蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第2章圓與方程復(fù)習(xí)提升練含答案

本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練易錯(cuò)點(diǎn)1忽視圓的一般方程表示圓的條件致錯(cuò)1.(2024安徽合肥六校期中聯(lián)考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心為.

2.已知a>0,b>0,若直線2x+y-2=0平分圓x2+y2-2ax-4by+1=0,則2a+1易錯(cuò)點(diǎn)2忽視特殊點(diǎn)、特殊直線致錯(cuò)3.(2024北京大興期中)已知等腰三角形ABC的頂點(diǎn)為A(4,2),底邊的一個(gè)端點(diǎn)為B(5,3),則另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程為.

4.已知圓C:x2+y2-4y+3=0.(1)求過點(diǎn)(3,1)且與圓C相切的直線方程;(2)過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.易錯(cuò)點(diǎn)3忽視隱含條件致錯(cuò)5.(多選題)(2024湖南永州第一中學(xué)月考)若方程1-xA.36.已知以點(diǎn)Ct,2t(t∈R(1)試寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求證:△OAB的面積為定值;(3)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于M,N兩點(diǎn),若OM=ON,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.思想方法練一、數(shù)形結(jié)合思想在圓的方程中的應(yīng)用1.(2024福建福州格致中學(xué)期中)已知點(diǎn)P是圓M:(x-2)2+(y-2)2=2上的動(dòng)點(diǎn),線段AB是圓C:(x+1)2+(y+1)2=4的一條動(dòng)弦,且AB=23,則|PA+A.32B.82.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則x2+(y-2)2的取值范圍為.

二、函數(shù)與方程思想在圓的方程中的應(yīng)用3.(2024江西泰和中學(xué)月考)已知以點(diǎn)A(-1,2)為圓心的圓與,過點(diǎn)B(-2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M,N兩點(diǎn).從①直線x+2y+7=0相切;②圓(x-3)2+y2=20關(guān)于直線2x-y-1=0對(duì)稱;③圓(x-3)2+(y-2)2=5的外公切線的長為11這3個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面的橫線處并回答下列問題.

(1)求圓A的方程;(2)當(dāng)MN=219時(shí),求直線l的方程.4.(2023河南部分名校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(3,0),B(3,4).(1)求△OAB的內(nèi)切圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過曲線y=x2-4x上一點(diǎn)M作圓E的切線,切點(diǎn)分別為H,Q,求cos∠HMQ的最小值.三、分類討論思想在圓的方程中的應(yīng)用5.(2023黑龍江哈師大附中月考)已知圓C1:(x+3)2+y2=a2(a>7)和C2:(x-3)2+y2=1,動(dòng)圓M與圓C1,圓C2均相切,P是△MC1C2的內(nèi)心,且S△A.9B.11C.17或19D.196.已知圓O:x2+y2=4,過定點(diǎn)A(1,1)作兩條互相垂直的直線l1,l2,且l1交圓O于P1(x1,y1),P3(x3,y3)兩點(diǎn),l2交圓O于P2(x2,y2),P4(x4,y4)兩點(diǎn).(1)若P1P3=22,求直線l1的方程;(2)求證:x1+x2+x3+x4為定值.四、轉(zhuǎn)化與化歸思想在圓的方程中的應(yīng)用7.(2023河南開封五縣聯(lián)考)已知M(m,n)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn).(1)求m+2n的取值范圍;(2)求n-38.(2023江蘇南京外國語學(xué)校月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,4)與直線l:y=x-1,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在直線l上.(1)若點(diǎn)P(2,2)在圓C上,求圓C的方程;(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使3MO=MA,求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.