高中數(shù)學(xué)：3-2-1 單調(diào)性與最大（小）值-最值（第2課時(shí)）（分層作業(yè)）

3.2.1單調(diào)性與最大（小）值一最值（第2課時(shí)）（分層作業(yè)）

（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?安徽蚌埠?高一期末）若函數(shù)，（幻=-/+2彳在定義域［0,淚上的值域?yàn)椋?,1］,則（）

A.1<AW<2B.m>\C.m=2D.l<tn<2

【答案】A

【分析】/（》）=-/+2*的對(duì)稱軸為x=l,且〃1）=1,然后可得答案.

【詳解】因?yàn)?。）=-/+2》的對(duì)稱軸為x=l,且/（l）=lJ（O）=.f（2）=O

所以若函數(shù)/（x）=-x2+2x在定義域［0,加］上的值域?yàn)椋?,1］,則14屋2

故選：A

Qzy

2.（2022?全國?高一專題練習(xí)）設(shè)a>0,若函數(shù)y=7當(dāng)xe［a,2a］時(shí)，y的范圍為-,2,則。的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

Q

【分析】根據(jù)y=2的單調(diào)性可直接構(gòu)造方程組求得結(jié)果.

X

仁=2

【詳解】y=號(hào)在（0,+8）上單調(diào)遞減，,也，解得：a=4.

x8_a

,2a-4

故選：B.

3.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)〃x）=ax+l在區(qū)間［L2］上的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)。的

值為（）

A.2B.2或-2C.3D.3或一3

【答案】B

【分析】注意討論。=0的情況，然后利用一次函數(shù)的單調(diào)性分類討論可求得.

【詳解】依題意，當(dāng)。=0時(shí)，/（x）=l,不符合題意；

當(dāng)〃>0時(shí)，7（力=分+1在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，所以42）—〃1）=2。+1-（。+1）=2,得4=2；

當(dāng)〃<0時(shí)，/（同=公+1在區(qū)間［L2］上單調(diào)遞減，所以/⑴—〃2）=a+l—（2〃+1）=2,得〃=一2.

綜上，〃的值為±2

故選：B.

9r

4.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)/*）=—^在區(qū)間［3,4］上的最大值和最小值分別為用，加則M+m=

x-2

（）

A.4B.6C.10D.24

【答案】c

【分析】將函數(shù)/（X）分離常數(shù)變形后，判斷出其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值即可得解.

【詳解】因?yàn)槲Ｊ?（?2：+4=2+」」，

x-2x-2

所以.危）在［3,4］上是減函數(shù).

所以加=貝4）=4,M=f（3）=6.

所以M+〃?=6+4=10.

故選：C.

5.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)“x）=x+±在區(qū)間-；,2上的最大值為（）

A.—B.—C.3D.4

32

【答案】B

【分析】利用換元法以及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】設(shè)FX+1,則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（r）=r+?-l在區(qū)間--3上的最大值.根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，

t_z_

得函數(shù)g。）在區(qū)間；，2上單調(diào)遞減，在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞增，所以

故選：B

二、多選題

6.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列關(guān)于函數(shù)/（力=，--+2》+3的結(jié)論正確的是（）

A.單調(diào)遞增區(qū)間是［-15B.單調(diào)遞減區(qū)間是［1,+8）

C.最大值為2D.沒有最小值

【答案】AC

【分析】先求/'(%)的定義域排除選項(xiàng)B,再利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得/1(%)的單調(diào)

性，進(jìn)而求其最值.

【詳解】要使函數(shù)有意義，則-_?+2》+320,得—14x43,故B錯(cuò)誤；

函數(shù)f(x)=J-f+2x+3由/(")=&與〃=+2X+3=-(X-1)2+4復(fù)合而成，

當(dāng)代卜1,1］時(shí)-，“=—/+2%+3單調(diào)遞增，當(dāng)xe［l,3］時(shí)，〃=—/+2》+3單調(diào)遞減，

又/(〃)=4在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以f(x)=J-以+2x+3在卜1,1］上單調(diào)遞增，在［1,3］上單調(diào)遞減，

故/(xLx=Ml)=2,又/(—1)=〃3)=。，所以〃x)1nM=0,故A,C正確，D錯(cuò)誤?

故選：AC.

