2024年全國一卷新高考題型細分28立體幾何多選6其它多面體

2024年全國一卷新高考題型細分28——立體幾何多選6試卷主要是2024年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計202套。其中全國高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時候，答案也會被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個人經(jīng)驗進行分類，沒有固定的標準?！读Ⅲw幾何——多選》按照題目中的幾何體進行分類，具體有：線面關(guān)系，其他線面關(guān)系，正方體，棱錐，棱柱，其他多面體，圓柱，圓錐，圓臺，其他旋轉(zhuǎn)體等，大概106道題。棱柱：（多選，2024年粵J120大灣區(qū)二模）11．如圖，已知直三棱柱的所有棱長均為3，分別在棱，上，且分別為的中點，則（11．BC【分析】根據(jù)線面平行的定義判斷A；求出點P關(guān)于平面和的對稱點的距離判斷B；計算截面面積判斷C；找出與過點A且與直線和BC所成的角都為的直線條數(shù)判斷D.【詳解】直三棱柱的所有棱長均為3，對于A，由，得，顯然構(gòu)成一個平面，連接DF，EG，和，正方形中，，設(shè)，顯然≌，則，即為的中點，于是，即為DF的中點，同理設(shè)，則為EG的中點，因此是中位線，由為中線，得P為11．BC【分析】根據(jù)線面平行的定義判斷A；求出點P關(guān)于平面和的對稱點的距離判斷B；計算截面面積判斷C；找出與過點A且與直線和BC所成的角都為的直線條數(shù)判斷D.【詳解】直三棱柱的所有棱長均為3，對于A，由，得，顯然構(gòu)成一個平面，連接DF，EG，和，正方形中，，設(shè)，顯然≌，則，即為的中點，于是，即為DF的中點，同理設(shè)，則為EG的中點，因此是中位線，由為中線，得P為中點，因為平面FGED，因此平面FGED，即平面PFG與平面FGED為同一個平面，則DE在平面PFG內(nèi)，A錯誤；對于B，顯然平面與平面所成銳二面角大小為，計算可得點H到平面和的距離，由選項A知，是的中點，則點P到平面和的距離，令點P關(guān)于平面和的對稱點分別為，，則當M，N分別取直線與平面和的交點時，的周長最短，由，得，所以周長的最小值為，B正確；對于C，由選項A知，D，E在過P，F(xiàn)，G三點的平面內(nèi)，截面為四邊形FGED，，則截面面積為，C正確；對于D，顯然，過點A作BC的平行線，則，與成的所有直線構(gòu)成以A為頂點的兩個對頂圓錐（為軸），同理與成的所有直線構(gòu)成以A為頂點兩個對頂圓錐（為軸），而與所成角，因此圓錐面上公共直線共有兩條，所以過點A且與直線和BC所成的角都為的直線有2條，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點之間線段最短解決是關(guān)鍵.（多選，2024年粵J125新會華僑二模）10．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正方體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，，點的曲率為分別為的中點，則（

10．ABD【分析】利用面面平行的判定性質(zhì)判斷A；利用曲率的定義計算判斷BC；作出二面角的平面角并求得其大小判斷D【詳解】對于A，取的中點，連接BG，F(xiàn)G，由D，E，F(xiàn)分別為的中點，得，而平面，平面，則平面，又，則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，則平面，又，平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，A正確；對于B，在直三棱柱10．ABD【分析】利用面面平行的判定性質(zhì)判斷A；利用曲率的定義計算判斷BC；作出二面角的平面角并求得其大小判斷D【詳解】對于A，取的中點，連接BG，F(xiàn)G，由D，E，F(xiàn)分別為的中點，得，而平面，平面，則平面，又，則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，則平面，又，平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，A正確；對于B，在直三棱柱中，，則點的曲率為，解得，由，得，而，因此點的曲率為，B正確；對于C，過作，交的延長線于，連接，由平面ABC，平面ABC，得，，平面，則平面，平面，因此，，，又，則，，在四面體中，點的曲率為，C錯誤；對于D，由選項C知，為二面角的平面角，又，則，所以，D正確．故選：ABD.（多選，2024年魯J46煙臺二模）11．如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動點，且，，，則（

