高中數(shù)學空間幾何測試題

高中數(shù)學空間幾何測試試卷

學校：姓名：班級：考號：

題號—■二三總分

得分

一.單選題（共—小題）

形CDDiCi及其內(nèi)部運動.若MNLAiCi,則N點的軌跡為（）

A.線段B.圓的一部分

C.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分

2.用一個平面去截正四面體，使它成為形狀，大小都相同的兩個幾何體，則這樣的平面的

個數(shù)有（）

A.6個B.7個C.10個D.無數(shù)個

3.用一個平面去截一個正方體，所得截面不可能是

（1）鈍角三角形；

（2）直角三角形；

（3）菱形；

（4）正五邊形：

（5）正六邊形.

下述選項正確的是（）

A.(1)(2)(5)B.(1)(2)(4)

C.(2)(3)(4)D.(3)(4)(5)

4.把邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，構(gòu)成三棱錐ABCD,則下列命題：

①以A、B、C、D四點為頂點的棱錐體積最大值為首；

②當體積最大時直線BD和平面ABC所成的角的大小為45°；

③B、D兩點間的距離的取值范圍是（0,0］；

④當二面角D-AC-B的平面角為90°時，異面直線BC與AD所成角為45°.

其中正確結(jié)論個數(shù)為（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

5.己知一個正六棱錐的體積為12,底面邊長為2,則它的側(cè)棱長為（）

A.4B.午C.J6D.2

6.以正方體ABCD-AiBiCiDi的頂點為頂點的四棱錐的個數(shù)是（）

A.48B.40C.36D.24

7.一個正四棱錐的底面面積為Q,則它的中截面（過各側(cè)棱的中點的截面）的邊長是（）

如圖，P是正方體ABCD-AiBiCiDi中BCi上的動點，下列命題:

?AP±BiC；

②BP與CDi所成的角是60°；

③I'PTOiC為定值；

④BiP〃平面DiAC；

⑤二面角P-AB-C的平面角為45°.

其中正確命題的個數(shù)有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

（2015秋?南昌校級期中）如圖1,一個正四棱柱形

圖I

的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時,

水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P.如果將容器倒置，水面也恰好過點P（圖2）.有下列四個

結(jié)論，其中錯誤的代號是（）

A.若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿

B.將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點P

C.任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點P

D.正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半

正方體ABCD-AiBiCiDi中，0為底面ABCD的中心，M為棱BBi

的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.DQ〃平面AiBCiB.DQ_L平面AMC

C.異面直線BC1與AC所成的角等于60°D.點B到平面AMC的距離為止

2

11.已知平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，AB=4,AD=3,AAi=5,ZBAD=90°，ZBAAi=Z

DAAi=60°,則ACi等于（）

A.85B-J85c.5jTD.50

力定

水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”

有收

獲

表示，如圖是一個正方體的表面展開圖，若圖中“努”在正方體的后面，那么這個正方體的

前面是（）

A.定B.有C.收D.獲

評卷人得分

二.填空題（共一小題）

13.在一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動,

則正方體的棱長的最大值為

14.若空間四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD的長分別為4,6,過AB的中點E且平行BD,

AC的截面四邊形的周長為

15.一平面與正方形的十二條棱所成的角都等于a,則sini2a=

16.一個正四棱錐的中截面（過各側(cè)棱中點的截面）的面積為Q,則它的底面邊長為.

以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折

痕，把4ABD與4ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結(jié)論:

①訪?二工。；

②/BAC=60°；

③三棱錐D-ABC是正三棱錐;

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

其中正確結(jié)論的序號是.（請把正確結(jié)論的序號都填上）

在下面4個平面圖形中，是右面正四面體（側(cè)棱和底面邊長相等的正三棱錐）

為號都填

19.在三棱錐P-ABC中，給出下列四個命題:

①如果PA_LBC,PB1AC,那么點P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心；

②如果點P到4ABC的三邊所在直線的距離都相等，那么點P在平面ABC內(nèi)的射影是4ABC

的內(nèi)心;

③如果棱PA和BC所成的角為60?,PA=BC=2,E、F分別是棱PB、AC的中點，那么EF=1；

④三棱錐P-ABC的各棱長均為1,則該三棱錐在任意一個平面內(nèi)的射影的面積都不大于1

⑤如果三棱錐P-ABC的四個頂點是半徑為1的球的內(nèi)接正四面體的頂點，則P與A兩點間

的球面距離為Jt-arccos^-.

