【A+版】名校名師之大學(xué)高數(shù)全冊知識點指導(dǎo)梳理

【A+版】名校名師之大學(xué)高數(shù)全冊知識點

指導(dǎo)梳理匯總

極限與連續(xù)

一.數(shù)列函數(shù)：

1.類型:

(1)數(shù)列:Gan=f(n)；Gan+l=f(an)

(2)初等函數(shù)：

⑶分段函數(shù):G2x)=[1?x"%笈F(x)=|/(%)"%；G

j2(x)x>xG[ax=x0

(4)復(fù)合(含/)函數(shù)y=/(w),u=e(x)

(5)隱式(方程):F(x,y)=0

⑹參式(數(shù)一，二

(7)變限積分函數(shù):F(x)=f(x,t)dt

00

(8)級數(shù)和函數(shù)(數(shù)一,三):S(x)=戶",xeQ

n-0

2.特征(幾何)：

(1)單調(diào)性與有界性(判別)；(/(%)單調(diào)=Vx。,(x-九°)(/(尤)-/(%))定號)

(2)奇偶性與周期性(應(yīng)用).

3.反函數(shù)與直接函數(shù):y=/(%)ox=廣⑴ny=f\x)

二.極限性質(zhì)：

1.類型:Glim；Glim/(x)(含xf±oo);Glim/(x)(含XfX。土)

n—>oox—>oo

2.無窮小與無窮大(注:無窮量)：

3.未定型：9,r,oo-oo,0-00,0°,00°

000

4.性質(zhì):G有界性,G保號性,G歸并性

三.常用結(jié)論：

J_j.J.Q〃

Tin―,1,cin(a>0)—>11(a"++c")"—‘max(Q,Z2,c),—(a>0)—,0

n\

1無〃1nnr

x

一(%-0)-GOzlimx=11lim—=0,lim----=0,

JQX->0+X->+00e'X—>+<X)%

f0%--oo

lim%ln〃尤=0,e]—《,

%—。++oox—>+oo

四必備公式：

1.等價無窮小:當(dāng)"(%)-0時,

.12

sinu(x)u(x)；tanu(x)z/(x)；l-cosw(x)—u(x)；

a

“(%)；2n(]+“(%))”(工);(1+u(x))—1au(x)；

arcsinu(x)u(x)；arctanz/(x)〃(x)

2.泰勒公式：

Q)e*=l+%+：%2+o(%2)；

(2)ln(l+x)=x-^x2+o(x2)；

(3)sinx=x-^x3+o(/)；

(4)cosx=l---x2+—x4+o(x5)；

2!4!

(5)(l+x)a=l+6TX+"(：!1)%2+o(%2)

五.常規(guī)方法：

前提:⑴準確判斷苫二raM(其它如：8—8,0?8,0°,8°)；(2)變量代換(如」=t)

0oox

1,抓大棄小(藝)，

00

2.無窮小與有界量乘積(a)(注:sin-Wl,x-00)

x

3.f°處理(其它如：0。,8。)

4.左右極限(包括X—±8):

11

(1)一(X-0)；⑵e\xf8);e*(xf0)；(3)分段函數(shù):\x\,[x],maxf(x)

X

5.無窮小等價替換（因式中的無窮?。ㄗ?非零因子）

6.洛必達法則

(1)先"處理"，后法則(當(dāng)最后方法);(注意對比：lim辛與lim*)

071—冗101一%

1111__1

(2)幕指型處理:“(X嚴=屋所心)(如:即-胸=潟(e^_1))

(3)含變限積分；

(4)不能用與不便用

7.泰勒公式(皮亞諾余項):處理和式中的無窮小

8.極限函數(shù)：/(x)=lim尸(x,〃)(=>分段函數(shù))

n—>oo

六.非常手段

1.收斂準則：

(1)a=/(")nlim/(%)

nX—>4-00

(2)雙邊夾:Gbn<an<cnl,Gb,&fa?

(3)單邊擠:%=f(an)Ga2>al?G\an\<M?Gf\x)>0?

2.導(dǎo)數(shù)定義(洛必達?):lim上=/(不)

3積分和:lim-[/(-)+/(-)++/(-)]=Cf(x)dx,

〃-8r1nHn

4.中值定理：lim"(x+a)-/(x)]=alimf'記)

X—>+00X—>+00

5.級數(shù)和(數(shù)一三)：

002〃加工

Q)￡%收斂=lim=0,(如lim—)(2)lim(a1+4+=

n—>oon—>oo；n—>oo

n=lrn-1

00

⑶{q}與X(??-%)同斂散

n-1

七.常見應(yīng)用：

1.無窮小比較(等價，階):G/(x)-0)?

(1)/(0)=/1(0)==尸(0)=0,f(n)(0)=a=〃x)==x"+a(x")~xn

nln\

(2)￡7(0^

2.漸近線（含斜）:

(1)a=lim----,b=]im[f(x)-ax]=/(x)ax+b+a

XfCO尤X—>00

(2)/(%)=?%+/?+?,(—^0)

x

3.連續(xù)性:(1)間斷點判別(個數(shù));(2)分段函數(shù)連續(xù)性(附:極限函數(shù)，/(x)連續(xù)性)

八刈上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

L連通性：/(5,力)=[m,M]0±：V0<彳<1,"平均"值:2/(?)+(l-2W)=/(%0))

2.介值定理:(附:達布定理)

⑴零點存在定理：<0=/(無0)=0(根的個數(shù))；

(2)/(%)=0n(￡/(x)Jx),=0.

