高考數(shù)學一輪復習30等比數(shù)列教學案理

專題30等比數(shù)列

考情解讀

1.理解等比數(shù)列的概念.

2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前〃項和公式.

3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題.

4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.

卜重點知識梳理，

1.等比數(shù)列的定義

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)

列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母g(gWO)表示.

數(shù)學語言表達式：—=<7(^2,q為非零常數(shù))，或%=q(〃eN*,。為非零常數(shù)).

Qn—\a。

2.等比數(shù)列的通項公式及前〃項和公式

(1)若等比數(shù)列｛a｝的首項為a,公比是s則其通項公式為a產a0'7

通項公式的推廣：

(2)等比數(shù)列的前〃項和公式：當q=l時，S產na、；當時，.=也(匕

3.等比數(shù)列及前〃項和的性質

(1)如果劣G,8成等比數(shù)列，那么。叫做a與6的等比中項.即：。是a與。的等比中

項=&G,。成等比數(shù)列=〃=/.

(2)若｛&｝為等比數(shù)列，且4+/=%+〃(女,1,加，〃WN*),則為?a=a?a.

(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即包,加”國日.…仍是等比數(shù)列，公比

為q.

(4)當—1,或q=-1且〃為奇數(shù)時，S”S〃一S”S〃仍成等比數(shù)列，其公比為

高頻考點突破

高頻考點一等比數(shù)列基本量的運算

例1、（1）設｛a“｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S,為其前〃項和.已知a2a尸1,&=7,則W

等于（）

153117

A.萬B-TD.—

⑵（?全國I卷）設等比數(shù)列滿足囪+&=10,e+國=5,則句念…&的最大值為.

答案（1）B（2）6

解析（1）顯然公比由題意得《國1一比

.i—q-

Hi=4,51=9

或，1（舍去）,

1

{q=.

.Si1-q_________2031

1,"一—~一i~~T-

1-2

1=8,

fll+fl3—10,。

（2）設等比數(shù)列｛以｝的公比為q,解得1

。+&二5[ig+ai爐=5,

1.ais…以二幽】+21+斜-1）

記/=_竽+半=_如_7?1）,

結合n￡N+,可知n=3或4時,，有最大值6.

又7=2,為增函數(shù).

所以…曲的最大值為64.

【感悟提升】等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量國,

n,q,a?,Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程（組）可迎刃而解.

【變式探究】（1）設等比數(shù)列仿,,｝的公比為0,前〃項和為S,若S+i,S“,S,+2成等差數(shù)

列，則g的值為.

（2）設｛&｝是公比大于1的等比數(shù)列,￡為數(shù)列｛a｝的前〃項和.已知&=7,且a+3,3龍為

+4構成等差數(shù)列，則a?=.

解析（1）由已知條件，得2S〃=S+I+S+2,

即2s=25?+2。升1+&+2,即■=—2.

&+i

%+己2+左=7,

(2)由已知得：\(功+3)+(a+4)八

2=3/，

29

解得&=2.設數(shù)列｛aj的公比為q,由&=2,可得以="為=2q.又￡=7,可知己+2+

2q=7,即2q"—5q+2=0,解得s=2,0=5.由題意得g>l,所以g=2,所以4=1.

故數(shù)列｛a｝的通項為a=2).

答案(1)—2(2)2〃T

高頻考點二等比數(shù)列的判定與證明

例2、已知數(shù)列｛a｝的前〃項和為S”在數(shù)列｛/?〃｝中，從=祗,6〃=a〃一a—(〃22),且當

+Sn=n.

(1)設?！?為-1,求證：｛扁是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式.

(1)證明?.?&+s=〃，①

???arH+SrH=〃+1.②

②一①得品+1—&+“1=1,

??287+13HI1,??2(d)+11)a。1,

1

-

2.??｛4-1｝是等比數(shù)列.

又a+a=l,???4=5,

1八31

又c==a-1,首項。1=歷一L.**Ci=--f公比q=].

二2J是以一(為首項，以為公比的等比數(shù)列.

Q)解由(1)可知。=(一5?0"1=一?"，

*'.<2a—1=1-.

「.當？1三2時,幾=如一縱-1=1一@—1-Q)

=?1-翳4

又匕1=。1=3弋入上式也符合，，瓦-

【方法規(guī)律】證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、

填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.

【變式探究】(?全國HI卷)已知數(shù)列｛a,,｝的前〃項和$=1+才品，其中.KO.