其中正確命題的序號是.

20.若長方體的三個面的面積分別為6cm2,3cm2,2cm2,則此長方體的對角線長為

若邊AB上有且只有一個點P,使

22.一個長方體共一頂點的三條棱長為1,2,3,則這個長方體對角線的長是

評卷人得分

三.簡答題（共_小題）

23.擺放在桌面上的三個半徑為1的球兩兩相切，在桌面與三球之間的空間中再擺入一個小

球與三球和桌面都相切，求小球的半徑.

24.已知正四棱臺兩底面邊長分別為a和b(a<b).

(1)若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45。，求棱臺的側(cè)面積;

(2)若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.

Cl

正三棱臺的高為3,上、下底面邊長分別為2和4,求這個棱臺的側(cè)

棱長和斜圖.

26.在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中,M、N、P分別是CJ、BiJ、C1D1的中點.求證：Z

NMP=ZBAiD.

設(shè)三棱錐S-ABC的三個側(cè)棱與底面ABC所成的角都是60。，又/

BAC=60°,且SA_LBC.

(1)求證：S-ABC為正三棱錐;

(2)已知SA=a,求S-ABC的全面積.

側(cè)棱BBi于點P.設(shè)截面QAiPCi的面積為Si,四面體Bi-AiCiP的三側(cè)面△BiAiJ、△BiPCi、

△BiAiP面積的和為S2,S=Si-S2.

(I)證明：AC1QP；

(II)當S取得最小值時，求cos/AiQCi的值.

29.試構(gòu)造出一個三棱錐S-ABC,使其四個面中成直角三角形的個數(shù)最多，作出圖形，指出

所有的直角，并證明你的結(jié)論.

已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直且長度分別為a、

b、c,設(shè)。為S在底面ABC上的射影.

求證：(1)。為^ABC的垂心；

(2)。在4ABC內(nèi)；

(3)設(shè)SO=h,貝宣了6

高中數(shù)學學科測試試卷

學校：姓名:班級：考號：

題號—■二三總分

得分

評卷人得分

M為BC的中點，點N在四邊

形CDDiCi及其內(nèi)部運動.若MNLAiCi,則N點的軌跡為（）

A.線段B.圓的一部分

C.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分

答案：A

解析：

形CDDiCi及其內(nèi)部運動;

如圖所示，

取CD、C1D1的中點Q、P,連接PQ,

當點N在線段PQ上時，MN_LAiCi；

因為正方體ABCD-AiBiCiDi中，

連接BiDi,交A1C1于點0,CBiDi_LAiDi,

取BiCi的中點E,連接PE,則PE〃BiDi,

APElAiCi；

又CCiJ_平面A1B1C1D1,PQ〃CCi,

.IPQ_L平面AiBiCiDi,

VA1C1C平面AiBiCiDi,

PQIA1C1；

且PQCPE=P,

，AiCi_L平面PQME,

PQu平面PQME,

.,.AiCilPQ；

，N點的軌跡為線段PQ.

故選：A.

2.用一個平面去截正四面體，使它成為形狀，大小都相同的兩個幾何體，則這樣的平面的

個數(shù)有（）

A.6個B.7個C.10個D.無數(shù)個

答案：D

解析：

解：?..正四面體是中心對稱圖形，

平面過正四面體的中心，則分成為形狀，大小都相同的兩個幾何體，

可判斷這樣的平面有無數(shù)個，

故選；D

3.用一個平面去截一個正方體，所得截面不可能是

（1）鈍角三角形；

（2）直角三角形；

(3)菱形;

(4)正五邊形；

(5)正六邊形.

