備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學沖刺專項訓練（全國）專題04 二次函數(shù)的實際應用60題專練（原卷版）

專題04二次函數(shù)的實際應用60題專練通用的解題思路：從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．1．（2024?北侖區(qū)一模）周末，小明和同學們一起去長江路地鐵站坐地鐵．在等車的過程中，他驚嘆于地鐵每次都能精準的停靠在停止線上．為什么每次地鐵?？慷寄敲礈誓兀坷锩嬉欢ò鴶?shù)學知識通過工作人員幫助，小明獲得了地鐵剎車開始的時間與地鐵到停止線的距離之間的表格信息：（秒04812162024（米256196144100643616當小明拿到這些數(shù)據(jù)時，他作了如下的思考：（1）依據(jù)數(shù)學經(jīng)驗，小明需要將這些數(shù)據(jù)繪制在平面直角坐標系中，并用平滑的曲線進行連線，形成數(shù)據(jù)所生成的圖象，請你在圖中落實他的想法；（2）根據(jù)圖象以及數(shù)據(jù)關系，它可能是我們所學習過的函數(shù)圖象（選填“一次”、“二次”或“反比例”．請你選擇合適的數(shù)據(jù)求出該函數(shù)的表達式；（3）地鐵從開始剎車到下次啟動一共用時60秒．求地鐵的?？繒r間．（?？繒r間指的是地鐵剎停后的靜止時間）2．（2024?官渡區(qū)一模）“有一種叫云南的生活”融和了豐富的多元文化、多彩的自然風光和獨特的民俗風情．在云南，風里有花香，舌尖亦能有花香．“鮮花餅”是云南有名的特產(chǎn)，南屏街某商店銷售“鮮花餅”，進價為20元盒，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該鮮花餅的銷售量（盒與銷售價（元盒）之間的關系如圖所示．規(guī)定售價不低于成本，不高于成本的2.5倍．（1）求關于的函數(shù)解析式；（2）求銷售該鮮花餅獲得的利潤的最大值．3．（2024?新吳區(qū)一模）天氣漸熱，某商家購進一種冰鎮(zhèn)飲料，每瓶進價是4元，并規(guī)定每瓶售價不得少于6元，日銷售量不低于40瓶．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當每瓶售價定為6元時，日銷售量為60瓶，每瓶售價每提高1元，日銷售量減少5瓶．設每瓶售價為元，日銷售量為瓶．（1）當時，；（2）當每瓶售價定為多少元時，日銷售利潤（元最大？最大利潤是多少？（3）判斷命題：“日銷售額最大時，日銷售利潤不是最大”是命題（填“真”或“假”，并說明理由．4．（2024?濱?？h校級模擬）綜合與實踐：問題情境小瑩媽媽的花卉超市以15元盆的價格新購進了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近，，，，五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況，記錄如下：售價（元盆）日銷售量（盆20503030185422462638數(shù)據(jù)整理：（1）請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：售價（元盆）日銷售量（盆模型建立（2）分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，探究出日銷售量與售價之間的關系式．拓廣應用（3）根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中．①要想每天獲得400元的利潤，應如何定價？②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？5．（2024?江陰市一模）某商店以30元件的進價購進了某種商品，這種商品在60天內(nèi)的日銷售價（單位：元件）與時間（單位：天）之間的關系如表格所示：第天為整數(shù)）日銷售價（元件）40日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）之間的函數(shù)表達式為，其中為整數(shù)．（1）求第30天的銷售利潤；（2）該商品在第幾天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？日銷售利潤（日銷售價進價）日銷售量6．（2024?嶗山區(qū)一模）某商場新進一批拼裝玩具，每件玩具進價是30元，并規(guī)定每件售價不得少于50元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當每件售價定為50元時，日銷售量為500件，每件售價每提高0.5元，日銷售量減少5件．設每件售價為元，日銷售量為件．（1）當時，件；（2）當每件售價定為多少元時，日銷售利潤（元最大？最大利潤是多少？（3）當日銷售利潤不低于6000元時，求每件玩具售價的取值范圍．7．（2024?龍湖區(qū)校級一模）某企業(yè)設計了一款工藝品，每件成本是50元，為了合理定價，投成市場進行式銷，據(jù)調(diào)查，銷售單價是100元時，每天銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5伴，但要求銷售單價不得低于成本．設銷售單價元，銷售利潤元．（1）求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（2）該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，求出銷售單價的取值范圍？