7.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)/。)=『：一了<：、，/(x)存在最小值時(shí)，實(shí)數(shù)。的值可能是

［X—2.CIX+1,X

()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】ABC

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分。>0、。=0、。<0?:種情況討論，當(dāng)〃<0時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)只需函數(shù)在

斷點(diǎn)處左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)的函數(shù)值即可；

/、\ax-\,x<a

【詳解】解：因?yàn)椤癤=,

［x-2ax+\,x>a

若a>0,當(dāng)*<。時(shí)/(力=雙-1在(-00,。)上單調(diào)遞增，當(dāng)xf-co時(shí)/(x)->-oo,此時(shí)函數(shù)不存在最小值;

若a=0,則"x)=/go,此時(shí)/(x)而.=7,符合題意；

若々<0,當(dāng)x時(shí)/(x)=or-l在(fo,a)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x^a時(shí)/(x)=x2-2ax+\,

二次函數(shù)丁=/_2辦+1對(duì)稱軸為x=Q,開口向上，此時(shí)“X)在［〃,”)上單調(diào)遞增，

要使函數(shù)/（x）存在最小值，只需+解得。4-1，

綜上可得a?-?）,—1]{0}.

故選：ABC

8.（2022.全國?高一單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椤辏?若對(duì)任意的陽，x2eD,都有|〃占）-/優(yōu)）|＜1,

則稱/（x）滿足“L條件”，則下列函數(shù)不滿足乜條件”的是（）

2

A.f（x）=-x,xe（-l,l）B.f（x）=x+-,xe[l,2]

3「2-I

C.f（x）=x2--,X6--,1D./（x）=x3,xe（l,5）

【答案】ACD

【分析】根據(jù)乜條件”的定義對(duì)選項(xiàng)逐一分析，結(jié)合特殊值法、函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識(shí)確定正確選項(xiàng).

【詳解】由定義知函數(shù)的最大值與最小值差的絕對(duì)值小于1.

選項(xiàng)A,f（x）=-x,xe（-l,l）,取玉=；,x2=~,

則|/（占）-“2）|=’（5-/1；）=1,不滿足乜條件”；

2

選項(xiàng)B,f（x）=x-\—,xG[1,2],

任取14玉＜x,42,—/伍）=x+2_x「2=a—々）（x也一2）,

X]X2

其中西一工2＜。，玉工2＞0，

xx

當(dāng)14%＜工2＜3時(shí)，}2_2＜0,

/斗）-，（々）＞0,/（5）＞〃々），“力遞減;

當(dāng)起4玉＜玉42時(shí)，王々-2＞0,

/（石）一f（%）＜o(jì),/a）＜/（々）j（x）遞增,

即/（x）在[1,忘]上單調(diào)遞減，在[72,2]上單調(diào)遞增，

所以f（x）的最小值為/（、反）=2應(yīng),最大值為/⑴="2）=3,

所以對(duì)任意的A,x2e[l,2],都有（七）歸3-2夜＜1,

所以f（x）=x+：,xe[l,2]滿足乜條件”；

4「214

選項(xiàng)C,=f在一了。上單調(diào)遞減，在（0』上單調(diào)遞增，/⑼=-；，

川）=1=」，d-斗pp=-"

'，22I3jI3J218

所以『a）的最大值為-;，最小值為-|,

3「2.

所以f（x）=x2xe--,1不滿足“Z,條件”；

選項(xiàng)D,函數(shù)/（x）=d在（1,5）上單調(diào)遞增，顯然不滿足乜條件”.

故選：ACD

三、填空題

9.（2021?云南云天化中學(xué)教育管理有限公司高一開學(xué)考試）函數(shù)〃x）=x+2?二的最大值為.

【答案】2

【分析】利用換元法將函數(shù)換元構(gòu)造出新函數(shù)，由新函數(shù)的定義域結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

【詳解】設(shè)f=（d0）,則x=l72,

所以原函數(shù)可化為：y=d+2r+l（d0）,

由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)f=l時(shí)，函數(shù)取最大值2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查換元法求函數(shù)最值，當(dāng)函數(shù)解析式中含有根式時(shí)，一般考慮換元法，用換元法時(shí)要注意

一定寫出新變量數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題型.

10.（2022?全國?高一）已知函數(shù)兀t）=4x+@（x>0,。>0）在x=3時(shí)取得最小值，則〃=.

X

【答案】36

【分析】利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】人穴）=4木+色U>0,〃>0）在（0,正|上單調(diào)遞減，

x2

在（江，+8）上單調(diào)遞增，故人X）在工=五時(shí)取得最小值，

22

由題意知1=3,.*.47=36.

2

故答案為：36

11.(2022?全國?高一專題練習(xí))y=x-g在［1,2］上的最小值為.

