自考本科線性代數(shù)筆記(第二章 矩陣)

第一章矩陣

2.1矩陣的概念

定義2.1.1由mxn個(gè)數(shù)a.（i=l,2,m；j=l,2,...?n）排成一個(gè)m行n列的

數(shù)表

fa\\@2勾邦、

02\出2%"

、41%2???用大小括號表示

稱為一個(gè)m行n列矩陣。矩陣的含義是，這mxn個(gè)數(shù)排成一個(gè)矩形陣列。其中a.稱

為矩陣的第i行第j列元素（i=l,2,…，m；j=l,2,…，n）,而i稱為行標(biāo)，j稱為列

標(biāo)。第i行與第j列的變叉位置記為（i,j）。

通常用大寫字母A,B,C等表示矩陣。有時(shí)為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n,也可

記為

A=（a,）mxn或（aij）mxn或Amxn

2

當(dāng)m=n時(shí)，稱A=（ay）nxn為n階矩陣，或者稱為n階方陣。n階方陣是由n個(gè)數(shù)排

成一個(gè)正方形表，它不是一個(gè)數(shù)（行列式是一個(gè)數(shù)），它與n階行列式是兩個(gè)完全不同的概

念。只有一階方陣才是一個(gè)數(shù)。一個(gè)n階方陣A中從左上角到右下角的這條對角線稱為A

的主對角線。n階方陣的主對角線上的元素a”，a22,…，a.稱為此方陣的對角元。在本

課程中，對于不是方陣的矩陣，我們不定義對角元。

元素全為零的矩陣稱為零矩陣。用Om*n或者o（大寫字）表示。

特別，當(dāng)m=l時(shí)，稱a=（a”a2，…，aQ為n維行向量。它是Ixn矩陣。

'瓦、

9=與

當(dāng)n=l時(shí)，稱2MM為m維列向量。它是mxl矩陣。

向量是特殊的矩陣，而且它們是非常重要的特殊矩陣。

[5]

例如，（a,b,c）是3維行向量，I4是3維列向量。

幾種常用的特殊矩陣:

l.n階對角矩陣

010

A=°”22

形如100

"mJ或簡寫為\力（那不是A,念"尖”）

的矩陣，稱為對角矩陣，對角矩陣必須是方陣。

f20

0]（2

030

例如，I。

0是一個(gè)三階對角矩陣，也可簡寫為（

2.數(shù)量矩陣

當(dāng)對角矩陣的主對角線上的元素都相同時(shí)，稱它為數(shù)量矩陣。n階數(shù)量矩陣有如下形式:

70…0]（a'

0a0a

<00…"型.或1（標(biāo)了角標(biāo)的就是N階矩陣，沒標(biāo)就不知是多少

的）

特別，當(dāng)a=l時(shí)，稱它為n階單位矩陣。n階單位矩陣記為E”或3即

fl001（11

0…或I1yl

在不會引起混淆時(shí)，也可以用E或I表示單位矩陣。

n階數(shù)量矩陣常用aE”或叫表示。其含義見2.2節(jié)中的數(shù)乘矩陣運(yùn)算。

3.n階上三角矩陣與n階下三角矩陣

形如

的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣。

對角矩陣必須是方陣。一個(gè)方陣是對角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它既是上三角矩陣，又是下三角矩陣。

4.零矩陣

mo-。、

000

0=.

、0°-（可以是方陣也可以不是方陣）

2.2矩陣運(yùn)算

本節(jié)介紹矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等基本運(yùn)算。只有在對矩陣定義了一

些有理論意義和實(shí)際意義的運(yùn)算后，才能使它成為進(jìn)行理論研究和解決實(shí)際問題的有力工

具。

2.2.1矩陣的相等（同）

定義2.2.1設(shè)A=（ay）mxn>B=（bij）kxi>若m=k,n=]且ag=bij,i=l?2,m；j=l,

2,n,則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B。

由矩陣相等的定義可知，兩個(gè)矩陣相等指的是，它們的行數(shù)相同，列數(shù)也相同，而且兩

個(gè)矩陣中處于相同位置（i,j）上的一對數(shù)都必須對應(yīng)相等。特別，

A=（ag）mxn=O^^ij=0，i=l,2,m；j-112,n。

注意行列式相等與矩陣相等有本質(zhì)區(qū)別，例如

G加；）

因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣中（1,2）位置上的元素分別為0和2。但是卻有行列式等式

