高中數(shù)學(xué)《二項分布與超幾何分布》教案與分層同步練習(xí)

《7.4二項分布與超幾何分布》教案

第一課時二項分布

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.通過具體實例了解伯努利試驗，掌握通過學(xué)習(xí)二項分布的概念及研究其

二項分布及其數(shù)字特征.數(shù)字特征，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分

2.能用二項分布解決簡單的實際問題.析素養(yǎng).

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

“三個臭皮匠頂個諸葛亮”是在中國民間流傳很廣的一句諺語，這句諺語是非

常有道理的，下面我們從概率的角度來探討一下這個問題：

假如劉備手下有諸葛亮和9名謀士組成的智囊團，假定對某事進行決策時，每

名謀士決策正確的概率為0.7,諸葛亮決策正確的概率為0.85,現(xiàn)在要為某事

能否可行征求每位謀士的意見，并按照多數(shù)人的意見作出決策，試比較諸葛亮

和智囊團決策正確概率的大小.

問題上述情境中的問題，假如讓你猜想的話，你能得到正確的答案嗎？

提示智囊團決策正確的概率要大于諸葛亮決策正確的概率，具體怎么計算的

通過學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容即可解決.

上知識梳理

1.n重伯努利試驗的概念

只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進

行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.

2.n重伯努利試驗具有如下共同特征

(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；

(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.

3.二項分布

一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O〈p〈l),

用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：

P(X=k)=CpYl一口尸,k=0,1,2,…，n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記

作X?B(n,p).

4.一般地，可以證明：如果X?B(n,p),那么E(X)=n2,D(X)=np(l-p).

拓展深化

［微判斷］

1.在n重伯努利試驗中，各次試驗的結(jié)果相互沒有影響.(J)

2.在n重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發(fā)生的概率可以不同.(X)

提示在n重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發(fā)生的概率均相同.

3.如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個

事件恰好發(fā)生k次的概率P(X=k)=CMk(l-p)"f，k=0,1,2,n.(V)

［微訓(xùn)練］

1.已知X?B(6,則p(X=4)=

/-、4/x2

解析P(X=4)=d州T)蜷

心上20

口案荻

2.連續(xù)擲一枚硬幣5次，恰好有3次出現(xiàn)正面向上的概率是.

解析設(shè)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)為X,則X?B(5,《，故P(X=3)=c［m］l-m

_5_

答案得

3.某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊

中目標(biāo)的概率為.

解析設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,則X?B(3,0.6).

故P(X22)=P(X=2)+P(X=3)=d0.62(l-0.6)+C給.63=0.648.

答案0.648

［微思考］

1.你能說明兩點分布與二項分布之間的關(guān)系嗎？

提示兩點分布是特殊的二項分布，即X?B(n,p)中，當(dāng)n=l時，二項分布

便是兩點分布，也就是說二項分布是兩點分布的一般形式.

2.在n次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗的結(jié)果相互有影響嗎？

提示在n次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗的結(jié)果相互之間無影響.因為每次試

驗是在相同條件下獨立進行的，所以第i+1次試驗的結(jié)果不受前i次結(jié)果的影

響(其中i=l,2,n-1).

【課堂互動】

題型一n重伯努利試驗的判斷

【例1］判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：

(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；

⑵某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊

中；

⑶口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽

出4個白球.

解(1)由于試驗的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是n重伯努利試驗.

(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是n重伯努利試驗.

(3)每次抽取時，球的個數(shù)不一樣多，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不

是n重伯努利試驗.

規(guī)律方法n重伯努利試驗的判斷依據(jù)

(1)要看該試驗是不是在相同的條件下可以重復(fù)進行.

(2)每次試驗的結(jié)果相互獨立，互不影響.

【訓(xùn)練1】下列事件：①運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8

環(huán)”；②甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③

甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目

標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo).

其中是n重伯努利試驗的是()

A.①B.②

C.③D.@

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨立事件；④是n重

伯努利試驗.

答案D

題型二n重伯努利試驗概率的求法

【例2】某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%,計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點后第

2位)

(1)“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確”的概率；

(2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率.

解(1)記“預(yù)報一次準(zhǔn)確”為事件A,則P(A)=0.8.

5次預(yù)報相當(dāng)于5次伯努利試驗.

“恰有2次準(zhǔn)確”的概率為

P=CsX0.82X0.23=0.0512=0.05,

因此5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.