第二講:導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用(一元)(含中值定理)

一?基本概念：

L差商與導(dǎo)數(shù):r(x)=limA"+"A/(X)"&)=1加/⑴-/(x°)

X與x-x0

(1)尸(0)=lim/(X)~/(0)(注:limS=A(/連續(xù))n/(0)=0,/'(0)=A)

xf°x%—°X

(2)左右導(dǎo):f(%),￡(%)；

⑶可導(dǎo)與連續(xù);(在X=0處,W連續(xù)不可導(dǎo)；x|x回導(dǎo))

2彳微分與導(dǎo)數(shù)：時=/(%+x)-f{x)=f\x)無+o(x)^df=f\x)dx

Q)可微?？蓪?dǎo)(2)比較V，4f與W的大小比較(圖示)；

二.求導(dǎo)準備：

1.基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式;(注:(|/(x)|)')

2.法則:⑴四則運算;⑵復(fù)合法則;⑶反函數(shù)竽==

dyy

三.各類求導(dǎo)(方法步驟)：

L定義導(dǎo)：Q)f\a)與尸(刈』；(2)分段函數(shù)左右導(dǎo);(3)lim/(X+A)-/(X-A)

(注"(x)=/⑴求/(尤0),1(x)及f\x)的連續(xù)性)

ax=xQ

2.初等導(dǎo)(公式加法則)：

⑴U=加（切,求:M1）（圖形題）;

（2）F（X）=「加）力，求「（%）（注:（ry（x,t）dt）,,（f7（o^）'）

JaJaJaJa

⑶y=：，求Z（x0）,f（%）及尸（%）（待定系數(shù)）

J2（%）X2%

3.隱式（/（羽y）=0）導(dǎo):半，蟲

axax

（1）存在定理；

（2）微分法（一階微分的形式不變性）.

（3）對數(shù)求導(dǎo)法.

4參式導(dǎo)（數(shù)一,二）:廠=x力求:李，色

y=y（t）axax

5.高階導(dǎo)/㈤（x）公式:

1

（滑）（"）=屋*；（―^嚴=—1；

a-bx（a-bx）n+

（sinax）""=a"sin（tzx+xH）;（cosax）""=ancos（ax+--xn）

（MV）（"）=uMv+cyn-\'+cy^v"+

注"⑺（0）與泰勒展式：/（x）=a+ax+ax+++na"=~~—

0r22n!

四.各類應(yīng)用：

1.斜率與切線（法線）;（區(qū)別:y=/（X）上點M。和過點Mo的切線）

2.物理：（相對）變化率-速度；

3.曲率（數(shù)一二）:p=（刈（曲率半徑，曲率中心，曲率圓）

（J1+/2（幻）3

4.邊際與彈性（數(shù)三）:（附:需求，收益，成本，利潤）

五.單調(diào)性與極值（必求導(dǎo)）

1.判別（駐點/（%）=0）：

（l）/'（x）>0^/（x）；/,W<0^/（%）；

⑵分段函數(shù)的單調(diào)性

⑶尸（x）>0=>零點唯一"''（%）>0n駐點唯一（必為極值，最值）.

2.極值點:

⑴表格(f\x)變號);(由lim匯也中0,lim畢，中0,lim匯算H0nx=0的特點)

%一而X%一通XXf與X

(2)二階導(dǎo)(尸(%)=0)

注⑴/與尸""的匹配(尸圖形中包含的信息)；

(2)實例由尸(x)+〃x"(x)=g(x)確定點"x=%"的特點.

(3)閉域上最值(應(yīng)用例:與定積分幾何應(yīng)用相結(jié)合，求最優(yōu))

3.不等式證明(y(x)之0)

Q)區(qū)別:G單變量與雙變量?Gxe[a刈與xe[a,+oo),xe(—oo,+00)?

(2)類型:G/'>0,/(?)>0;G/,<0,/(Z7)>0

Gf"<0,f(a),f(b)>0；G/"(x)>O,/'(xo)=O,/(xo)>0

(3)注意:單調(diào)性十端點值十極值十凹凸性.(如:/(x)<V=篇Jx)=M)

4.函數(shù)的零點個數(shù):單調(diào)十介值

六.凹凸與拐點(必求導(dǎo)!)：

l.y"n芟格;(/"(/)=o)

2.應(yīng)用:⑴泰勒估計;⑵尸單調(diào);⑶凹凸.