下述選項正確的是()

A.(1)(2)(5)B.(1)(2)(4)

C.(2)(3)(4)D.(3)(4)(5)

答案：B

解析：

解：如圖所示截面為三角形ABC,OA=a,OB=b,OC=c,

AC2=a2+c2,AB2=a2+b2,BC2=b2+c2

AB2+AC2-BC2

，cosZCAB=

2AB?AC

；./CAB為銳角，同理NACB與/ABC也為銳角，即4ABC為銳角三角形;

如右圖，取相對棱的中點，得到的四邊形是菱形；

正方體有六個面，用平面去截正方體時最多與六個面相交得六邊形,

如圖為正六邊形；

經(jīng)過正方體的一個頂點去切就可得到5邊形.

但此時不可能是正五邊形.

故不可能是(1)(2)(4).

故選：B.

4.把邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，構(gòu)成三棱錐ABCD,則下列命題:

①以A、B、C、D四點為頂點的棱錐體積最大值為目

②當體積最大時直線BD和平面ABC所成的角的大小為45°；

③B、D兩點間的距離的取值范圍是（0,J2h

④當二面角D-AC-B的平面角為90°時，異面直線BC與AD所成角為45°.

其中正確結(jié)論個數(shù)為（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

答案：C

解析：

解：把邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，構(gòu)成三棱錐ABCD,如圖所示,

①以A、B、C、D四點為頂點的棱錐，當側(cè)面ACD_L底面ABC時，體積最大值=?當?shù)?X1

=與，正確；

12

②由①可知：當體積最大時直線BD和平面ABC所成的角的大小為/OBD=45°,正確;

③B、D兩點間的距離的取值范圍是（0,「），因此不正確；

④當二面角D-AC-B的平面角為90。時，由①可知：異面直線BC與AD所成角為90。，因

此不正確.

綜上可知：只有①②正確.

故選：C.

5.已知一個正六棱錐的體積為12,底面邊長為2,則它的側(cè)棱長為（）

A.4B.弋C.J6D.2

答案：A

解析：

解：由于正六棱錐可知底面是六個正三角形組成,

H

A

底面積S=6X梟2工6后,

；?體積V二—S?〃二12,

3

3636

=25,

S6。

奪直角三角形SOB中,

側(cè)棱長為SB=08?+//=也+12=4?

故選A.

6.以正方體ABCD-AiBiCiDi的頂點為頂點的四棱錐的個數(shù)是（）

A.48B.40C.36D.24

答案：A

解析：

要構(gòu)成四棱錐，須有4個點共面.

4點共面時，這4個點可以在正方體的表面的4個頂點，也可以是對角面的4個頂點，共

6+6=12種情況，每一種情況都可構(gòu)成4個四棱錐

二一共可構(gòu)成48個四棱錐

故選A

7.一個正四棱錐的底面面積為Q,則它的中截面（過各側(cè)棱的中點的截面）的邊長是（）

A.晅C.亞。.與

2

答案：A

解析:

解：由棱錐的幾何特征可得

棱錐的中截面與棱錐的底面是相似圖形

且相似比為三

則棱錐的中截面與棱錐的底面的面積之比為相似比的平林

又???棱錐的底面面積是Q，

???棱錐的中截面面積碧，則它的中截面的邊長是挈

P是正方體ABCD-AiBiCiDi中BJ上的動點，下列命題:

?AP±BiC；

②BP與CDi所成的角是60°；

③18-八010為定值；

④BiP〃平面DiAC；

⑤二面角P-AB-C的平面角為45°.

其中正確命題的個數(shù)有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

答案：C

解析：

...BiCJ_面ABCi,

.".APlBiC,命題①正確；

對于②，BP與CDi所成的角等于BP與CDi所成的角，等于60°,命題②正確；

對于③，；BCi〃面ADiC,則P到面ADiC的距離相等，

二為定值，命題③正確；

對于④,???面BBiJ與面ADiC相交，

；.BiP〃平面DiAC錯誤；

對于⑤，由二面角的定義知，NJBC為二面角P-AB-C的平面角，等于45°,命題⑤正確.

正確命題的個數(shù)是4個.

故選：C.

的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時,

水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P.如果將容器倒置，水面也恰好過點P（圖2）.有下列四個

結(jié)論，其中錯誤的代號是（）

A.若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿

B.將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點P

C.任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點P

D.正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半

答案：D

解析：

解：設(shè)圖1中水的高度h2,幾何體的高為hi,底面正方形的邊長為b；

222

則圖2中水的體積為bhi-bh2=b(hi-h2),

25

即一b2h2=b2(hi-hz),解得hi=—h2,

33

所以正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半是錯誤的，即D錯誤.