(2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的對立事件為“5次預(yù)報全部不準(zhǔn)確或只有

1次準(zhǔn)確”，其概率為

P=CsX0.25+CsX0.8X0.2=0.00672.

所以所求概率為l—P=l—0.0067220.99.

所以“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99.

規(guī)律方法n重伯努利試驗概率求解的關(guān)注點

(1)解此類題常用到互斥事件概率加法公式，相互獨立事件概率乘法公式及對立

事件的概率公式.

(2)運用n重伯努利試驗的概率公式求概率時，首先判斷問題中涉及的試驗是否

為n重伯努利試驗，判斷時注意各次試驗之間是相互獨立的，并且每次試驗的

結(jié)果只有兩種(即要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，在任何一次試驗中某一事件發(fā)生的

概率都相等，然后用相關(guān)公式求概率.

3

【訓(xùn)練2】某射手進行射擊訓(xùn)練,假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率都為，且每

次射擊的結(jié)果互不影響，已知射手射擊了5次，求：

⑴其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)的概率；

⑵其中恰有3次擊中目標(biāo)的概率；

⑶其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒有擊中目標(biāo)的概率.

解(1)該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)，是在確定的情

況下?lián)糁心繕?biāo)3次，也就是在第二、四次沒有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，

又因為各次射擊的結(jié)果互不影響，故所求概率為

XX133108

t“仁=3125,

⑵該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標(biāo)，符合n重伯努利試驗概率模

型.故所求概率為

，、3/、2

P=CsX

同IXIL|5，備625

⑶該射手射擊了5次，其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒有擊中目

標(biāo)，應(yīng)用排列組合知識，把3次連續(xù)擊中目標(biāo)看成一個整體可得共有C；種情

況.

,、3,、2

故所求概率為P=C；XEx1-1

題型三二項分布的均值與方差

【例3】為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植

物.某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為

P，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，均值E(X)為3,標(biāo)準(zhǔn)差(X)

(1)求n和p的值，并寫出X的分布列;

⑵若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率.

解由題意知，X?B(n,p),P(X=k)=CpYl—p)nTk=0,1,…，n.

3

(1)由E(X)=np=3,D(X)=np(l—p)=-,

乙

得1—p=],從而n=6,p=1.

乙乙

X的分布列為

X0123456

131551531

P

64326416643264

(2)記“需要補種沙柳”為事件A,則P(A)=P(XW3),

得P(A)下+豆+正+元=訪,或P(A)=l-P(X>3)=l-^-+-+-J=-,

21

所以需要補種沙柳的概率為何.

規(guī)律方法解決此類問題第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步代入

相應(yīng)的公式求解.若X服從兩點分布，則E(X)=p,D(x)=p(l-p);若X服從

二項分布,即X?B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(l—p).

【訓(xùn)練3]某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.

⑴求從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；

(2)求從中有放回地隨機抽取10件產(chǎn)品，計算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差

及標(biāo)準(zhǔn)差.

解(1)用Y表示抽得的正品數(shù)，則Y=0,1.

Y服從兩點分布，且P(Y=0)=0.02,P(Y=l)=0.98,

所以D(Y)=p(l-p)=0.98X(1-0.98)=0.0196.

(2)用X表示抽得的正品數(shù),則X?B(10,0.98),

所以D(X)=10X0.98X0.02=0.196,

標(biāo)準(zhǔn)差為(X)20.44.

【素養(yǎng)達成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.n重伯努利試驗要從三方面考慮：第一，每次試驗是在相同條件下進行的；

第二，各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；第三，每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事

件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.

3.如果1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么n重伯努利試驗中這個事件恰

好發(fā)生k次的概率為P0(k)=Cd(l—p)ni(k=O,1,2,…，n),此概率公式恰

為［(l—p)+p］"展開式的第k+1項，故稱該公式為二項分布公式.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

4

1.某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率都為『那么播下3粒種子恰有2

5

粒發(fā)芽的概率是()

1248

A------B---

125125

16__

r—D—

125125

解析播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率為容值］X』一3=亮.