七.羅爾定理與輔助函數(shù)：(注:最值點必為駐點)

L結(jié)論:F(b)=F(a)nF(J)=f8=0

2.輔助函數(shù)構(gòu)造實例：

⑴7??=*%)=「加謹

<Ja

(2)/C)gC)+f(&)g'?=onF(x)=/(x)g(x)

(3)/C)gC)—'?=0=F(x)=般

g(x)

(4)/C)+=0nE(x)=;

3./(n)(J=0=/(x)有〃+1個零點of")(x)有2個零點

4.特例:證明f(*C)=a的常規(guī)方法:令F(x)=/(x)-^(x)有〃+1個零點(巴(x)待

定)

5.注:含A時,分家!(柯西定理)

6.附(達布定理)"(%)在［a,。］可導(dǎo)Vce"'(a),/'(6)］,殆e以使:/C)=c

八.拉格朗日中值定理

L結(jié)論:/(份-/⑷=/03一a)；(0(a)<°S)n區(qū),m(p\^>0)

2.估計:?=/?x

九.泰勒公式(連接九一，尸'之間的橋梁)

1.結(jié)論"(x)=/(x0)+/(X0)(X—X0)+：/”(Xo)(X—/)2+：/”C)(X—X0)3；

2.應(yīng)用:在已知/(?)或門。)值時進行積分估計

十.積分中值定理(附:廣義):［注:有定積分(不含變限)條件時使用］

第三講:一元積分學(xué)

一?基本概念：

L原函數(shù)R(x)：

(1)F\x)=f(x)；(2)f(x)dx=dF{x)；(3)|于(x)dx=F(x)+c

注Q)尸(x)=「/⑺力(連續(xù)不一定可導(dǎo))；

Ja

(2)］(x-t)于(t)dtn『=f(x)(/(x)連續(xù))

2.不定積分性質(zhì)：

(1)(1/(x)dx)'=f(x)；d(Jf(x)dx)=f(x)dx

(2)jf\x)dx=/(x)+c；jdf(x)=f(x)+c

二.不定積分常規(guī)方法

1.熟悉基本積分公式

2.基本方法:拆(線性性)

j(k、f(x)+k2g(x))dx=左Jf{x}dx+k2^g(x)dx

3.湊微法(基礎(chǔ)):要求巧，筒活(1=sin2x+cos2x)

^W\dx=-d{ax+b\xdx=—dx1,—=JInx,=2dy/x

a2x

ix二dx=dJl+Y,(1+In=d(xlnx)

Vl+x2

4.變量代換：

⑴常用(三角代換，根式代換，倒代換):x=sin/,4^b=t,-=t,777T=z

X

(2)作用與引伸(化簡):石石-x=t

5.分部積分(巧用):

Q)含需求導(dǎo)的被積函數(shù)(如In%,arctanxJ：)；

(2)"反對幕三指"：xne-dx,xnInxdx,

(3)特別：jxf(x)dx(G已知/(無)的原函數(shù)為F(x)；G已知/'(%)=F(x))

6.特例:⑴f"isi"》+偽cosx公；⑵f°(x)/dx」p(x)sinimZx快速法;⑶j丫(戈)dx

Jasinx+bcosxJJj?"(%)

三.定積分：

1.概念性質(zhì)：

Q)積分和式(可積的必要條件:有界，充分條件:連續(xù))

(2)幾何意義(面積，對稱性,周期性，積分中值)

G￡qax-X。dx(a>0)=J(%-"；)dx=0

⑶附:<A/(Z?-a),￡f(x)g(x)dx<A/J：|g(x)依)

(4)定積分與變限積分，反常積分的區(qū)別聯(lián)系與側(cè)重

2：變限積分①(x)=￡的處理(重點)

Q)/可積n①連續(xù),/連續(xù)n①可導(dǎo)

(2)(f/(0^)'=/(x)；(f(x-0/(W=Pfit)AXf(x)dt={x-a)f{x}

JaJaJaJa出

(3)由函數(shù)*x)=1/⑺成參與的求導(dǎo)，極限，極值，積分(方程)問題

pb,.

3.N-L公式:f，(無磔:=p㈤-尸(a)(R(x)在［a,切上必須連續(xù)!)

Ja

注:(1)分段積分,對稱性(奇偶),周期性

(2)有理式，三角式，根式

⑶含］，⑺山的方程.

4.變量代換:，〃%)公=1_/1(〃"))"⑺力

JaJa

(1)￡f(x)dx=￡f(a-x)dx{x=a-t),

(2)￡>)D(T)W=.L)+/(T)儂(如:￡島1)

7T1

2

⑶/”=Ls"xdx=--In_2l

,°n

冗71

⑷J*/(sinx)dx=/(cosx)dx；￡/(sinx)dx=2，：/(sinx)dx,

00

(5)￡VXsinx)^=/(sinx)dx,

5.分部積分

⑴準備時"湊常數(shù)"

(2)已知f\x)或f(x)=f'時，求「f(x)dx

JaJa

6.附:三角函數(shù)系的正交性：

02萬.￡27r.

sinnxdx=cosnxdx-sinnxcosmxdx=0

JoJoJo

02%..J*2%

J。sinYIXsinmxdx—J。cosnrcosmxdx(nw明=0

廣219,2兀2

sinnxdx=cosnxdx=7i

JoJo

四.反常積分：

L類型:⑴「/(x)4「/(x)力;，「/(%)公(/(x)連續(xù))

JaJ—ooJ—co

(2)f(x)dx：(7(x)?￡x=a,x=b,x=c(a<c<Z?)處為無窮間斷)

2.斂散

3.計算:積分法十N-L公式十極限(可換元與分部)