775

對于A,往容器內(nèi)再注入a升水，水面將升高;h2,則h2+?h2=：h2=hi,容器恰好能裝滿，A

正確；

對于B,當容器側(cè)面水平放置時，P點在長方體中截面上，占容器內(nèi)空間的一半，

所以水面也恰好經(jīng)過P點，B正確；

對于C,任意擺放該容器，當水面靜止時，P點在長方體中截面上，始終占容器內(nèi)空間的一

半，

所以水面都恰好經(jīng)過點P,C正確.

故選：D.

如圖，正方體ABCD-AiBiJDi中，。為底面ABCD的中心，M為棱BBi

的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是()

A.DQ〃平面AiBCiB.DQ_L平面AMC

C.異面直線BC1與AC所成的角等于60°D.點B到平面AMC的距離為止

2

答案：D

解析：

解：如圖，

由。DiQ面AiBCi,BNu面A1BC1,可得DQ〃面A1BC1,A正確;

由三垂線定理的逆定理可得ODi_LAC,

設(shè)正方體棱長為2,可求得OM2=3,OD?~=6，MDJ~=9?

則?！?gt;J+0A/2=有OD1_LOM,由線面垂直的判定可得D1O_L平面AMC,B正確；

由正方體的面對角線相等得到^AiBCi為正三角形，即/AiGB=60°,

.?.異面直線BCi與AC所成的角等于60°,C正確；

設(shè)點B到平面AMC的距離為d,正方體的棱長為2a,則AC=2「《,

OM=由VB-AMC=VA-BCM?得

-x-ACxOA/xJ=-x-xBCxABxBM,

3232

即2x_JJ“xd=4”3，解得：d=j6??D錯誤.

故選：D.

11.己知平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，AB=4,AD=3,AAi=5,NBAD=90°,ZBAAi=Z

DAAi=60°,則AJ等于（）

A.85B.JUC.5j2D.50

答案：B

解析：

解：平行六面體ABCQ-AiB[C[Q],如圖所示:

VZBAAi=ZDAAi=60°

???Ai在平面ABCD上的射影必落在直線AC上,

，平面ACCiAiJ_平面ABCD,

VAB=4,AD=3,

.\AC=5,

,.記=就+石

—?>>

=AB+AD+AA1

lACj|2=（A8+/+AA]）2

-->-->---3-->-------,--------?---i

=IAB|2+IA￡）|2+IAA]|2+2AE?A0+2AB?AAI+2A￡TAA[

=16+9+25+0+2X4X5X-+2X3X5XL=85,

22

；.ACi等于施

故選：B.

水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”

表示，如圖是一個正方體的表面展開圖，若圖中“努”在正方體的后面，那么這個正方體的

前面是（）

A.定B.有C.收D.獲

答案：B

解析:

解:這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“努”與面“有”

所以圖中“努”在正方體的后面，則這個正方體的前面是“有”.

故選B.

評卷人得分

二.填空題（共_小題）

13.在一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動,

則正方體的棱長的最大值為?

答案：］2

解析：

解：設(shè)球的半徑為r,由正四面體的體積得：4x?x『x更x62=gx5x62x62-（=-X^X6）2

3434J32

所以r正

2

設(shè)正方體的最大棱長為a,所以，3a2=（.）2,a=「

故答案為：jy

14.若空間四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD的長分別為4,6,過AB的中點E且平行BD,

AC的截面四邊形的周長為.

答案：10

解析:

解：設(shè)截面四邊形為EFGH,F、G、H分別是BC、

D

CD、DA的中點,；.EF=GH=2,FG=HE=3,

???周長為2X(2+3)=10.

故答案為：10.

15.一平面與正方形的十二條棱所成的角都等于a,則sin”a=.