答案B

31

2.某電子管正品率為力次品率為現(xiàn)對該批電子管進行測試，設(shè)第X次首次

測到正品，則P(X=3)等于()

解析P(X=3)=\jx*

答案c

3.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù)為

X,則D(X)等于()

5

C.~D.5

解析拋擲兩枚均勻硬幣，兩枚硬幣都出現(xiàn)反面的概率為P=Tx；=；,

4.設(shè)X?B(2,p),若P(X21)=右，則p=.

解析因為X?B(2,p),

所以P(X=k)=C：pYl—p)2f,k=0,1,2.

所以P(X>1)=1-P(X<1)=1-P(X=O)

=1—C2P0(1-P)2=l-(1-

oo

結(jié)合0〈p〈L

5

解得P=A.

6

答案I

5.甲隊有3人參加知識競賽，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答

2

錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為鼻，且各人答對正確與否相互之間沒

有影響.用X表示甲隊的總得分，求隨機變量X的分布列.

解由題意知，X-B(3,

、3

故P(X=O)=C?><b-!｝吟

P(X=l)=C；x|x(2

/\2

p(x=2)=axf|j>gm

/、3

P(X=3)=C；X(|J=8

=27,

所以X的分布列為

X0123

P±24,8,

279927

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達標(biāo)

一、選擇題

1.若在一次測量中出現(xiàn)正誤差和負誤差的概率都是;,

則在5次測量中恰好出

現(xiàn)2次正誤差的概率是（）

52

A.-B.-

165

51

C-8D，32

/、3/、2

解析P=C；X冏義周=4

答案A

2.若X?B(1O,0.8),則P(X=8)=()

A.C^XO.8sXO.22B.C^oXO.82X0.2s

C.0.8sXO.22D.0.82X0.28

解析P(X=8)=C,oXO.88X0.22.

答案A

3.設(shè)隨機變量X?B(6,則P(X=3)等于()

53

c--

8D.8

解析VX-B(6,0，.?.p(X=3)=

答案A

/、k/、n-k

4.設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=k)=C(|)?,k=O,1,2,…，n,且

E(X)=24,則D(X)的值為()

2

-8

9B.

C.12D.16

解析由題意可知X?B(n,才，

2

所以可n=E(X)=24.所以n=36.

O

2(2、21

所以D(X)=n?-xl1—-l=36X-X-=8.

答案B

5.某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過3個路口，在每個路口遇到紅燈的概率都是:，且在

各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，記X為遇到紅燈的次數(shù)，若Y=3X+5,則

Y的標(biāo)準(zhǔn)差為()

A.乖B.3

C.\[3D.2

解析因為該同學(xué)經(jīng)過每個路口時，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成3次

獨立重復(fù)試驗，即X?B(3,則X的方差D(X)=3x[x(l—所以Y的

方差D(Y)=32?D(X)=9x|=6,所以Y的標(biāo)準(zhǔn)差為4D(Y)=乖.

答案A

二、填空題

6.一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9,則服用這種新藥的4個病人

中至少3人被治愈的概率為(用數(shù)字作答).

解析至少3人被治愈的概率為《XO.axO.1+0.9"=0.9477.

答案0.9477

7.已知隨機變量X+Y=8,若X?B(10,0.6),則E(Y),D(Y)分別是()

A.6和2.4B.2和2.4

C.2和5.6D.6和5.6

解析因為X+Y=8,所以Y=8—X.

因此，求得E(Y)=8—E(X)=8—10X0.6=2,

D(Y)=(-1)2D(X)=10X0.6X0.4=2.4.

答案B

5

8.設(shè)隨機變量X?B(2,p),Y-B(4,p),若P(X21)=g,則D(Y)=

5

解析由隨機變量X?B(2,p),且P(X21)=g,得P(X21)=1—P(X=O)=1

一C；x(l—p)W，易得P=；.由Y?B(4,，，得隨機變量Y的方差D(Y)=4X：

,,>8

答案9

三、解答題

9.某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每天每個員工上網(wǎng)的概率都是

0.5(相互獨立)，求一天內(nèi)至少3人同時上網(wǎng)的概率.