4.特例⑴1—dx',(2)^—dx

XX

五.應(yīng)用:（柱體側(cè)面積除外）

1.面積,

⑴s=["(%)-g(x)]dx;(2)S=『f~Xy)dy；

(3)S=g『/;(4)側(cè)面積:S=￡21f(x)Jl+f，2(x)dx

2體積:

⑴匕=4："2(%)-82(切必(2)、=%『"T(y)]2辦=2?j)(x)公

⑶J與Vf

3.弧長:ds=J(dx)2+(dy)2

(1)y=/(尤)，尤e[a,句s=，Jl+f"(x)dx

(2)<%/e也J2]s=「Jx'2⑺+y'2⑺力

(3)r=r(6),6e[a,切：s=J：+r'-^dO

4.物理(數(shù)一，二)功，引力，水壓力,質(zhì)心，

5.平均值(中值定理)：

—1sb

(l)f[a,b]=-——\f(x)dx；

b-aJaxT

_fC于(t)dt_C[于(t)dt

⑵/[0+8)=lim與------,(/以T為周期:/=J°一)

%-?+00xT

第四講:微分方程

一.基本概念

1.常識:通解，初值問題與特解(注:應(yīng)用題中的隱含條件)

2.變換方程：

⑴令x=刈)ny'="力"(如歐拉方程)

(2)令u=u(x,y)=y=y(x,")=>y'(如伯努利方程)

3.建立方程(應(yīng)用題)的能力

二.一階方程:

L形式:⑴y'=f(x,y)；(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0；(3)y(a)=b

2.變量分離型:歹=/(尤)g(y)

⑴解法:J焉=Jf(x)dxnG(y)=F(x)+C

(2)"偏"微分方程a號7=/(x,y)；

OX

3.一階線性(重點):y*p(x)y=<?(x)

[p(x)dx1(?x

Q)解法(積分因子法)：/(%)=/=>y=---[fM(x)q(x)dx+y0]

M(x)Jx?

(2)變化:無'+p(y')x=q(y)；

(3)推廣:伯努利(數(shù)一)y'+p{x)y=q(x)ya

4.齊次方程:力二①已)

X

⑴解法:〃=2=以+Xll'=①(u),fdu_cdx

XJ①(〃)-〃Jx

(2)特例:雙=”+。1

dxa2x+b2y+c2

QNQM

5.全微分方程(數(shù)一)：M(x,y)dx+N(x,y)dy=。且==—

oxoy

dU=Mdx+NdynU=C

6.一階差分方程(數(shù)三):yx+l-ayx=1°"廠：

[bp(無)”=xnQ(x)bx

三.二階降階方程

1.y"=于(x)：J=F(X)+C1X+C2

2.y"=于(x,y')：令y'=p(x)ny"=半=/(x,p)

dx

3.y"=/(y,y')：令y'=p(y)ny"=p牛=f(y,p)

dy

四.高階線性方程:a(x)y"+b(x)y'+c(x)y=f(x)

1.通解結(jié)構(gòu)：

Q)齊次解:%(x)=c,%(x)+c2y2(x)

(2)非齊次特解:y(x)=cxyx(x)+c2y2(x)+y*(x)

2.常系數(shù)方程:?"+by'+cy=/(x)

(1)特征方程與特征根:位2+以+C=0

(2)非齊次特解形式確定彳寺定系數(shù);(附：/(x)=kem的算子法)

(3)由已知解反求方程.

3.歐拉方程(數(shù)一)：ax2y''+bxy'+cy=/(%),^x=e'"=D(D-l)y,xy'=Dy

五.應(yīng)用(注意初始條件)：

1.幾何應(yīng)用(斜率，弧長，曲率，面積，體積)；

注:切線和法線的截距

2.積分等式變方程(含變限積分)；

可設(shè)［f(x)dx=F(x),F(a)=0

3.導(dǎo)數(shù)定義立方程：

含雙變量條件以x+y)=的方程

4.變化率(速度)

尸dvd2x

Dr.r-ma=—=--

dtdt

6.路徑無關(guān)得方程(數(shù)一):"=當(dāng)

oxoy

7.級數(shù)與方程：

2

⑴幕級數(shù)求和;(2)方程的幕級數(shù)解法:y=%+a1x+a2x+,aQ=y(O),q=y1(0)

8.彈性問題(數(shù)三)

第五講:多元微分與二重積分

一.二元微分學(xué)概念

1.極限，連續(xù)，單變量連續(xù)，偏導(dǎo)，全微分，偏導(dǎo)連續(xù)(必要條件與充分條件)，

(1)=/(x0y\Avf=f(xQ+x,y0),A"=/(%,%+y)

⑵limy,力=lim竽，/"lim孚

AxAy

⑶力％+力Vdf,lim/過：由,(判別可微性)

J(以+(a

注：(0,0)點處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限定義：

A0,0)M(X，0)T(。，。),

aoxyyf°y

2.特例:

xy

(1)f(x,y)=L2+y2*(°,°)：(0,0)點處可導(dǎo)不連續(xù)；

,,一，三軟0)0)

(2)/(x,y)=Ux2+?：(0,0)點處連續(xù)可導(dǎo)不可微；

0,=(0,0)