1012

01D1（因?yàn)樾辛惺绞菙?shù)，矩陣是表，表要求表里的每一個(gè)都一樣）

2.2.2矩陣的加、減法

定義2.2.2設(shè)A=（aij）mxn和B=（bij）mxn,是兩個(gè)mxn矩陣。由A與B的對應(yīng)元素

相加所得到的一個(gè)mxn矩陣，稱為A與B的和，記為A+B,即

A+B=(3jj+bij)m*n。

即若

’為1士加勾2士知-"士砥'

散1士與1“22士與2￡32M士與*

士為1士加2""%"土Anj

當(dāng)兩個(gè)矩陣A與B的行數(shù)與列數(shù)分別相等時(shí)，稱它們是同型矩陣。只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩

陣時(shí)，它們才可相加。

例如

'1234](0145]_(1379]

J678廣1230179716)

注意：

（1）矩陣的加法與行列式的加法有重大區(qū)別

例如

2+23+3、勺46、

1+11+1322

2+23+3,<346,

3b23

1=311

3323（階數(shù)相同，所有的行（列）中除某一行（列）

不相同外，其余的行都一樣才可以相加,方法是除了這兩個(gè)不同的行（列）相加外，其它的

不變。）

（2）階數(shù)大于1的方陣與數(shù)不能相加。（階數(shù)大于1它就是一個(gè)表，不是一個(gè)數(shù)了）

若A=（a.）為n階方陣，n>l,a為一個(gè)數(shù)，則A+a無意義！但是n階方陣A=（a.）

m*n與數(shù)量矩陣aEn可以相加：

’41+〃a12%,

A+aE?=卬磔+”-%

、加/2…而+/（把數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)量矩陣aE”就可以想加了）

由定義222知矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律：

設(shè)A,B,C都是mxn矩陣，O是mxn零矩陣,

則

(1)交換律A+B=B+A.(乘法沒有交換律)

(2)結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C).

(3)A+O=O+A=A.

(4)消去律A+C=B+CoA=B.

2.2.3數(shù)乘運(yùn)算(矩陣與數(shù)不能相加，但是可能想乘)

定義2.2.3對于任意一個(gè)矩陣A=(aij)mxn和任意一個(gè)數(shù)k,規(guī)定k與A的乘積為kA=

(kajj)mxn.(矩陣?yán)锏牡趥€(gè)原數(shù)都乘以數(shù)k)

即若

則

由定義223可知，數(shù)k與矩陣A的乘積只是A中的所有元素都要乘以k,而數(shù)k與行

列式Dn的乘積只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘D,,中某一列的所有元素,

這兩種數(shù)乘運(yùn)算是截然不同的。

根據(jù)數(shù)乘矩陣運(yùn)算的定義可以知道，數(shù)量矩陣aEn就是數(shù)a與單位矩陣En的乘積。

數(shù)乘運(yùn)算律

(1)結(jié)合律(kl)A=k(1A)=klA,k和1為任意實(shí)數(shù)。

(2)分配律k(A+B)=kA+kB,(k+1)A=kA+lA,k和1為任意實(shí)

數(shù)。

例1已知

f-\231、“2-10、

A=02-13B=4-311

J20"J02"

求2A-3Bo

［答疑編號：020101針對該題提問］

解

r-l231]p2-10、

2A-3B=202-13-34-311

Vb

、420025)

(-14621(36-30、

=04-2-933

40叼(306田

(-2-34-66+32-0、

=0-124+9-2-36-3

18-34-00-610-15J

'-5-292、

=-1213-53

、54-6-5,

例2已知

(30-12^|(5632^

A=,8=,

^2831J1^247-1J

且A+2X=B,求X。

[答疑編號：020102針對該題提問]

_1_"2640]J1320]

解「=尹-匈=40-44-2廠10-22-11(注意是乘以矩陣?yán)锏拿總€(gè)元素)

2.2.4乘法運(yùn)算

定義2.2.4設(shè)矩陣A=(aij)mxk，B=(bpkxn，令C=(旬)mxn是由下面的mxn個(gè)元素

Cij=aubij+ai2b2j+...+aikbkj(i-1(2,...,m；j=l,2,...,n)