解記A.(r=0,1,2,…，6)為“r個人同時上網(wǎng)”這個事件，則其概率為

P(Ar)=C；0.5,(l—0.5)6-「=蒙0.56=1端.“一天內(nèi)至少有3人同時上網(wǎng)”即為事

64

件AsUAUAsUAe,因為A3,A”件人為彼此互斥事件,所以可應(yīng)用概率加法

公式，得“一天內(nèi)至少有3人同時上網(wǎng)”的概率為P=

p(A3UA^ASUA6)=P(A3)+P(A)+P(A5)+P&)=LG+C：+C+C)=LX(20

+15+6+1)=—

。乙

10.兩個人射擊，甲射擊一次中靶概率是1乙射擊一次中靶概率是1

(1)兩人各射擊1次，兩人總共中靶至少1次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)的概率

是多少？

(2)兩人各射擊2次，兩人總共中靶至少3次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)的概率

是多少？

(3)兩人各射擊5次，兩人總共中靶至少1次的概率是否超過99%?

解(1)共三種情況：乙中靶甲不中靶，概率為

326

191

甲中靶乙不中靶，概率為5X5=1

甲、乙全中靶，概率為

乙OO

故所求概率是21+12+1(9=市

6363

(2)共兩類情況：

共中靶3次，概率為

共中靶4次，概率為

117

故所求概率為1+證=宏.

63636

⑶兩人總共中靶至少1次的概率為x/1]=1-上=鬻＞0.99.

所以兩人各射擊5次，兩人總共中靶至少1次的概率超過99%.

能力提升

11.若隨機變量X?B(5,3J，則P(X=k)最大時，k的值為()

A.1或2B.2或3

C.3或4D.5

解析依題意P(X=k)=CgX(§J義(§),k=0,1,2,3,4,5.

32go8040

可以求得P(X=0)=P(X=1)=243,P(X=2)=243,P(X=3)=243,P(X

=4)=翡'P(X=5)=募.故當(dāng)k=l或2時P(X=k)最大.

答案A

12.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直

方圖，如圖所示.

t頻率

組距

0.006----------1——?

().005------

0.004----------\----I——

0.003------

0.002h---------\——--------------

O50100150200250日銷售量/個

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.

⑴求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日

銷售量低于50個的概率；

(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布

列，均值E(X)及方差D(差.

解(1)設(shè)由表示事件“日銷售量不低于100個”，A,表示事件“日銷售量低于

50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個

且另1天的日銷售量低于50個”.因此

P(A,)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,

P(A2)=0.003X50=0.15,

P(B)=0.6X0.6X0.15X2=0.108.

(2)由題意知X?B(3,0.6),故

P(X=0)=C°X(1-0.6)3=0.064,

P(X=l)=C；X0.6X(1-0.6)2=0.288,

P(X=2)=C；X0.62X(1-0.6)=0.432,

P(X=3)=C；X0.6：'=0.216,

則X的分布列為

X0123

P0.0640.2880.4320.216

因為X?B(3,0.6),

所以均值E(X)=3X0.6=1.8,

方差D(X)=3X0.6X(1-0.6)=0.72.

創(chuàng)新猜想

13.(多選題)某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的概率是0.9,他連續(xù)射擊3次，且

他每次射擊是否擊中目標(biāo)之間沒有影響，下列結(jié)論正確的是()

A.他三次都擊中目標(biāo)的概率是0.9，

B.他第三次擊中目標(biāo)的概率是0.9

C.他恰好2次擊中目標(biāo)的概率是2X0.92X0.1

D.他恰好2次未擊中目標(biāo)的概率是3X0.9X0.『

解析A正確；由每次射擊，擊中目標(biāo)的概率為0.9,知他第三次擊中目標(biāo)的概

率也為0.9,B正確；3次射擊恰好2次擊中目標(biāo)的概率為《*0.92*0.1,C不

正確；恰好2次未擊中目標(biāo)，即恰好擊中目標(biāo)1次，概率為C；X0.9X0.J,D

正確.

答案ABD

14.(多空題)設(shè)二項分布X?B(n,p)的隨機變量X的均值與方差分別是2.4和

1.44,則二項分布的參數(shù)n=___,p=.

解析由題意得，np=2.4,np(l—p)=1.44,

/.1—p—0.6,

.?.p=0?4,n=6?

答案60.4

《7.4二項分布與超幾何分布》教案

第二課時超幾何分布

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)

2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題.學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

2020年春節(jié)前一場新型冠狀病毒肺炎像場風(fēng)一樣，席卷了全國，中國湖北成為

重災(zāi)區(qū)，為了更好地支援湖北抗擊疫情，某醫(yī)院派出16名護士，4名內(nèi)科醫(yī)生

組成支援隊伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去黃岡支援，設(shè)X表示其中

內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù).