二偏導(dǎo)數(shù)與鑒微分的計宣

1.顯函數(shù)一，二階偏導(dǎo):z=/(x,y)

注:⑴爐型;(2)4%加；⑶含變限積分

2.復(fù)合函數(shù)的一,二階偏導(dǎo)(重點):z=f[u(x,y),v(x,y)]

熟練掌握記號。力，以冗，幻的準確使用

3.隱函數(shù)(由方程或方程組確定)：

Q)形式:GF(x,y,z)=0；G1?無''乃=:(存在定理)

(2為微分法(熟練掌握一階微分的形式不變性):月公+月,辦+￡必=0(要求:二階導(dǎo))

⑶注：(%,%)與z0的及時代入

(4)會變換方程.

三.二元極值(定義?)；

1.二元極值(顯式或隱式)：

Q)必要條件(駐點)；

(2)充分條件(判別)

2.條件極值(拉格朗日乘數(shù)法)(注:應(yīng)用)

⑴目標函數(shù)與約束條件:Z=f(x,y)十(p(x,y)=0,(或多條件)

(2)求解步驟:L(x,y,2)=f(x,y)+如(尤,y)，求駐點即可.

3.有界閉域上最值(重點).

⑴z=f（x,y）?M^D={（x,y）|以%,y）＜0}

⑵實例:距離問題

四.二重積分計算：

1.概念與性質(zhì)（"積"前工作）：

⑴JJdcr,

D

（2）對稱性（熟練掌握）:GD域軸對稱;Gf奇偶對稱;G字母輪換對稱;G重心坐標；

（3）"分塊"積分:G0=02￡〃%4）分片定義；6〃%廣）奇偶

2.計算（化二次積分）：

Q）直角坐標與極坐標選擇（轉(zhuǎn)換）:以"D"為主；

（2）交換積分次序（熟練掌握）.

3.極坐標使用（轉(zhuǎn)換）:/（f+/）

22

附：。：（九-4+。-32＜尺2；?二+七《1；

ab

雙紐線（爐+產(chǎn)產(chǎn)=。2（%2一,2）。:國+卜＜1

4特例:

⑴單變量/⑶或/（〉）

⑵利用重心求積分:要求:題型JJ^x+k2y）dxdy，且已知D的面積SD與重心（%,y）

D

5.無界域上的反常二重積分（數(shù)三）

五:一類積分的應(yīng)用（J/（M）dcr=＞。：D;Q;L;F;S）：

L"尺寸"：Q）gdbo￡;（2）曲面面積（除柱體側(cè)面）；

D

2.質(zhì)量，重心（形心），轉(zhuǎn)動慣量；

3.為三重積分，格林公式，曲面投影作準備.

第六講:無窮級數(shù)（數(shù)一,三）

一?級數(shù)概念

00

1.定義⑴口｝,(2電=%+。2++%0)limS”(如

…MS+1)!

注:⑴哽%(2)(或2!)；⑶"伸縮"級數(shù)收斂=｛q｝收斂?

2.性質(zhì):⑴收斂的必要條件：lima”=0；

n—>oo

(2)加括號后發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散(交錯級數(shù)的討論)；

⑶§2”-sy0=S2n+\fTS；

二.正項級數(shù)

1.正項級數(shù)：(1)定義:4之0；(2)特征:S,；(3)收斂oSnWM(有界)

2.標準級數(shù)⑴Zj，(2)X堂，⑶

npnnlnn

3.審斂方法：(注:2ab<a2+b2,alnb=b'na)

⑴比較法(原理):a”A(估計)，如f八x)dx二黑

n，J。Q(n)

(2)比值與根值:Glim-G1加圾(應(yīng)用:幕級數(shù)收斂半徑計算)

oo〃n—>00”

三.交錯級數(shù)(含一般項)：Z(-1)/&(a.>0)

L"審"前考察：Q)%>0?⑵anf0?；⑶絕對(條件)收斂？

注:若癡心=夕>1,則以“發(fā)散

an

2.標準級數(shù):⑴工(—1嚴，；(2)X(—1嚴4:⑶X(—1嚴；

3.萊布尼茲審斂法(收斂?)

⑴前提發(fā)散;(2)條件qfo；⑶結(jié)論：Z(-1產(chǎn)&條件收斂.

4.補充方法：

(1)加括號后發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散;(2)%-s,a”-0=*用fsns“fs.

5.注意事項:對比X?！?；;2㈤；￡4之間的斂散關(guān)系

四.幕級數(shù)：

1.常見形式：

(1)￡anx"，(2)%。)"，⑶為產(chǎn)

2.阿貝爾定理:

⑴結(jié)論：x=x*斂nR*"-x()|；x=x*散=氏#*-%|

(2)注:當(dāng)x=x*條件收斂時nR=卜-x*|

3.收斂半徑區(qū)間收斂域(求和前的準備)

注⑴Z%與E"同收斂半徑

⑵與受產(chǎn)之間的轉(zhuǎn)換

4.幕級數(shù)展開法：

Q)前提:熟記公式(雙向，標明斂域)

1,1,

ex=l+x+—x^+—x+,Q=R

2!3!