11．BCD【分析】建立空間直角坐標系，用向量在空間直線、面位置關(guān)系和空間角、距離上的應(yīng)用方法一一去計算求解，并結(jié)合一元二次函數(shù)、基本不等式求最值即可.【詳解】如圖，由題意可建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則由題：，所以，，，，又，，，所以，即，，即，所以，對A，由上，故A錯誤；對B，由題意是平面的一個法向量，，故當時，此時平面，故B正確；對C，由上，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)點Q到平面11．BCD【分析】建立空間直角坐標系，用向量在空間直線、面位置關(guān)系和空間角、距離上的應(yīng)用方法一一去計算求解，并結(jié)合一元二次函數(shù)、基本不等式求最值即可.【詳解】如圖，由題意可建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則由題：，所以，，，，又，，，所以，即，，即，所以，對A，由上，故A錯誤；對B，由題意是平面的一個法向量，，故當時，此時平面，故B正確；對C，由上，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)點Q到平面的距離為d，則由得，又由題意可知，故，因為長度為定值，所以為定值，故當時，三棱錐體積最大，故C正確；對D，設(shè)直線與所成角為，由上當時，當且僅當即時等號成立，故D對.故選：BCD.【點睛】方法點睛：遇立體幾何復(fù)雜問題，如求最值，有垂直條件一般考慮建立空間直角坐標系用向量法解決.（多選，2024年魯J38濟寧三模）11．如圖，在直三棱柱中，，，分別是棱，上的動點（異于頂點），，為的中點，則下列說法中正確的是（

11．BCD【分析】A選項：根據(jù)三棱柱體積公式，結(jié)合三角函數(shù)值域可得最值；B選項：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可判斷；C選項：結(jié)合正弦定理確定正三角形外心，進而確定球心及半徑；D選項：根據(jù)相似及基本不等式可得最值.【詳解】A選項：由已知可得，又，所以，即體積的最大值為，A選項錯誤；

B選項：如圖所示，由點為的中點，則，設(shè)點到平面的距離為，則，，又，所以，所以，B選項正確；

C選項：如圖所示，由已知為正三角形，設(shè)外接球球心為，中心為，中點為，則平面，且，，即，所以外接球半徑為，外接球表面積為，C選項正確；

D選項：如圖所示，取中點，可知在的延長線上，在的延長線上，則，即，設(shè)，，易知，11．BCD【分析】A選項：根據(jù)三棱柱體積公式，結(jié)合三角函數(shù)值域可得最值；B選項：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可判斷；C選項：結(jié)合正弦定理確定正三角形外心，進而確定球心及半徑；D選項：根據(jù)相似及基本不等式可得最值.【詳解】A選項：由已知可得，又，所以，即體積的最大值為，A選項錯誤；

