基本計數(shù)原理和排列組合概念復(fù)習及專題訓練含答案

優(yōu)秀教案歡迎下載優(yōu)秀教案歡迎下載優(yōu)秀教案歡迎下載第一章計數(shù)原理———基本計數(shù)原理和排列組合（概念篇）概念回顧：（一）兩個原理.1.加法原理每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)2.乘法原理任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同3.可以有重復(fù)元素的排列.從個不同元素中，每次取出個元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第位上選取元素的方法都是個，所以從個不同元素中，每次取出個元素可重復(fù)排列數(shù)例如：件物品放入個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？（解：種）（二）排列組合1、排列（1）排列數(shù)的計算：從個不同元素中取出個元素排成一列，稱為從個不同元素中取出個元素的一個排列.從個不同元素中取出個元素的一個排列數(shù)，用符號表示.（2）排列數(shù)公式：注意：規(guī)定注：含有可重元素的排列問題對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集有個不同元素其中限重復(fù)數(shù)為，且,則的排列個數(shù)等于.例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個數(shù)？其排列個數(shù).2、組合（1）組合數(shù)的計算：從個不同的元素中任取個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.從個不同元素中取出個元素的一個排列數(shù)，用符號表示。（2）排列數(shù)公式：：規(guī)定（3）兩個公式：①②二、基礎(chǔ)訓練：1．用1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）（A）24個（B）30個（C）40個（D）60個2．甲、乙、丙、丁四種不同的種子，在三塊不同土地上試種，其中種子甲必須試種，那么不同的試種方法共有（）（A）12種（B）18種（C）24種（D）96種3．某天上午要排語文、數(shù)學、體育、計算機四節(jié)課，其中體育不排在第一節(jié)，那么這天上午課程表的不同排法共有（）（A）6種（B）9種（C）18種（D）24種4．由0，l，2，3，4，5這六個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，奇數(shù)個數(shù)與偶數(shù)個數(shù)之比為（）（A）l：l（B）2：3（C）12：13（D）21：235．由0，l，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列第86個數(shù)是（）（A）42031（B）42103（C）42130（D）430216．若直線方程的系數(shù)可以從0，1，2，3，6，7六個數(shù)中取不同的數(shù)值，則這些方程所表示的直線條數(shù)是（）（A）一2（B）（C）+2（D）－27．從這五個元素中任取四個排成一列，不排在第二的不同排法有（）（A）（B）（C）（D）8.三個女生和五個男生排成一排．（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？（4）如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？（5）如果三個女生站在前排，五個男生站在后排，有多少種不同的排法？9.6個人站一排，甲不在排頭，共有種不同排法．10.6個人站一排，甲不在排頭，乙不在排尾，共有種不同排法．11.五男二女排成一排，若男生甲必須排在排頭或排尾，二女必須排在一起，不同的排法共有種．三、解題方法及訓練：解排列組合問題，首先要弄清一件事是“分類”還是“分步”完成，對于元素之間的關(guān)系，還要考慮“是有序”的還是“無序的”，也就是會正確使用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：1、特殊優(yōu)先法：對于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法。例如：用0、1、2、3、4這5個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有________個（30個）2、插空法：解決一些不相鄰問題時，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決。例如：7人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數(shù)是______(答案:3600)3、捆綁法：相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當成“一個”元素進行排列，然后再局部排列。例如：6名同學坐成一排，其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法是________種（答案：240）4、排除法：從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法排列組合應(yīng)用題往往和數(shù)學其他章節(jié)某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答時，要注意使用相關(guān)知識對答案進行取舍。例如：從集合中任取3個元素分別作為直線方程中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標原點的直線有_________條（答案：30）5、剪截法（隔板法）：個相同小球放入個盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于個相同小球串成一串從間隙里選個結(jié)點剪成段（插入塊隔板），有種方法練一練：例1求不同的排法種數(shù)：（1）6男2女排成一排，2女相鄰；（2）6男2女排成一排，2女不能相鄰；（3）4男4女排成一排，同性者相鄰；（4）4男4女排成一排，同性者不能相鄰．解：（1）是“相鄰”問題，用捆綁法解決：（2）是“不相鄰”問題，可以用插空法直接求解．6男先排實位，再在7個空位中排2女，即用插孔法解決：另法：用捆綁與剔除相結(jié)合：（3）是“相鄰”問題，應(yīng)先捆綁后排位：（4）是“不相鄰”問題，可以用插空法直接求解:真題訓練：20XX年一、選擇題1.（2009廣東卷理）20XX年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有A.36種B.12種C.18種D.48種【解析】分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A.4.（2009北京卷文）用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）A．8 B．24 C．48 D．120【答案】C【解析】本題主要考查排列組合知識以及分步計數(shù)原理知識.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.2和4排在末位時，共有種排法，其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有種排法，于是由分步計數(shù)原理，符合題意的偶數(shù)共有（個）.故選C.6．（2009北京卷理）用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）A．324B．328C．360D．648【答案】B【解析】本題主要考查排列組合知識以及分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理知識.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.首先應(yīng)考慮“0”是特殊元素，當0排在末位時，有（個），當0不排在末位時，有（個），于是由分類計數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有（個）.故選B.7.