答案與分層梯度式解析本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練1.答案(-2,-4)解析由題意得a2=a+2≠0,解得a=-1或a=2,當(dāng)a=-1時(shí),方程化為x2+y2+4x+8y-5=0,此時(shí)D2+E2-4F=16+64+20>0,此方程表示圓(x+2)2+(y+4)2=25,圓心為(-2,-4),半徑為5.當(dāng)a=2時(shí),方程化為4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+52此時(shí)D2+E2-4F=1+4-4×52=-5<0,方程不表示圓綜上,圓心為(-2,-4).2.答案55解析由圓的一般方程得圓心為(a,2b),4a2+16b2-4>0,即a2+4b2-1>0易錯(cuò)點(diǎn),因?yàn)橹本€2x+y-2=0平分圓,所以圓心(a,2b)在直線上,即2a+2b-2=0,即a=1-b①,將①代入a2+4b2-1>0,得b2-2b+1+4b2-1>0,即b(5b-2)>0,因?yàn)閎>0,所以b>25又a=1-b>0,所以b<1,即b∈25則2a令t=a2b,則t∈0,3因?yàn)楹瘮?shù)y=t+1t在t∈0,34上單調(diào)遞減,所以t+1所以2a易錯(cuò)警示關(guān)于圓的一般方程,解題時(shí)易忽視D2+E2-4F>0導(dǎo)致錯(cuò)誤.如第1題易缺少對(duì)D2+E2-4F符號(hào)的檢驗(yàn)而誤得到圓心坐標(biāo)為(-2,-4)或-12,-1;第2題易因忽略D2+E2-4F>0而誤得到3.答案x2+y2-8x-4y+18=0(除去點(diǎn)(3,1),(5,3))解析設(shè)底邊的另一個(gè)端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則(4-x化簡可得x2+y2-8x-4y+18=0①,因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)構(gòu)成三角形,所以三點(diǎn)不共線,當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時(shí),kAB=3-25-4由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線AB的方程為y-2=1×(x-4),即x-y-2=0②,由①②得x所以點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-8x-4y+18=0(除去點(diǎn)(3,1),(5,3)).易錯(cuò)警示解決與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí),要注意檢驗(yàn)是不是所有的點(diǎn)都在軌跡上,如果有不符合的點(diǎn)要排除.如本題中容易忽視排除點(diǎn)(3,1),(5,3)導(dǎo)致錯(cuò)誤.4.解析(1)由已知得圓心C(0,2),半徑為1,易知過點(diǎn)(3,1)的直線斜率存在,設(shè)直線方程為y=k1(x-3)+1,即k1x-y-3k1+1=0,則|-2-3k1+1|k12+1故所求的直線方程為y=1或y=-34(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l:y=kx(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)M(x,y),聯(lián)立y=kx,x2則x1+x2=4k因?yàn)橹本€l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,所以Δ=16k2-12(1+k2)>0,所以k2>3,由y=kx,kCM因?yàn)閗2>3,所以y=y1當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),線段AB的中點(diǎn)為(0,2),符合x2+y2-2y=0.故線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-2y=0,y∈32易錯(cuò)警示利用待定系數(shù)法求圓的切線時(shí),通常設(shè)切線方程為點(diǎn)斜式,點(diǎn)斜式使用的前提是斜率存在,不要默認(rèn)直線斜率存在而忽略了斜率不存在的情況;而對(duì)于圓的方程的求解,求得的結(jié)論要注意結(jié)合圖形進(jìn)行檢驗(yàn),要注意一些特殊情況是否符合.5.BC方程1-x即函數(shù)y=1-xy=1-x2,即x2+y2=1(y≥直線y=k(x-1)+2,即kx-y+2-k=0的斜率為k,且經(jīng)過點(diǎn)(1,2),當(dāng)直線和半圓相切時(shí),由|0-0+2-k|1+當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(-1,0)時(shí),由0=k(-1-1)+2得k=1.數(shù)形結(jié)合可得k的取值范圍為34故選BC.易錯(cuò)警示判斷方程表示的曲線時(shí),要注意方程成立的前提條件,對(duì)應(yīng)的曲線也要除去一部分,本題中要注意y=1-x2中y≥06.