【答案】0

【分析】先確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求最小值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，=》-｝在［1,2］上為增函數(shù)，

則丫=尢—:在［1,2］上的最小值為y=0.

故答案為：0.

12.(2022?四川南充?高一期末)函數(shù)/。)=工(％＞0)在［4,5］上的最大值為1,則火的值為.

【答案】3

【分析】依題意可得/Xx)=47c＞0)在［4,5］上單調(diào)遞減，即可得到/(X)3=〃4),從而求出左的值；

X—1

LLL

【詳解】解：因?yàn)?(%)=」7(4＞。)是由＞=￡(無＞0)向右平移1個(gè)單位得到,即/(此=一＞僅＞。)在(1,48)

x-1Xx-l

上單調(diào)遞減,所以f(x)=占6＞0)在［4,5］上單調(diào)遞減,所以“X)1a=〃4)=言=1,解得左=3；

故答案為：3

13.(2022.全國?高一課時(shí)練習(xí))若不等式f+oc+iN。對(duì)一切xe［2,3］都成立，則a的取值范圍是.

【答案】［-^,+00)

【分析】利用參變分離法將不等式爐+辦+120轉(zhuǎn)化為aZ-(x+3,令f(x)=-(x+1)，將不等式恒成立問

XX

題轉(zhuǎn)化為a2/(幻皿成立，求解函數(shù)/(幻的最大值.

【詳解】解：因?yàn)椴坏仁絛+奴+120對(duì)一切xe［2,司恒成立，所以“2—(x+3對(duì)?切xe［2,3］恒成立，

X

令/*)=-*+■!■),可知awf(x)1rax成立，當(dāng)xe［2,3］,函數(shù)單調(diào)遞減，

X

所以f(x)4f(2)=-1,所以aN-|.

故答案為：卜|,內(nèi)).

14.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(x”/-?,g(x)=＜0),對(duì)依,Hr,e［-3,-l］,

使/&)=g(毛)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［-15,-12］

【分析】由題意可知/(X)的值域是g(x)值域的子集，所以分別求出兩函數(shù)的值域，列不等式組可求得答案.

【詳解】函數(shù)"X)=f—4x圖象的對(duì)稱軸為直線戶2,

所以〃尤)在［-2,-1］上單調(diào)遞減,

則〃x)在上的值域?yàn)椋?,12］.

因?yàn)間(x)=<0)在［-3,-1］上單調(diào)遞增，

所以g(x)在［―3,-1］上的值域?yàn)?孑-。.

由題意，可得［5,12仁,

［-￡<5

即13-,解得一15VaV-12.

124-a

故答案為：［T5,T2］

15.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(力=2X-3,代［-1,2］,實(shí)數(shù)。"滿足/(。)+/(6-1)=0,則4伍-1)

的最大值為.

【答案】94##214##2.25

29

【分析】依題意可得a+b=4,再根據(jù)函數(shù)的定義域求出。，，的取值范圍，貝Ua(b-1)=+一,

4

ae［l,2］,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】解：???函數(shù)/(x)=2x-3,xe[-l,2],實(shí)數(shù)a,b滿足〃")+庫-1)=0,

2a—3+2(6—1)—3=0,可得a+b=4,ue[—1,21,be[0,31,又b=4—a,

a?L2],則a(Z?-1)=6/(3—d)=

49asQ

所以當(dāng)a=”寸，［tz(Z7-l)］max=^,即〃=〃或時(shí)，—1)取得最大值

9

故答案為：-

4

X4-n

16.(2022?浙江?溫州市第二十二中學(xué)高一開學(xué)考試)已知函數(shù)/。)=一，且/(2)=5,=則

函數(shù)y=/(x),x?2,3］的值域是.

【答案】［3,5］

x+34

【分析】根據(jù)題意，待定系數(shù)法求得償）=百=1+-再證明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求解即可.

X-］

【詳解】解：因?yàn)?2）=5,/（-1）=-!,

2+〃_

----=5

2：”,即a-5b=8-,a=3

所以…,解得:

-1+。1h=-l

-----=—1

、-1十8

所以/(幻x=+3==1+'47,

x—\x-\

設(shè)西,馬?［2,3］且占<三，

44444（々一為）

所以，/U,)-/(^)=l+--1+

玉一1X2-V王一1迎-1(Xl-1)(X2-1)