答案：聲

解析:

解：?..一平面與正方形的十二條棱所成的角都等于a,

正方體的面對角線與棱的夾角,

?.?設(shè)正方體的棱長為1,

...A到三角形ABiDi中心的距離為:叵X

3

，Ai點到面ABiDi距離為:

sina=@

3

a=(-)6=J-,

Asin12

3729

故答案為：—

16.一個正四棱錐的中截面（過各側(cè)棱中點的截面）的面積為Q,則它的底面邊長為

答案：2亞

解析：

解：?..四棱錐的中截面與底面相似，且相似比為1：2,面積比為1：4,

...若正四棱錐的中截面的面積為Q,則底面面積為4Q,

???底面為正方形，面積為邊長的平方，,它的底面邊長為2亞

故答案為2亞

如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折

痕，把4ABD與4ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結(jié)論:

①訪旅工。；

②/BAC=60。；

③三棱錐D-ABC是正三棱錐；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

其中正確結(jié)論的序號是.（請把正確結(jié)論的序號都填上）

答案：②③

解析：

解：BDJ_平面ADC,=BD_LAC,①錯;

AB=AC=BC,②對；

DA=DB=DC,結(jié)合②，③對④錯.

答案：①②

解析：

解：把四面體的底面固定不動，沿三條側(cè)棱剪開，展在平面上，即得①，

把四面體的底面和相鄰的一個側(cè)面的棱不剪，其余的棱剪開，展開在一個平面上，得到②,

但不論怎么展開，展開圖不會是③和④，

故答案為：①②.

19.在三棱錐P-ABC中，給出下列四個命題：

①如果PALBC,PB±AC,那么點P在平面ABC內(nèi)的射影是aABC的垂心；

②如果點P到4ABC的三邊所在直線的距離都相等，那么點P在平面ABC內(nèi)的射影是4ABC

的內(nèi)心；

③如果棱PA和BC所成的角為60?,PA=BC=2,E、F分別是棱PB、AC的中點，那么EF=1；

④三棱錐P-ABC的各棱長均為1,則該三棱錐在任意一個平面內(nèi)的射影的面積都不大于1

⑤如果三棱錐P-ABC的四個頂點是半徑為1的球的內(nèi)接正四面體的頂點，則P與A兩點間

的球面距離為it-arccosg.

其中正確命題的序號是.

答案：①④⑤

解析：

同理BHJ_AC,可得H是aABC的垂心，正確.

②若PA=PB=PC,易得AH=BH=CH,則H是△ABC的外心，不正確.

③如果棱PA和BC所成的角為60°,PA=BC=2,E、F分別是棱PB、AC的中點，那么EF=1或

J3;不正確.

④如果三棱錐P-ABC的各條棱長均為1,則該三棱錐在任意一個平面內(nèi)的射影的面積都不大

于），正確.

⑤如果三棱錐P-ABC的四個頂點是半徑為1的球的內(nèi)接正四面體的頂點，則P與A兩點間

的球面距離為"-arccosg,正確.

故答案為：①④⑤.

20.若長方體的三個面的面積分別為6cm2,3cm2,2cm2,則此長方體的對角線長為.

答案：JTZc，"

解析：

解：設(shè)長方體的三度分別為：a,b,c,由題意可知：ab=6,bc=2,ac=3

所以，a=3,b=2,c=l,

222=

所以長方體的對角線長為：j3+2+lT14

故答案為：J1.

長方體ABCD-AiBiJDi中，AD=1,若邊AB上有且只有一個點P,使

解析：

解：由題意，連接DP

VDiPlPC,DiD_L平面ABCD

ADPIPC

?邊AB上有且只有一個點P,使DiP_LPC

；.P是AB的中點，

VAD=1,；.AB=2

故答案為2.

22.一個長方體共一頂點的三條棱長為1,2,3,則這個長方體對角線的長是

答案：

解析：

解：因為在長方體中，底面對角線的平方是底面長和寬的平方和，

體對角線的平方等于面對角線的平方加上高的平方；

222=

長方體對角線的長：jl+2+3

故答案為：J14

評卷人得分

三.簡答題（共一小題）

23.擺放在桌面上的三個半徑為1的球兩兩相切，在桌面與三球之間的空間中再擺入一個小

球與三球和桌面都相切，求小球的半徑.

