,則

①0為AABC的外心<^OA=OB1=OC\

②0為AAfiC的重心o礪+而+反=6.

③。為AABC的垂心o萬?麗=而五=］布.

二、思想方法

(三)向量法

向量法是運(yùn)用向量知識(shí)解決問題的一種方法，解題常用下列知識(shí)：

(1)向量的幾何表示，兩個(gè)向量共線的充要條件；

(2)平面向量基本定理及其理論；

(3)利用向量的數(shù)量積處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題.

三、易題重現(xiàn)

1、和向量2=(6,8)共線的單位向量是.

2、已知向量而二(a,6),向量而J_力且同=愀則力的坐標(biāo)可能的一個(gè)為

3、若0為平行四邊形ABCD的中心，湎=4?i,脛=6口,3瓦-2不等于

4、若方=(5,—7)石=(一1,2),且(方+焉)1b,則實(shí)數(shù)4的值為.

5、已知1(1,2),4(—3,2),當(dāng)衣為何值時(shí)，(1)h+3與Z—32垂

直？(2)篙+1與二一3Z平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？

6、已知鼠|=近。(I)若，"，求。?沙；(II)若”，b的夾

角為135°,求

高考數(shù)學(xué)回歸基礎(chǔ)材料四

一、基本知識(shí)

(六)數(shù)列(必修5第二章)

1、數(shù)列的概念數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集M(或它的有限子集

{1,2,3,…，〃})的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)

的解析式.

2、等差數(shù)列

(1)等差數(shù)列的概念：

①等差數(shù)列的判斷方法：定義法a“+1-4=d(d為常數(shù))或

a，，+1-a，，=a，，-《，T(w22).

②等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則/叫做〃與人的等差中項(xiàng)，且

A,=-a-+b.

2

(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式4=%+(〃-l)d=而+%-4(〃￡N*);〃“=am+(n-m)d,

d=/&

n-m

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式為S"=幽應(yīng)=叫+及上為=4+3「，)〃.

2222

(3)等差數(shù)列的性質(zhì)：

①當(dāng)公差dwO時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式%=q+("-l)d=加+是關(guān)于〃的一

次函數(shù)，且斜率為公差d；前〃項(xiàng)和S,=/+如*=,+(%等〃是關(guān)于〃

的二次函數(shù)，常數(shù)項(xiàng)為0.

②若公差d>o,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<o,則為遞減等差數(shù)列，

若公差d=0,則為常數(shù)列.

③當(dāng)加+〃=p+q時(shí)，則有+4.特別地,當(dāng)加+〃=2p時(shí),則有

4”+4=2冊(cè)?

④若他“｝、是等差數(shù)列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2ttt…也成等差數(shù)列.

④在等差數(shù)列｛an］中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃時(shí)，S偶—S奇=nd；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃-1

時(shí)，

S奇一S仙=a中，$2“_|=(2〃-l)q,(這里。中即凡)；S奇：S偶=(〃+1):八

⑤若等差數(shù)列0｝、電｝的前"和分別為A,,、紇，且今=/(〃)，則

r吟加2//-1…?

⑥“首正”的遞減等差數(shù)列中，前“項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和;

“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前八項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之

和.法一：由不等式組!42。金!4M。)確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)(或非

正)；法二：因等差數(shù)列前〃項(xiàng)是關(guān)于〃的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二

次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性〃eN*.

⑦如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)

列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小

公倍數(shù).

注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究區(qū),=￡.

3、等比數(shù)列

(1)等比數(shù)列的有關(guān)概念：

①等比數(shù)列的判斷方法：定義法也r(4為常數(shù))，其中或

4

也=(n>2).

a?an-\

l,

②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：4,=*1=%/("€心；an=amq-"1,q=n-l,[^-

q\4.

等比數(shù)列的前"和：S.=4(1./)=\a｝\-anq

i-qIi-q

特別提醒：等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列

前"項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比4是否為1,再由4的情況選擇求和公

式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要對(duì)q分4=1和qwl兩種

情形討論求解.

③等比中項(xiàng)：若a,Ab成等比數(shù)列，那么4叫做“與。的等比中

項(xiàng).提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比

中項(xiàng)，且有兩個(gè)±7萬.

(2)等比數(shù)列的性質(zhì)：

①當(dāng)7M+"=p+q時(shí),則有=%,?%,特別地，當(dāng)m+〃=2p時(shí)，則有

a,“?a“=a；?

②若｛%｝是等比數(shù)列，且公比六-1,則數(shù)列5“￡-?心,,「。也是等

比數(shù)列.

當(dāng)4=-1,且〃為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列…是常數(shù)數(shù)列0,它不

是等比數(shù)列.

③若4>0應(yīng)>1,則｛4｝為遞增數(shù)列;若％<0應(yīng)>1,則｛4｝為遞減數(shù)列.