構(gòu)成的m行n列矩陣，稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積，記為

C=AB。

由此定義可以知道，兩個(gè)矩陣A=(a“)和B=(bij)可以相乘當(dāng)且僅當(dāng)A的列數(shù)與B的

行數(shù)相等。當(dāng)C=AB時(shí)，C的行數(shù)=人的行數(shù)，C的列數(shù)=8的列數(shù)。C的第i行第j列元素

等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應(yīng)元素的乘積之和。

'10-1、。。、

/=21。B=31

若12-1,<°2)且AB=C

例3

求矩陣C中第二行第一列中的元素C21

［答疑編號：020103針對該題提問］

解：C21等于左矩陣A中的第二行元素與右矩陣B中第一列元素對應(yīng)乘積之和

AC2i=2xl+1x3+0x0=5

例4設(shè)矩陣

'10-1]p0、

A=210,B=31,

/2-1J10。(列行)

求AB。

［答疑編號：020104針對該題提問］

q00]pxl+0x3+(-1)x0IxO+Oxl+(-1)x2^(\-2、

AB-211■2xl+1x3+0xO2x0+1x14-0x251

2)[3x1+2x3+(-1)x0

解：。23x0+2xl+(-l)x2;=<90；

這里矩陣A是3x3矩陣，而B是3x2矩陣，由于B的列數(shù)與A的行數(shù)不相等，所以

BA沒有意義。

勾1勾2和、

6=a22%3

的3)求(1)AE

例5%33(2)E3A3

an勾3V100^

453=%3a23010

解：(1)⑶為01,

的2a33

q]+0+00+A]?+00+0+口13“13

+°+°0+生2+00+0+%-叼]叼3?4

、%1+0+00+電2+。0+0+q3/gl色3,

［答疑編號：020105針對該題提問］

711+0+002+0+0為3+0+0'

°+。21+°。+。22+00+。然+0

+0+與I0+0+cfy^0+0+q3)

［答疑編號：020106針對該題提問］

由本例可見A3E3=E3A3=A3，并且可以推廣有

4琮％=4

它與代數(shù)中的la=a-l=a比較可見單位矩陣E”在乘法中起單位的作用。

例

A

求AB和BA

［答疑編號：020107針對該題提問］

XB-P°1.［°°］皿°1P°)-P°1

解：U。NUI。ojU1川0)1,20)

現(xiàn)在，我們對矩陣乘法與數(shù)的乘法作一比較。

數(shù)的乘法有交換律，矩陣乘法沒有普遍交換律。(差別)

91、

C=J求

例7<0

(1)AB(2)AC

解⑴皿Md)

［答疑編號：020108針對該題提問］

m)=(;0)

［答疑編號：020109針對該題提問］

可見AB=AC

眾所周知，兩個(gè)數(shù)的乘積是可交換的：ab=ba,因而才有熟知的公式:

(a+b)2=a2+2ab+b2,a2-b2=(a+b)(a-b),(ab)k=akbk.

兩個(gè)非零數(shù)的乘積不可能為零。因此，當(dāng)ab=0時(shí)，必有a=0或b=0。當(dāng)ab=ac成立時(shí),

只要掙0,就可把a(bǔ)消去得到b=c。(這條只滿足數(shù)，不滿足矩陣)

由矩陣乘法及上述例6、例7可知：

(1)單位矩陣與任意一個(gè)同階方陣的乘積必可交換：EnA=AE?=A

(2)數(shù)量矩陣與任意一個(gè)同階方陣的乘積必可交換：(aEn)A=A(aEn).