8．（2024?撫州一模）如圖，要建一個圓形噴水池，在池中心豎直放置一根水管，在水管的頂端安裝一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高，高度為，水柱落地處離池中心．（1）求水管的長度；（2）若在噴水池中豎直放置一盞高為的景觀射燈，且景觀射燈的頂端恰好碰到水柱，求景觀射燈與之間的水平距離；（3）現(xiàn)計劃擴建噴水池，升高水管，使落水點與水管之間的距離為，已知水管升高后，噴水頭噴出的水柱形狀和對稱軸不變，則水管要升高多少？9．（2024?黔南州一模）如圖1是某公園噴水頭噴出的水柱．如圖2是其示意圖，點處有一個噴水頭，距離噴水頭的處有一棵高度是的樹，距離這棵樹的處有一面高的圍墻（點，，在同一直線上）．建立如圖2所示的平面直角坐標系．已知澆灌時，噴水頭噴出的水柱的豎直高度（單位：與水平距離（單位：近似滿足函數(shù)關系．某次噴水澆灌時，測得與的幾組數(shù)據(jù)如下：0261012141600.882.162.802.882.802.56（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這些數(shù)據(jù)滿足的函數(shù)關系式．（2）判斷噴水頭噴出的水柱能否越過這棵樹，并請說明理由．（3）在另一次噴水澆灌時，已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關系．假設噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，且不會澆到墻外，求出所滿足的關系式．10．（2024?衢州一模）綜合與實踐矩形種植園最大面積探究情境實踐基地有一長為12米的墻，研究小組想利用墻和長為40米的籬笆，在前面的空地圍出一個面積最大的矩形種植園．假設矩形一邊，矩形種值園的面積為．分析要探究面積的最大值，首先應將另一邊用含的代數(shù)式表示，從而得到關于的函數(shù)表達式，同時求出自變量的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求出最值．探究思考一：將墻的一部分用來替代籬笆按圖1的方案圍成矩形種植園（邊為墻的一部分）思考二：將墻的全部用來替代籬笆按圖2的方案圍成矩形種植園（墻為邊的一部分）解決問題（1）根據(jù)分析，分別求出兩種方案中的的最大值：比較并判斷矩形種植園的面積最大值為多少．類比應用（2）若“情境”中籬笆長為20米，其余條件不變，請畫出矩形種植園面積最大的方案示意圖（標注邊長）．11．（2024?湖北模擬）如圖1，公園草坪的地面處有一根直立水管，噴水口可上下移動，噴出的拋物線形水線也隨之上下平移，圖2是其示意圖．開始噴水后，若噴水口在處，水線落地點為，；若噴水口上升到處，水線落地點為，．（1）求水線最高點與點之間的水平距離；（2）當噴水口在處時，①求水線的最大高度；②身高的小紅要從水線下某點經(jīng)過，為了不被水噴到，該點與的水平距離應滿足什么條件？請說明理由．12．（2024?碑林區(qū)校級模擬）2022年北京冬奧會的成功舉辦讓更多的人參與到了冰雪運動中來如圖①是某處滑雪大跳臺的實景圖，建立如圖②所示的平面直角坐標系，其中段可以近似的看作拋物線：的一部分，軸，點在軸上，點在軸上，且．某滑雪愛好者在一次滑雪比賽中沿斜坡加速至處騰空而起，近似地沿拋物線運動，在空中完成翻滾動作，著陸在段上，已知當他運行的水平距離為2米時，達到離地面的最大高度為9米．（1）點的坐標為；（2）求該滑雪愛好者騰空后的拋物線的表達式；（3）若此次滑雪評分細則規(guī)定：當運動員的騰空高度與段之間的豎直最大距離不少于6米時，則該運動員在“騰空高度分”就可以給滿分．請通過計算說明該滑雪愛好者的“騰空高度分”是否能得到滿分．13．（2024?蘭州模擬）如圖1，從遠處看蘭州深安黃河大橋似張開的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黃河上，它采用疊合梁拱橋方案設計．深安黃河大橋主拱形呈拋物線狀，從上垂下若干個吊桿，與橋面相連．如圖2所示，建立平面直角坐標系，吊桿到原點的水平距離，吊桿到原點的水平距離，且，主拱形離橋面的距離與水平距離近似滿足二次函數(shù)關系，其對稱軸為直線．（1）求的長度；（2）求主拱形到橋面的最大高度的長．14．（2024?安陽模擬）大學生小麗暑假期間從小商品批發(fā)市場批發(fā)了一種新商品，新商品的進價為30元件，經(jīng)過一段時間的試銷，她發(fā)現(xiàn)每月的銷售量會因售價的調(diào)整而不同．若設每月的銷售量為件，售價為元件，每月的總利潤為元．（1）當售價在元件時，每月的銷售量都為60件，則此時每月的總利潤最多是多少元？（2）當售價在元件時，每月的銷售量與售價的關系如圖所示．小麗決定每賣出一件商品就向福利院捐贈為整數(shù)）元，若要保證小麗每月獲利仍隨的增大而增大，請你幫她計算的最小值是多少，并求此時售價為多少元時，她每月獲利最大．15．（2024?許昌一模）如圖，某市青少年活動中心的截面由拋物線的一部分和矩形組成，其中米，米，最高點離地面的距離為9米，以地面所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系．（1）求拋物線的表達式；（2）暑期來臨之際，該活動中心工作人員設計了6米長的豎狀條幅從頂棚拋物線部分懸掛下來（條幅的寬可忽略不計），為了安全起見，條幅最低處不能低于地面上方2米．