因?yàn)椋?毛w[2,3]且為<&,所以々一%>0,^-1>0,%2-1>0,

所以科方4>°，即/（不）-/小）>0,

所以/⑷>f（x2）,即〃X）在［2,3］上單調(diào)遞減,

所以fMnm=/（2）=5Jd=/（3）=3,

所以,函數(shù)丫=，3/《2,3］的值域是［3,5］

故答案為：［3,5］

四、解答題

17.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）（1）在定義域以上單調(diào)遞減的函數(shù)/（x）,最大值是多少？

（2）若/（X）在［”,〃］上單調(diào)遞減而在［〃㈤上單調(diào)遞增，最小值是多少？

【答案】⑴〃x）g=〃a）；（2）

【分析】（1）根據(jù)單調(diào)遞減函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)椤癤）是定義域［“回上單調(diào)遞減的函數(shù)，

所以/（'Lx=/（"）：

（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減而在［“同上單調(diào)遞增,

所以=/(“)?

18.(2021?北京?清華附中高一期末)已知函數(shù)〃x)=or+§,beR,且該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(TO),(2,1)

(I)求a,b的值；

(ID已知直線多=履+小仕#1)與x軸交于點(diǎn)交且與函數(shù)“X)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).求|OT|的最大值.

(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))

【答案】(I)\"，=\；(IDI.

【分析】(I)根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用函數(shù)的解析式，得到關(guān)于的方程組，求解即得；

(II)設(shè)T&0).則直線y=^+〃Qwl)方程可以寫成y=與函數(shù)y=〃x)=x-g聯(lián)立，消去),

利用判別式求得/利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得“取得最大值1,進(jìn)而得到I。刀的最大值.

-a-b=O

a=\

【詳解】(I)由己知得

b=-\

(II)設(shè)T&0),則直線，="+，〃(&")方程可以寫成y=&(xT),與函數(shù)y=〃x)=x-g聯(lián)立，消去九并

整壬電得—公x+l=O

由已知得判別式因一4("1)=0,*=46-表)，

當(dāng);=；時(shí)，產(chǎn)取得最大值1,所以|。刀儂="3=1.

K乙

19.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=g2_45+以”>())在［0,3］上的最大值為3,最小值為-1.

(1)求/(*)的解析式；

⑵若mxe(l,+oo),使得求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(D/abf-dx+B

⑵m>2石-4

【分析】(1)根據(jù)/(x)的最值列方程組，解方程組求得。力，進(jìn)而求得f(x).

(2)利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式求得加的取值范圍.

(1)/(x)的開口向上，對(duì)稱軸為x=2,

所以在區(qū)間［0,3］上有：1nhi=/(2)J(x)a=/(0),

4〃-8。+6=-1\a-\

即b=3^\h=3

所以f(x)=x2-4x+3.

(2)依題意Hre(l,+<?),使得f(x)<mx,

3

即x2-4x+3<tnx,m>X+--4

x9

由于x>l,x+--4>2A(x---4=273-4

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)X=3=X=G時(shí)等號(hào)成立.

X

所以機(jī)＞2抬-4.

x2-2ax+a2-a,x<0

20.（2022?江西?高一期中）已知函數(shù)f（x）=＜4,、

x+——a,x>0

x

（1）用定義法證明/（x）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增;

（2）若〃x）的最小值是6求。的值.

【答案】（1）證明見解析

（2）a=-6

【分析】（1）由定義法,分別設(shè)。＜占＜%＜2和2＜玉＜乙兩種不同情況時(shí)，計(jì)算/（與）-/5）的正負(fù)即可;

（2）分別計(jì)算/*）在x＞0和xWO時(shí)的最小值,更小的那個(gè)即為函數(shù)F（x）的最小值，再分不同情況時(shí)將

/（x）*n的函數(shù)解析式表示出，使得了（X）=6即可求解.

4(4（5一七）（七天一4）

(1)證明:對(duì)任意的百/(%)一/(九2)=%%+-a

玉工2

當(dāng)0<々<為<2時(shí)，Xj-x2>0,0<XjX2<4,則^_乜秘.——<0,即/(5)</(/)；

當(dāng)玉>七>2時(shí)，，%1-x2>0,XjX2>4,則G一一11>0,即/(芭)>/(馬).

%工2

故/（X）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增.

（2）由（1）可知〃x）在（0,+8）上的最小值是〃2）=4-。.

當(dāng)X40時(shí)，f（x）=^-2ax+a2-a,其圖象的對(duì)稱軸方程是直線x=。.

①若420,〃x)在(7,0］上單調(diào)遞減,則f(x)在(7,0］上的最小值是"0)=。2-4.

②若a<0,“X)在(9,。)上單調(diào)遞減，在(4,0］上單調(diào)遞增，則“X)在(9,0］上的最小值是〃a)=-a.

