湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第4章計數(shù)原理檢測卷含答案

第4章計數(shù)原理(滿分150分,考試用時120分鐘)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.計算C44+C5A.C72 B.C65 C.2.北斗七星自古是人們辨別方向、判斷季節(jié)的重要依據(jù),北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光,其中玉衡最亮,天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機選兩顆進行觀測,則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為()A.1021 B.1121 C.11423.已知x-13xn的展開式中第6項與第8項的二項式系數(shù)相等,A.-8 B.8 C.4 D.-44.某旅游公司為了推出新的旅游產(chǎn)品項目,派出五名工作人員前往重慶的三個網(wǎng)紅景點——“洪崖洞夜景、輕軌穿樓、長江索道”進行團隊游的可行性調(diào)研.若每名工作人員只去一個景點,每個景點至少有一名工作人員前往,其中工作人員甲、乙需要到同一景點調(diào)研,則不同的人員分配方案種數(shù)為()A.18 B.36 C.54 D.725.x-1x(1-x)4的展開式中xA.3 B.4 C.5 D.66.2021年4月24日是第六個“中國航天日”,今年的主題是“揚帆起航,逐夢九天”.為了制作一期展示我國近年來航天成就的展板,某?？破招〗M的6名同學(xué)計劃分“神舟飛天”“嫦娥奔月”“火星探測”3個展區(qū)制作展板,每人只負責一個展區(qū),每個展區(qū)至少有一人負責,則不同的任務(wù)分配方案有()A.990種 B.630種 C.540種 D.480種7.2020年4月22日是第51個世界地球日,今年的活動主題是“珍愛地球,人與自然和諧共生”.某校5名大學(xué)生到A,B,C三個社區(qū)做宣傳,每個社區(qū)至少分配一人,每人只能去一個社區(qū)宣傳.若甲、乙要求去同一個社區(qū)且不去A社區(qū),則不同的安排方案共有()A.20種 B.24種 C.30種 D.36種8.以長方體ABCD-A1B1C1D1的任意三個頂點為頂點作三角形,從中隨機取出2個,則這2個三角形不共面的情況種數(shù)為()A.1480 B.1468 C.1516 D.1492二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.下列等式正確的是()A.Cnm=m+1n+1Cn+1C.Anm=nAn-1m-1 10.某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目,下列說法正確的是()A.若任意選擇三門課程,則選法種數(shù)為35B.若物理和化學(xué)至少選一門,則選法種數(shù)為30C.若物理和歷史不能同時選,則選法種數(shù)為30D.若物理和化學(xué)至少選一門,且物理和歷史不能同時選,則選法種數(shù)為2011.關(guān)于(x-1)2021及其二項展開式,下列說法正確的是()A.該二項展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為22021B.該二項展開式中第8項為-C20217x1C.當x=100時,(x-1)2021除以100的余數(shù)是9D.該二項展開式中不含有理項12.下列說法正確的是()A.某班4位同學(xué)從文學(xué)、經(jīng)濟和科技三類不同的圖書中各任選一類,不同的選法共有64種B.用1,2,3三個數(shù)字可以組成9個三位奇數(shù)C.從集合A={a,b,c,d}中任取2個元素組成集合B,則集合B中含有元素b的概率為1D.兩個男生和兩個女生隨機排成一列,則兩個女生不相鄰的概率是1三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知3x-2xn的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大,則n=14.現(xiàn)有甲、乙等5名教師要帶3個興趣小組外出學(xué)習(xí),要求每個興趣小組都有帶隊教師,且?guī)ш牻處熤炼?人,但甲教師和乙教師均不能單獨帶隊,則不同的帶隊方案有種.(用數(shù)字作答)

15.在(x2-x-2)5的展開式中,x3的系數(shù)為.