(1)證明｛a,｝是等比數(shù)列，并求其通項公式；

31

⑵若5=—,求人

(1)證明由題意得a=S=l+4a,

故4W1,Q\="Jp，HiW0.

1一4

由S"=1X3nrStr+1=1+H3n+1,得3//+I=4a什1—4&”即a〃+1(4—1)=4a”，

3n4-14

由B。，兒關。得a/。，所以

因此｛4｝是首項為七,公比為占的等比數(shù)列,

1(AV-1

于是&-

(2)解由(1)得$=1一島)〃

由段埸得1一(三即(*)5.

解得4=-1.

高頻考點三等比數(shù)列的性質及應用

例3、⑴已知等比數(shù)列｛&｝滿足a=[,a：1a5=4(&-1),則4等于()

A.2B.1C.1D.1

Zo

(2)設等比數(shù)列｛&｝的前"項和為S,若5=3,則曾=()

7八8

A.2B.-C-D.3

oo

解析(1)由｛a,,｝為等比數(shù)列，得&注=肩所以a；=4(a,—l),解得a=2,設等比數(shù)列｛&｝

的公比為q,則?1=3|<7,得2=]/,解得°=2,所以a2=ai9=1.選C.

(2)法一由等比數(shù)列的性質及題意，得&,&-8,$-S,仍成等比數(shù)列，由已知得&=

—S￡—慶14nS7

3S,***z=a，即W-企=4W,$)=7W,—T.

法二因為｛a0｝為等比數(shù)列，由5=3,設S；=3a,W=a,所以S,&-5,$一國為等比

03

數(shù)列，即a,2a,W一&成等比數(shù)列，所以W—$=4a,解得W=7a,所以暫=?=]

&3a3

答案(DC(2)B

【方法規(guī)律】(1)在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別

是性質“若m+n=p+q,則&?a=&?%”，可以減少運算量，提高解題速度.

(2)在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此外，

解題時注意設而不求思想的運用.

【變式探究】(1)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a〃｝中，a3=g-1,8=鏡+1,則片+2a也

+aa=.

(2)已知x,y,z￡R,若一1,x,y,z,一3成等比數(shù)列，則xyz的值為.

解析(1)由等比數(shù)列性質，得aa=決，a2a6=a比,所以嗇3a?=^+2a3a5+/=

(83+熟)2=1+斕+1)2=(2，^)'=8.

(2)V—1,x,y,z,—3成等比數(shù)列，

.\y=xz=(—1)X(—3)=3,且尤=-y>0,即y<0,

?」=—#,xz=3,

Azyz=-3^3.

答案(1)8(2)-3^3

真題感悟

1..【高考新課標1卷】設等比數(shù)列｛6,｝滿足ai+a3=10,a?+a=5,則ae…a?的最大值

為.

【答案】64

q=8

,+yo得,同”，=1°,解得

【解析】設等比數(shù)列｛4｝的公比為4”=0),由,

.%+。4—52

alq(l+q)=5q=2

所以=卻產+―-1)=8"x2

,于是當〃=3或〃=4時，01Gl…4取得最

大值26=64.

2.【高考江蘇卷】(本小題滿分16分)

記U=｛1,2,…,100｝.對數(shù)列｛““｝(〃€N*)和U的子集T,若T=0,定義心=0；若

T=｛/I/2,…，4｝，定義S?=4+%+???+%.例如:T=｛1,3,66｝時，ST=al+aJ+a66.

現(xiàn)設｛4｝(〃eN*)是公比為3的等比數(shù)列，且當T=｛2,4｝時，Sy=30.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)對任意正整數(shù)人(1<后《100),若丁屋｛1,2,…,k｝,求證：ST<ak+i-

(3)設C=U,O=U,Sc2品，求證：Sc+Sco22so.

【答案】(1)%=3"T(2)詳見解析(3)詳見解析

【解析】

(1)由已知得a,,=q-3"T,〃eN”.

于是當T=｛2,4｝時，5,=%+々4=34+274=30q.

又S,.=30,故30“=30,即4=1.

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為a,,=3"T,〃eN*.

(2)因為丁1｛1,2,用，a“=3"T>0,〃wN*,

所以S,.+q=1+3++3"i=g(3*—l)<3".

因此，Sr<ak+l.

(3)下面分三種情況證明.

①若D是C的子集，則SC+SCW=SC+SD之5D+%=2^.

