新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.2立體圖形的直觀(guān)圖課件

立體圖形的直觀(guān)圖課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面基本圖形的直觀(guān)圖.2.能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)立體圖形的直觀(guān)圖,能畫(huà)出簡(jiǎn)單的立體圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單的組合體)的直觀(guān)圖.3.采用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,感受數(shù)學(xué)空間抽象與幾何直觀(guān)的過(guò)程,感受幾何作圖在生產(chǎn)活動(dòng)中的運(yùn)用.自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、平面圖形的直觀(guān)性【問(wèn)題思考】1.在美術(shù)畫(huà)圖中,空間圖形或?qū)嵨镌诋?huà)板上畫(huà)得既富有立體感,又能表達(dá)出各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系.在畫(huà)實(shí)物圖的平面圖形時(shí),其中的直角在圖中一定畫(huà)成直角嗎?正方形、矩形、圓等平面圖形在畫(huà)實(shí)物圖時(shí)應(yīng)畫(huà)成什么?為什么?提示:為了直觀(guān),不一定畫(huà)成直角.平行四邊形、平行四邊形、扁圓形,為增加直觀(guān)性.2.填空:用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的步驟:(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.畫(huà)直觀(guān)圖時(shí),把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',且使∠x(chóng)'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線(xiàn)段,在直觀(guān)圖中分別畫(huà)成平行于x'軸或y'軸的線(xiàn)段.(3)已知圖形中平行于x軸的線(xiàn)段,在直觀(guān)圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線(xiàn)段,在直觀(guān)圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.3.做一做:如圖,△A'B'C'是△ABC的直觀(guān)圖,則△ABC是(

)

A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形解析:因?yàn)锳'B'∥x'軸,A'C'∥y'軸,所以把直觀(guān)圖還原成實(shí)際圖形后,AC⊥AB,所以△ABC為直角三角形.答案:B二、簡(jiǎn)單的立體圖形的直觀(guān)性【問(wèn)題思考】1.簡(jiǎn)單的立體圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱)的直觀(guān)圖如何用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)?提示:先由斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)底面,再確定z'軸.2.填空:用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)簡(jiǎn)單的立體圖形的直觀(guān)圖的步驟(1)畫(huà)底面,這時(shí)使用平面圖形的斜二測(cè)畫(huà)法即可.(2)畫(huà)z'軸,z'軸過(guò)點(diǎn)O',且與x'軸的夾角為90°,并畫(huà)出高線(xiàn)(與原圖高線(xiàn)相等,畫(huà)正棱柱時(shí)只需要畫(huà)側(cè)棱即可),連線(xiàn)成圖.(3)擦去輔助線(xiàn),被遮線(xiàn)用虛線(xiàn)表示.三、簡(jiǎn)單組合體的直觀(guān)性【問(wèn)題思考】1.簡(jiǎn)單組合體圖形的直觀(guān)圖如何用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)?提示:先分析簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,把組合體分解成簡(jiǎn)單的立體圖形,再用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)簡(jiǎn)單的立體圖形,最后畫(huà)成簡(jiǎn)單組合體圖形的直觀(guān)圖.2.填空:(1)對(duì)于圓錐的直觀(guān)圖,一般先畫(huà)圓錐的底面,再借助于圓錐的軸確定圓錐的頂點(diǎn),最后畫(huà)出兩側(cè)的兩條母線(xiàn).(2)畫(huà)球的直觀(guān)圖,一般需要畫(huà)出球的輪廓線(xiàn),它是一個(gè)圓.同時(shí)還經(jīng)常畫(huà)出經(jīng)過(guò)球心的截面圓,它們的直觀(guān)圖是橢圓,用以襯托的立體性.解:該幾何體是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱拼接而成的簡(jiǎn)單組合體,其直觀(guān)圖如圖所示.3.做一做:如圖所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,該梯形繞邊AD所在直線(xiàn)EF旋轉(zhuǎn)一周得一幾何體,畫(huà)出該幾何體的直觀(guān)圖.【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)關(guān)于“斜二測(cè)畫(huà)法”,原圖形中平行于x軸的線(xiàn)段,其對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行于x'軸,長(zhǎng)度不變.(

