高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考02（新考法新高考七省地區(qū)專用）-2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷含答案

2024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．過點且與直線垂直的直線方程是（

）A． B．C． D．2．一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為，若該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．73．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．4．如圖，圓錐形容器的高為3厘米，圓錐內(nèi)水面的高為1厘米，若將圓錐容器倒置，水面高為，下列選項描述正確的是（

）A．的值等于1 B．C．的值等于2 D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若圓上存在點，使得，則正數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．《紅海行動》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求：重點任務(wù)必須排在前三位，且任務(wù)、必須排在一起，則這六項任務(wù)的不同安排方案共有A．240種 B．188種 C．156種 D．120種7．已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．設(shè)z，，是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．已知，則（

）A．，使得B．若，則C．若，則D．若，，則的最大值為11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)值域為B．函數(shù)是增函數(shù)C．不等式的解集為D．12．在四棱錐中，平面，，，四棱錐的外接球為球O，則（

）A．⊥ B．C． D．點O不可能在平面內(nèi)第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知集合，，則.14．已知向量的夾角為，，則，．15．已知，數(shù)列為，規(guī)律是在和中間插入項，所有插入的項構(gòu)成以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列的前30項和為．16．若存在正實數(shù)滿足，則的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，．(1)求的值；(2)邊的垂直平分線交邊于點，若，求的面積．18．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.（12分）如圖，平面平面，四邊形為矩形，為正三角形，，為的中點.

(1)證明：平面平面；(2)已知四棱錐的體積為，求點到平面的距離.20．（12分）已知甲、乙兩支登山隊均有n名隊員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊，規(guī)則如下：在一個不透明的箱中放有紅球和黑球各2個，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復(fù)，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢．新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊，否則被分至乙隊．(1)求三人均被分至同一隊的概率；(2)記甲，乙兩隊的最終人數(shù)分別為，，設(shè)隨機變量，求．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的浙近線方程為分別是雙曲線的左?右頂點.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是直線上的動點，直線分別與雙曲線交于不同于的點，過點作直線的垂線，垂足為，求當(dāng)最大時點的縱坐標(biāo).（12分）已知無窮數(shù)列滿足，其中表示x，y中最大的數(shù)，表示x，y中最小的數(shù).(1)當(dāng)，時，寫出的所有可能值；(2)若數(shù)列中的項存在最大值，證明：0為數(shù)列中的項；(3)若，是否存在正實數(shù)M，使得對任意的正整數(shù)n，都有？如果存在，寫出一個滿足條件的M；如果不存在，說明理由.2024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考全解全析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．過點且與直線垂直的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出所求直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】直線的斜率為，故所求直線的斜率為，所以，過點且與直線垂直的直線方程是，即.故選：C.2．一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為，若該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】按百分位數(shù)和平均數(shù)的定義計算即可.【詳解】由題意該組數(shù)據(jù)共7個數(shù)，,故第60百分位數(shù)為從小到大第5個數(shù)，又眾數(shù)為4，故，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故選：B3．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)及已知，設(shè)，求得，即可得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知：是等差數(shù)列.由，可設(shè)，則，于是依次為，所以，所以.故選：B4．如圖，圓錐形容器的高為3厘米，圓錐內(nèi)水面的高為1厘米，若將圓錐容器倒置，水面高為，下列選項描述正確的是（

）A．的值等于1 B．C．的值等于2 D．【答案】D【分析】設(shè)圓錐形容器的底面積為S，由相似的性質(zhì)可得未倒置前液面的面積為，根據(jù)圓錐的體積公式求出水的體積；再次利用相似的性質(zhì)表示出倒置后液面面積，由水的體積建立關(guān)于的方程，解之即可求解.【詳解】設(shè)圓錐形容器的底面積為S，未倒置前液面的面積為，則，所以，則水的體積為；設(shè)倒置后液面面積為，則，則水的體積為，解得.故選：D.5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若圓上存在點，使得，則正數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)條件得到，從而將問題轉(zhuǎn)化成與圓有交點，再利用兩圓的位置關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則由，得到，整理得到，又點在圓上，所以與圓有交點，又的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，解得，故選：D.6．《紅海行動》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求：重點任務(wù)必須排在前三位，且任務(wù)、必須排在一起，則這六項任務(wù)的不同安排方案共有A．240種 B．188種 C．156種 D．120種【答案】D【詳解】當(dāng)E,F排在前三位時，=24,當(dāng)E,F排后三位時，=72，當(dāng)E,F排3，4位時，=24，N=120種，選D.7．已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對進行最值分析，對區(qū)間上進行單調(diào)分析；【詳解】當(dāng)時，因為，則，因為函數(shù)在上存在最值，則，解得，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上單調(diào)，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．又因為2，因此的取值范圍是．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點睛：整體法分析是本題的突破點，結(jié)合三角函數(shù)圖像分析是本題的核心.8．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由橢圓定義和勾股定理得到，換元后得到，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求出，得到離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由橢圓的定義可得，，可設(shè)，可得，即有，①由，可得，即為，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，則時，取得最小值；或4時，取得最大值.即有，得.故選：C【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍，常見有三種方法：①求出，代入公式；②根據(jù)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍；③由題目條件得到離心率關(guān)于變量的函數(shù)，結(jié)合變量的取值范圍得到離心率的取值范圍.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．設(shè)z，，是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BC【分析】由復(fù)數(shù)的相關(guān)知識逐項判斷即可.【詳解】若，設(shè)，所以，則不一定為，故A錯誤；若，設(shè)，所以，則不一定為，故B正確；若，設(shè)，，則，，故C正確；若，設(shè)，，，，所以，即，不一定為，故D錯誤；故選：BC.10．已知，則（