問題X的可能取值有哪些，你能求出當(dāng)X=2時對應(yīng)的概率嗎？這里的X的概

率分布有怎樣的規(guī)律？

C2cl

提示X的可能取值為0,1,2,3,其中P（X=2）=X的概率分布符合

超幾何分布，這就是這節(jié)課我們要重點研究的問題.

A知識梳理

1.超幾何分布

超幾何分布模型是一種不放回抽樣

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取n

件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

pkpn-k

p(x=k)=爺,k=m,m+1,m+2,…，r.

VN

其中n,N,MGN*,MWN,nWN,m=max{0,n—N+M},r=min{n,M}.如果

隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

2.超幾何分布的期望

E（X）=^==np（p為N件產(chǎn)品的次品率）.

拓展深化

［微判斷］

1.超幾何分布的總體里只有兩類物品.（J）

2.超幾何分布的模型是不放回抽樣.（J）

3.超幾何分布與二項分布的期望值都為np.（J）

［微訓(xùn)練］

1.設(shè)袋中有80個紅球、20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個

紅球的概率為（）

解析取出的紅球個數(shù)服從參數(shù)為N=100,M=80,n=10的超幾何分布.由超

「6「4

幾何分布的概率公式,知從中取出的10個球中恰有6個紅球的概率為聲.

^100

答案D

2.在含有5名男生的100名學(xué)生中，任選3人，求恰有2名男生的概率表達式

為

Cn5

解析由超幾何分布的概率公式得所求概率表達式為

C100

C&5

答案

［微思考］

超幾何分布模型在形式上有怎樣的特點？

提示在形式上適合超幾何分布的模型常由較明顯的兩部分組成，如“男生、

女生"，“正品、次品”等.

【課堂互動】

題型一利用超幾何分布的公式求概率

【例1】在元旦晚會上，數(shù)學(xué)老師設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有

10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同，從中任意摸出5個球，至

少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

解設(shè)摸出紅球的個數(shù)為X,則X服從超幾何分布，其中N=30,M=10,n=

5,于是中獎的概率為

P(X23)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

「3z-?5-3z>5-40505-5

_3o5o,3o5o.3o5o

「5I「5?z>5

^10+20^10+20^10+20

120X190+210X20+25227252_

=142506)°，I'

規(guī)律方法超幾何分布是一種常見的隨機變量的分布，所求概率分布問題由明

顯的兩部分組成，或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分.

【訓(xùn)練1】某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有

1名女生當(dāng)選的概率為()

87

A?百B玉

解析由題意可得所求概率為皆+,=*

LioLio10

答案A

題型二超幾何分布的分布列

【例2】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男

生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加

集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人、女生中

隨機抽取3人組成代表隊.

(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；

(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男

生人數(shù)，求X的分布列.

解(1)由題意知，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6人.

代表隊中的學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊)的概率為

C：C；_1

c^cI=Too-

因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為

J__99

100=100,

(2)根據(jù)題意，知X的所有可能取值為1,2,3.

P(X=1)=

0C|_3

P(X=2)="cF-?

P(X=3)=

所以X的分布列為

X123

131

p

555

規(guī)律方法解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點

(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意

義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶.

(2)超幾何分布中，只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取不同k的概率

P(X=k),從而求出X的分布列.

【訓(xùn)練2]從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活

動.

⑴求所選3人中恰有一名男生的概率；

⑵求所選3人中男生人數(shù)X的分布列.

解⑴所選3人中恰有一名男生的概率P=仁,(7=苛10.

(2)X的可能取值為0,1,2,3.

,、Cs5

P(X=0)=^3=-)

P(X_1)_曰一竺

IC；-2r

/、C您5

P(X=2)=*=正

P(X=3)=W

AX的分布列為

X0123

51051

P

42211421

題型三超幾何分布的綜合應(yīng)用

【例3】某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3

名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)

院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動(每位同

學(xué)被選到的可能性相同).

⑴求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；

⑵設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及期望.

解(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P(A)=

，.所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率為訴.

二Cio一6060

⑵依據(jù)條件，隨機變量X服從超幾何分布，其中N=10,M=4,n=3,且隨機

變量X的可能值為0,1,2,3.

z>kz>3—k

P(X=k)=_(k—0,1,2,3).