設條幅與的水平距離為米，求出的取值范圍．16．（2024?合肥模擬）為了豐富學生的課余生活，加強同學們戶外鍛煉的意識，學校舉辦了排球賽．如圖，已知學校排球場的長度為18米，位于球場中線處球網(wǎng)的高度為2.24米，一隊員站在點處發(fā)球，排球從點的正上方1.7米的點向正前方做拋物線運動，當排球運行至離點的水平距離為5米時，到達最高點，建立如圖所示的平面直角坐標系．（1）這名隊員發(fā)球后，當球上升的最大高度為3.7米時，他此次發(fā)球是否會過網(wǎng)？請說明理由；（2）在（1）的條件下，對方距球網(wǎng)1米的點處站有一隊員，她起跳后夠到的最大高度為2.02米，則這次她是否可以攔網(wǎng)成功（假設她夠到球一定攔網(wǎng)成功）？請通過計算說明．17．（2024?焦作一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務．設計小區(qū)大門燈籠的懸掛方案素材1圖1是某小區(qū)的正門，圖2是正門的示意圖，小航查閱相關資料獲得以下信息：①正門是由一個矩形和一個拋物線形拱組成的軸對稱圖形，②矩形的寬為，高為，拋物線形拱的高為．素材2為迎接龍年春節(jié)，擬在圖1正門拋物線形拱上懸掛直徑為的燈籠，如圖3．為了美觀，要求懸掛燈籠的數(shù)量為雙數(shù)，且平均分布，間隔在之間．問題解決任務1確定拋物線形拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．任務2探究懸掛數(shù)量給出符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量．任務3擬定設計方案根據(jù)你建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標．18．（2024?邯鄲模擬）圖1是兩層噴泉景觀的效果圖，圖2是其示意圖，兩層噴泉落在直徑為的圓內(nèi)，噴泉的水流均看作拋物線的一部分，下層噴泉的噴水口設在圓心處，落地點與圓心的水平距離為，水流的最高點距離地面；上層噴泉的噴水口設在圓心的正上方，且水流經(jīng)過下層噴泉水流的最高點，以圓心為原點，過圓心的一條水平線為軸，中心線為軸建立如圖3所示的平面直角坐標系，設水流的高度為（單位：，水流距離中心線的水平距離為（單位；．（1）求圖3中下層噴泉所對應拋物線的函數(shù)解析式；（不必寫的取值范圍）（2）當圖3中上層噴泉所對應拋物線的函數(shù)解析式為時，視覺效果最佳．①試推算，應滿足的數(shù)量關系；②結(jié)合實際環(huán)境．要求上層噴泉的水流最大高度不低于，且不高于，求出的取值范圍．19．（2024?安康一模）某山體的隧道截面近似于拋物線，隧道最高點距離地面，隧道地面寬．如圖，以為軸，為坐標原點構建平面直角坐標系．（1）求拋物線的函數(shù)表達式．（2）現(xiàn)要在拋物線型隧道內(nèi)安裝一個矩形屏，屏長為，寬為，若矩形同屏的一個頂點在拋物線上且長邊需平行于．求屏底邊距離地面的最大高度．20．（2024?東營一模）城市吉祥物是城市形象的重要視覺符號，承載著城市的文化內(nèi)涵、價值理念和人文情懷，是一座城市的形象圖騰．為宣傳東營城市文化，展示東營城市風采，東營市文化局和旅游局對接多家專業(yè)設計公司，最終確定“河東東”“海營營”為東營市城市吉祥物．一時間“河東東”“海營營”套裝的銷售日益火爆，據(jù)調(diào)查某特許零售店“河東東”“海營營”套裝每盒進價7元，售價12元．（1）商店老板計劃首月銷售320盒，經(jīng)過首月試銷售，老板發(fā)現(xiàn)單盒“河東東”“海營營”套裝售價每增長2元，月銷量就將減少10盒．若老板希望“河東東”“海營營”套裝月銷量不低于300盒，則每盒售價最高為多少元？（2）實際銷售時，售價比（1）中的最高售價減少了元，月銷量比（1）中最低銷量300盒增加了盒，于是月銷售利潤達到了2100元，求的值；（3）在（1）的條件下，當每盒售價為多少元時，月銷售利潤最大？最大利潤為多少？21．（2024?長安區(qū)一模）2023年5月28日，商業(yè)首航完成中國民航商業(yè)運營國產(chǎn)大飛機正式起步．12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”，是國際民航中高級別的禮儀）．如圖1，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車從機翼兩側(cè)向斜上方噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．當兩輛消防車噴水口、的水平距離為80米時，兩條水柱恰好在拋物線的頂點處相遇，此時相遇點距地面20米，噴水口、距地面均為4米．如圖2，以地面兩輛消防車所在的直線為軸，過點所在的鉛直線為軸建立平面直角坐標系．（1）寫出點、的坐標，并求出拋物線的關系式；（2）兩輛消防車同時向后移動相同的距離，此時兩個水柱的交點記為，若，請求出兩輛消防車移動的距離．22．（2024?黔南州一模）如圖1為某公園的圓形噴水池，小玲學習了二次函數(shù)后，受到該圖啟發(fā)設計了一種新的噴水池，它的截面示意圖如圖2所示，為水池中心，噴頭、之間的距離為18米，噴射水柱呈拋物線形，水柱距水池中心處達到最高，高度為．水池中心處有一個圓柱形蓄水池，其高為1.75米．（1）在圖2中，以點為坐標原點，水平方向為軸建立直角坐標系，并求右邊這條拋物線的函數(shù)解析式．