應(yīng)用多元統(tǒng)計分析（第六版）課件-第二章隨機向量

第二章隨機向量§2.1多元分布§2.2數(shù)字特征§2.3歐氏距離和馬氏距離*§2.4隨機向量的變換*§2.5特征函數(shù)1§2.1多元分布一、多元概率分布函數(shù)*二、兩個常用的離散型多元分布三、多元概率密度函數(shù)四、邊緣分布五、條件分布六、獨立性2一、多元概率分布函數(shù)一個向量，若它的分量都是隨機變量，則稱之為隨機向量。隨機變量x的分布函數(shù)：隨機變量x1和x2的聯(lián)合分布函數(shù)：隨機向量

的分布函數(shù)：3三、多元概率密度函數(shù)一元的情形：二元的情形：4p元的情形：5概率密度的性質(zhì)一元密度f(x)的性質(zhì)：多元密度f(x1,?,xp)的性質(zhì)：6四、邊緣分布

設(shè)x是p維隨機向量，由它的q（<p）個分量組成的向量x(1)的分布稱為x的關(guān)于x(1)的邊緣分布。不妨設(shè)，則對連續(xù)型的分布，有7五、條件分布設(shè)是p維連續(xù)型的隨機向量，在給

定的條件下，

的條件密度定義為或表達為

8六、獨立性兩個連續(xù)型隨機向量的獨立n個連續(xù)型隨機向量的獨立在實際應(yīng)用中，若隨機向量之間的取值互不影響，則認(rèn)為它們之間是相互獨立的。9§2.2數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望（均值）

二、協(xié)方差矩陣三、相關(guān)矩陣四、總變異性的度量10一、數(shù)學(xué)期望（均值）隨機向量的數(shù)學(xué)期望

記為μ=(μ1,μ2,?,μp)′。隨機矩陣X=(xij)的數(shù)學(xué)期望11隨機矩陣X的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)設(shè)a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X)(2)設(shè)A,B,C為常數(shù)矩陣，則E(AXB+C)=AE(X)B+C特別地，對于隨機向量x，有E(Ax)=AE(x)(3)設(shè)X1,X2,?,Xn為n個同階的隨機矩陣，則E(X1+X2+?+Xn)=E(X1)+E(X2)+?+E(Xn)12二、協(xié)方差矩陣協(xié)方差定義為若Cov(x,y)=0，則稱x和y不相關(guān)。兩個獨立的隨機變量必然不相關(guān)，但兩個不相關(guān)的隨機變量未必獨立。當(dāng)x=y時，協(xié)方差即為方差，也就是

的協(xié)方差矩陣（簡稱協(xié)差陣）定義為 1314若Cov(x,y)=0，則稱x和y不相關(guān)。兩個獨立的隨機向量必然不相關(guān)，但兩個不相關(guān)的隨機向量未必獨立。

V(x)亦記作Σ=(σij)，其中σij=Cov(xi,xj)，σii=σi2=V(xi)。在給定x2的條件下，x1的協(xié)差陣稱為條件協(xié)差陣，記作V(x1|x2)。

15協(xié)差陣Σ既包含了x各分量的方差，也包含了每兩個分量之間的協(xié)方差。顯然，Σ是一個對稱矩陣。例2.2.1一隨機向量由x和y組成，其協(xié)差陣可作如下剖分：16注：該例的重要性在于理解分塊矩陣中每一塊的含義，在多元統(tǒng)計中經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的矩陣分塊。協(xié)差陣的性質(zhì)(1)Σ≥0。推論若|Σ|≠0，則Σ>0。(2)設(shè)A為常數(shù)矩陣，b為常數(shù)向量，則當(dāng)p=1時，退化為熟知的例2.2.2

的分量之間存在線性關(guān)系（以概率1）。注：該例的重要性在于告訴我們，只要刪去“多余”的變量就可確保Σ>0，從而Σ?1存在，這樣可使數(shù)學(xué)問題得以簡化。以后常假定Σ>0，并不失一般性。17例2.2.3設(shè)x=(x1,x2,x3)′的數(shù)學(xué)期望和協(xié)差陣分別為

令y1=2x1?x2+4x3,y2=x2?x3,y3=x1+3x2?2x3，試求y=(y1,y2,y3)′的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差矩陣。解18(3)設(shè)A和B為常數(shù)矩陣，則(4)設(shè)