所以隨機變量X的分布列是

X0123

]__131

P

62To30

1131

所以隨機變量X的期望值為E(X)=°Xd+lX5+2Xm+3X而=1.2(或E(X)=

規(guī)律方法超幾何分布均值的計算公式

若一個隨機變量X的分布列服從超幾何分布，則E(X)=個.

【訓(xùn)練3】一個口袋內(nèi)有n(n>3)個大小相同的球，其中有3個紅球和(n-3)

3

個白球.已知從口袋中隨機取出一個球是紅球的概率是三不放回地從口袋中隨

5

機取出3個球，求取到白球的個數(shù)X的期望E(X).

3

解??,從口袋中隨機取出一個球是紅球的概率是

F0

33

.??一=二，.-.n=5,

n5

???5個球中有2個白球.

白球的個數(shù)X可取0,1,2.

,、C31

P(x=o)=a=-,

P(X=1)

P-2)考3

To,

/、1,3,36

.-.E(X)=-XO+-X1+-X2=-

【素養(yǎng)達成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.超幾何分布：超幾何分布在實際生產(chǎn)中常用來檢驗產(chǎn)品的次品數(shù)，只要知道

pkpn—k

N,M和n就可以根據(jù)公式：P(X=k)=—求出X取不同k值時的概率.

3.超幾何分布模型是一種不放回抽樣.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.今有電子元件50個，其中一級品45個，二級品5個，從中任取3個，則出

現(xiàn)二級品的概率為()

匕50

「I「2［】

55十凌55

D.「3

^50

r3

解析出現(xiàn)二級品的情況較多，可以考慮不出現(xiàn)二級品概率為言，故答案為1

匕50

答案c

2.已知在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X

(X

表示10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是()

A.P(X=2)B.P(XW2)

C.P(X=4)D.P(XW4)

解析X服從超幾何分布，.?.P(X=4)=jj

答案C

3.從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競賽，則所選3人中，女生的人

數(shù)不超過1人的概率為.

解析設(shè)所選女生數(shù)為隨機變量X,X服從超幾何分布，

C2C4,C2C44

P(XW1)=P(X=O)+P(X=1)■cr+-cT=5-

4

答案7

□

4.從含有5個紅球和3個白球的袋中任取3球，則所取出的3個球中恰有1個

紅球的概率為

解析設(shè)所取出的3個球中紅球的個數(shù)為X,則X服從超幾何分布，所以P(X=

U-_CT-56-

15

答案

56

5.交5元錢，可以參加一次摸獎，一袋中有同樣大小的球10個，其中8個標(biāo)

有1元錢，2個標(biāo)有5元錢，若摸獎?wù)咧荒軓闹腥稳?個球，他所得獎勵是所

抽2球的錢數(shù)之和，求抽獎人所得錢數(shù)的分布列.

解設(shè)抽獎人所得錢數(shù)為隨機變量X,則X=2,6,10.

/、c；28

P(X=2)=^=市,

/、C；C；16

P(X=6)—，

Q2]

P(X=10)=^=-

故X的分布列為

X2610

28161

p

454545

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達標(biāo)

一、選擇題

1.從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有3張是A的

概率為()

558

B

V52.高

CX0(X+C：服

解析設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù)，則P(X23)=P(X=3)+P(X=

4)=7^+下一.

^52覺2

答案D

2.在100張獎券中，有4張能中獎，從中任取2張，則2張都能中獎的概率是

()

11

AA，50B，25

11

。825D-4950

C：C；6_1

解析記X為抽出的2張中的中獎數(shù)，則P(X=2)="C?7=825,

答案C

3.設(shè)袋中有8個紅球，4個白球，若從袋中任取4個球，則其中至多3個紅球

的概率為()

」C：+C；C；

B.z>4

52

解析從袋中任取4個球，其中紅球的個數(shù)X服從參數(shù)為N=12,M=8,n=

4的超幾何分布，故至多3個紅球的概率為P(XW3)=1—P(X=4)=1一標(biāo)

答案D

4.一個盒子里裝有大小相同的10個黑球，12個紅球，4個白球，從中任取2

個，其中白球的個數(shù)記為X,則下列概率等于半出的是()

56

A.P(0〈XW2)B.P(XW1)

C.P(X=1)D.P(X=2)

解析本題相當(dāng)于求至多取出1個白球的概率，即取到1個白球或沒有取到白

球的概率.