4-a,a>2,

2

綜上，/Wmin='a-a,o<a<2,

-a,a<0,

Ia>2,\0<a<2,a<0,

因?yàn)椤癤)的最小值是6,所以4_q=6或?qū)觃°=6或(解得a=-6?

-a=6,

21.(2022?全國,高一專題練習(xí))一個(gè)兩位數(shù)除以它的的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和.

(1)若使商為最小值，求這個(gè)兩位數(shù)；

(2)若使商為最大值，則這樣的兩位數(shù)有多少個(gè)？

【答案】⑴19

(2)9

］0+，10x+y9

【分析】(1)設(shè)這個(gè)兩位數(shù)是lOx+y,則所求為黃分離常數(shù)可得不，根據(jù)x,y的

X

范圍，分析即可得吐上取得最小值時(shí)的答案.

x+y

(2)分析得y=0,*取1到9的任一整數(shù)時(shí)"匕2最大，即可得答案.

%+y

(1)設(shè)這個(gè)兩位數(shù)是10x+y,那么0vx49,04yK9,且％，y是整數(shù),

10x+y?9x19

/.-------=l+--------=l+-------

x+yx+yl+Z>

X

a

____］Ox+v

當(dāng)x=l,y=9時(shí)，］+，取到最小，即,x+最小,此時(shí)兩位數(shù)是19.

X

9

(2)當(dāng)y=0,x取I到9的任整數(shù)時(shí)，R取到最大值，即亍彳最大，

x

此時(shí)兩位數(shù)可以是10,20,…,90共9個(gè)數(shù).

22.(2022.全國?高一單元測(cè)試)設(shè)〃x)=，芯+nr+6,已知函數(shù)過點(diǎn)(1,3),且函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2.

(1)求函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若xe［T,3］,函數(shù)的最大值為M,最小值為N,求M+N的值.

【答案】(1)“h=/一敘+6

(2)13

【分析】根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)(1,3)及二次函數(shù)的對(duì)稱軸，得到方程組，解得加、〃即可求出函數(shù)解析式;

(2)將函數(shù)配成頂點(diǎn)式，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值.

m+n+6=3(__^

(1)解：依題意|n、，解得n“二，所以/(x)=d—4x+6；

----=2\m=l

2mi

(2)解：由(1)可得f(x)=x2-4x+6=(x-2)2+2,

所以f(x)在H，2］上單調(diào)遞減，在(2,3］上單調(diào)遞增,

又〃一1)=11,43)=3,42)=2,

所以="7)=11，"XU="2)=2,

即M=ll、N=2,所以M+N=13.

23.(2022.全國?高一專題練習(xí))求函數(shù)y=x+g,的最大值與最小值.

【答案】最大值1最7，最小值4

【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得出其最值.

44「11r1

【詳解】函數(shù)y=x+q，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得：y=在2,2上單調(diào)遞減，［2,4］上單調(diào)遞增.

當(dāng)x=2時(shí)取到最小值4.

I117

又當(dāng)X=_時(shí)，y=-+8=—,當(dāng)x=4時(shí)，>>=4+1=5

222

所以當(dāng)x1時(shí)取到最大值=17,

22

所以函數(shù)y=x+42的最大值1?7，最小值4

x2

2

24.(2022?全國?高一專題練習(xí))求函數(shù)在區(qū)間［1,2］上的最大值和最小值.

【答案】最大值2,最小值1

【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，求函數(shù)的最值.

【詳解】函數(shù)“X)=在區(qū)間［1,2］上遞減，則/⑵《〃力"⑴，

所以最大值/(XL=/(1)=2,最小值/(%,="2)=1.

【能力提升】

一、單選題

24

1.（2022?湖北?安陸第一高中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=上7v上4-9+f1a.v,若對(duì)任意不/￡[1，2],都有

xx

71

/（王）一/（々）（加2+立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.-I''B.（-8,-1]/'e）C.（-1，/）D.

【答案】B

【分析】將已知函數(shù)整理得/（幻=1+￡|-+21+￡|-2,令f=x+/,由二次函數(shù)的性質(zhì)求得

/（"=6,?。?寸37，將不等式等價(jià)于1-任71H,求解即可.

【詳解】解：由己知得f（x）=^^+二=2x+2+-V+x2=[x+』[+2fx+L1-2,

xx~XX~VX）\X）

令f=x+L因?yàn)閄G[1,2],所以te2,1,所以y=/+2f-2,

xLZ.