(3)在一般情形下，矩陣的乘法不滿足交換律，即一般A即BA。

(4)當(dāng)AB=O時(shí)，一般不能推出A=O或B=O。這說明矩陣乘法不滿足消

去律。

(5)當(dāng)AB=AC時(shí)，一般不能推出B=C。(消去律)

若矩陣A與B滿足AB=BA,則稱A與B可交換。此時(shí)，A與B必為同階方陣。

矩陣乘法不滿足消去律，并不是說任意兩個(gè)方陣相乘時(shí)，每一個(gè)方陣都不能從矩陣等式

的同側(cè)消去。在下一節(jié)中我們將會看到，被稱為可逆矩陣的方陣一定可以從矩陣等式的同側(cè)

消去。

f\0、

J4=

例8設(shè)矩陣<2U,求出所有與A可交換的矩陣。(即AB=BA)

［答疑編號：020201針對該題提問］

X11砧'

T=21勾2)為與A可交換的矩

解因?yàn)榕cA可交換的矩陣必為二階矩陣，所以可設(shè)

陣，則

10砒]=(*11^12

x

21.*2122)On+與12勺2+為,

卜11/叫10]/

XU+2J12

XA=以如人21rl^22J

721+2x22

由AX=XA,可推出X［2=0，X11=X22,且Xu，X21可取任意值,即得

70、

x=MlX1J。(對角線必須一樣)

p1、"12、

例9解矩陣方程Q2,x=、T4,X為二階矩陣。

［答疑編號：020202針對該題提問］

%/12

N=、21與2人由題設(shè)條件可得矩陣等式:

解設(shè)I

:鳴勺2、

29

功)

2^11+^212X12+J22T2、

711+2^21x12+2＞第L

由矩陣相等的定義得

2卬+%=L2砧+為=2,

711+2;:21=T；.々2+2*22=L(列出兩組方程式)

11

X=

解這兩個(gè)方程組可得X]|=l,X21=-1,X12=1,X22=0o所以-107

乘法運(yùn)算律

(1)矩陣乘法結(jié)合律(AB)C=A(BC)。(不改變順序)

(2)矩陣乘法分配律(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC。

(3)兩種乘法的結(jié)合律k(AB)=(kA)B=A(kB),k為任意實(shí)數(shù)。

(4)EmAmxn=Amxn,AmxnEn=Amxn(其中Em,E”分別為m階和n階單位矩陣)。

矩陣乘法的結(jié)合律要用定義直接驗(yàn)證(證略)，其他三條運(yùn)算律的正確性是顯然的。

方陣的方累。

J4

設(shè)A為n階方陣，由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以可以不加括號而有完全確

定的意義。

^=3,^=^^=AA,-，^=AA-A

我們定義A的鼎(或稱方幕)為

由定義可知，n階方陣的方累滿足下述規(guī)則：

AkA'=Ak+l,（Ak）*=Akl,k,I為任意正整數(shù)。

例10用數(shù)學(xué)歸納法證明以下矩陣等式：

『邛p.p1丫2gM

⑴101JI。⑵11ub

「打㈠

證（1）當(dāng)n=l時(shí)，矩陣等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),矩陣等式成立，即10U1°U

“Dq=p卡廿

則101JI。1乂01J101人0DI。1）

知道，當(dāng)n=k+l時(shí)，矩陣等式也成立。所以對任意正整數(shù)n,此矩陣等式成立。

［答疑編號：020203針對該題提問］

p1V_2*_!（\1］

（2）當(dāng)n=l時(shí)，矩陣等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，矩陣等式成立，即IJ-JV

』：『?（；『（；//：）（；:ZC；M：；）

知道，當(dāng)戶1<+1時(shí)，矩陣等式也成立。所以對任意正整數(shù)n,此矩陣等式都成立。

［答疑編號：020204針對該題提問］

例11設(shè)n階方陣A和B滿足4=5（8+E。，證明：（解B平方為多少）

/=<=爐=段，

flO

［答疑編號：020205針對該題提問］

證由'=5⑶3%］?推出B=2A-En。再由

22

B=(2A-En)(2A-En)=4A-4A+En(E等于1呀)

證得爐=礴=44?=4/O/=/

㈤

Bn

（/，叼，…,。）=2"網(wǎng),=勾瓦+叼與+???+%與

1-1

例12

前者是數(shù)，后者是n階方陣，兩者不相等，即ABrBA.（行乘列為數(shù)，列乘行為N階方

陣）

［答疑編號：020206針對該題提問］

因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律，所以對于n階方陣A和B,有以下重要結(jié)

論：

(1)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2AB=BA?

(2)(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2=A2-B2<=>AB=BA.