√

)(2)關(guān)于“斜二測(cè)畫(huà)法”,原圖形中平行于y軸的線(xiàn)段,其對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行于y'軸,長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的

.(

√

)(3)關(guān)于“斜二測(cè)畫(huà)法”,在畫(huà)與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的x'O'y'時(shí),∠x(chóng)'O'y'必須是45°.(

×

)(4)關(guān)于“斜二測(cè)畫(huà)法”,在畫(huà)直觀(guān)圖時(shí),由于選軸的不同,所得的直觀(guān)圖可能不同.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

平面圖形的直觀(guān)性【例1】

如圖,畫(huà)水平放置的正五邊形ABCDE的直觀(guān)圖.解:畫(huà)法:(1)在圖①中作AG⊥x軸于點(diǎn)G,作DH⊥x軸于點(diǎn)H.(2)在圖②中畫(huà)相應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',使∠x(chóng)'O'y'=45°.(4)連接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去輔助線(xiàn)G'A',H'D',x'軸與y'軸,便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀(guān)圖A'B'C'D'E'(如圖③).①

②③畫(huà)平面圖形的直觀(guān)圖的原則(1)在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖時(shí),選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,以便于畫(huà)點(diǎn).(2)畫(huà)平面圖形的直觀(guān)圖,首先畫(huà)與坐標(biāo)軸平行的線(xiàn)段(平行性不變),與坐標(biāo)軸不平行的線(xiàn)段通過(guò)與坐標(biāo)軸平行的線(xiàn)段確定它的兩個(gè)端點(diǎn),然后連接成線(xiàn)段.【變式訓(xùn)練1】

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為4cm的水平放置的正三角形的直觀(guān)圖.解:(1)如圖①所示,以BC邊所在的直線(xiàn)為x軸,以BC邊上的高線(xiàn)AO所在的直線(xiàn)為y軸.(2)畫(huà)對(duì)應(yīng)的x'軸、y'軸,使∠x(chóng)'O'y'=45°.在x'軸上截取O'B'=O'C'=2

cm,在y'軸上截取

,連接A'B',A'C',則三角形A'B'C'即為正三角形ABC的直觀(guān)圖,如圖②所示.①

②探究二

簡(jiǎn)單的立體圖形及簡(jiǎn)單組合體的直觀(guān)性【例2】

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)棱長(zhǎng)為2cm的正方體ABCD-A'B'C'D'的直觀(guān)圖.解:畫(huà)法:(1)畫(huà)軸.如圖,畫(huà)x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠x(chóng)Oy=45°,∠x(chóng)Oz=90°.(2)畫(huà)底面.以點(diǎn)O為中心,在x軸上取線(xiàn)段MN,使MN=2

cm;在y軸上取線(xiàn)段PQ,使PQ=1

cm.分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行線(xiàn),過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行線(xiàn),設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A,B,C,D,四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD.(3)畫(huà)側(cè)棱.過(guò)A,B,C,D各點(diǎn)分別作z軸的平行線(xiàn),并在這些平行線(xiàn)上分別截取2

cm長(zhǎng)的線(xiàn)段AA',BB',CC',DD'.(4)成圖.順次連接A',B',C',D',并加以整理(去掉輔助線(xiàn),將被遮擋的部分改為虛線(xiàn)),就得到正方體的直觀(guān)圖(如圖).畫(huà)簡(jiǎn)單的立體圖形的直觀(guān)圖的原則(1)作空間圖形的直觀(guān)圖時(shí),平行于x軸的線(xiàn)段畫(huà)成平行于x'軸的線(xiàn)段,并且長(zhǎng)度不變.(2)平行于y軸的線(xiàn)段畫(huà)成平行于y'軸的線(xiàn)段,且線(xiàn)段長(zhǎng)度畫(huà)成原來(lái)的