②若。是D的子集，則SC+SC2=SC+SC=2SC^2SD.

③若。不是C的子集，且C不是D的子集.

尸=DnCuC則尸工0,EC1F=0.

于是Sc=S也+比第，SD=SF+SCC]D,進而由品之S°,得當之S『

設k是E中的最大數(shù)，為尸中的最大數(shù)，則左

由⑵知，SE<ak+l,于是3'T="WSFWSE<《+]=3*,所以/—1<2，即/4h

又k手I,故/4&一1,

從而5右’441+。2+2+4’=1+3++3M222

故SEN2S「+1,所以7-SCD>2(SD-SC0)+1,

即Sc+ScD>2SD+1.

綜合①②③得，Sc+ScD>2品.

【高考浙江，理3】已知｛可｝是等差數(shù)列，公差d不為零，前〃項和是S“，若叫，a4,

6成等比數(shù)列，則()

A.%d>0仆4>0B.a]d<0,dS4<0C.0](!>0^54<0D.

%d<0,dS4>0

【答案】B.

【解析】1?等差數(shù)列｛4｝,a3,a4,一成等比數(shù)列，

.，.(q+34_(q+2")(6+7d)nq=,

252

S&——2(G+4)——2(q+q+3d)————i/,/.a^d-—-<0,dS&-—-i/"<0,

故選B.

【高考安徽，理14］己知數(shù)列｛4｝是遞增的等比數(shù)列，4+4=9,4%=8,則數(shù)列｛4｝

的前”項和等于.

【答案】2n-l

%+4=9

【解析】由題意,,解得巧=1,4=8或者=8,4=1，而數(shù)列｛4｝是遞熠

多?丹=q?4=8

的等比數(shù)列，所以q=Lq=8,即/=&=8,所以4=2,因而數(shù)列｛4｝的前肛項和

=41-/）=上2=2--1.

\-q1-2

1.（?重慶卷）對任意等比數(shù)列｛aj,下列說法一定正確的是（）

A.a.,a3,ag成等比數(shù)列

B.a2,a3,小成等比數(shù)列

C.a2,at,加成等比數(shù)列

D.a3,a6,a9,成等比數(shù)列

【答案】D

【解析】因為在等比數(shù)列中a”a2?,a3n,…也成等比數(shù)列，所以a3,小，ag成等比數(shù)列.

2.（?安徽卷）數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，若2+1,a3+3,as+5構成公比為q的等比數(shù)歹U,

則q=.

【答案】1

【解析】因為數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，所以a1+l,as+3,a^+5也成等差數(shù)列.又a.+l,

as+3,as+5構為公比為q的等比數(shù)列，所以a1+l,as+3,a$+5為常數(shù)列，故q=l.

3.（?廣東卷）若等比數(shù)列｛aj的各項均為正數(shù)，且aioau+a9al2=2e\則Inai+lna2

+-**+lna2o=.

【答案】50

【解析】本題考查了等比數(shù)列以及對數(shù)的運算性質.???｛爾｝為等比數(shù)列，且aoau+a畫2

=2e°,

*??aioa”+a9al2=2aioau=2e',aiodn=e，

,,,

/.Inai+ln氏+…+lna2o=ln(aia2a2o)=

In(aioan)l0=ln(e5)10=lne50=50.

4.(?全國卷)等比數(shù)列｛&｝中，a=2,a5=5,則數(shù)列｛1g冬｝的前8項和等于()

A.6B.5

C.4D.3

【答案】C

16

32尸西

aiq=2,

【解析】設數(shù)列｛aj的首項為④，公比為q,根據(jù)題意可得,點=5,解得5所

q=]，

161/5\n-45

以須=@&1=礪*(9=2XM,所以lga“=lg2+(n—4)1際，所以前8項的和

55,5、

為81g2+(-3-2-1+0+1+2+3+4)lg^=81g2+41g^=41gl4X-I=4.

5.(?湖北卷)已知等差數(shù)列｛4｝滿足:a,=2,且a,,a2,as成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛a,｝的通項公式.

(2)記S.為數(shù)列｛aj的前n項和，是否存在正整數(shù)n,使得Sn〉60n+800?若存在，求n的

最小值；若不存在，說明理由.

【解析】(1)設數(shù)列｛1｝的公差為d,

依題意得，2,2+d,2+4d成等比數(shù)列，

故有(2+d)z=2(2+4d),

化簡得d?—4d=0,解得d=0或d=4.