(3)當(dāng)AB=BA時(shí)必有(AB)k=AkBt(只有兩者兩等時(shí)成立)

例如AB=BA時(shí)，(AB)2=(AB)(AB)=ABAB=A(BA)B=AABB=(AA)(BB)=A2B2

但AB,BA時(shí)，則上面結(jié)果不成立。

…Na-c：iI

r

AB,

■(AB)2"爐

[答疑編號：020207針對該題提問]

因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足消去律，所以對于n階方陣A和B,有以下重要結(jié)論：

⑴AB=O,A我。不能推出B=。。例；)山?(:時(shí)

外°1?

1°°A°。)1°°)(兩個(gè)不等于零的方陣相乘或是一個(gè)數(shù)平方也可能等于零)

2

(2)由A=O不能推出A=(O0]

A=Oo例如Xi0)

°Y°°Lf°°1

則U0川oil。

(3)由AB=AC,A#O不能推出A_(\。心/。c=(°。'

B=C。例如I。oj-Iooj-10D時(shí)

pOVOO'!flOVO0]_e0]

1°0八0°J-l00九0J"l00/(同系數(shù)兩個(gè)數(shù)或是兩個(gè)數(shù)的平方相等)

即AB=AC,但B#C

(4)由A2=B2不能推出A=±B。例如，取

JU孤MlI)

爐=(o：Ko：Mi上

2.2.5矩陣的轉(zhuǎn)置

定義225設(shè)矩陣

2

把矩陣的行與列互換得到的nxm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A，，

即

同1a21…

/=勾2叼2…

a

2n…4汽)冰炭

易見A與AT互為轉(zhuǎn)置矩陣。特別，n維行(列)向量的轉(zhuǎn)置矩陣為n維列(行)向

量。

'16、

〃2nH=24

A=，

例如，343)則(53)

/=%

若A=(ai，a2，…，an)貝！J

㈤

B=匕，

若以J則B「=(bi，b2，…，bn)

例14如果已知A為Ixn矩陣，BA11為rxl矩陣，證明：B為rxn矩陣。

［答疑編號：020208針對該題提問］

證設(shè)B為x行y列的矩陣

則有BxxyA'x尸(BADxxl

根據(jù)可乘條件有y=n

根據(jù)積的形狀有x=r

所以B為Brxn

例15U-V10U求

(1)AB(2)(AB)T(3)ATBT(4)BTAT

“cfl2"111fl31

AB==

解：(1)v-1J10l)11Oj

［答疑編號：020209針對該題提問］

fin

⑷T叱n

(2)13Q)

［答疑編號：020210針對該題提問］

百■=『ifo］=f1］

(3)］-1J(11J11-1J

［答疑編號：020211針對該題提問］

(4)Xi認(rèn)2-1廠匕0,

［答疑編號：020212針對該題提問］

由本例可見(AB)T=BTAT,這一結(jié)果有普遍性(不證)

轉(zhuǎn)置運(yùn)算律

⑴(ADT=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAr,k為實(shí)數(shù)。

TTTTTTT

(4)(AB)=BA,(AiA2...An)=AnAn-i...Ai.

占'、/cr,設(shè)A=(aij)為n階實(shí)方陣。若A滿足AT=A,也就是說A中元素滿

定義2.2.6「

aij=aji，i,j=L2,...?n,則稱A為實(shí)對稱矩陣。

若A滿足AT=A,也就是說A中元素滿足：

aij=-aji，i,j=L2,…，n,此時(shí)必有即=0,i=L2,…,n,則稱A為實(shí)反對稱矩陣。

實(shí)矩陣指的是元素全為實(shí)數(shù)的矩陣，在本課程中，我們只討論實(shí)對稱矩陣和實(shí)反對稱矩

陣，因此，往往省略一個(gè)“實(shí)”字。例如，

n241/、缶bcl

(a

(49'ef)

都是對稱矩陣;

0b

0b'

-b0

-b0

''Ic-e0)

都是反對稱矩陣。

例16證明：任意一個(gè)實(shí)方陣A都可以惟一地表示為一個(gè)對稱矩陣與一個(gè)反對稱矩陣

之和。

［答疑編號：020213針對該題提問］

證：取有山+外「二V-心

貝ijA=X+Y

工「=［/+/)，=+=3川+⑸=；(4+萬)