-(e'+e-x)=l+—x2+—x4+,Q=R

22!4!

-(el=x+—x3+—x5+,C1=R

23!5!

sinX—X-\——,0—7?cosx—1----x2H—,Q=R；

3!5!2!4!

11/一

.......-1+X+X7+,XG(-1/)；-------1—X+X9—,XG(-1,1)

1-X1+X

?1713/一

ln(l+x)—x--x+-x-,xG(-1,1]

I113

ln(l-x)=-x——x92——x3-,XG[-1,1)

23

131s11T

arctanx=x——x+—x-,XGr[-1,1]

35

(2)分解：/(無)=g(x)+〃(尤)(注:中心移動)(特另小一丁=---,x=x0)

ax+bx+c

(3)考察導(dǎo)函數(shù):g(x)f\x)nf(x)=rg(x)dx+f(O)

JO

(4)考察原函數(shù):g(x)[f(x)dx=>f(x)=g'(x)

JO

5.幕級數(shù)求和法(注:G先求收斂域,G變量替換)：

Q)S(x)=Z+Z，

(2)S'(x)=，(注意首項變化)

⑶S(x)=(\>,

(4)S(x)n"S(x)”的微分方程

⑸應(yīng)用:X%=2a/'=S(x)=￡%=5(1).

6.方程的幕級數(shù)解法

7.經(jīng)濟應(yīng)用（數(shù)三）:

⑴復(fù)利:A（l+p）”；（2）現(xiàn)值A(chǔ)（l+pYn

五.傅里葉級數(shù)（數(shù)一）：（T=2萬）

n8

1.傅氏級數(shù)（三角級數(shù)）:S（元）=才+Xancosnx+bnsinnx

2n-l

2.Dirichlet充分條件（收斂定理）：

Q）由/（x）nSa）（和函數(shù)）

⑵S(x)=；"(x—)+/(x+)]]

1??萬

%=一/(x)cosnxdx

qrJ-乃

3系.數(shù)公式:<20=-rf(x)dx,<、=1,2,3,

兀j11.

bn--\/(x)sinnxdx

4.題型：(注：/(x)=S(%)”？)、nJF

Q)T=2萬且/(%)=,xe{-71,(分段表示)

(2)xe(一=，=]或xe[0,2/r]

（3）xe[0,刈正弦或余弦

G(4)xe[0,^-](T=兀)

G5.T=2/

Q00

6.附產(chǎn)品：/(%)nS(x)=—+^ancosnx+bnsinnx

2〃=i

=S(%)=于+Z4cos%+asin%=3"(%-)+/(/+)]

2〃=i2

第七講:向量，偏導(dǎo)應(yīng)用與方向?qū)?數(shù)一)

一.向量基本運算

1.勺.+左2〃；（平彳亍o6=4a）

2.卜|；（單位向量（方向余弦）。°=5〃（coscos/?,cos/））

3.a力；(投影：(6)。=孑/；垂直:a_LZ?oa力=0；夾角：(。力)=)

MI明

4.々＞＜。；(法向：〃="。_1_0,。；面積：5=|oxZ?|)

二.平面與直線

1.平面n

(1)特征(基本量)：M0(x0,y0,z0)?n=(A,B,C)

(2)方程(點法式):兀:A(x-x0)+B(y-%)+C(z-z0)=0=>Ax+By+Cz+D=O

(3)其它:G截距式-+^+-=l;G三點式

abc

2.直線L

Q)特征(基本量):%(%,為,z0)?5'=(m,n,p)

(2)方程(點向式):L:士也=匕&=三亙

mnp

⑶一般方程(交面式):[丁二

\x+B2y+C2z+D2=0x=ai+(a2-ai)t

(4)其它:G二點式;G參數(shù)式;(附:線段AB的參數(shù)表示:,[0,1])

z=G+(g—G?

3.實用方法：

=

(1)平面束方程:7TA^x+B^y+CjZ+Z)j++B?y+C2z+Z)2)0

⑵距離公式:如點Mo(%,y°)到平面的距離d=⑶o+5%+Cz°+”

川+力+仁

(3)對稱問題;

⑷投影問題.

三.曲面與空間曲線(準備)

1.曲面

⑴形式E：F(x,y,z)=0或z=f(x,y)；(注:柱面f(x,y)=0)

(2)法向〃=(工,g,工)n(cosa,cos尸,cos/)(或〃=(-zx,-zyl))

2.曲線

X=

F(x,y,z)=0.

Q)形式<y=y⑺，或

G(x,y,z)=0'

z=z⑺

⑵切向：s=3(Q,y'?),z⑺}(或s=々x巧)

3.應(yīng)用

Q)交線投影柱面與投影曲線；

(2)旋轉(zhuǎn)面計算:參式曲線繞坐標軸旋轉(zhuǎn)；

(3)錐面計算.