（2）如圖3，擬在圓柱形蓄水池中心處建一噴水裝置，從點向四周噴射拋物線形水柱且滿足以下四個條件：不能碰到圖2中的水柱；落水點，的間距為；水柱的最高點與點的高度差為；從點向四周噴射與圖2中形狀相同的拋物線形水柱．（1）在建立的坐標系中，求落水點的坐標；（2）求出噴水裝置的高度．23．（2024?東莞市校級一模）跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一，如圖，運動員通過助滑道后在點處起跳經(jīng)空中飛行后落在著陸坡上的點處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分，這里表示起跳點到地面的距離，表示著陸坡的高度，表示著陸坡底端到點的水平距離，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度（單位：與水平距離（單位：近似滿足函數(shù)關系：，已知，，落點的水平距離是，豎直高度是．（1）點的坐標是，點的坐標是；（2）求滿足的函數(shù)關系；（3）運動員再次起跳，運動員的豎直高度（單位：與水平距離（單位：近似滿足函數(shù)關系：，問：運動員這次起跳著陸點的水平距離第一次著陸點的水平距離（填“大于”、“小于”或“等于”．24．（2024?利川市校級模擬）某商品每件進價25元，在試銷階段該商品的日銷售量（件與每件商品的日銷售價（元之間的關系如圖中的折線所示（物價局規(guī)定，該商品每件的銷售價不得低于進價且不得高于50元）．（1）直接寫出與的函數(shù)關系式；（2）若日銷售單價（元為整數(shù)，則當日銷售單價（元為多少時，該商品每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少；（3）若該商品每天的銷售利潤不低于1200元，求銷售單價的取值范圍．25．（2024?安順一模）學校操場上有部分同學在玩丟沙包游戲，佳佳通過游戲得到啟發(fā)編制了一道數(shù)學題，如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1米長，佳佳在點處將沙包（看成點）拋出，其運動路線為拋物線的一部分，亮亮恰在點處接住，然后跳起將沙包回傳，其運動路線為拋物線的一部分．（1）求拋物線的函數(shù)解析式：（2）若佳佳向前跑1米，再豎直向上跳0.5米，剛好接到沙包，求出此時的值；（3）若佳佳發(fā)現(xiàn)在軸上方1米的高度上，且到點水平距離不超過1米的范圍內(nèi)可以接到沙包，請直接寫出符合條件的的取值范圍．26．（2024?桐柏縣一模）要修建一個圓形噴水池，在池中心處豎直安裝一根水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之上下平移，但不影響拋物線的形狀，水柱落地點與點在同一水平面，安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高米，噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1米處達到最高，高度為3米．以為原點，所在的直線為軸，水管所在的直線為軸，建立如圖的直角坐標系．（1）求水柱高度與距離池中心的水平距離的函數(shù)表達式；（2）求水柱落地點到水池中心的距離．（3）受場地的限時，噴水池的最大半徑為2.5米，為了不讓水噴到外面，噴頭高度至少降低多少米？27．（2024?元謀縣一模）云南地處高原環(huán)境，日照長，晝夜溫差大，利于糖分積累，是著名的藍莓產(chǎn)區(qū)，小李家今年種植的藍莓喜獲豐收，采摘上市15天全部銷售完，小李對銷售情況進行統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，在該藍莓上市第天取整數(shù)）時，日銷售量（單位：千克）與之間的函數(shù)關系式為，藍莓價格（單位：元千克）與之間的函數(shù)關系如圖所示．（1）當時，求與之間的函數(shù)關系式；（2）設日銷售額元，當時，求的最大值．28．（2024?鎮(zhèn)平縣一模）某校利用大課間開展陽光體育跳大繩活動．跳繩時，繩搖到最高處時的形狀是拋物線．正在搖繩的小明和小強兩名同學拿繩的手間距為6米，到地面的距離和均為0.9米，身高為1.4米的小麗站在距點的水平距離為1米的點處，繩子搖到最高處時剛好通過她的頭頂點．以點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設此拋物線的解析式為．（1）求該拋物線的解析式；（2）如果身高為1.75米的王老師也想?yún)⒓犹K，小明和小強站原地正常搖繩的情況下，問繩子能否順利從王老師頭頂越過？請說明理由；（3）如果身高1.7米的小張同學也想?yún)⒓犹K，他站在，之間，且離點的距離為米，當繩子搖到最高處時，在什么范圍內(nèi)，繩子能順利越過他頭頂？請結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍．29．（2024?陜西二模）如圖，在一個斜坡上架設兩個塔柱，（可看作兩條豎直的線段），塔柱間掛起的電纜線下垂弧度可以近似看成拋物線的形狀．兩根塔柱的高度滿足，塔柱與之間的水平距離為，且兩個塔柱底端點與點的高度差為．以點為坐標原點，為單位長度構建平面直角坐標系．（1）求點，，的坐標．（2）經(jīng)測量得知：，段所掛電纜線對應的拋物線的形狀與拋物線一樣，且電纜線距離斜坡面豎直高度至少為時，才符合設計安全要求．請結(jié)合所學知識判斷上述電纜的架設是否符合安全要求？并說明理由．30．（2024?