#c十」zzz-A

...X是對稱陣。

Kr=l(^-Z)r=3H-(Ar)r)=1(#-A)=-l(A-Z)=-Y

.?.Y是反對稱陣。

對任意方陣A都

(注)舉例證明了下面結(jié)論,

有

(A+AD是對稱陣

(A-AT)是反對稱陣

例17(1)設(shè)A為n階對稱矩陣，證明：對于任意n階方陣P,pTAP必為對稱矩

(2)如果已知PTAP為n階對稱矩陣，問A是否必為對稱矩陣？

證(1)因?yàn)锳是對稱矩陣，必有AT=A(滿足這個(gè)條件)，于是必有

（PTAP）T=PTATP=PTAP

這說明MAP必為對稱矩陣。

［答疑編號：020214針對該題提問］

（2）反之，如果MAP為n階對稱矩陣：（pTAP）T=pTAP,則有

PTATP=PTAP,

但是矩陣乘法不滿足消去律，在矩陣等式兩邊，未必能把PT和P消去，所以不能推出

AT=A,A未必是對稱矩陣。

［答疑編號：020215針對該題提問］

226方陣的行列式

由n階方陣A的元素按原來的順序構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式，記

定義2.2.7作Ml

或det(A)o

即，如果

勾1勾2…勾月

421勾2…

A=

&加J,

則

頃1a12…%

同=業(yè)1（6）=%1組2…組”

"加％2總。

_F121_12_

例如，'=1_34］的行列式為4=一。

注意II

心（1）矩陣是一個(gè)數(shù)表，行列式是一個(gè)數(shù)，二者不能混淆，而且行列式記號“件'與矩

陣記號“（*）”也不同，不能用錯(cuò)。

（2）矩陣的行數(shù)與列數(shù)未必相等，但行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等。

（3）當(dāng)且僅當(dāng)'=（氣?為n階方陣時(shí)，才可取行列式w=hL對于不是方陣的矩陣是不

可以取行列式的。

易見，上、下三角矩陣的行列式等于它的所有對角線元素的乘積

n

n=^1^2''°nn

特別，限卜a",%=L

???0

…0

…1

a1

當(dāng)=2

例18設(shè)上1c2，3」且有優(yōu)|="。求I必I

［答疑編號：020301針對該題提問］

陽k02^3

kA^密腦2%

解：修叼如3

：k3d

由本例可見1%卜m國

一般地應(yīng)有1叫卜/Ml

方陣的行列式有如下性質(zhì)：設(shè)A,B為n階方陣，k為數(shù),

則

(1)網(wǎng)5

(2)KI=^I4

(3)I期=1朗見（行列式乘法規(guī)則）

（1）,（2）的證明可由方陣行列式的定義及行列式性質(zhì)直接得到。（3）的證明從略。

1325

■4=B34_),則

例19設(shè)2-2

［答疑編號：020302針對該題提問］

13

國

①2-2

2

|B|

②3

[;3251117

AB=1-22_|,

③-2j[34

'2:5ri312-4

BA=

342-2111C

④閹=56

12-4

111=56

于是得

圈=|網(wǎng)=56,|朗B|=(-8)(-7)=56。

例20設(shè)A,B同為n階方陣。如果AB=O,則由

［答疑編號：020303針對該題提問］

圈=|母忸|=0

知道，必有M卜囁忸1=4但未必有A=O或B=O。

例21證明：任意奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式必為零。

［答疑編號：020304針對該題提問］

證：設(shè)A為2n-l階反對稱矩陣，則有/=-4于是根據(jù)行列式性質(zhì)1和性質(zhì)2,得到

k［=卜4|=卜-網(wǎng)=>2|J4|=0

因?yàn)镸l是數(shù)，所以必有國=0。

2.2.7方陣多項(xiàng)式

任意給定一個(gè)多項(xiàng)式f。)=4爐+4_］爐-】+…+qx+a訴1任意給定一個(gè)n階方陣A,都可以

1!￡

定義一個(gè)n階方陣/(&=a海?+4-1#-1+?~+勺4+%瑪!，

稱f(A)為A的方陣多項(xiàng)式。注意：在方陣多項(xiàng)式中，末項(xiàng)必須是數(shù)量矩陣如縱而不是常

數(shù)的。方陣多項(xiàng)式是以多項(xiàng)式形式表示的方陣。

2r2-11

f(x)=x2-4x+3,A=

例22：設(shè)L-34」，求f(A)