若4>0,0<q<l,則｛凡｝為遞減數(shù)列；若4<0,0<夕<1,貝人怎｝為遞增數(shù)列.

若”0,則｛%｝為擺動(dòng)數(shù)列；若4=1,則以｝為常數(shù)列.

④當(dāng)“1時(shí)，S"=3q"+'=aq“+b,這里a+b=0,但〃關(guān)0/*0,這是等

\-q\-q

比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式特征，據(jù)此判斷數(shù)列｛叫是否為等比數(shù)列.

如：5“=3"+/1為等比數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和，則4=.

⑤在等比數(shù)列3｝中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃時(shí)，%=染.；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃-1

時(shí)"?S奇="+qS仙.

注：

①數(shù)列&｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛““｝是非零常數(shù)數(shù)

列，故常數(shù)數(shù)列以｝僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非

充分條件；

②熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，在用等

比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，勿忘分類討論思想；

（3）當(dāng)m+n-p+q時(shí)，對(duì)等差數(shù)列有a+a“=ap+aq；對(duì)等比數(shù)列有

a,n-an=4.%；

④若3｝、出｝是等差數(shù)歹U,則若（功也｝（七夕是非零常數(shù)）是等差

數(shù)列;若列J、｛4｝是等比數(shù)列,則｛4為｝、｛aZ｝等也是等比數(shù)

列；

⑤數(shù)列單調(diào)遞增Oa?<an+\；

⑥數(shù)列&｝是等差數(shù)列，則｛獷｝是等比數(shù)列；正項(xiàng)數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列,

則｛10gl是等差數(shù)列.

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：

⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.

⑵已知S“（%=4+%+...+%）求a”,用作差法：4=）勺;D（力.

注意：①用a,,=S-S,i求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的

條件了嗎？（心2）;并注意驗(yàn)證/是否包含在后面4的公式中，若

不符合要單獨(dú)列出；

②一般地當(dāng)已知條件中含有凡與S”的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式

a“=S“-S)-,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含a,或S”的關(guān)系式，然后再求解.

⑶已知..%=/(〃)求用作商法：4“

⑷若a,用-4=/(〃)求明用累加法：4=(4-4_])+(%-*)+…+&-%)+%(心2).

⑸已知4=/(〃)求用累乘法：/=2.也.….生《(心2).

a”41Ta“_2?i

(6)已知遞推關(guān)系求怎，用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列).

特別地，①形如4=%+》、a“=k%+b“(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以

用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為々的等比數(shù)列后，再求勺；②形如

a=，^的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng).

"k%+b

數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲

明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)

需分類討論.；③常用公式：1+2+3+…+〃=:〃("+1).

(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”

中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)

列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共

性的作用求和(這也是等差數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法).

(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)

等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)

列前"和公式的推導(dǎo)方法).

(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且

相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有:

①1J-

n(n+1)n〃+1

②1=1(_L__L)；

〃(〃+2)k'nn+k'

j___1_1_1____1____?

kk+l(Z+l)女k2(k-l)kk-lk

④___!___二1r_!______!____i?

n[n+1)(?+2)2〃(〃+l)(“+1)(〃+2)'

廠廣

⑤2(7^71-向二2]——＜；＜一2^==2(G-Yn-1).

二、思想方法

(四)分類討論的數(shù)學(xué)思想

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一

研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，

給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.

1.有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運(yùn)用分類討論思想來解決，引起分

類討論的原因大致可歸納為如下幾種：

(1)涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的；

(2)運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；

(3)求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；

(4)數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的

結(jié)果的；

(5)較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略

來解決的。

2.分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)

不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做

到不重復(fù)，不遺漏，包含各種情況，同時(shí)要有利于問題研究.

三、易題重現(xiàn)

1、已知數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)的和(a是不為。的實(shí)數(shù))，那么

｛4｝是數(shù)列.

2、.已知數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式為國(guó)二夕〃也，其中小。是常數(shù)，且，那

么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？如果是，其首項(xiàng)是,

公差是.

3、a、X、6為非零實(shí)數(shù)，則x二而是a、x、8成等比數(shù)列的條件.

4、已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S=a"-1(aeR,"O),則數(shù)列｛&,｝是

________________數(shù)列.

5、在等差數(shù)列｛a｝中，a=25,S7=￡,則該數(shù)列的前項(xiàng)之

和最大，其最大值為.

6、已知S是等比數(shù)列｛a｝的前項(xiàng)和S,&,&,成等差數(shù)列，求證

a，2,備，45成等差數(shù)列.

高考數(shù)學(xué)回歸基礎(chǔ)材料五

一、基本知識(shí)

（七）不等式（必修5第三章）

1、基本不等式

（1）R=>/+〃22（當(dāng)且僅當(dāng)。時(shí)取"=”號(hào)）.