解析(1)設(shè)圓的半徑為r.因?yàn)閳A心為Ct,2t(t∈R,t≠0),且圓過原點(diǎn),所以r2=t2+4t2,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-t)2+y-(2)證明:由(1)知,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-t)2+y-2t2=t2+則S△OAB=122t(3)由OM=ON可知MN的垂直平分線過原點(diǎn),又弦的垂直平分線必過圓心,故直線OC與直線y=-2x+4垂直,則有kOC·(-2)=-1,即2tt則圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.當(dāng)圓的方程為(x+2)2+(y+1)2=5時(shí),圓心到直線2x+y-4=0的距離d=|-4-1-4|5=9所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=5.易錯(cuò)警示審題不嚴(yán),對(duì)題中的隱含條件處理不當(dāng),常會(huì)造成解題錯(cuò)誤,如直線與圓相交時(shí),要在有交點(diǎn)的情況下研究其他問題.思想方法練1.D圓M的圓心為M(2,2),半徑為2,圓C的圓心為C(-1,-1),半徑為2,如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,連接CB,易知D為AB的中點(diǎn),∴BD=3,且PA+PB=2利用向量知識(shí)求|PD|的最值,思路不容易找到,而利用點(diǎn)D的軌跡,作出圖形輔助求解比較簡單,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.∵CB=2,∴CD=CB2-BD2=則|PD|故|PA+PB|的最大值為2×(42+1)=822.答案[11-46,11+4解析方程x2+y2-4x+1=0可化為(x-2)2+y2=3,它表示以(2,0)為圓心,3為半徑的圓.直接對(duì)式子x2+(y-2)2求解比較困難,思路也不容易找到,而利用其幾何意義,作出圖形輔助求解,則比較簡單,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.x2+(y-2)2可看作圓上一點(diǎn)與點(diǎn)(0,2)的距離的平方,由圖可知,此式在點(diǎn)(0,2)與圓心(2,0)所連直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)B,A處分別取得最大值與最小值,又圓心到點(diǎn)(0,2)的距離為22所以[x2+(y-2)2]max=(22+[x2+(y-2)2]min=(22?故x2+(y-2)2的取值范圍為[11-46,11+4思想方法數(shù)形結(jié)合思想在圓的方程一章中主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:一方面在遇到求代數(shù)式的取值范圍時(shí),通常賦予其幾何意義,通過斜率公式、距離公式等把代數(shù)式的取值轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與某點(diǎn)連線的斜率或它到某點(diǎn)(直線)的距離的取值,再結(jié)合圓的相關(guān)知識(shí)解決問題;另一方面是確定點(diǎn)的軌跡是圓,通過畫出圓利用圓的知識(shí)解決問題.3.解析(1)選①:因?yàn)閳AA與直線x+2y+7=0相切,所以圓A的半徑為|-1+2×2+7|1因此圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20.選②:因?yàn)閳AA與圓(x-3)2+y2=20關(guān)于直線2x-y-1=0對(duì)稱,所以兩個(gè)圓的半徑相等,因此圓A的半徑為25,所以圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20.選③:設(shè)圓(x-3)2+(y-2)2=5的圓心為P(3,2),兩圓的一條外公切線為m,兩圓的圓心A,P與兩圓的一條外公切線m的示意圖如下:則CD=PE=11,PD=CE=設(shè)圓A的半徑為r,則(r-5)2+(11)2=(-1-3)2+(2-2)所以圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20.(2)由(1)可知3個(gè)條件所得的圓A的方程都是(x+1)2+(y-2)2=20,當(dāng)l的斜率不存在時(shí),直線方程為x=-2,把x=-2代入(x+1)2+(y-2)2=20中,得y=2±19,顯然2+19?(2?當(dāng)l的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,則l的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0,利用圓心到直線的距離公式建立關(guān)于k的方程求解k,體現(xiàn)了方程思想.故圓心A(-1,2)到直線l的距離為|-k因?yàn)镸N=219,所以|k-2|k綜上,直線l的方程為3x-4y+6=0或x=-2.4.