四.常用二次曲面

1.圓柱面:爐+/=&2

2.球面:尤2+/+z2=R2

變形:x2+y2=R2-z2,z=《R2—(X2,

X?+y~+z-=2az,(x—x0)~+(,-%)-+(z—z0)"=R~

3.錐面：Z=jd+y2

變形:x2+y2=z2,z=a-Jx2+y2

4.拋物面:Z=^+y2,

變形尤2+,2=z,z=?！?f+y2)

5.雙曲面：f+y2=z2±l

6.馬鞍面:Z=/一死或z=肛

五.偏導(dǎo)幾何應(yīng)用

1.曲面

⑴法向:F(x,y,z)=0n〃=(F,g,工)，注:z=f(x,y)n九=(力/—1)

(2)切平面與法線：

2.曲線

Q)切向:％=%(?),y=y(t),z=z(t)=^s=(x',y',zr)

(2)切線與法平面

F=0

3.綜合:r:<G=o，『x%

六.方向?qū)c梯度(重點)

L方向?qū)?/方向斜率)：

Q)定義(條件):I=(m,n,p)=>(cosa,cos/3,cos/)

分7/

(2)計算(充分條件:可微):當(dāng)=uxcosa+ucos/3+uzcosy

cl

Az

附:z=/(%,y),/°={cos6,sin>}n一=fcos0+fsinO

dlx

22

(3)附:務(wù)=￡cos0+2fxysin6?cosB+于7ysin0

2梯度(取得最大斜率值的方向)G：

Q)計算：

(a)z=f(x,y)nG=gradz=(￡/);

(Z?)w=/(x,y,z)nG=gradu-(ux.uy.uz)

⑵結(jié)論

(a)萼=G.；

ol

S)取/=G為最大變化率方向；

(c)忖(叫))|為最大方向?qū)?shù)值.

第八講:三重積分與線面積分(數(shù)一)

一?三重積分(JJJ際V)

LQ域的特征(不涉及復(fù)雜空間域)：

Q)對稱性(重點):含:關(guān)于坐標面;關(guān)于變量;關(guān)于重心

(2)投影法:與={(x,丁),+/<尺2}十Zi(x,y)<zWz2(x,y)

⑶截面法:D(z)-{(x,y)|x2+y2<F⑶)十。<z<b

(4)其它:長方體，四面體，橢球

2./的特征:

(1)單變量/(2),⑵+y2),(3)/(x2+y2+22),^f=ax+by+cz+d

3.選擇最適合方法：

⑴"積"前：GjJJ小;G利用對稱性(重點)

⑵截面法(旋轉(zhuǎn)體):I=￡dz口fdxdy(細腰或中空,/(z),/(%2+/))

“D(z)

(3)投影法(直柱體):/=JJ辦"yj：；；fdz

%Z|(x,y)

(4)球坐標(球或錐體):I=sin(pd(p\

(5)重心法(f=ax+by+cz+d)：I=(ax+by+cz+d)Vn

4.應(yīng)用問題：

Q)同第一類積分:質(zhì)量，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動慣量，引力

⑵Gauss公式

二.第一類線積分(Jfds)

L

1."積"前準備：

(l)Jds=L；(2)對稱性;⑶代入"L"表達式

2.計算公式:「te[a,b]=^\fds=「/(x。),y(t^x,-(t)+y,2(t)dt

[y=XOiJa

3.補充說明：

⑴重心法:J3+乃+c)ds=(滋+by+c)L；

L

⑵與第二類互換:JA.〃=JA.dr

LL

4.應(yīng)用范圍

Q)第一類積分

⑵柱體側(cè)面積Jz(x,y)/

L

三.第一類面積分(JJ瘋S)

1."積"前工作(重點)：

⑴6ds=E；(代入Z:F(x,y,z)=O)

（2）對稱性（如:字母輪換,重心）

⑶分片

2.計算公式：

2

⑴z=z(x,y),(尤,y)e%n/=JJf(x,y,z(x,y))+z：+zydxdy

與,

(2)與第二類互換:JJA."S=JJ4dS

四:第二類曲線積分Q)：JP(x,y)dx+Q(x,y)dy(其中L有向)

1.直接計算:一:n/=「+Qy\ty\dt

[y=XO-〃

常見Q)水平線與垂直線;(2)%2+/=1

2.Green公式:

（1）.公+Qdy=[]（器-^）dxdy；

⑵J:G*=半=換路徑;6V彳孚二圍路徑

⑶||（0=?但。內(nèi)有奇點）J=J（變形）

3.推廣（路徑無關(guān)性）:孚=學(xué)

dydy

（1）尸公+。辦=加（微分方程）0J=磯：（道路變形原理）

（2）j*P（x,y）dx+Q（x,y）dy與路徑無關(guān)（/待定）徵分方程.