杭州模擬）【問題背景】水火箭是一種基于水和壓縮空氣的簡易火箭，通常由塑膠汽水瓶作為火箭的箭身，并把水當作噴射劑．圖1是某學校興趣小組制做出的一款簡易彈射水火箭．【實驗操作】為驗證水火箭的一些性能，興趣小組同學通過測試收集了水火箭相對于出發(fā)點的水平距離（單位：與飛行時間（單位：的數(shù)據(jù)，并確定了函數(shù)表達式為：．同時也收集了飛行高度（單位：與飛行時間（單位：的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其近似滿足二次函數(shù)關系．數(shù)據(jù)如表所示：飛行時間02468飛行高度010161816【建立模型】任務1：求關于的函數(shù)表達式．【反思優(yōu)化】圖2是興趣小組同學在室內(nèi)操場的水平地面上設置一個高度可以變化的發(fā)射平臺（距離地面的高度為，當彈射高度變化時，水火箭飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到，線段為水火箭回收區(qū)域，已知，．任務2：探究飛行距離，當水火箭落地（高度為時，求水火箭飛行的水平距離．任務3：當水火箭落到內(nèi)（包括端點，，求發(fā)射臺高度的取值范圍．31．（2024?梁園區(qū)校級模擬）某農(nóng)戶用噴槍將斜坡上的綠地噴灌，噴出水柱的形狀是拋物線．經(jīng)測量，處的噴水頭距地面，水柱在距噴水頭水平距離處達到最高，最高點與水平線的距離為，建立如圖所示的直角坐標系，并設拋物線的解析式為，其中是水柱距噴水頭的水平距離，是水柱距水平線的高度．（1）求拋物線的表達式．（2）若斜坡上有一棵高的樹，它與噴水頭的水平距離為，，請判斷從處噴出的水柱能否越過這棵樹的樹頂，并說明理由．32．（2024?汕頭校級模擬）某商店銷售一種進價50元件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天銷售量（件是售價（元件）的一次函數(shù)，其售價、銷售量的二組對應值如表：（1）求出關于售價的函數(shù)關系式；（2）設商店銷售該商品每天獲得的利潤為（元，求與之間的函數(shù)關系式，并求出當銷售單價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？售價（元件）5565銷售量（件天）907033．（2024?天寧區(qū)校級模擬）常州市著名旅游景區(qū)“中華恐龍園”應疫情防控要求，嚴格控制每日來訪旅客人數(shù)．已知于219年春節(jié)長假期間，共接待游客達20萬人次，而在2021年春節(jié)長假期間，接待游客僅達16.2萬人次．（1）則“中華恐龍園”2019至2021年春節(jié)長假期間接待游客人次的年平均減少率為；（2）“中華恐龍園”景區(qū)內(nèi)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，在旅游旺季，若每杯定價25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售30杯，2022年春節(jié)期間，店家決定進行降價促前活動，則當每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額？34．（2024?蒲城縣模擬）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構，它的出現(xiàn)使人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．如圖，某菜農(nóng)搭建了一個橫截面為拋物線的大棚，寬度為8米，棚頂最高點距離地面高度為4米．以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）若借助橫梁在大棚正中建一個2米高的門到地面的距離為2米），求橫梁的長度是多少米？（結(jié)果保留根號）35．（2024?泗縣一模）如圖1，某灑水車的噴水口距地面．如圖2，已知噴水口噴出最遠的水柱是拋物線，軸是地面，位于軸上，則點，拋物線與軸交于點．（注拋物線水柱的寬度忽略）（1）求該灑水車噴水能達到的最遠距離的長；（2）如圖3，將拋物線向左平移使其經(jīng)過點，此時拋物線是該灑水車噴出的最近水柱，拋物線交軸于點．（ⅰ）求的長；（ⅱ）如圖4，已知一條隔離綠化帶的橫截面是矩形，，，設灑水車到綠化帶的距離，若該灑水車在行駛過程中能澆到完整的這條隔離綠化帶，求的取值范圍．36．（2024?深圳模擬）【項目式學習】【項目主題】自動旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭灌溉蔬菜【項目背景】尋找生活中的數(shù)學，九（1）班分四個小組，開展數(shù)學項目式實踐活動，獲取所有數(shù)據(jù)共享，對蔬菜噴水管建立數(shù)學模型．菜地裝有1個自動旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭，灌溉蔬菜．如圖1所示，觀察噴頭可順、逆時針往返噴灑．【項目素材】素材一：甲小組在圖2中建立合適的直角坐標系，噴水口中心有一噴水管，從點向外噴水，噴出的水柱最外層的形狀為拋物線．以水平方向為軸，點為原點建立平面直角坐標系，點（噴水口）在軸上，軸上的點為水柱的最外落水點．素材二：乙小組測得種植農(nóng)民的身高為1.75米，他常常往返于菜地之間．素材三：丙小組了解到需要給蔬菜大鵬里拉一層塑料薄膜用來保溫保濕，以便蔬菜更好地生長．