解析(1)設(shè)圓E的切線OA,AB分別交圓于S,T兩點(diǎn),圓E的半徑為r,連接ES,ET,如圖,易證四邊形ESAT是正方形.∴SA+AT=2r=OA+AB-OB=3+4-32+42=2,∴r=1,∴E(2,1),∴圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)(2)設(shè)∠HMQ=2θ,M(x0,y0),由△HEM≌△QEM可知∠HME=∠QME=θ,則cos2θ=1-2sin2θ=1-2E∴當(dāng)EM2最小時(shí),cos2θ最小.∵M(jìn)(x0,y0)在曲線y=x2-4x上,∴y0=x02-4x0=(x0-2)2-4,∴(x0-2)2=y通過圓的方程進(jìn)行坐標(biāo)代換,從而將EM2表示成關(guān)于y0的二次函數(shù),利用二次函數(shù)求最值,體現(xiàn)了函數(shù)思想.∴EM2=(x0-2)2+(y0-1)2=y0+4+(y0-1)2=y0∴cos2θ≥1-2×419=1119,即cos思想方法本章中函數(shù)思想主要體現(xiàn)在將要研究的問題借助圓的方程實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)代換或三角換元,從而建立坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造三角函數(shù),進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解,常用于解決有關(guān)求最值、討論參數(shù)的取值范圍等問題;方程思想是根據(jù)圓的方程或相關(guān)公式將問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程模型并加以解決.5.C圓C1的圓心C1(-3,0),半徑R1=a,圓C2的圓心C2(3,0),半徑R2=1,因?yàn)閍>7,所以圓心距C1C2=6<R1-R2=a-1,所以圓C2內(nèi)含于圓C1.設(shè)△MC1C2內(nèi)切圓的半徑為r0,因?yàn)镻為△MC1C2的內(nèi)心,且S△PMC1+S△PMC2=3S△PC1C設(shè)圓M的半徑為r,題目中沒有說明動(dòng)圓M與圓C1,圓C2相切的類型,所以需要分情況討論求解.當(dāng)動(dòng)圓M內(nèi)切于圓C1,且與圓C2外切(r<a)時(shí),有C1M=R1-r=a-r,C2M=R2+r=1+r,所以C1M+C2M=a+1,所以3C1C2=18=a+1,得a=17;當(dāng)動(dòng)圓M內(nèi)切于圓C1,圓C2內(nèi)切于動(dòng)圓M時(shí),有C1M=R1-r=a-r,C2M=r-R2=r-1,所以C1M+C2M=a-1,所以3C1C2=18=a-1,得a=19.綜上可得,a=17或a=19.故選C.6.解析(1)圓心為O(0,0),半徑r=2,由P1P3=22,可得O到直線l1的距離d=r2經(jīng)過定點(diǎn)的直線方程一般設(shè)為點(diǎn)斜式,但考慮到點(diǎn)斜式的適用情況是斜率存在,故對(duì)斜率是否存在展開討論.當(dāng)l1的斜率不存在時(shí),直線方程為x=1,此時(shí)O(0,0)到直線l1的距離為1,不合題意;當(dāng)l1的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y-1=m(x-1),即mx-y-m+1=0,則|-m所以直線l1的方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)證明:∵OA=12+12=2<r,∴定點(diǎn)A(1,1)在圓O內(nèi),直線l1,l2的斜率是否存在不確定,需要分類討論求解.當(dāng)l1與x軸垂直時(shí),l2與x軸平行,此時(shí)x1+x3=2,x2+x4=0,所以x1+x2+x3+x4=2;當(dāng)l2與x軸垂直時(shí),l1與x軸平行,此時(shí)x1+x3=0,x2+x4=2,所以x1+x2+x3+x4=2;當(dāng)l1的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)其方程為y=k(x-1)+1(k≠0),聯(lián)立y=k(x-1)+1,x2+y2=4,消去y得(1+k2)x2同理可得x2+x4=2+2k1+k2,所以x1+x2+x綜上所述,x1+x2+x3+x4為定值2.思想方法分類討論思想是很重要也很常用的一種思想方法,確定分類的標(biāo)準(zhǔn)是解題關(guān)鍵.在直線與圓的方程的有關(guān)問題中,有些需要設(shè)出直線方程,此時(shí)要考慮相關(guān)直線的斜率是否存在;遇到直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系類問題時(shí),要腦中有圖并對(duì)應(yīng)上不同的代數(shù)形式,即點(diǎn)到直線的距離、兩圓心的距離和半徑之間的大小關(guān)系,同時(shí)考慮兩圓圓心的位置等.7.解析(1)x2+y2-4x-14y+45=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-2)2+(y-7)2=8,該方程表示圓