）A．，使得B．若，則C．若，則D．若，，則的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)方程無解，可判定A錯誤；根據(jù)題意求得，結(jié)合兩角差的正弦公式，可判定B正確；結(jié)合兩角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C錯誤；化簡，結(jié)合基本不等式，可判定D正確.【詳解】對于A中，若，可得因為，可得，解得，又因為時，，所以方程無解，所以A錯誤；對于B中，因為，可得，所以，又因為，所以，則，所以B正確；對于C中，由，則，所以C錯誤；對于D中，因為，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最大值為，所以D正確.故選：BD.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)值域為B．函數(shù)是增函數(shù)C．不等式的解集為D．【答案】ACD【分析】對于A，令，利用換元法和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得；對于B，令由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可；對于C，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行解不等式；對于D，由即可求解.【詳解】對于A，令，又因為在上遞增，所以，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，的值域為R，故A正確；對于B，因為在上遞增，在上遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，為減函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為的定義域為，且,，所以為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù)，不等式等價于即，等價于，解得，故C正確；對于D，因為且，所以，故D正確.故選：ACD.12．在四棱錐中，平面，，，四棱錐的外接球為球O，則（

）A．⊥ B．C． D．點O不可能在平面內(nèi)【答案】AC【分析】A選項，推出四點共面，結(jié)合得到⊥；B選項，若四邊形為正方形，此時；C選項，得到球心在的垂直平分線上，故到平面距離為到平面距離的一半，C正確；D選項，舉出實例，D錯誤.【詳解】A選項，四棱錐的外接球為為頂點的球，而四點共面，故這四點必共圓，又，故為直徑，⊥，A正確：B選項，由A可知，四點共圓，又，為直徑，若四邊形為正方形，此時，，B錯誤；C選項，因為平面，所以球心到兩點的距離相等，即球心在的垂直平分線上，故到平面距離為到平面距離的一半，故，C正確；D選項，當(dāng)四邊形為正方形時，連接，相交于點，則⊥平面，結(jié)合球心在的垂直平分線上，此時為中點，點O在平面上，D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知集合，，則.【答案】【分析】通過解一元二次不等式，求解函數(shù)值域，結(jié)合，，用列舉法表示集合，再結(jié)合補集的定義，即得解【詳解】由題意，，又又由于，又故故答案為：14．已知向量的夾角為，，則，．【答案】2【分析】根據(jù)向量垂直的表示得，利用數(shù)量積的運算性質(zhì)計算可得；根據(jù)與，結(jié)合數(shù)量積的運算性質(zhì)求解可得出.【詳解】由向量的夾角為，且，得，所以．因為，，所以．故答案為：2，.15．已知，數(shù)列為，規(guī)律是在和中間插入項，所有插入的項構(gòu)成以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列的前30項和為．【答案】829【分析】因為所有插入的項構(gòu)成以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)題意，得到數(shù)列的前30項中含有的前7項，含有的前23項，結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】因為，所以為等比數(shù)列，所有插入的項構(gòu)成以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，由于，，，，因此數(shù)列的前30項中含有的前7項，含有的前23項，所以所求和為．故答案為：829.16．若存在正實數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】/【分析】不等式變形，換元后得到，令，則，再令，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，從而，解得，得到故，，求導(dǎo)，得到單調(diào)性和最值，求出答案.【詳解】存在正實數(shù)滿足，不等式兩邊同除以得，令，則，即，令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極大值，也是最大值，故，即，綜上，，解得，故，，故，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得極大值，也是最大值，最大值為.故答案為：【點睛】常見的不等式放縮有，，，，等，再求參數(shù)取值范圍或證明不等式時，常常使用以上不等式進行適當(dāng)變形進行求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，．(1)求的值；(2)邊的垂直平分線交邊于點，若，求的面積．【答案】(1);(2).【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，借助余弦定理建立方程組，消元計算即可；（2）分析邊角關(guān)系，在中通過正弦定理得，利用面積公式計算即可.【詳解】（1）因為，所以即．在中，由正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以②．因為，所以①．將①代入②得，所以..........................5分（2）結(jié)合（1）問：在中，由余弦定理得，．因為，所以．因為，所以．在中，由正弦定理得，解得：，所以，的面積.