答案：

解：設(shè)三個半徑為1的球的球心分別為。1,02,03,

與桌面三個切點分別為A,B,C,如下圖所示：

03

則三棱柱ABC-010203,是一個底面邊長為2,高為1的正三棱柱,

則小球球心0在底面ABC上的投影必為^ABC的中心H,

設(shè)小球半徑為R,

在aAOH中,

AO=R+1,AH=￡

3

則0H=(R+1)2一(生)2

、3

XVR+OH=1

解得R=：

解析:

解：設(shè)三個半徑為1的球的球心分別為01,02,。3,

與桌面三個切點分別為A,B,C,如下圖所示:

則三棱柱ABC-OiChCh,是一個底面邊長為2,高為1的正三棱柱，

則小球球心0在底面ABC上的投影必為4ABC的中心H,

設(shè)小球半徑為R,

在aAOH中，

AO=R+1,AH=H

3

則0H=(R+\)2_(空)2

i3

XVR+OH=1

解得R=(

24.已知正四棱臺兩底面邊長分別為a和b(a<b).

(1)若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45。，求棱臺的側(cè)面積;

(2)若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.

答案:

???PO_L平面ABCD,側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45。，

AZPAO=45°,PO=OA=叵〃，POi=OiAi=￡a.

22

分別取AB,AiBi的中點E,Ei,連接OE,OiEi，

則PE=(―)~+(￡/?)2=—ft,PEi=(—)-+(￡?)~=—?.

222992

斜高EEi=PE-PEi=^-(fr-u).

2

棱臺的側(cè)面積s"i=4x：(a+〃)X羋3-")=jy(t2-?2)；

(2)；棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和,

.*.4Xy(a+h)x￡￡(=a2+b2,

?

?.rErEi=------------

2(a+b)

2222

/.ooi=EE-(EO-EXO)=[^Ll!±i]-(—)=—.

,J1J2(a+b)2a+h

解析：

：P0_L平面ABCD,側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45。，

.,.ZPAO=45°,/.P0=0A=^/>,P0i=0iAi=￡a.

22

分別取AB,AiBi的中點E,Ei,連接0E,OiEi.

則PE=PEi=(巴產(chǎn)]旦j—UZa.

、222J222

斜高EEi=PE-PEi=^^(b—a).

2

???棱臺的側(cè)面積S倒=4x^(a+b)x^-(h—a)=-)；

(2)???棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，

4Xy(a+b)xEE?=a2+b2,

.?EEi=-----------.

2(a+b)

2222

A00i=EE^EO-E[O)=[2^±L]-(—)=—.

41J2(a+b)2a+b

c正三棱臺的高為3,上、下底面邊長分別為2和4,求這個棱臺的側(cè)

棱長和斜高.

如圖所示,

正三棱臺ABC-AiBiJ中,高001=3,底面邊長為AiBi=2,AB=4,

01A產(chǎn);X￡AIBI=

...棱臺的側(cè)棱長為

.,、4I—2I—、-JM3

AAi=3_+（不5_1回）2=?；

I[721—

又0E=1X與AB=jJJ,

0iEi=-XAiBi=—jy,

.??該棱臺的斜高為

2

EE1=j3+（|jy_ljy）2=1jF.

正三棱臺ABC-AiBiJ中，高00產(chǎn)3,底面邊長為A[Bi=2,AB=4,

/.0A=7.X^AB=ij3，

2￡AIBI=：S，

OiAi=jX

...棱臺的側(cè)棱長為

AAi=3?+（部-部）2=卑

又0E=腎更AB=*

OiEi=|xgAiBi=|jJ,

.?.該棱臺的斜高為

EE1=32+(^-JJ-JJ)2=^-j2T.

26.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分別是CJ、BiCi、C1D1的中點.求證：Z

NMP=ZBAiD.

答案：

?.?正方體ACi中，AiBi〃CD且AiB尸CD

二四邊形A1B1CD是平行四邊形,可得AiD〃CBi

又「△BiCiC中，M、N分別是CCi、BiCi的中點.

；.MN〃CBi

；.AiD〃MN

同理，可得PM〃AiB.

ZNMP與NBAiD方向相同，

AZNMP=ZBAiD.

解析：

；正方體ACi中,AiBi〃CD且AiBi=CD

四邊形A1B1CD是平行四邊形，可得AiD〃CBi

又?.?△BiCiC中，M、N分別是CCi、BiCi的中點.