為常數(shù)矩陣，則19

推論

證明

[先證推論，再證性質(zhì)(4)]20(5)設(shè)k1,k2,?,kn是n個常數(shù)，x1,x2,?,xn是n個相互獨立的p維隨機向量，則21三、相關(guān)矩陣隨機變量x和y的相關(guān)系數(shù)定義為

的相關(guān)陣定義為22若ρ(x,y)=0，則表明x和y不相關(guān)。

x=y時的相關(guān)陣ρ(x,x)稱為x的相關(guān)陣，記作R=(ρij)，這里ρij=ρ(xi,xj),ρii=1。即R=(ρij)和Σ=(σij)之間有關(guān)系式：R=D?1ΣD?1

其中

；R和Σ的相應(yīng)元素之間的關(guān)系式為

23前述關(guān)系式即為24例2.2.5在例2.2.3中，x的相關(guān)陣為解25標(biāo)準(zhǔn)化變換最常用的標(biāo)準(zhǔn)化變換是令

26可見，相關(guān)陣R也是一個非負(fù)定陣。27四、總變異性的度量（一）總方差：（二）廣義方差1.廣義方差的概念|Σ|*2.廣義方差的解釋(橢球的體積)2=常數(shù)×廣義方差28§2.3歐氏距離和馬氏距離一、歐氏距離二、馬氏距離29一、歐氏距離

之間的歐氏距離為平方歐氏距離為30不適合直接使用歐氏距離的例子下面是各國家和地區(qū)男子徑賽記錄的數(shù)據(jù)（1984年）：國家和地區(qū)100米（秒）200米（秒）400米（秒）800米（分）1500米（分）5000米（分）10000米（分）馬拉松（分）阿根廷10.3920.8146.841.813.714.0429.36137.72澳大利亞10.3120.0644.841.743.5713.2827.66128.3奧地利10.4420.8146.821.793.613.2627.72135.9比利時10.3420.6845.041.733.613.2227.45129.95百慕大10.2820.5845.911.83.7514.6830.55146.62巴西10.2220.4345.211.733.6613.6228.62133.13緬甸10.6421.5248.31.83.8514.4530.28139.95加拿大10.1720.2245.681.763.6313.5528.09130.15智利10.3420.846.21.793.7113.6129.3134.03中國10.5121.0447.31.813.7313.929.13133.53哥倫比亞10.4321.0546.11.823.7413.4927.88131.35?????????31即使單位全相同，但如果各分量的變異性差異很大，則變異性大的分量在歐氏距離的平方和中起著決定性的作用，而變異性小的分量卻幾乎不起什么作用。平均大小32圖中兩個外點哪個更離群？在實際應(yīng)用中，為了消除單位的影響和均等地對待每一分量，我們常須先對各分量作標(biāo)準(zhǔn)化變換，然后再計算歐氏距離。令

，則由于

，故平方和中各分量所起的平均作用都一樣。33二、馬氏距離（一）馬氏距離概念的引出*（二）馬氏距離公式的導(dǎo)出（三）馬氏距離的定義（四）馬氏距離的特點34（一）馬氏距離概念的引出歐氏距離經(jīng)變量的標(biāo)準(zhǔn)化之后能夠消除各變量的單位或方差差異的影響，但不能消除變量之間相關(guān)性的影響。35（三）馬氏距離的定義

之間的平方馬氏距離定義為到總體π的平方馬氏距離定義為36例2.3.1設(shè)x是一個p維隨機向量，E(x)=μ，V(x)=Σ>0，c為一正數(shù)，試證到μ的馬氏距離固定為c的x集合，即是一個橢圓（p=2）或橢球面（p=3）或超橢球面

（p>3）。當(dāng)Σ=σ2I時，上式是圓或圓球面或超圓球面。37（四）馬氏距離的特點特點(1)馬氏距離對下列形式的p維向量x度量單位的改變具有不變性：y=Cx+b其中C為p×p階的非退化常數(shù)矩陣，b為p維常數(shù)向量。38證明

x1,x2經(jīng)單位變換后為y1,y2，即有39比例單位變換如x的分量是長度、重量、速度、費用和用時等，則變量的單位變換可表達為其中。40帶有常數(shù)項的單位變換例子攝氏溫度與華氏溫度的換算公式：

F＝(C×9／5)＋32，C＝(F－32)×5／9