.(3)平行于z軸的線(xiàn)段畫(huà)成平行于z'軸的線(xiàn)段,并且長(zhǎng)度不變.【變式訓(xùn)練2】

畫(huà)出底面是正方形,側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀(guān)圖.解:畫(huà)法:(1)畫(huà)軸.畫(huà)Ox軸、Oy軸、Oz軸,∠x(chóng)Oy=45°(或135°),∠x(chóng)Oz=90°,如圖.(2)畫(huà)底面.以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi),畫(huà)出正方形的直觀(guān)圖ABCD.(3)畫(huà)頂點(diǎn).在Oz軸上截取OP,使OP的長(zhǎng)度是原四棱錐的高.(4)成圖.順次連接PA,PB,PC,PD,并擦去輔助線(xiàn),將被遮住的部分改為虛線(xiàn),得四棱錐的直觀(guān)圖如圖.探究三

直觀(guān)圖的還原和計(jì)算問(wèn)題【例3】

水平放置的△ABC的直觀(guān)圖如圖所示,已知A'C'=3,B'C'=2,則原圖中AB邊上中線(xiàn)的實(shí)際長(zhǎng)度為

.

解析:把直觀(guān)圖還原為原圖,為Rt△ABC,且∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=5,AB邊上的中線(xiàn)為

,即為2.5.答案:2.5本例改為以梯形為背景,梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀(guān)圖.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,

,A1D1=O'D1=1.試畫(huà)出原四邊形的形狀,并求原圖形的面積.解:如圖,建立直角坐標(biāo)系xOy,在x軸上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在過(guò)點(diǎn)D的y軸的平行線(xiàn)上截取DA=2D1A1=2.在過(guò)點(diǎn)A的x軸的平行線(xiàn)上截取AB=A1B1=2.連接BC,即得到了原圖形(如圖).由作法可知,原四邊形ABCD是直角梯形,上、下底長(zhǎng)度分別為AB=2,CD=3,直角腰長(zhǎng)度為AD=2.由直觀(guān)圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x'軸,y'軸平行的直線(xiàn)或線(xiàn)段,且平行于x'軸的線(xiàn)段還原時(shí)長(zhǎng)度不變,平行于y'軸的線(xiàn)段還原時(shí)放大為直觀(guān)圖中相應(yīng)線(xiàn)段長(zhǎng)的2倍,由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn),順次連接即可.易

錯(cuò)

辨

析平面圖形的直觀(guān)圖還原錯(cuò)誤【典例】

如圖所示,一梯形的直觀(guān)圖是一個(gè)等腰梯形,且梯形OA'B'C'的面積為,則原梯形的面積為(

)錯(cuò)解:C以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意角度的變化以及長(zhǎng)度的變化,直觀(guān)圖面積S'與原圖形面積S滿(mǎn)足正解:如圖,由斜二測(cè)畫(huà)法原理知,原梯形與直觀(guān)圖中的梯形上、下底邊的長(zhǎng)度是一樣的,但兩個(gè)梯形的高不一樣.答案:D原梯形與直觀(guān)圖中梯形上、下底邊的長(zhǎng)度一樣,但高的長(zhǎng)度不一樣.原梯形的高OC是直觀(guān)圖中OC'的長(zhǎng)度的2倍,OC'的長(zhǎng)度是直觀(guān)圖中梯形的高的

倍,此處易出錯(cuò)應(yīng)防范.【變式訓(xùn)練】

如圖所示,正方形O'A'B'C'的邊長(zhǎng)為1cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀(guān)圖,則原圖形的周長(zhǎng)是

.

答案:8cm隨

堂

練

習(xí)1.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖,對(duì)其中的線(xiàn)段的說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.原來(lái)相交的仍相交 B.原來(lái)垂直的仍垂直C.原來(lái)平行的仍平行 D.原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn)解析:按斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀(guān)圖時(shí),角度要發(fā)生改變,即選項(xiàng)B錯(cuò)誤,其余均正確.答案:B2.利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的:①三角形的直觀(guān)圖是三角形;②平行四邊形的直觀(guān)圖是平行四邊形;③正方形的直觀(guān)圖是正方形;④菱形的直觀(guān)圖是菱形.以上結(jié)論正確的是(

)A.①② B.① C.③④

D.①②③④解析:因平行性不