【項目任務】任務一：丁小組測量得噴頭的高米，噴水口中心點到水柱的最外落水點水平距離為8米，其中噴出的水正好經(jīng)過一個直立木桿的頂部處，木桿高米，距離噴水口米．求出水柱所在拋物線的函數(shù)解析式．任務二：乙小組發(fā)現(xiàn)這位農(nóng)民在與噴水口水平距離是米時，不會被水淋到，求的取值范圍．任務三：丙小組測量發(fā)現(xiàn)薄膜所在平面和地面的夾角是，截面如圖3，求薄膜與地面接觸點與噴水口的水平距離是多少米時，噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米？（直接寫出答案，精確到0.1米）．37．（2024?石阡縣模擬）某俱樂部購進一臺如圖1的籃球發(fā)球機，用于球員籃球訓練．該發(fā)球機可以以不同力度發(fā)射出籃球，籃球運行的路線都是拋物線．出球口離地面高1米，以出球口為原點，平行于地面的直線為軸，垂直于地面的直線為軸，建立平面直角坐標系．力度變化時，拋物線的頂點在直線上移動，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線（如圖．（1）若．①發(fā)球機發(fā)射出的籃球運行到距發(fā)球機水平距離為時，離地面的高度為．請直接寫出該球在運行過程中離地面的最大高度；②若發(fā)球機發(fā)射出的籃球在運行過程中離地面的最大高度為，求該球運行路線的解析式，及此球落地點離發(fā)球機的水平距離；（2）球員小剛訓練時發(fā)現(xiàn)：當籃球運行到離地面高度為至之間（包含端點）是最佳接球區(qū)間，若，直接寫出當滿足什么條件時，距發(fā)球機水平距離的小剛在前后不挪動位置的前提下，能在最佳區(qū)間接到球．38．（2023?黃石）某工廠計劃從現(xiàn)在開始，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設備，該設備的生產(chǎn)成本為10萬元件．設第個生產(chǎn)周期設備的售價為萬元件，售價與之間的函數(shù)解析式是，其中是正整數(shù)．當時，；當時，．（1）求，的值；（2）設第個生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設備的數(shù)量為件，且與滿足關系式．①當時，工廠第幾個生產(chǎn)周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？②當時，若有且只有3個生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，求實數(shù)的取值范圍．39．（2024?臺州模擬）為打造旅游休閑城市，某村莊為吸引游客，沿綠道旁的母親河邊打造噴水景觀．為保持綠道地面干燥，水柱要噴入母親河中．圖2是其截面圖，已知綠道路面寬米，河道壩高米，壩面的坡比為（其中，當水柱離噴水口處水平距離為2米時，離地平面距離的最大值為3米．（1）出于安全考慮，在河道的壩邊處安裝護欄，要求水柱不能噴射到護欄上，則護欄的最大高度是多少米？（結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）河中常年有水，但一年中河水離地平面的距離會隨著天氣的變化而變化，水柱落入水中能蕩起美麗的水花，從美觀角度考慮，水柱落水點要在水面上；①河水降至離地平面距離為多少時，水柱剛好落在壩面上？②為保證水柱的落水點始終在水面上，決定安裝可上下伸縮的噴水口，設壩中水面離地平面距離為米，噴水口離地平面的最小高度隨著的變化而變化，直接寫出與的關系式40．（2024?建昌縣一模）某廠家特制了一批高腳杯，分為男士杯和女士杯（如圖，相關信息如下：素材內(nèi)容素材1如圖1，這種高腳杯從下往上分為三部分：杯托，杯腳，杯體．杯托為一個圓，水平放置時候，杯腳經(jīng)過杯托圓心，并垂直任意直徑，杯體的水平橫截面都為圓，這些圓的圓心都在杯腳所在直線上．素材2圖2坐標系中，特制男士杯可以看作由線段，，拋物線（實線部分），線段，線段繞軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形（不考慮杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由線段，，拋物線（虛線部分）繞軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形．素材3已知，圖2坐標系中，，記為，，，，，，，，．根據(jù)以上素材內(nèi)容，嘗試求解以下問題：（1）求拋物線和拋物線的解析式；（2）當杯子水平放置及杯內(nèi)液體靜止時，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為，求兩者液體最上層表面圓面積之差；（結(jié)果保留（3）當杯子水平放置及杯內(nèi)液體靜止時，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度相等，兩者液體最上層表面圓面積相差，求杯中液體的深度．41．（2024?余姚市一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務．如何制作簡易風箏？素材1圖1是簡易“箏形”風箏的結(jié)構圖，現(xiàn)以兩條線段，作為骨架，垂直平分且，并按的比例固定骨架，骨架與共消耗竹條，四邊形的面積為．素材2考慮到實際需要，蒙面（風箏面）邊緣離骨架的端點要留出一定距離．