答案B

5.盒中有10個螺絲釘，其中有3個是壞的，現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個，則概

3

率是京的事件為()

A.恰有1個是壞的B.4個全是好的

C.恰有2個是好的D.至多有2個是壞的

解析令“X=k”表示“取出的螺絲釘恰有k個是好的”，

13

則P(X=k)=-^—(k=l,2,3,4).所以P(X=1)=右，P(X=2)=標(biāo)，P(X=

LioJU1U

3)=〈，P(X=4)=J,故選C.

26

答案C

二、填空題

6.某手機經(jīng)銷商從已購買某品牌手機的市民中抽取20人參加宣傳活動，這20

人中年齡低于30歲的有5人.現(xiàn)從這20人中隨機選取2人各贈送一部手機，

記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X=1)=.

解析易知P(X=1)=》=羲.

5ooo

15

口案38

7.有同一型號的電視機100臺，其中一級品97臺，二級品3臺，從中任取4

臺，則二級品不多于1臺的概率為(用式子表示).

C爆+牖

解析二級品不多于1臺，即一級品有3臺或4臺，故所求概率為C100

答案C100

8.袋中裝有5個紅球和4個黑球，從袋中任取4個球，取到1個紅球得3分,

取到1個黑球得1分，設(shè)得分為隨機變量X,則X28的概率P(XN8)=

C5C4C：；5

解析由題意知P(X28)=1—P(X=6)-P(X=4)=1/-\4。?

CgC9O

答案i

三、解答題

9.老師要從10篇課文中隨機抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才

能及格.某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：

⑴抽到他能背誦的課文的數(shù)量X的分布列；

⑵他能及格的概率.

解(DX的所有可能取值為0,1,2,3.

/、L/6C41

P(X=0)=

5。30,

3

P(X=1)=To

/、cic\1

P(X=2)=,3=5,

1

i

-

所以X的分布列為

X0I23

l3IJ.

p

30Io26

112

(2)他能及格的概率為P(X22)=P(X=2)+P(X=3)=7+7=T.

乙oo

10.某高級中學(xué)為更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活情況，以便給學(xué)生提供必要的

幫助，在高一、高二、高三這三個年級分別邀請了10,15,25名學(xué)生代表進行

調(diào)研.

(1)從參加調(diào)研的學(xué)生代表中，隨機抽取2名，求這2名學(xué)生代表來自不同年級

的概率；

(2)從參加調(diào)研的高一、高二年級學(xué)生代表中隨機抽取2名，且X表示抽到的高

一年級學(xué)生代表人數(shù)，求X的期望值.

解(1)共50名學(xué)生代表，抽取2名的樣本點總數(shù)為禽=1225.

記“2名學(xué)生代表來自不同年級”為事件M,則事件M包含的樣本點個數(shù)為C；。

C；5+C；OCL+C；5C25=775.

Z

根據(jù)古典概型的概率計算公式，得P(M)=7^=f1.

(2)高一、高二年級分別有10,15名學(xué)生代表參加調(diào)研，從中抽取2名，抽到

的高一年級的學(xué)生代表人數(shù)X的所有可能取值為0,1,2.

7

P(X=0)=

20,

C；oC；51

P(X=1)=

2,

3

P(X=2)=

20,

所以X的分布列為

X012

73

P

20220

713

所以X的期望值E(X)=0X—+1X-+2X—=0.8.

乙U乙乙U

能力提升

11.一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出2個球，至

7

少得到1個白球的概率是正從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X,

則P(X=2)=.

解析設(shè)10個球中有白球m個，

解得m=5或m=14(舍去).

r2r*目

所以P(X=2)=青=適.

答案5

12.在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某10張券中有一等獎券1張，可獲價值50

元的獎品；有二等獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎.某

顧客從此10張中任抽2張，求：

(1)該顧客中獎的概率；

(2)該顧客獲得的獎品總價值X(元)的期望.

2

即該顧客中獎的概率為鼻.

(2)X的所有可能值為：0,10,20,50,60,

d1

且P(X=0)=信=§，

2

P(X=10)=~cT~

/、以1

P(X=20)=^=-,

C：C2

P(X=50)=

Cio~15r

C]Ca1

P(X=60)=

故X的概率分布列為:

X0102050