當d=0時，a?=2；

當d=4時，a?=2+(n—1),4=4n—2.

從而得數(shù)列｛a.｝的通項公式為a.=2或a0=4n—2.

(2)當a“=2時，S0=2n,顯然2n<60n+800,

此時不存在正整數(shù)n,使得S?>60n+800成立.

西。n[2+(4n-2)]

3an-4n—2時，2~,2n.2

令2n2>60n+800,即n?-30n—400>0,

解得n>40或n<一10(舍去)，

此時存在正整數(shù)n,使得S，60n+800成立，n的最小值為41.

綜上，當a“=2時，不存在滿足題意的正整數(shù)n；

當a.=4n—2時，存在滿足題意的正整數(shù)n,其最小值為41.

6.(?新課標全國卷H)已知數(shù)列⑸｝滿足%=1,a?+i=3a?+l.

(1)證明卜+%是等比數(shù)列，并求｛&,｝的通項公式；

1113

(2)證明一+—+…+-<-.

3132du2

【解析】⑴由an+i=3an+l得an+i+T=3(an+；).

13f11313n

又ad5=5,所以①+弓是首項為5,公比為3的等比數(shù)列，所以須+5=3,因此數(shù)歹U｛aj

乙乙?乙j/乙乙

3n—1

的通項公式為a,.=—.

19

(2)證明：由(1)知工二一一

曲JL

因為當也1時，3n-lRx3L】，

所以3°-1與X3LI，即-1與

于是4

所以打打…

7.(?山東卷)已知等差數(shù)列｛a.｝的公差為2,前n項和為S“，且S“S”S,成等比數(shù)歹ij.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

4n

(2)令b?=(-I)"-1--,求數(shù)列｛b“｝的前n項和T...

HnQ-n+l

2X]

【解析】(1)因為Si=&,S2=2ai+-^—X2=2ai+2,

,4X3,

St=4ai+~^-X2=4ai+12,

由題意得(221+2)2=印(4&1+12),解得ai=l,

所以a?=2n—1.

(2)由題意可知，

a“au+1

4n

=(—l尸

(2n—1)(2n+1)

11

=(-l)n-1|

2n—12n+1/

當n為偶數(shù)時,

111

+

Tn=+…+2n—12n+1

1

=1---------

2n+l

2n

=2n+T

當n為奇數(shù)時,

(1+號_修+,+…一11111

Tn=1+

2n—32n—12n—12n+1

=1+2n+l

2n+2

2n+T

pn+2

，n為奇數(shù)，

2n+l（或Tn=2n+l+(-1)n"

所以T=

n2n2n+l

n為偶數(shù).

2n+T

8.（?陜西卷）AABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.

⑴若a,b,c成等差數(shù)列,證明：sinA+sinC=2sin(A+C)；

⑵若a,b,c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.

【解析】（l）???a,b,c成等差數(shù)列，???a+c=2b.

由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.

VsinB=sin[n—(A+C)]=sin(A+C),

AsinA+sinC=2sin(A+C).

(2)Va,b,c成等比數(shù)列，.?.b'=ac.

由余弦定理得

a2+c--bJa2+c2-ac^2ac-ac1

C0S口

B=2ac=-2ac^-2ac=5,

當且僅當a=c時等號成立,

/?cosB的最小值為g.

9.（?天津卷）設瓜｝是首項為a“公差為-1的等差數(shù)列，S.為其前n項和.若，,

S)成等比數(shù)列，則④的值為.

【答案】V

4X3

【解析】VS2=2ai—1,S4=4ai+—X(―l)=4ai—6,Si,S2,S4成等比數(shù)列,

(2ai—l)2=ai(4ai—6),解得a[=一

10.(?天津卷)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設集合M={0,1,2,…，q

—1),

集合A={x|x=Xi+x2qT---卜xd',XiEM,i=l,2,…,n}.

(1)當q=2,n=3時，用列舉法表示集合A.

n

(2)設s,tWA,s=ai+a2qH---卜卻…,t=bi+b2q+…+bnq，其中a”bCM,i=l,

2,???,n.證明：若aWbn,則s<t.