所以，當(dāng)，=2時(shí)，％.=2?+2x2_2=6,當(dāng)f=|時(shí)，%*j+2x|-2=乎即=6J（x）3=予

FIQ

所以對(duì)任意斗,々力，2],/（^）-/（^）</（^-/^=^-6=7，

1

7i7>

13一

所以對(duì)任意用，々eU，2],都有/（占）一/（々）4/一^m+萬，等價(jià)于1-），〃+2--4

即4'7—7m—1120,解得帆4—1或機(jī)所以實(shí)數(shù)，"的取值范圍是（v,-l]UV'+0CV

4L4）

故選：B.

2.（2022.全國?高一專題練習(xí)）己知函數(shù)/（*）=*2-3%應(yīng)"）=箕；,對(duì)任意西e[l,2],存在&e[l,3],

使得“琰（xjN機(jī)2g"J,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

81（9'

A.——,A0B.—co,

L5JI2j

「9一

C.[<0]D.--,0

【答案】C

【分析】對(duì)任意玉e[l,2],存在三[口,3],使得時(shí)（玉）..蘇g（w）,g（x）的值域是“幻值域的子集,求出/（x）

在區(qū)間口,2]上的值域和g（的在區(qū)間[1,3]上的值域,再討論加取值即可.

【詳解】解：因?yàn)閒（x）=x2-3x=（x-1）Y在區(qū)間1I，21上滿足：=/（|）=41

/??(tt=/(l)=/(2)=-2;

g(x)=型?=2-2，所以g(x)在［1,3］上單調(diào)遞增，

所以g(x)而“=g6=3,

又因?yàn)楹?&)..病g(電),

所以機(jī)"(芭')-mg(x2)］＞0,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)顯然成立；

所以當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，/(耳)-，咫(芻)..0,即/(瓦)..,”8區(qū))，

因?yàn)?(為)＜0，3(々)＞0,

所以不成立，舍去；

當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，機(jī)"⑷-叫5)］圖)o/(X1)沖@)對(duì)X/%e［l,2］成立，

只需滿足/a「,,gGL,

即-2vg機(jī)，解得力2-4,

綜上所述加的范圍為［-4,0］.

故選：C.

3.(2022?全國?高一)已知函數(shù)/(x)="-二，g(x)=e，+e,則以下結(jié)論正確的是

A.任意的王，馬€/?且不片七，都有"")一"%)＜。

西一馬

B.任意的X”々亡/?且看#々，都有8(芭)-屋當(dāng))＜0

±-%

C./(x)有最小值，無最大值

D.g(x)有最小值，無最大值

【答案】D

【分析】A：根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷f(x)的單調(diào)性，可判斷對(duì)錯(cuò)；

B：利用奇偶性判斷g(x)的單調(diào)性，即可判斷對(duì)錯(cuò)；

C：利用奇偶性和單調(diào)性判斷最值情況；

D：利用奇偶性和單調(diào)性判斷最值情況.

【詳解】A：<(x)=e，"(x)=-6一，在R上均是增函數(shù)，所以/'(x)是R上增函數(shù)，故錯(cuò)誤；

B：因?yàn)間(—x)=eT+e'=g(x)(xeR),所以g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在R上不可能是減函數(shù)，故錯(cuò)誤；

C：因?yàn)?(-X)=-(，-"")=-"x)(xeR),所以〃x)是奇函數(shù)，又“X)在R上是增函數(shù)，所以無

最值，故錯(cuò)誤；

D：任意的為，々e[0,+oo)且不<￡,所以

(ex'e'2-\](ex,-e112]

g(")—g(^2)=e"+e~*-(e*2+^)=(^=~---------------L，

因?yàn)閑W?-l>0,-eX1<0.所以g(^)-81)<0,所以g(xj<g(x2),所以g(x)在[0,+°o)上單調(diào)遞增,

因?yàn)間(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(9,0)上單調(diào)遞減，所以〃x*n=/(O),無最大值，故正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性的綜合應(yīng)用，難度般.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性是相

同的，并且在對(duì)稱區(qū)間上如果有最值，則最值互為相反數(shù)；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，并且在對(duì)

稱區(qū)間上如果有最值，則最值相等.

4.(2022?江蘇?高一)若函數(shù)f(x)=x2+ur+匕在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M-機(jī)的值

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)

C.與a無關(guān)，且與b無關(guān)D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)

【答案】B

2

【詳解】因?yàn)樽钪翟凇?)=1)=1+。+"/(')=。-幺中取，所以最值之差一定與6無關(guān)，選B.