16.A,B,C,D,E五個人站成一排,A和C分別站在B的兩邊(可以與B相鄰,也可以與B不相鄰)的不同站法共有種.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加A,B,C三個智力競賽項目,每個人都要報名參加.分別求在下列情況下的不同報名方法的種數(shù).(1)甲、乙報同一項目,丙不報A項目;(2)甲不報A項目,且B,C項目報名的人數(shù)相同.18.(12分)設(shè)(x+1)(2x2-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a11(1)求a6的值;(2)求a0+22a2+24a4+…+210a10的值.19.(12分)已知3x-2xn(n∈N+)的展開式中第2項與第(1)求n的值;(2)求展開式中各二項式系數(shù)的和以及各項系數(shù)的和;(3)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項.20.(12分)2020年1月29日,寧德市援鄂醫(yī)療隊首批8名醫(yī)護人員抵達武漢,投入疫情防控和治療工作,其中3人安排到重癥科室,其余5人安排到呼吸、感染、檢驗三個科室.(1)從8名醫(yī)護人員中選出3人到重癥科室,共有多少種不同的選法?(2)將5名醫(yī)護人員安排到呼吸、感染、檢驗三個科室,要求每個科室至少有1人,共有多少種不同的安排方法?(3)抗擊疫情勝利后,8名醫(yī)護人員站成一排合影留念,A,B兩人要站在相鄰位置,且不站在隊伍兩端,共有多少種不同的站位方法?21.(12分)在高三一班元旦晚會上,有6個演唱節(jié)目,4個舞蹈節(jié)目.(1)當4個舞蹈節(jié)目接在一起時,有多少種不同的安排順序?(2)當每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時,有多少種不同的安排順序?(3)若已定好節(jié)目單,后來情況有變,需加上詩歌朗誦和快板2個節(jié)目,但不能改變原來節(jié)目的相對順序,有多少種不同的安排順序?22.(12分)從1,3,5,7中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6,8中任取2個數(shù)字,用這四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),所有這些四位數(shù)構(gòu)成集合M.(1)求集合M中不含有數(shù)字0的元素的個數(shù);(2)求集合M中含有數(shù)字0的元素的個數(shù);(3)從集合M中隨機選擇一個元素,求這個元素能被5整除的概率.答案與解析1.A因為Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1,所以C44+C54+C64=C2.B玉衡和天權(quán)都沒有被選中的概率為C52C72=1021,所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為1-3.D由條件可知Cn5=Cn7,所以n=12,x-13x12的展開式的通項為Tr+1=C12rx12-r·-13xr=-134.B若甲、乙到同一景點調(diào)研(無其他人),則有C32A33=18種方法,若甲、乙與另一人到同一景點調(diào)研(三人一起),則有C31A35.Cx-1x(1-x)4=x(1-x)4-1x(1-x)4,x(1-x)4的展開式的通項為Tr+1=xC4r(-x)r=C4r(-1)rxr+1,-1x(1-x)4的展開式的通項為Tk+1=-1xC4k(-x)k=-C4k(-1)kx6.C分成三類:①一組1人,一組2人,一組3人,不同的分配方案有C61C52C33A33=360(種);②一組4人,其他兩組各1人,不同的分配方案有C64·C21C11A22·A7.B分2步進行分析:(1)安排甲和乙,有2種方法;(2)安排剩余的三人,可分為兩類,①三個社區(qū)各安排一個,有A33種方法,②安排在其他兩個社區(qū),有C32A22種方法.故共有2(A8.B長方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點中任意三個均不共線,故任取三個均可構(gòu)成1個三角形,共有C83=56(個),從中任選兩個,共有C562=1540種情況.長方體有六個面,六個對角面,每個面(對角面)的四個頂點共確定4個不同的三角形,故隨機取出2個,則這2個三角形不共面的情況共有1540-12×C42=19.BCm+1n+1Cn+1m=m+1n+1·(n+1)!m!(n+1-m)!=m+1n-m+1·n!m!(n-m)!=m+1n-m+1Cnm≠Cnm,故A錯誤.An+1m+1-Anm=(n+1)!(10.ACD對于A,選法種數(shù)為C73=35,故A正確.對于B,若物理和化學(xué)選一門,其余兩門從剩余的五門中選,有C21C52=20種選法;若物理和化學(xué)都選,剩下一門從剩余的五門中選,有C22C51=5種選法.故共有20+5=25種選法,故B錯誤.對于C,物理和歷史同時選,有C22C51=5種選法,故不同時選的選法種數(shù)為35-5=30,故C正確.