如圖2，現(xiàn)以上部分的蒙面設計為拋物線形狀，過距離，，三點分別為，，的，，三點繪制拋物線（建立如圖的直角坐標系）．以下部分的蒙面設計為，點在延長線上且．素材3從一張長方形紙片中裁剪無拼接的風箏蒙面（包括以上拋物線部分及以下三角形部分），長方形各邊均與骨架平行（或垂直）．問題解決任務1確定骨架長度求骨架和的長度．任務2確定蒙面形狀求拋物線的函數(shù)表達式．任務3選擇紙張大小至少選擇面積為多少的長方形紙片？42．（2024?市南區(qū)一模）某工廠生產(chǎn)某種玩具的成本價為20元件，工廠決定采取電商銷售和門店銷售兩種方式同時銷售該玩具．電商銷售：售價為30元件；門店銷售：第一天售價為50元件，此后售價每天比前一天每件降低0.5元，該方式每天還需支付租金、人工等固定費用455元．已知兩種銷售方式第天的銷售數(shù)量（件均滿足．（1）直接寫出門店銷售方式每天的售價（元件）與的函數(shù)關系式；（2）該玩具銷售過程中，在第幾天獲得的利潤總和（元最大？利潤總和最大是多少？（3）該玩具銷售過程中，哪些天門店銷售的利潤不低于電商銷售的利潤？43．（2024?新鄉(xiāng)一模）數(shù)字農(nóng)業(yè)正帶領現(xiàn)代農(nóng)業(yè)進入一個嶄新的時代，而智能溫室大棚將成為現(xiàn)代農(nóng)業(yè)發(fā)展進程中重要的參與者之一．某種植大戶對自己的溫室大棚進行改造時，先將大門進行了裝修，如圖2所示，該大門門頭示意圖由矩形和拋物線形組成，測得，，．以水平線為軸，的中點為原點建立平面直角坐標系．（1）求此門頭拋物線部分的表達式；（2）改造時，為了加固，要在棚內(nèi)梁的四等分點，處焊接兩排鍍鋅管支撐大棚，已知定制的每根鍍鋅管成品長，問是否需要截取，截取多少？44．（2024?武漢模擬）問題提出在2024年中考即將到來之際，學校準備開展“百日誓師，指戰(zhàn)中考”活動，小星同學對會場進行裝飾．如圖1所示，他在會場的兩墻、之間懸掛一條近似拋物線的彩帶，如圖2所示，已知墻與等高，且、之間的水平距離為8米．（1）建立模型如圖2，直接寫出兩墻、的高度，拋物線的頂點坐標；解決問題（2）為了使彩帶的造型美觀，小星把彩帶從點處用一根細線吊在天花板上，如圖3所示，使得點到墻距離為3米，使拋物線的最低點距墻的距離為2米，離地面2米，求點到地面的距離；（3）為了盡量避免人的頭部接觸到彩帶，小星現(xiàn)將到地面的距離提升為3米，通過適當調(diào)整的位置，使拋物線對應的二次函數(shù)的二次項系數(shù)始終為，若設點距墻的距離為米，拋物線的最低點到地面的距離為米，探究與的關系式，當時，求的取值范圍．45．（2024?海淀區(qū)校級模擬）某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為米的地點，水柱距離湖面高度為米．（米01234（米2.04.05.25.65.2請解決以下問題：（1）在下邊網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，根?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接．（2）請結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，估出噴泉的落水點距水槍的水平距離約為米（精確到；（3）公園增設了新的游玩項目，購置了寬度3米，頂棚到水面高度為4.5米的平頂游船，游船從噴泉正下方通過，別有一番趣味，請通過計算說明游船是否有被噴泉淋到的危險．46．（2024?河南一模）信陽位于中國南北地理分界線，地處淮河中上游，素有“北國江南，江南北國”美譽，自古雨水充沛，河流眾多，降雨量和人均水資源量久居河南第一，素以“水廣橋多”著稱，被譽為“千湖之市”．其中一座橋的橋洞形狀符合拋物線形狀，如圖1所示，橋墩高3米，拱頂與起拱線相距4米，橋孔寬6米．（1）若以起拱點為坐標原點建立平面坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式，并求其頂點坐標．（2）河面的平均水位2米，信陽游客服務部門打算建造河上觀賞船，故應考慮船下水后的吃水線問題．額定載客后，觀賞船吃水線上面部分的截面圖為矩形（如圖，當船寬為3米時．①求吃水線上船高約多少米時，可以恰好通過此橋；②若考慮澇季水面會再往上升1米，則求此時吃水線上船高的設計范圍．47．（2024?孝南區(qū)一模）園林基地計劃投資種植花卉及樹木，已知種植樹木的利潤與投資量成正比例關系，種植花卉的利潤與投資量的平方成正比例關系，并根據(jù)市場調(diào)查與預測，得到了表格中的數(shù)據(jù)．投資量（萬元）2種植樹木利潤（萬元）4種植花卉利潤（萬元）2（1）請根據(jù)表格填空：利潤與投資量的函數(shù)關系式為；利潤與投資量的函數(shù)關系式為；（2）如果這個基地計劃以6萬元資金全部投入種植花卉和樹木，設投入種植花卉的金額為萬元，種植花卉和樹木共獲利萬元，求出關于的函數(shù)關系式，并求該基地至少獲得多少利潤？基地能獲取的最大利潤是多少？（3）若該基地想獲利不低于12萬，在（2）的條件下，請直接寫出投資種植花卉的金額的范圍．48．（2024?欽州一模）問題探究（1）如圖1，在菱形中，，，點為邊的中點，為邊上一點，且，連接、、，求的面積；問題解決（2）為響應市政府“建設美麗城市，改善生活環(huán)境”的號召，某小區(qū)欲建造如圖2所示的四邊形休閑廣場，，米，米．