，MN〃CBi

，AiD〃MN

同理，可得PM〃AiB.

ZNMP與NBAiD方向相同,

，ZNMP=ZBAiD.

設(shè)三棱錐S-ABC的三個側(cè)棱與底面ABC所成的角都是60,又/

BAC=60°,且SA_LBC.

(1)求證：S-ABC為正三棱錐；

(2)已知SA=a,求S-ABC的全面積.

答案：

(1)證明：正棱錐的定義中，底面是正多邊形；

頂點在底面上的射影是底面的中心，兩個條件缺一不可.

作三棱錐S-ABC的高SO,。為垂足，連接A。并延長交BC于D.

因為SALBC,所以ADLBC.又側(cè)棱與底面所成的角都相等，

從而。為aABC的外心，0D為BC的垂直平分線，所以AB=AC.又NBAC=60°,

故^ABC為正三角形，且。為其中心.所以S-ABC為正三棱錐.

(2)解：在RtZXSAO中，由于SA=a,/SAO=60°,

所以SO=^a,AO=-a.因。為重心,所以AD^AoNa,

2224

[711

BC=2BD=2ADcot600=^a,OD=-AD=-a.

234

在RtASOD中,SD2=SO2+OD2=(更a)2+(-a)2=—,則SD=E".

241614

于是，(SS-ABC)*=—?(—a)2sin600+3e—?'-a'-^-a=~~~-a?.

2224216

解析：

(1)證明：正棱錐的定義中，底面是正多邊形；

頂點在底面上的射影是底面的中心，兩個條件缺一不可.

作三棱錐S-ABC的高SO,。為垂足，連接A0并延長交BC于D.

因為SAJ_BC,所以ADLBC.又側(cè)棱與底面所成的角都相等，

從而。為AABC的外心，0D為BC的垂直平分線，所以AB=AC.又NBAC=60°,

故AABC為正三角形，且。為其中心.所以S-ABC為正三棱錐.

(2)解：在Rt/XSAO中，由于SA=a,ZSAO=60°,

所以SO=@a,AO=-a.因0為重心，所以AD=3AO=)a,

2224

BC=2BD=2ADcot60°=0,OD=-AD=-a.

234

在Rtz^SOD中，SD2=SO2+OD2=(叵a)2+(-a)2=—,則SD=8a.

241614

工目、1,行、，.”。r1103(J3+J39),

于(SS-ABC)全二一?(—a)sin60+3?一?3?—a=----------------a.

2224216

側(cè)棱BBi于點P.設(shè)截面QA1PC1的面積為Si,四面體B1-A1C1P的三側(cè)面△B1A1C1、△B1PC1、

△B1A1P面積的和為S,S=Si-S2.

(I)證明：AC_LQP；

(II)當S取得最小值時，求cosNAiQCi的值.

答案：

解：(I)連AC、BD,貝ljAC1BD；

；PBJ_底面ABCD,則AC_LBP,；.AC_L平面QPBD.

而QPu平面QPBD,；.ACJ_QP.(4分)

22

（II）設(shè)。是AiCi與QP的交點，QD產(chǎn)x、QO=y,則x+l=y,S=Si-S2

=-x：x2J3y-（lx2JI+2x；x2x）=2J3y-j3-2.v=2（43（./+1廠x）-^3?（8分）

2r2

」3（1+1尸,則〃?2=（j3（x+l）-）=（4-，7）2+2,

...當Jx2+I即時,S取得最小值?（11分）

此時，。。]=1=生，由余弦定理有cosNAqC]+QA]T1I=J（13分）

22QC{xQA?3

解析：

解：（I）連AC、BD,則AC1BD；

?.?PB_L底面ABCD,貝IJAC1.BP,；.AC_L平面QPBD.

而QPu平面QPBD,；.ACJ_QP.（4分）

（II）設(shè)。是Ai。與QP的交點,QDi=x、QO=y,則x2+l=y2,S=Si-S2

=2xlx2^y-（ix2jI+2xlx2A）=2jIy-4J-2A=2（J3（r2+1）-.v）-jy.（8分）

:令”產(chǎn)匕（.，+]廠一則涓=（13口2+1尸）2=（4