B選項：如圖所示，由點為的中點，則，設(shè)點到平面的距離為，則，，又，所以，所以，B選項正確；

C選項：如圖所示，由已知為正三角形，設(shè)外接球球心為，中心為，中點為，則平面，且，，即，所以外接球半徑為，外接球表面積為，C選項正確；

D選項：如圖所示，取中點，可知在的延長線上，在的延長線上，則，即，設(shè)，，易知，，則，，則，,，所以，當且僅當，即時取等號，故D選項正確；故選：BCD.（多選，2024年浙J20麗湖衢二模）10.已知直三棱柱中，且，直線與底面所成角的正弦值為，則（【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)得到底面，則即為直線與底面所成角，利用銳角三角函數(shù)求出，由柱體的體積公式判斷C，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算A、B、D.【詳解】在直三棱柱中，底面，則即為直線與底面所成角，即，則，所以又且，所以，又底面，底面，所以，所以，解得，所以直三棱柱體積，故C錯誤；【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)得到底面，則即為直線與底面所成角，利用銳角三角函數(shù)求出，由柱體的體積公式判斷C，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算A、B、D.【詳解】在直三棱柱中，底面，則即為直線與底面所成角，即，則，所以又且，所以，又底面，底面，所以，所以，解得，所以直三棱柱體積，故C錯誤；又底面，，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，因為點在線段，設(shè)，，則，若，則，即，解得，此時為線段的中點，故在線段上存在點，使得，故A正確；當為線段的中點時，則，，設(shè)平面法向量為，則，取，又，，設(shè)平面的法向量為，則，取，因為，所以平面平面，即當為線段的中點時滿足平面平面，故B正確；又，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則點到平面的距離，故D正確.故選：ABD（多選，2024年冀J05唐山一模，末）11.在透明的密閉正三棱柱容器內(nèi)灌進一些水，已知．如圖，當豎直放置時，水面與地面距離為3．固定容器底面一邊AC于地面上，再將容器按如圖方向傾斜，至側(cè)面與地面重合的過程中，設(shè)水面所在平面為α，則（【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到，正三棱柱的體積，再結(jié)合各個選項的條件，逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，正三棱柱的體積，對于選項A，當容器按題設(shè)方向傾斜至時，水面形狀是三角形，再傾斜時，水面形狀是梯形，直到側(cè)面與地面重合時，水面形狀是矩形，所以選項A正確，對于選項B，如圖1，當容器按題設(shè)方向傾斜至時，設(shè)水面與棱的交點為，設(shè)，又三棱柱為正三棱柱，取中點，連接，易知，又，面，所以面【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到，正三棱柱的體積，再結(jié)合各個選項的條件，逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，正三棱柱的體積，對于選項A，當容器按題設(shè)方向傾斜至時，水面形狀是三角形，再傾斜時，水面形狀是梯形，直到側(cè)面與地面重合時，水面形狀是矩形，所以選項A正確，對于選項B，如圖1，當容器按題設(shè)方向傾斜至時，設(shè)水面與棱的交點為，設(shè)，又三棱柱為正三棱柱，取中點，連接，易知，又，面，所以面，所以到平面的距離為，所以，解得，此時水面圖形為，又，，取中點，則，且，所以，故選項B正確，對于選項C，如圖2，當容器按題設(shè)方向傾斜至時，設(shè)水面與棱的交點為，易知，設(shè)，由，得到，因為水面始終與地面平行，始終與水面平行，且始終在地面上，所以水面與地面距離，即到平面的距離，取中點，連接，設(shè)交于，連接，易知，又，面，所以面，又，所以面，過作于，連接，因為面，所以，又，面，所以，即為水平面到地面的距離，如圖3，過作于，易知，所以，得到，又，所以，故選項C正確，對于選項D，如圖4，當側(cè)面與地面重合時，水面為矩形，設(shè)，則由，解得，所以，故，所以選項D錯誤，【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于選項C，利用容器傾斜時始終與地面平行，邊始終與水面平行，將問題轉(zhuǎn)化成到水面的距離，再利用幾何關(guān)系，即可求出結(jié)果.（多選，2024年粵J47湛江一模，末）11.在直三棱柱中，，，，分別為和的中點，為棱上的一點，且，則下列選項中正確的有（【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)三棱柱若存在內(nèi)切球，則球心必為中截面的內(nèi)切圓圓心可確定A正確；根據(jù)球的性質(zhì)可知直線被外接球截得的線段長為矩形的外接圓直徑，由此可得B正確；利用垂直關(guān)系，結(jié)合勾股定理構(gòu)造方程可求得C錯誤；設(shè)，四面體的外接球半徑為，利用勾股定理可構(gòu)造方程組求得，代入球的表面積公式可知D正確.【詳解】對于A，取棱中點，連接，若三棱柱存在內(nèi)切球，則三棱柱內(nèi)切球球心即為的內(nèi)切圓圓心，的內(nèi)切圓半徑即為的內(nèi)切圓半徑，又，，，，的內(nèi)切圓半徑，即的內(nèi)切圓半徑為，又平面、平面到平面的距離均為，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)三棱柱若存在內(nèi)切球，則球心必為中截面的內(nèi)切圓圓心可確定A正確；根據(jù)球的性質(zhì)可知直線被外接球截得的線段長為矩形的外接圓直徑，由此可得B正確；利用垂直關(guān)系，結(jié)合勾股定理構(gòu)造方程可求得C錯誤；設(shè)，四面體的外接球半徑為，利用勾股定理可構(gòu)造方程組求得，代入球的表面積公式可知D正確.