2

【解析】⑴當q=2,n=3時,M={0,1},A={x|x=xi+x2?2+xs?2,xPM,i=l,

2,3),可得A={0,1,2,3,4,5,6,7).

n-1n-1

(2)證明：由s,t0A,s=ai+a2q++a?q,t=bi+b2q4---f-bnq,a”b{M,i=L

2,???,n及aWbn,可得

21

s—t=(ai-bi)+(a2-b2)q+,?,+(an-i—bn-i)q"+(an—bn)q"

<(q-1)+(q-l)q+…+(q-1)q1'_2-q'1-1

(q—1)(1—q…)-I

=-q

=-l<0,

所以s<t.

21

11.(?新課標全國卷I)若數(shù)列{aj的前n項和S?=-aI(+-,則EJ的通項公式是a?=

【答案】(-2)i

【解析】因為Sn=,a“+1(D，所以Snf=|an—1+覆，①一②得@尸\—^—1,即@尸一

21

2an-H又因為，=a=可山+Wa1=l,所以數(shù)列{aj是以1為首項，一2為公比的等比數(shù)列，

所以&,=(-2)"-'.

12.(?北京卷)已知{a}是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為A”,

-

第n項之后各項an+i,an+2,…的最小值記為dn=AnBn.

⑴若｛aj為2,1,4,3,2,1,4,3,是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n^N*,a?

+d—an)?寫出&,ck,ds>di的值；

(2)設d是非負整數(shù)，證明：&=-d(n=l,2,3,…)的充分必要條件為｛an｝是公差為d

的等差數(shù)列；

(3)證明：若&=2,d?=l(n=l,2,3,-??),則｛aj的項只能是1或者2,且有無窮多項

為1.

【解析】(l)di二由二1,出=出=3.

(2)依分性)因為｛為｝是公差為d的等差數(shù)列，且加0,所以ai9W…q區(qū)…

因此An=3n,Bn—3n+ldn—3a+l=—d(n=l,2,3,?.一).

(必要性)因為4=一喇1=1,2,3,…).所以,=氏+(^%.

又因為3I￡AII>3n+l工Bn>

所以

于是,An=&i,

因此3a4-1-3a=Bn—An=—du=d>

即(皿｝是公差為d的等差數(shù)列.

(3)因為a1=2,di=1,所以Ai=ai=2,Bi=Ai-di=1.

故對任意nNl,an^Bi=l.

假設｛aj(n22)中存在大于2的項.

設m為滿足a>2的最小正整數(shù)，

則m22,并且對任意ak^2.

又因為a1=2,所以Am-i=2,且Am=a?>2,

于是，Bm=Aodm>21=1,Bm—i=min｛3.0,

故Bffl-1<2—1=1,與比-1=1矛盾.

所以對于任意n21,有一W2,即非負整數(shù)列任J的各項只能為1或2.

因為對任意n21,an〈2=a「

所以A?=2.

故Bn=A?—dn=2—1=1.

因此對于任意正整數(shù)n,存在m滿足m>n,且圍=1,即數(shù)列｛a#有無窮多項為1

13.（?北京卷）若等比數(shù)列｛aj滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=；前

n項和Sn=________.

【答案】22n+1-2

【解析】Va3+ao=q（a2+a.i）,

.*.40=20q,q=2,

又?.?a2+a4=aiq+aiq3=20,

.,.ai=2,.,.a?=2n,.,.S?=2"+l-2.

14.（?江西卷）等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,…的第四項等于（）

A.-24B.0

C.12D.24

【答案】A

【解析】（3x+3）''=x（6x+6）得x=—1或x=-3.當x=-1時，x,3x+3,6x+6分別

為-1,0,0,則不能構成等比數(shù)列，所以舍去；當x=-3時，x,3x+3,6x+6分別為-3,

-6,-12,且構成等比數(shù)列，則可求出第四個數(shù)為-24.

15.（?江蘇卷）在正項等比數(shù)列｛a“｝中，as*,ae+a7=3.則滿足ai+azd--FaQaiaz…a”

的最大正整數(shù)n的值為一一.

【答案】12

【解析】設｛法｝的公比為q由書二爹及.35（q+*）=3得q=2,所以ai=豆，所以比=1,3132-.-311—

ai1=l,此時ai+aj+…+an>l一又ai+aj+…+ai2=2?一行,aiaj…ai2=2d<2?一玄，所以

ai32…ai2>aiaa…ai2,但ai+&+…+ai3=28一aiaj...213=2e-27=25?2*>28—,所以ai+aj+…+

ai3<aia2...au,故最大正整數(shù)n的值為12.