（2009全國卷Ⅱ文）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（A）6種（B）12種（C）24種（D）30種答案：C解析：本題考查分類與分步原理及組合公式的運用，可先求出所有兩人各選修2門的種數(shù)=36，再求出兩人所選兩門都相同和都不同的種數(shù)均為=6，故只恰好有1門相同的選法有24種。8.（2009全國卷Ⅰ理）甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學。若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有(D)（A）150種（B）180種（C）300種(D)345種解:分兩類(1)甲組中選出一名女生有種選法;(2)乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D10.(2009湖北卷理)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為【答案】C【解析】用間接法解答：四名學生中有兩名學生分在一個班的種數(shù)是，順序有種，而甲乙被分在同一個班的有種，所以種數(shù)是12.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共有12×4＝48種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時共有＝12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時共有＝12種排法三類之和為24＋12＋12＝48種。13.（2009全國卷Ⅱ理）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 A.6種B.12種C.30種D.36種解：用間接法即可.種.故選C14.（2009遼寧卷理）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有（A）70種（B）80種（C）100種（D）140種【解析】直接法：一男兩女,有C51C42＝5×6＝30種,兩男一女,有C52C41＝10×4＝40種,共計70種間接法：任意選取C93＝84種,其中都是男醫(yī)生有C53＝10種,都是女醫(yī)生有C41＝4種,于是符合條件的有84－10－4＝70種.【答案】A15.（2009湖北卷文）從5名志愿者中選派4人在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有一人參加，星期六有兩人參加，星期日有一人參加，則不同的選派方法共有A.120種B.96種C.60種D.48種【答案】C【解析】5人中選4人則有種，周五一人有種，周六兩人則有，周日則有種，故共有××=60種,故選C16.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企業(yè)的負責人開會，其中甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為【B】A．14B．16C．20D．48解:由間接法得，故選B.17.（2009全國卷Ⅰ文）甲組有5名男同學、3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學，若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（A）150種（B）180種（C）300種（D）345種【解析】本小題考查分類計算原理、分步計數(shù)原理、組合等問題，基礎(chǔ)題。解：由題共有，故選擇D。18.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共有12×4＝48種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時共有＝12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時共有＝12種排法三類之和為24＋12＋12＝48種。20.（2009陜西卷文）從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(A)432(B)288(C)216(D)108答案:C.解析:首先個位數(shù)字必須為奇數(shù)，從1，3，5，7四個中選擇一個有種，再叢剩余3個奇數(shù)中選擇一個，從2，4，6三個偶數(shù)中選擇兩個，進行十位，百位，千位三個位置的全排。則共有故選C.21.(2009湖南卷理)從10名大學生畢業(yè)生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位[C]A85B56C49D28【答案】：C【解析】解析由條件可分為兩類：一類是甲乙兩人只去一個的選法有：，另一類是甲乙都去的選法有=7，所以共有42+7=49，即選C項。22.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A.360B.188C.216D.96【考點定位】本小題考查排列綜合問題，基礎(chǔ)題。解析：6位同學站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有種，其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有188解析2：由題意有,選B。二、填空題1.（2009寧夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動。若每天安排3人，則不同的安排方案共有________________種（用數(shù)字作答）。解析：，答案：1407.（2009天津卷理）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有個（用數(shù)字作答）【考點定位】本小題考查排列實際問題，基礎(chǔ)題。解析：個位、十位和百位上的數(shù)字為3個偶數(shù)的有：種；個位、十位和百位上的數(shù)字為1個偶數(shù)2個奇數(shù)的有：種，所以共有個。10.（2009浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（用數(shù)字作答）．答案：336【解析】對于7個臺階上每一個只站一人，則有種；若有一個臺階有2人，另一個是1人，則共有種，因此共有不同的站法種數(shù)是336種．20XX年（2010全國卷2理數(shù)）（6）將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中．若每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種（B）18種（C）36種（D）54種【答案】B【命題意圖】本試題主要考察排列組合知識，考察考生分析問題的能力.【解析】標號1,2的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有種方法，共有種，故選B.（2010全國卷2文數(shù)）（9）將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種(B)18種(C)36種(D)54種【解析】B：本題考查了排列組合的知識∵先從3個信封中選一個放1，2有3種不同的選法，再從剩下的4個數(shù)中選兩個放一個信封有，余下放入最后一個信封，∴共有（2010重慶文數(shù)）（10）某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日（端午節(jié)假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方法共有（A）30種（B）36種（C）42種（D）48種解析：法一：所有排法減去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法即=42法二：分兩類甲、乙同組，則只能排在15日，有=6種排法甲、乙不同組，有=36種排法，故共有42種方法（2010重慶理數(shù)）(9)某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有A.504種B.960種C.1008種D.1108種解析：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號共有種方法甲乙排中間,丙排7號或不排7號，共有種方法故共有1008種不同的排法（2010北京理數(shù)）（4）8名學生和2位第師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（A）（B）（C）（D）答案：A（2010四川理數(shù)）（10）由1、2、3、4、5、6組