【詳解】對于A，取棱中點，連接，若三棱柱存在內(nèi)切球，則三棱柱內(nèi)切球球心即為的內(nèi)切圓圓心，的內(nèi)切圓半徑即為的內(nèi)切圓半徑，又，，，，的內(nèi)切圓半徑，即的內(nèi)切圓半徑為，又平面、平面到平面的距離均為，三棱柱存在內(nèi)切球，內(nèi)切球半徑為，A正確；對于B，取中點，中點，中點，連接，，為的外接圓圓心，又，平面，為三棱柱的外接球的球心；平面，平面，，又，，平面，平面，，平面，為四邊形的外接圓圓心，四邊形為矩形，直線被三棱柱截得的線段長即為矩形的外接圓直徑，，直線被三棱柱截得的線段長為，B正確；對于C，在平面中作出矩形，設(shè)，則，，，，又，，即，解得：或，為棱的三等分點，不是唯一確定的，C錯誤；對于D，取中點，，為的外接圓圓心，且，則四面體的外接球球心在過且垂直于平面的直線上，平面，平面，設(shè)，四面體的外接球半徑為，，解得：，，四面體的外接球表面積為，D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查多面體的外接球、內(nèi)切球相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)幾何體外接球和內(nèi)切球的定義及性質(zhì)，確定球心所在的位置，從而利用長度關(guān)系來構(gòu)造方程求得半徑.其他多面體：（多選，2024年冀J16邯鄲三調(diào)）10.“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個面都是正多邊形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個面的形狀不全相同．有幾種阿基米德多面體可由正多面體進行“截角”得到如圖，正八面體的棱長為3，取各條棱的三等分點，截去六個角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正八面體的幾何性質(zhì)，結(jié)合題意，利用正方形與正六邊形的面積公式以及正四棱錐的體積公式，可得答案.【詳解】由圖可知該多面體有24個頂點，36條棱，故A錯誤，B正確；該多面體的棱長為1，且表面由6個正方形和8個正六邊形組成，故該多面體的表面積為，故C錯誤；正八面體可分為兩個全等的正四面體，其棱長為，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正八面體的幾何性質(zhì)，結(jié)合題意，利用正方形與正六邊形的面積公式以及正四棱錐的體積公式，可得答案.【詳解】由圖可知該多面體有24個頂點，36條棱，故A錯誤，B正確；該多面體的棱長為1，且表面由6個正方形和8個正六邊形組成，故該多面體的表面積為，故C錯誤；正八面體可分為兩個全等的正四面體，其棱長為，過作平面于，連接，如下圖：因為平面，且平面，所以，正方形中，由邊長為，則對角線長為，則，在中，，則，正八面體的體積為，切割掉6個棱長均為1的正四棱錐，減少的體積為，所以該阿基米德多面體的體積為，故D正確．故選：BD.（多選，2024年鄂J11四月模擬，末）11.如圖，三棱臺的底面為銳角三角形，點D，H，E分別為棱，，的中點，且，；側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，若該三棱臺的體積最大值為，則下列說法可能但不一定正確的是（【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意可得點的軌跡為橢圓，由橢圓的幾何性質(zhì)從而可確定的坐標范圍，設(shè)三棱臺的高為，由三棱臺的體積最大值確定的范圍，從而可判斷A；建立空間直角坐標系，根據(jù)兩點之間的距離公式求解的取值范圍，從而可判斷B，D；將三棱臺補成三棱錐，根據(jù)棱錐與棱臺的體積關(guān)系即可判斷C.【詳解】由，，可得點的軌跡為橢圓，如圖則橢圓方程為，由于則，又因為為銳角三角形，則且，所以，，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意可得點的軌跡為橢圓，由橢圓的幾何性質(zhì)從而可確定的坐標范圍，設(shè)三棱臺的高為，由三棱臺的體積最大值確定的范圍，從而可判斷A；建立空間直角坐標系，根據(jù)兩點之間的距離公式求解的取值范圍，從而可判斷B，D；將三棱臺補成三棱錐，根據(jù)棱錐與棱臺的體積關(guān)系即可判斷C.【詳解】由，，可得點的軌跡為橢圓，如圖則橢圓方程為，由于則，又因為為銳角三角形，則且，所以，，所以，由于，所以，設(shè)，則，設(shè)三棱臺的高為，則，因為該三棱臺的體積最大值為，，所以，由于無最小值，故該三棱臺的體積無最小值，故A不正確；對于三棱臺有側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，則如圖，以為原點，在平面上作面，在面作面，則，設(shè)，則，，，所以，由于，，所以，又，故B可能正確；同理，又，故D可能正確；如圖，將三棱臺補成三棱錐，設(shè)點到平面的距離為，則，又，所以，故C一定正確.故選：BD.【點睛】思路點睛：本題考查空間幾何與平面解析幾何綜合運用，解決本題中的問題涉及的思路有：（1）根據(jù)橢圓的定義確定動點的軌跡，利用解析幾何的性質(zhì)縮小點坐標范圍；（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間中兩點距離公式確定線段長的取值范圍；（3）體積關(guān)系的建立，需將三棱臺補成三棱錐，由三棱錐的體積轉(zhuǎn)換特點分析體積比例.（多選，2024年閩J01廈門一模，末，J06某市期末，末）12.如圖所示，在五面體中，四邊形是矩形，和均是等邊三角形，且，，則（【答案】ACD【解析】【分析】A由線面平