按照規(guī)劃要求，點、分別在邊、上，滿足米，連接、、，其中為健身休閑區(qū)，其他區(qū)域為景觀綠化區(qū)，為了使綠化面積盡可能大，希望健身休閑區(qū)的面積盡可能小，那么按此要求修建的這個健身休閑區(qū)是否存在最小面積？若存在，求出最小面積及此時的長；若不存在，請說明理由．49．（2024?高新區(qū)校級二模）如圖，某糧倉的橫截面由拋物線的一段和矩形構成．以地面所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，其中，米，米．若拋物線的表達式為，為平行于地面的一排除濕板．（1）求該拋物線的表達式；（2）已知除濕板與地面間的距離為6.8米，若除濕板上方需安裝一排與地面平行的隔熱板，且隔熱板與除濕板相距1.95米，求隔熱板的最小長度．50．（2023?無錫）某景區(qū)旅游商店以20元的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元，不高于45元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量與銷售價格（元之間的函數(shù)關系如圖所示．（1）求關于的函數(shù)表達式；（2）當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤（銷售價格采購價格）銷售量】51．（2024?北京一模）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標系．如果她從點起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度（單位：米）與水平距離（單位：米）近似滿足函數(shù)關系式．（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅蟬的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離033.544.5豎直高度1010106.25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出的值為，直接寫出滿足的函數(shù)關系式：；（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關系，記她訓練的入水點的水平距離為；比賽當天入水點的水平距離為，則（填“”“”或“”；（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達最高點開始計時，若點到水平面的距離為，則她到水面的距離與時間之間近似滿足，如果全紅嬋在達到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？52．（2024?唐山一模）為了給觀光綠化帶澆水，擬安裝一排噴水口，如圖2為噴水口噴水的橫截面，該噴水口離地豎直高度為．可以把噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其中，．其下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，噴水口到綠化帶的水平距離為（單位：．（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；（2）通過計算求點的坐標；（3）綠化帶右側(cè)（圖中點的右側(cè)）1米外是人行道，要使噴出的水能澆灌到整個綠化帶，同時不會淋濕行人，直接寫出的取值范圍．53．（2024?廣平縣模擬）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到綠化帶的距離為（單位：．（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；（2）求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標；（3）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出的取值范圍．54．（2024?駐馬店一模）某公園要在小廣場建造一個噴泉景觀．在小廣場中央處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設計成水流在距的水平距離為1米時達到最大高度，此時離地面2.25米．（1）以點為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到水平距離為米，水流噴出的高度為米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子的距離為米，求的取值范圍；（3）為了美觀，在離花形柱子4米處的地面、處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成角，如圖3所示，光線交匯點在花形柱子的正上方，其中光線所在的直線解析式為，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．55．（2024?梁溪區(qū)校級模擬）某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設銷售量與產(chǎn)量相等，圖中的線段表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本（單位：元）與產(chǎn)量（單位：之間的函數(shù)關系；線段表示該產(chǎn)品銷售價（單位：元）與產(chǎn)量（單位：之