..........................10分18．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)切線方程，求得切點與切線斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）寫出函數(shù)解析式，化簡整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，可得答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為.將代入，解得，即，由切線方程，則切線斜率.故，解得..........................6分（2）證明：由（1）知，從而等價于.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù)，從而在上的最大值為.故，即..........................12分19．（12分）如圖，平面平面，四邊形為矩形，為正三角形，，為的中點.

(1)證明：平面平面；(2)已知四棱錐的體積為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）利用平面幾何知識結(jié)合已知條件可以證明，再利用面面垂直的性質(zhì)進一步證明，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即得證.（2）不妨設(shè)，則點到平面的距離即為的長度，結(jié)合附加條件四棱錐的體積為可以求得所有棱長，最終利用平面幾何知識即可求解.【詳解】（1）一方面：因為為正三角形且為的中點，所以（三線合一），又因為平面平面且平面平面，并注意到平面，所以由面面垂直的性質(zhì)可知平面，又因為平面，所以由線面垂直的性質(zhì)可知；另一方面：由題意不妨設(shè)，則，因為為正三角形且為的中點，所以，，所以，且，注意到與均為銳角，所以，不妨設(shè)，

因為，所以，即.綜合以上兩方面有且，注意到，平面，平面，所有由線面垂直的判定有平面，又因為平面，所以平面平面...........................6分（2）由（1）可知平面，則點到平面的距離即為的長度，一方面梯形的面積為，，所以有四棱錐的體積為，另一方面由題可知四棱錐的體積為，結(jié)合以上兩方面有，解得，因為，所以，由（1）可知，所以，所以，所以...........................12分20．（12分）已知甲、乙兩支登山隊均有n名隊員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊，規(guī)則如下：在一個不透明的箱中放有紅球和黑球各2個，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復(fù)，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢．新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊，否則被分至乙隊．(1)求三人均被分至同一隊的概率；(2)記甲，乙兩隊的最終人數(shù)分別為，，設(shè)隨機變量，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意，三人均被分至同一隊，即三人同分至甲隊或乙隊，分別求出被分至甲隊即摸出紅球的概率、被分至甲隊即摸出紅球的概率、被分至甲隊即摸出紅球的概率，再應(yīng)用條件概率公式及互斥事件加法求三人均被分至同一隊的概率；（2）根據(jù)題意有可能取值為，分析各對應(yīng)值的實際含義，并求出對應(yīng)概率，進而求期望即可.【詳解】（1）三人均被分至同一隊，即三人同分至甲隊或乙隊，記事件“被分至甲隊”，事件“被分至甲隊”，事件“被分至甲隊”，當(dāng)即將摸球時，箱中有2個紅球和2個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；當(dāng)被分至甲隊時，箱中有2個紅球和3個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；當(dāng)均被分至甲隊時，箱中有2個紅球和4個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；所以，則，同理知：新增登山愛好者均被分至乙隊的概率也為，所以三人均被分至同一隊的概率為............................6分（2）由題設(shè)，可能取值為，為新增的4名登山愛好者被分至同一隊，則，為新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊，其余1名被分至另一隊，設(shè)新增的第名登山愛好者被單獨分至甲隊或乙隊，則，，，，所以，為新增的4名登山愛好者中各有2名被分至甲隊和乙隊，則，所以............................12分21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的浙近線方程為分別是雙曲線的左?右頂點.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是直線上的動點，直線分別與雙曲線交于不同于的點，過點作直線的垂線，垂足為，求當(dāng)最大時點的縱坐標(biāo).【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用給定的漸近線方程求出即可得雙曲線方程.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理、三點共線探求直線過的定點，結(jié)合幾何意義求解即得.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，即，依題意，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為............................4分（2）由（1）知，，設(shè)，顯然直線不垂直于軸，否則由雙曲線的對稱性，點在軸上，不符合題意；設(shè)直線，由消去得，有，則，于