［答疑編號：020305針對該題提問］

解：f(A)=^-4A+3E2

-66J

例23：若人=8￡,其中/=￡,CT=-Co證明

AAr=ArA<=>BC=CB

［答疑編號：020306針對該題提問］

證：AAr-(B-C)(Br-Cr>(B-Q(B+Q-B2+BC-CB-C2

ZJ4=(Br-Cr)(B-C)=(B+C)(B-C)=B2-BC+CB-C2

由A4J/4O/+BC-CB-C^B1-BC+CB-C2

oBC-CB=-8C+CE

u>IBC=2CB

u>EC=CB

2.3方陣的逆矩陣

我們知道，對于任意一個(gè)數(shù)a#),一定存在惟一的數(shù)b,使ab=ba=l,

這個(gè)b就是a的倒數(shù)，常記為b=a"。而且a與b互為倒數(shù)。

對于方陣A,我們可類似地定義它的逆矩陣。

設(shè)A是一個(gè)n階方陣。若存在一個(gè)n階方陣B,使得項(xiàng)=區(qū)4=%(其中號提n階

匕乂2.3.1單位

陣)，(2.5)

則稱A是可逆矩陣(或非奇異矩陣)，并稱方陣B為A的逆矩陣。A的逆矩陣記為Ml即4】=E。

若滿足(2.5)式的方陣B不存在，則稱A為不可逆矩陣(或奇異矩陣)。

由逆矩陣的定義可見若B是A的逆矩陣。則反過來A也是B的逆矩陣。即若E=ypl,

則有力=B-1

可逆矩陣的基本性質(zhì)設(shè)A,B為同階的可逆方陣，常數(shù)k/0,

則

(1)為可逆矩陣，且(小丁=4

(2)AA-1=/7/=S

(3)(相-1=歹9”

證4時(shí)1)八⑷小-AA'1-E

(曲T=小小

推廣有(A4…4尸=

(4)”「次

證(阿(；4-1)=AT1=E

(M)-1=

⑸4尸=(心.

證/"a-br=orW=(與r=E

(6)(O#尸

1-1kk

(>j-)*J4*=(AA)=E=E

(#尸=(￡1)上

(7)若A可逆且AB=AC,則有消去律B=C

證：AB=AC

-A-lCAE)=A'\AC)

(J4-14)B=(Y1_14)C

SB=St?=>B=r

如何判定一個(gè)給定方陣是否可逆呢？為了回答這個(gè)問題，我們先給出下面的概念。

定義2.3.2設(shè)力=(/%*4?為Ml的元素即的代數(shù)余子式(i,j=l,2,…,n),則矩陣

Ai…4d

出出…友

,-An4n…-Aw_

稱為A的伴隨矩陣，記為4。

由伴隨矩陣的定義可以看出，在構(gòu)造A的伴隨矩陣時(shí)，4?必須放在中的第j行第i列的交

叉

位置上，也就是說，Ml的第i行元素的代數(shù)余子式，構(gòu)成/的第i列元素。

由1.4節(jié)中的定理1.4.1可得

勾1%

A4"="21叼2

^nlara

/0

=0網(wǎng)

00

即M=I，/（2.7）

類似可得3-=./（2.8）

現(xiàn)在我們來證明下面的重要定理。這個(gè)定理給出了判定一個(gè)n階方陣是否可逆的一個(gè)

充要條件，以及方陣可逆時(shí)，求出其逆矩陣的一個(gè)方法。

宗理232

an階方陣A為可逆矩陣0M上0。

證：必要性設(shè)A是n階可逆矩陣，則存在n階方陣B,使的=與。由方陣乘積的行

列式法則，可得

于是必有Ml*°。

充分性設(shè)工=（%）為n階方陣且Ml#。，構(gòu)造如下n階方陣:

由矩陣可逆的定義可知A是可逆矩陣，而且還得到了求逆矩陣公式I_____!2!_

推論：設(shè)A,B均為n階矩陣，并且滿足松=E?,則A,B都可逆，且4】=B,=4

證:由松=典,可得1絲1=1現(xiàn)同=L因此Ml#0且忸卜口,故由定理2.3.2知A可逆，

B也可逆。

在的=蜀兩邊左乘力-1,得yr】（碼（4-1巧8=4-1,-8=/-1

1

在的=蜀兩邊右乘斤1,得（網(wǎng)1斤】=SB--1）=f1,?力=B-1

這個(gè)推論表明，以后我們驗(yàn)證一個(gè)矩陣是另一個(gè)矩陣的逆矩陣時(shí)，只需要證明一個(gè)等

式的=用或切=再成立即可，而用不著按定義同時(shí)驗(yàn)證兩個(gè)等式。

fa8、

例1若""Jd）,求/*

［答疑編號：020401針對該題提問］

解:4i=Mi=|d|=d&n-Mi=-p|=-b

&=-Mm=-|c|=-c4?=“22=W=a

14aAJ〔-Ca）

_p2'

例如：4-134;

*（4-2）

解：=1-31J

ab

A=\'

例2設(shè)［cd\,當(dāng)a,b,c,d滿足什么條件時(shí)，矩陣A是可逆矩陣？當(dāng)A是可

逆矩陣時(shí)，求出41。

［答疑編號：020402針對該題提問］

/=_}_/*=_!_（d』

解：A可逆0kli#0o出一從#0。當(dāng)A可逆時(shí)，Mai-bc［-ca）

例1,例2的結(jié)果可以作為求二階方陣的逆矩陣或伴隨矩陣的公式

fl2丫】1（4-2）fl2:（4-2）

Q4）乩31J,14）=t-31J

例如（34

1-13

A=2-14

例3判斷矩陣-12-4是否可逆，求出它的逆矩陣。

［答疑編號：020403針對該題提問J

1-13@+（-2）X@1-13

2-14③+1X①

01-2=1#0

解（1）由于I

-12-401-1故矩陣A可逆。

（2）逐個(gè)求出代數(shù)余子式和伴隨矩陣:

-14,24-13

4i:=-4:=341=-

2-4-1-44s2-4

131-1-13'13,

出&=一=-1&=-

-1-4-12-1424

Xi41…

-42-1

出&-,?4Z2

A=4-12

為3：=1An&.3一11

-42-1

A-1=—Z=4-12

于是H3-11

由上例可以看出，當(dāng)nN3時(shí)，用伴隨矩陣求逆矩陣計(jì)算量是很大的，特別是當(dāng)n為時(shí)

不宜用伴隨矩陣來求逆矩陣。

例4設(shè)A為n階方陣,則卜*卜卬:

［答疑編號：020404針對該題提問］

證：由"=同冬知道同Mt卜同二當(dāng)|小。時(shí)，顯然有團(tuán)=國”二

例5若/-4-3E=0。求A的逆矩陣和A+E的逆矩陣。

［答疑編號：020405針對該題提問］

"F，八，.次a-5-3￡=口A2-A=3E

A\^A-E)=E

心-助=3￡

A-1=^(A-F)

(2)A1-A-1S=QAi-A-2E=S

:.(A+^)(A-2助=E■(A+E)~l=A-2E

例6設(shè)A是3階方陣且Ml=5,求⑴HI(2)(力T⑶(5力-1(4)力"I

［答疑編號：020406針對該題提問］

解：(1)團(tuán)=喂=同"25

⑵,7二小片聞人口"心"=?'⑷"=P

⑷""卜］，=夕牛=，"$

2.4分塊矩陣

分塊矩陣?yán)碚撌蔷仃嚴(yán)碚撝械闹匾M成部分，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)會遇到

行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡潔，常對矩陣采用分塊的方法，即用一些

貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊(子矩陣)，以

子塊為元素的形式的的矩陣叫分塊矩陣。

1002-1

010-13

A=001-64

00……0"2"0

例如，設(shè)00002

1002-1

Ai=010=&=-13

令001-64

00O'[20

出==2盼

000[o2

Ai出嗎&

A=

則A的一個(gè)分塊矩陣為［414a02%

這樣A可以看成由4個(gè)子矩陣(子塊)為元素組成的矩陣，它是一個(gè)分塊矩陣。分塊

矩陣的每一行稱為一個(gè)塊行，每一列稱為一個(gè)塊列。上述分塊矩陣月=(4底2中有兩個(gè)塊

行、兩個(gè)塊列。