人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊教學(xué)設(shè)計1：5 3 1 函數(shù)的單調(diào)性教案

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE15.3.1函數(shù)的單調(diào)性一、教學(xué)目標1.理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2.能夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題.二、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.教學(xué)難點證明不等式及逆向求參問題.三、教學(xué)過程（一）新課導(dǎo)入問題1如圖（1）是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)的圖象，圖（2）是跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)的圖象.，b是函數(shù)的零點.運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學(xué)上刻畫這種區(qū)別？（二）探索新知觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)：（1）從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，即單調(diào)遞增.相應(yīng)地，.（2）從最高點到入水，運功員的重心處于下降狀態(tài)，畫水面的高度h隨時間t的增加而減小，即單調(diào)遞減.相應(yīng)地，.思考：從以上觀察中發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與的正負有內(nèi)在聯(lián)系.那么，我們能否由的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？在問題1中，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時，，函數(shù)的圖象是“上升”的，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)的圖象是“下降”的，函數(shù)在上單調(diào)遞減.問題2觀察下面函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負的關(guān)系.如下圖，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率.可以發(fā)現(xiàn)：在處，，切線是“左下右上”的上升式，函數(shù)的圖象也是上升的，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”的下降式，函數(shù)的圖象也是下降的，函數(shù)在附近單調(diào)遞減.結(jié)論：一般地，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負之間具有如下的關(guān)系：在某個區(qū)間上，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在某個區(qū)間上，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.例1利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：（1）；（2）；（3）.解：（1）因為，所以.所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，如圖（1）所示.（2）因為，所以.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，如圖（2）所示.（3）因為，所以.所以，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，如圖（3）所示.下面用導(dǎo)數(shù)來研究形如的函數(shù)的單調(diào)性.例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)的定義域為R.對求導(dǎo)數(shù)，得.令，解得或.和把函數(shù)定義域劃分成三個區(qū)間，在各區(qū)間上的正負，以及的單調(diào)性如表所示.200單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖所示.判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟：第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)的零點；第3步，用的零點將的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.下面來研究對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在區(qū)間上增長快慢的情況.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)越來越大時，越來越小，所以函數(shù)遞增得越來越慢，圖象上升得越來越“平緩”，如圖（1）.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)越來越大時，越來越大，函數(shù)遞增得越來越快，圖象上升得越來越“陡峭”，如圖（2）.一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.例3設(shè)，兩個函數(shù)的圖象如圖所示.判斷，的圖象與，之間的對應(yīng)關(guān)系.解：因為，所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，，在上都是增函數(shù).在區(qū)間上，的圖象比的圖象要“陡峭”；在區(qū)間上，的圖象比的圖象要“平緩”.所以，，的圖象依次是圖中的，.（三）課堂練習(xí)1.下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗B中，在上恒成立，在上為增函數(shù).對于選項A，C，D，都存在，使的情況.故選B.2.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可得，令，即，解得或，又因為，所以.故選C.3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即，得.當(dāng)時，，實數(shù)的取值范圍是.故選C.4.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_________________.〖答案〗〖解析〗因為，，所以.由可得，所以或，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.5.已知，函數(shù).（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍.〖解〗（1）因為，所以曲線在點處的切線斜率.而直線的斜率為，則，得.（2）由在上單調(diào)遞減，得在上恒成立，即在上恒成立.又時，，所以，所以的取值范圍是.小