（2）均值定理：向（當(dāng)且僅當(dāng)a=。時(shí)取“二”號(hào)）.“一

2

正二定三相等”；均值不等式的一些變形，如32（厘）294（厘）2.

222

已知Q都是正數(shù)，則有：

①若積移是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2萬；

②若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積孫,有最大值，十.

4

四個(gè)平均數(shù)：爛密2室2疝2高（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)

a+b

構(gòu)選用）.

你能用幾何圖形解釋幾個(gè)平均數(shù)之間的關(guān)系嗎？

如：x,y>（）且x+y=Jx+l+Jy+3,求x+y的最大值.

2、一元二次不等式

-—兀二次不等式潑+1x+c>0（或<0）（"（）,△=6-4ac>0）,

如果a與ax2+bx+c同號(hào)，則其解集在兩根N.外；如果a與ax1+bx+c異號(hào),

則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

X<x<x2O（X一玉）（工一工2）<0（工1<X2）;

X<X,,>X2<=>（X-%1）（x-X2）>0（%1<X2）.

3、線性規(guī)劃

二元一次不等式表示的平面區(qū)域：

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)有直線Ax+5y+C=0（8不為0）及點(diǎn)尸（々,％）,

則

①若?0,Ax（）+Byn+C>0,則點(diǎn)〃在直線的上方，此時(shí)不等式

Ax+By+C>0表不直線Ax+By+C=0的上方的區(qū)域；

②若B>0,Axo+Byo+C<O,則點(diǎn)〃在直線的下方，此時(shí)不等式

Ax+5y+C<0表示直線■+5y+C=O的下方的區(qū)域;（注:若8為負(fù)，則

可先將其變?yōu)檎?/p>

線性規(guī)劃：

①求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題;

②可行解：指滿足線性約束條件的解（x,y）；

可行域：指由所有可行解組成的集合；

注:①準(zhǔn)確確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域，正確解答簡(jiǎn)單的線

性規(guī)劃問題；解線性規(guī)劃時(shí)應(yīng)先確定可行域；注意不等式中<（〉）與

*2）對(duì)可行域的影響；還要注意目標(biāo)函數(shù)z=ox+b中匕<0和。>0在求

解時(shí)的區(qū)別.

②整點(diǎn)問題（方格法）

不等式中其他常見結(jié)論：

1、不等式的性質(zhì)：

（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a>b,c>d,則

a+c>b+d（若a>b,c<d,則a-c>A-d）,但異向不等式不可以相加；同

向不等式不可以相減.

（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除：若

a>b>O,c>d>0,貝!]izc>加?.

（3）左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方：若a>b>0,貝心">/

或心〉物.

（4）倒數(shù)法則：若a、A>0,a〉力，（若出現(xiàn)負(fù)數(shù)先化為正數(shù)

ab

再用倒數(shù)法則）

2、不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、

配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)累

的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；

（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法.其

中比較法（作差、作商）是最基本的方法.

3、利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相

等，和定積最大，積定和最小”這17字方針.

4、其他常用不等式：

222

（1）a、b、CGR,a+b+c>ab+he+ca（當(dāng)且僅當(dāng)Q=Z?=c時(shí)，取等號(hào)）.

（2）若加>（）,則紇口（糖水的濃度問題）.

aa-vm

（3）o1+b3+c3>3abc（a>0,6>0,c>0）.

5、絕對(duì)值不等式：

含有絕對(duì)值的不等式當(dāng)4>0時(shí)，有

國(guó)VQOVQ~O-。VXVQ.

國(guó)〉。0尤2>。20%>?；颉?lt;—a.

性質(zhì)：

（1）a、6同號(hào)或有0=|4+以=|。1+1。12||。1-Wl=|a一切.

（2）。、異號(hào)或有0O|a-6h|a|+g|?||a|—

絕對(duì)值不等式的解法：

（1）分段討論（零點(diǎn)分區(qū)間）法：（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）

（2）利用絕對(duì)值的定義；

（3）數(shù)形結(jié)合.

6、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法

的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判

斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論）.

常用的放縮技巧有：1—L=-^-<±<-L_=-L-l;

n〃+1n{n+1）nn（n-l）n-1n

1,1^11___1_

~kT<k2-]~2^T-[~T+V，

j___1_111_1

kk+l(Z+l)女k2(k-l)kk-lk

2(J〃+1—A/TI)=7=2<—L<-=~~2=2(>/n-JA-1)?

+yln>+J〃-1

7、指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式：

(1)當(dāng)a>1時(shí)，af(x)>ag(x}=/(x)>g(x);

7(x)>0

log.f(x)>log?g(x)=<g(x)>0?

/W>g(x)

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，a/(x)>ag{x}of(x)<g(x)；

/?>()

log“/W>log.g(x)="g(x)>0?