L

4.應(yīng)用

功(環(huán)流量):/=jE?dr(「有'向,F=(P,Q,R),dr=rds=(dx,dy,dz))

r

五.第二類曲面積分：

1.定義jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy，或jjR(x,y,z)dxdy(其中S含側(cè))

2

2.計算：

⑴定向投影（單項）:jjR（x,y.z）dxdy其中E:z=z（x,y）（特別:水平面）;

注:垂直側(cè)面，雙層分隔

（2）合一投影（多項，單層）：n=（-4，-z,,1）

nJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj[P(-zx)+Q(—Zy)+R\dxdy

⑶化第一類(S不投影):n=(cosa.cosB，cos/)

=>JjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+2cos(3+Rcosy)dS

2

3.Gauss公式及其應(yīng)用:

⑴散度計算力.="+孚+半

oxdydz

⑵Gauss公式:E封閉外側(cè),。內(nèi)無奇點

，Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=jJJdivAdv

Q

⑶注:G補充〃蓋〃平面；G封閉曲面變形.（含奇點）

4.通量與積分：

①=JjAdS(￡有向〃,24=(己07?),45=ndS—(dydz,dzdx,dxdy))

z

六:第二類曲線積分(2)：JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

r

1.參數(shù)式曲線「直接計算(代入)

注Q）當(dāng)rotA=0時,可任選路徑;（2）功（環(huán)流量）:I=\Fdr

r

2.Stokes公式:（要求:r為交面式（有向），所張曲面Z含側(cè)）

（1）旋度計算:H=VXA=（§,|■，馬x（P,Q,H）

oxoyoz

fF=0

⑵交面式（一般含平面）封閉曲線：G=°n同側(cè)法向〃=｛工，G，月｝或

⑶Stokes公式（選擇）:廠m=]J(vxA)?欣s

(〃)化為必+Q必公+RZxzfy；(人)化為y,z)dxdy；(c)化為JJfdS

z

高數(shù)重點知識總結(jié)

1、基本初等函數(shù)：反函數(shù)(y=arctanG),對數(shù)函數(shù)(y=lnG),募函數(shù)(y=G),指

數(shù)函數(shù)(產(chǎn)優(yōu)),三角函數(shù)(y=sinG),常數(shù)函數(shù)(y=c)

2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。

2

3、無窮?。焊唠A+低階=低階例如：lim上士=lim'=1

%—0%%—0%

4、兩個重要極限：=l(2)lim(l+J=e+=e

Xf0X0x—>oolJQJ

rr，、lim『(％)1?(%)

經(jīng)驗公式:當(dāng)尤->尤0J(x)-0,g(無)->8,lim[l+/(x滬)=e『

?周一對f

例如：1嗎(1—3亦=e叫"=1

5、可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。例如：y=|x|連續(xù)但不可導(dǎo)。

6、導(dǎo)數(shù)的定義：lim/(了+―/(*)=尸⑴1加/⑴―/(/)=/，(%)

AxXf%。x—XQ

7、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：嗎切q/1g(x)]?g<x)

%ILL

例如：y=g&y'=尸干+1

2Vx+vx4個x2+xYx

8、隱函數(shù)耨y2(U直接求導(dǎo)法;(2)方程兩邊同時微分，再求出dy/dG

例如:解：法⑴，左右兩邊同時求導(dǎo)，2x+2W=0=^>/=-—

y

9、由參數(shù)方程嚶牌聞函辭喋熠=(|,其二階

日米。?dy_d(dy'dx)_出______dt______

F■文X?.o—,—I,1~71/、

dxdxdx/dth(0

10、微分的近似計算：/(%+四-八曲=加^八%)例如：計算sin31°

U、函數(shù)間斷點的類型：Q)第一類：可去間斷點和跳躍間斷點；例如：y=的

X

(G=0是函數(shù)可去間斷點),y=sgn(x)(G=0是函數(shù)的跳躍間斷點)(2)第二類:

振蕩間斷點和無窮間斷點；例如：/(x)=sin1[](G=0是函數(shù)的振蕩間斷點)，

y=-(G=0是函數(shù)的無窮間斷點)

12、漸近線：

水平漸近線：

y=Xlifm8/(x)=c

鉛直漸近線：若,lim/(x)=oo,貝k=a是鉛直漸近線.

x—>a

斜漸近線：設(shè)斜漸近線為y=ax+4即求a==lim［/(x)-ax］

x—>00Xx—>00

例如：求函數(shù)y=/+，+：+1的漸近線

13、駐點:令函數(shù)y=f(G),若f'(G0)=0，稱GO是駐點。

14、極值點令函數(shù)y=f(G)給定GO的一個小鄰域u(GO,b),對于任意G￡u(GO,

6),都有f(G)?f(GO),稱GO是f(G)的極小值點；否則，稱GO是f(G)的極大值

點。極小值點與極大值點統(tǒng)稱極值點。

15、拐點：連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點，稱為曲線弧的拐點。

16、拐點的判定定理：令函數(shù)y=f(G),若f"(GO)=O,SG<G0,f"(G)>0;G>GO

時,f"(G)<0或G<G0,f"(G)<0;G>GO時，f"(G)>0,稱點(GO,f(GO))為f(G)

的拐點。

17、極值點的必要條件：令函數(shù)y=f(G),在點GO處可導(dǎo)，且GO是極值點，

則f'(G0)=0o

18、改變單調(diào)性的點：/1(xo)=O,r(/)不存在，間斷點(換句話說,極值點

可能是駐點，也可能是不可導(dǎo)點)

19、改變凹凸性的點：f"(xo)=O,二(%)不存在(換句話說,拐點可能是二階

導(dǎo)數(shù)等于零的點，也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點)

20、可導(dǎo)函數(shù)f(G)的極值點必定是駐點，但函數(shù)的駐點不一定是極值點。

21、中值定理:

⑴羅爾定理"(%)在［a,b］上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點自使得/