16.（?湖南卷）設S“為數(shù)列｛aj的前n項和，S?=（-l）"a?-pnGN,,則

（l）a3=；

（2）S1+S2+…+Si?=.

【答案】⑴一七⑵柒,—1）

【解析】⑴因Sn=(-1)&今，則S3=一期［,S,=a「七解得a3=W

1

(2)當n為偶數(shù)時，Sn=aL",當n為奇數(shù)時,Sn=一為一點可得當n為奇數(shù)時an

產’

^+^a2------F(-a99一剎+(aioo-/)

又S1+S2+…+S100=-ai-

=-ai+az+…—a^+aioo

-第

=Sioo-2(ai+aa++399)-1

11同一(1一剎

=

Sioi-3ioi-2一落亍2

1150

受1一匹

1嚴)+2X

1

1—守

一剎=始-1).

17.(?遼寧卷)已知等比數(shù)列｛a“｝是遞增數(shù)列，S0是｛&｝的前n項和，若a”必是方程

2

X—5x+4=0的兩個根,則S6=

【答案】63

【解析】由題意可知ada3=5,ara3=4.又因為｛aj為遞增的等比數(shù)列，所以撥=1,

as=4,則公比q=2,所以Se=-=63.

1—乙

22

18.(?全國卷)已知雙曲線C：點一會

=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為件，F(xiàn)2,離

心率為3,直線y=2與C的兩個交點間的距離為乖.

⑴求a,b；

(2)設過F的直線1與C的左、右兩支分別交于A,B兩點,ja|AFi|=|BFi|,證明：IAF2I，

|AB|,IBF2I成等比數(shù)列.

【解析】⑴由題設知93,即守=9,故b*.

所以C的方程為8x2-y2=8a2.

a*.

將y=2代入上式，求得x=±

由題設知，2，解得a?=L

所以a=l,b=2y[2.

⑵證明：由(1)知，F(xiàn)i(-3,0),F2(3,0),C的方程為8x?—y2=8.①

由題意可設1的方程為y=k(x-3),k|<2蛆，代入①并化簡得

(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.

設A(xi,yi),B(X2,y2),則

XiW—1,X22l,

6k29k2+8

X|+X2=='

于是|AFi|=7(xi+3)，+[=，(xi+3)，+8x：—8=—(3xi+l),

IBFi|=｛(X2+3)，+y；=d(X2+3)，+8x；-8=3x2+1.

2

由|AFi|=|BFiI得一(3xi+l)=3x2+1,即xi+x2=-7.

皿6k2219

故;~Q=-7,解得k"=-從而XiX2=一-—.

k—8359

由于IAFa|=yj(xi—3)2+yi—(xi—3)2+8XI—8—1—3xi,

IBF21=y](X2—3)(X2—3)，+8x：-8=3x2—1,

故|AB|=|AFz|—|BFz|=2—3(xi+xz)=4,

|AF2|?BFZ|=3(XI+X2)—9XIXL1=16.

2

因而|AFz|?|BF2|=|AB|,

所以|AFz|,|AB|,IBF2I成等比數(shù)列.

4

19.(?全國卷)已知數(shù)列⑸｝滿足3a?+a“=0,&=-彳，則⑸｝的前10項和等于()

A.-6(1-3-1°)B.1(l-310)

C.3(1-3-10)D.3(1+3-'0)

【答案】C

【解析】由3a++a產。，得廿°(否則%=。)且器=/所以數(shù)列瓜｝是公比為《的

4X

等比數(shù)列，代入az可得ai=4,故&。=—

20.(?陜西卷)設⑸｝是公比為q的等比數(shù)列.

(1)推導｛aj的前n項和公式;

(2)設q#1,證明數(shù)列｛a0+1｝不是等比數(shù)列.

【解析】(1)設｛8,｝的前n項和為S.，

當q=l時，Sn=ai+a2T---f-an=nai；

當qWl時，S?=ai+aiq+aiq,-I---Faiq"^1,①

qS?=aiq+aiq2d---Faiq",②

—:1

①一②得，(1q)Sn—a,—aiq,

nai,q=l,

ai(1-q")

―；~!—，q#L

i-q

(2)假設｛a“+l｝是等比數(shù)列I，則對任意的kGN+,

(ak+i+1)"—(ak+1)(ak+z+1)>

即a：+i+2ak+i+1=akak+2+ai<+ak+2+1,

即a：q"+2aiqk=aiq-'?aiqk'+aiqk'+aiqk

：qWO,.?.q2—2q+l=0,

?'?q=l,這與已知矛盾.