24

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于二次函數(shù)的最值或值域問題，通常先判斷函數(shù)圖象對(duì)稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關(guān)系，

結(jié)合圖象，當(dāng)函數(shù)圖象開口向上時(shí)，若對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若對(duì)稱軸在

區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)圖象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為最小值，區(qū)

間端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的一端取得函數(shù)的最大值.

5.(2022.全國?高一單元測(cè)試)己知函數(shù)/("=/+依+3,若Vxe[l,2],恒有〃x)20,則實(shí)數(shù)u的取值

范圍為()

A.[―2,+co)B.[-2*^,+30)C.+a>jD.(2,+co)

【答案】B

【分析】函數(shù)恒成立問題，宜接求最值利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得；或利用參變分離法，利用基本不等式求

最值即得.

【詳解】解法-:若Vxe[l,2],恒有〃小0,只需f(x)1nhi20,

設(shè)函數(shù)/(力=3+奴+3在[1,2]上的最小值為g(a),則

(1)當(dāng)-￡<1，即。>一2時(shí)，g(a)=/(l)=l+a+3=4+a20,即aWY,所以。>—2；

(2)當(dāng)一]>2,即〃<-4時(shí)，g(a)=〃2)=4+2+3=7+2〃20,即“N-g,所以止匕時(shí)不滿足題意；

⑶當(dāng)14—建2,即-44a4—2時(shí)，g(“)=d-R=g-!+3=--+3,所以-《+320,即合.2,

2V274244

得-2限。426則-2>64。4-2.

綜上，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為卜,2-26).

故選：B.

解法二：若VXG[1,2],恒有/⑺對(duì),即對(duì)任意x41,2]恒成立,

所以“2-X-3對(duì)任意的》叩,刃恒成立，而-x-3=-1x+3)4-2石，當(dāng)且僅當(dāng)x=3,

XXyXJX

即x=G時(shí)取等號(hào)，所以“2-26.因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-26,+8).

故選：B.

6.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)“同=爐-2%在區(qū)間上的最大值為3,則實(shí)數(shù)，的取值范圍

是()

A.(1,3]B.[1,3]C.[-1,3]D.(-1,3]

【答案】D

【分析】分-1041和f>l,分析函數(shù)y=〃x)在區(qū)間[Tf]上的單調(diào)性，得出函數(shù)y=/(x)的最大值，并

結(jié)合得出實(shí)數(shù)1的取值范圍.

【詳解】二次函數(shù)〃力=*-2》的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x=L

①當(dāng)-1<Y1時(shí),函數(shù)〃x)=x2-2x在區(qū)間卜1用上單調(diào)遞增，則〃耳網(wǎng)=〃-1)=3：

②當(dāng)人1時(shí),函數(shù)”x)=x2-2x在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1刁上單調(diào)遞增，

此時(shí),函數(shù)y=〃x)在x=—l或x=f處取得最大值，由于f(x)1rax=3=/(-1),

所以，f(t)=t2-2t<3,即/_2-340,解得一1qV3,此時(shí)l<fW3.

綜上所述，實(shí)數(shù)f的取值范圍是［-1,3］,故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值問題，屬于定軸動(dòng)區(qū)間型，解題時(shí)要分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，

借助單調(diào)性求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

二、多選題

7.(2022.全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)“X)和g(x)的零點(diǎn)所構(gòu)成的集合分別為M,N,若存在tzeM,

0wN,使得則稱/(x)與g(x)互為“零點(diǎn)伴侶”.若函數(shù)/(同=產(chǎn)+"2與g(x)=f—以一。+3互

為“零點(diǎn)伴侶”，則實(shí)數(shù)“的取值不能是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】AD

【分析】首先確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，然后結(jié)合新定義的知識(shí)得到關(guān)于〃的等式，分離參數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單

調(diào)性確定實(shí)數(shù)。的取值范圍即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)"x)=ei+x-2是R上的增函數(shù)，且/。)=0,所以a=l,結(jié)合“零點(diǎn)伴侶”的定義得

又函數(shù)g(x)=x2—ar-a+3在區(qū)間［0,2］上存在零點(diǎn)，即方程x?-ar-a+3=0在區(qū)間［0,2］上存在實(shí)數(shù)根，

,做工小組%2+3x2+2x+1—2x—2+4(.x4

整理得a=-----=-------------------=(x+l)+——--2,

X+lX+lX+1

令g)=(x+l)++-2,xe［0,2］,所以人(力在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減,在［1,2］上單調(diào)遞增,

又刀(0)=3,/7(2)=1,〃⑴=2,所以函數(shù)妝外的值域?yàn)椋?,3］,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［2,3］.