對于D,只選物理,不選化學(xué),則歷史也不選,有C42=6種選法;只選化學(xué),不選物理,有C52=1011.BC偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為22020,故A錯誤;展開式中第8項為T7+1=C20217(x)2014·(-1)7=-C20217x1007,故B正確;當x=100時,(x-1)2021=(10-1)2021=C20210·102021-C20211·102020+…-C20212019·102+C20212020·101-C20212021=100(C20210·102019-C20211·102018+…-C20212019·100)+C20212020·101-1,∵C20212020·101-1=20209=20200+9,除以100的余數(shù)是9,∴當x=100時,(x-1)2021除以100的余數(shù)是9,故C正確;(x-1)2021的展開式的通項為Tr+1=C2021r·(x)2021-r(-1)12.CD對于A,第1位同學(xué)可以從三類不同的圖書中任選一類,有3種選法,同理,其他的3位同學(xué)也都各有3種選法,則不同的選法共有3×3×3×3=81(種),故A錯誤;對于B,個位數(shù)字可以放1,3,十位數(shù)字和百位數(shù)字都可以放1,2,3,所以可以組成2×3×3=18個三位奇數(shù),故B錯誤;對于C,從集合A中任取2個元素可得到集合B的個數(shù)為C42,含有元素b的個數(shù)為C31,其概率P=C31C對于D,兩個女生和兩個男生隨機排成一列,總的排法有A44=24(兩個女生不相鄰的排法有A22A32=12(種),所以兩個女生不相鄰的概率P=1224=1213.答案12;-1760解析由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得n2+1=7,得n=12.3x-2x12的展開式的通項為Tr+1=C12rx12-r3-214.答案54解析若甲教師和乙教師不帶同一組,則共有C31C21A33=36種不同方案;若甲教師和乙教師帶同一組,則共有15.答案120解析(x2-x-2)5=(x+1)5(x-2)5,(x+1)5的展開式的通項為Tr+1=C5rx5-r,(x-2)5的展開式的通項為Tt+1=C5tx5-t(-2)t,∴x3的系數(shù)為C52C55(-2)5+C5316.答案40解析按A和C中間人數(shù)分三種情況:(1)A和C中間站1人,必是B,則3人捆綁,與其他2人全排列,共有A22A33=12(種);(2)A和C中間站2人,一人是B,再選一人,最后一人在最左或最右,故共有C21A22A22×2=16(種);(3)A和C中間站317.解析(1)把甲、乙看成一個整體.甲、乙在三個項目中任選一個,有C31=3種選法;(2丁在三個項目中任選一個,有C31=3種選法;(3丙在除A項目外的項目中任選一個,有C21=2種選法.(4故共有3×3×2=18種報名方法.(5分)(2)若B,C項目各有一人,有C32C21若B,C項目各有兩人,有C42C22所以報名方法共有6+6=12(種).(10分)18.解析(1)由題意知a6是(x+1)(2x2-1)5的展開式中x6的系數(shù).(2x2-1)5的展開式的通項為Tr+1=C5r(2x2)5-r(-1)r令10-2r=5,得r=52,舍去;令10-2r=6,得r=2.(4分故a6=(-1)2×23×C52=80.(6(2)令x=2,得3×75=a0+2a1+22a2+…+211a11,①(8分)令x=-2,得-75=a0-2a1+22a2-…-211a11,②(10分)由①+②2得a0+22a2+24a4+…+210a10=3×75-719.解析(1)由題意得Cn1∶Cn2=1∶3,n∈N+,(2)由(1)得原式為3x所以展開式中各二項式系數(shù)的和為27=128.(4分)令x=1,得展開式中各項系數(shù)的和為3×1-217(3)3x-2x7的展開式的通項為Tr+1=C7r(3x)7-r-2xr=設(shè)第(r+1)項的系數(shù)的絕對值最大,設(shè)f(r)=C7r×37-r×2r,即C7r×解得115≤r≤165,又r∈N+,故展開式中系數(shù)絕對值最大的項為T4=C73×37-3×(-2)3x7-3×32=-2220.解析(1)由題意得共有C83=56種不同的選法.(2(2)5個人按3,1,1分成3組,共有C53=10種分法,再分到三個科室,有A33=6種方法,此時共有10×6=605個人按2,2,1分成3組,共有C52C32A22=15種分法,再分到三個科室,有A3故共有60+90=150種不同的安排方法.(7分)(3)將A,B兩人看成一個整體,且A,B不在兩端,共有5A22=10種方法,(9剩下6人全排列,有A66=720種方法,(11則共有10×720=7200種不同的站位方法.(12分)21.解析(1)分兩步:第一步,將4個舞蹈節(jié)目捆綁,與6個演唱節(jié)目全排列,有A77=5040種方法;(2第二步,將4個舞蹈節(jié)目全排列,有A44=24根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5040