二假設不成立，故區(qū)+1｝不是等比數(shù)列.

21.(?四川卷)在等差數(shù)列｛aj中，ai+as=8,且a,為a?和ag的等比中項，求數(shù)列｛a,,｝

的首項、公差及前n項和.

【解析】設該數(shù)列公差為d,前n項和為Sn,由已知可得2ai+2d=8,Q+3dy=(ai+d)(ai+8d),

所以ai+d=4,d(d-3ai)=0.

解得ai=4,d=0或ai=l,d=3.即數(shù)列｛加｝的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為3.

所以，數(shù)列的前n項和Sn=4n或S0二型尹.

22.(?新課標全國卷H)等比數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,已知S3=m+10ai,a5=9,則

ai=()

1111

A-3B--3C9D--9

【答案】C

2

【解析】S3=a2+10aiai+a2+a3=a2+10aias=9aiq=9,a5=9aq=a=i

=洋=4，故選C.

q9

23.(?重慶卷)已知｛aj是等差數(shù)列，ai=l,公差dWO,S”為其前n項和，若ai,a2,

as成等比數(shù)列，則SB=.

【答案】64

【解析】設數(shù)列｛aj的公差為d,由ai,a2,加成等比數(shù)列,得（l+d）?=l?（l+4d）,解

得d=2或d=0（舍去），所以58=8X1+?（出？I）X2=64.

押題專練

1.已知｛aj,｛4｝都是等比數(shù)列，那么（）

A.｛a+"｝,[a??&,｝都一定是等比數(shù)列

B.｛&+4｝一定是等比數(shù)列，但｛&?A1｝不一定是等比數(shù)列

C.｛&+"｝不一定是等比數(shù)列，但｛a,,?4｝一定是等比數(shù)列

D.｛a+&｝，｛&?"｝都不一定是等比數(shù)列

解析兩個等比數(shù)列的積仍是一個等比數(shù)列.

答案C

2.在等比數(shù)歹!j｛aj中，a2&a=8,&=8,則ai=（）

A.1B.±1C.2D.±2

解析由aasa產W=8,得a=2,所以a：=ai?d=2q'=8,則"=2,因此a=/=l.

答案A

3.一個蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飛出去找回了5個伙伴；第2天，6只蜜蜂飛出去，

各自找回了5個伙伴……如果這個找伙伴的過程繼續(xù)下去，第6天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂

巢中一共有________只蜜蜂（）

A.55986B.46656C.216D.36

解析設第〃天蜂巢中的蜜蜂數(shù)量為4,根據(jù)題意得數(shù)列｛&｝成等比數(shù)列，。1=6,g=6,所以｛4｝

的通項公式On=6x6-1,到第6天，所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有4=6義&=&=〃656只蜜

蜂，故選B.

答案B

4.在正項等比數(shù)列｛a｝中，已知4同53=4,&恁。6=12,a?-ia,an+i=324,則〃等于（）

A.12B.13C.14D.15

解析設數(shù)列｛a｝的公比為0,

由ai&a3=4=aiq'與ai&&；=12=aig,

可得點=3,a?-ia?a?+）=a；濟一=324,

因此/"f=8i=3"=濟，

所以〃=14,故選C.

答案c

5.設各項都是正數(shù)的等比數(shù)列｛2｝,S為前〃項和，且S0=10,航=70,那么S。等于（）

A.150B.-200

C.150或一200D.400或一50

解析依題意，數(shù)列S。，So-S。，見一S。，Wo-S。成等比數(shù)列，因此有（殳-So）2=S0（W。

-So）.

即（So—10）2=10（70-So）,故So=-20或So=3O,

又Wo>O,

因此So=3O,So—So=20,So—So=4O,

故5io-So=80.

So=15O.故選A.

答案A

6.等比數(shù)列｛&｝中，￡表示前〃項和，&=2￡+1,4=2W+1,則公比g為.

答案3

解析由勿=2￡+1,ai=2W+l得

口=2（$—￡）=28,

??。1=3々3,??Q=3.

~~勿

7.等比數(shù)列｛a｝的前〃項和為S”公比不為1.若科=1,則對任意的〃EN*,都有a+2+

a+i—2a=0,則&