故選：AD.

8.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))關(guān)于函數(shù)y=,4-(x+l)2,下列說法正確的是()

A.在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞減B.單調(diào)遞增區(qū)間為卜3,-1］

C.最大值為2D.沒有最小值

【答案】ABC

【分析】先求出函數(shù)定義域，令t=4-(x+l)2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由已知解析式，逐項(xiàng)判斷，即可得出

結(jié)果

【詳解】由4—(x+iy2O得—34x41,即函數(shù)y=j4-(x+iy的定義域?yàn)椋?3,1］,

令f=4-(x+iy,則f=4-(x+iy的圖象是開口向下，對(duì)稱軸為尸-1的拋物線，

所以函數(shù)t=4-(x+爐在［-3,-1］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

乂y=W單調(diào)遞增，所以y=14-(x+l)2在匕單調(diào)遞增，在［-1,1］上單調(diào)遞減，故A,B正確；

2

加=也-(-1+1)2=2,當(dāng)*=-3時(shí)，丫="_(_3+1)2=0,當(dāng)x=l時(shí)，y=^4-(1+1)=0,則)1=°，

故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

9.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)锳,若對(duì)任意xwA,存在正數(shù)M,使得［〃x)歸M

成立，則稱函數(shù)“X)是定義在A上的“有界函數(shù)”.則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是()

A./(x)=^~B.〃x)="一二2

4—X

c."*=2丁_好+3D./(x)=x+J4r

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意計(jì)算每個(gè)函數(shù)的值域，再分析是否有界即可.

【詳解】對(duì)于A,“刈=出二1)+77+工,由于」_二0,所以“力羊一1

\>4-x4-x4-JC4-x

所以|/(x)目0,+8),故不存在正數(shù)M,使得成立.

對(duì)于B,令“=4一4則“NO,/(")=4,當(dāng)x=0時(shí)，“取得最大值4,所以“e［0,4］,所以〃x)?0,2］,

故存在正數(shù)2,使得|f(x)歸2成立.

對(duì)于C,令"=2x2—4x+3=2(x-iy+l,則〃〃)=』，易得”對(duì)，所以0</(x)4：=5,UP/(x)e(O,5］,

故存在正數(shù)5,使得|/(x)歸5成立.

對(duì)于D,令貝卜20,x=4—產(chǎn)，則〃。=一/+人4=一］-3)+?(d0),易得所

IU|/(x)|e［0,+oo)?故不存在正數(shù)M,使得成立.

故選：BC

10.(2022.廣東.廣州六中高一期中)以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，8表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)9(x)

組成的集合：對(duì)于函數(shù)9(M，存在一個(gè)正數(shù)〃，使得函數(shù)夕(x)的值域包含于區(qū)間例如，當(dāng)

3

(px(x)=x,/(x)=sinx時(shí)，t(x)eA,<p.x)wB.則下列命題中正確的是：

A.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?。，則的充要條件是“皿€尺，BaeD,/(“)=)”

B.函數(shù)〃x)e8的充要條件是/(X)有最大值和最小值

C.若函數(shù)〃x),g(x)的定義域相同,且〃x)eA,g(x)eB,則〃x)+g(x)任8

D.若函數(shù)f(x)=aln(x+2)+￡^(x>-2,aeR)有最大值,則〃x)eB

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)中，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域的定義，轉(zhuǎn)化成用簡(jiǎn)易邏輯語言表示出來；

3選項(xiàng)中舉反例保證函數(shù)的值域?yàn)榧系淖蛹?，但值域是一個(gè)開區(qū)間，從而說明函數(shù)沒有最值；C

選項(xiàng)中從并集的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)值域，可以發(fā)現(xiàn)F(x)+g(x)eR，從而發(fā)現(xiàn)命題正確；0選項(xiàng)中從極限的角

度證明a>0,。<0均不成立，所以”=0,再求出函數(shù)“X)的值域?yàn)?從而得到命題。正確.

【詳解】對(duì)A,"/(x)eA”即函數(shù)/*)值域?yàn)镽,"3a^D,/(。)="’表示的是函數(shù)可以在我中

任意取值，故有：設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)椤?gt;,則"/(x)eA”的充要條件是7bwR,3aeD,f@=b"，

命題A是真命題；

對(duì)8,若函數(shù)/(x)e5,即存在一個(gè)正數(shù)使得函數(shù)/*)的值域包含于區(qū)間

??--WW".例如：函數(shù)/⑶滿足-2</(